高三上学期期中数学试卷真题
山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
2022级高三调研测试4（期中）数学试题 2024.10注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则A ．{1，2，3} B ．{0，1，2}C ．{1，2，5}D ．{0，1，2，5}2．已知，则|z |＝A ．2B ．1CD3．已知，．若，则A ．B ． CD4．已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5，则此正四棱锥的体积为A．B ．C ．D ．6．已知函数则f （x ）图象上关于原点对称的点有A．1对B ．2对C ．3对D ．4对7．已知函数，函数f （x ）的图象各点的横坐标缩小为原来的6|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|15Q x x =-<≤P Q = i22iz =-||a = ||1b =()2a b a +⊥ cos ,a b ={}n a n S 31S ma =7m ={}n a ()21,0,2|2|,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+<⎩≥()2211cos sin cos 222222x x x x f x =-12（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若方程在上有两个不同的解，，则的值为A ．B ．C ．D ．π8．若关于x 不等式恒成立，则当时，的最小值为A ．B ．C ．eD ．1二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2 B ．√10 C ．4 D ．103．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ） A ．−94B ．94C ．﹣1D ．15．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 1510．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为1012．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝1，延长BC 到点D ，使得BC ＝CD ，以AD 为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x +1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数f(x)=1−e x1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n的最小值为 ．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 ．16．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2．（1）求S n ； （2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2．（1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值．20．（12分）在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA a+cosB b=2√3sinC 3a．（1）求角B 的大小；（2）若b =2√3，求△ABC 面积的取值范围．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m 2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m 2，浮萍覆盖面积y （单位：m 2）与2022年的月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x （k ＞0，a ＞1）与y ＝mx 2+n （m ＞0）可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m 2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m 2？（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） 22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）；（Ⅱ）设{b n}是等比数列，且对于任意的k∈N*，当2k﹣1≤n≤2k﹣1时，b k＜a n＜b k+1．（i）当k≥2时，求证：2k﹣1＜b k＜2k+1；（ii）求{b n}的通项公式及前n项和．2023-2024学年河北省邢台市部分高中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＜1}，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{﹣1，0}D ．{1，2}解：阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ，又∁R B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩∁R B ＝{1，2}． 故选：D ．2．已知（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则|Z |＝（ ） A ．2B ．√10C ．4D ．10解：（1+i ）Z ＝2﹣4i ，则Z =2−4i 1+i =(2−4i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1﹣3i ，故|Z |=√(−1)2+(−3)2=√10． 故选：B ． 3．已知a =313，b=log 213，c =log 131e ，则（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a解：因为函数y ＝3x 为单调递增函数， 所以a =313＞30=1，即a ＞1； 因为y ＝log 2x 为单调递增函数， 所以b =log 213＜log 21=0，即b ＜0；因为y =log 13x 单调递减，所以log 131＜log 131e ＜log 1313，即0＜c ＜1， 故a ＞c ＞b ． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，1)，b →=(1，−3)，(ka →−b →)⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（ ）A ．−94B ．94C ．﹣1D ．1解：a →=(2，1)，b →=(1，−3)，则ka →−b →=(2k −1，k +3)，a →+b →=(3，−2)， (ka →−b →)⊥(a →+b →)，则3（2k ﹣1）﹣2（k +3）＝0，解得k =94．故选：B ．5．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，若a ，b ∈R ，且a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则f （a ）+f （b ）的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：由m 2﹣m ﹣1＝1得m ＝2或m ＝﹣1， m ＝2时，f （x ）＝x 3在R 上是增函数，不合题意，m ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣3，在（0，+∞）上是减函数，满足题意，所以f （x ）＝x ﹣3，a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则b ＞﹣a ＞0，f （﹣a ）＞f （b ）， f （x ）＝﹣x 3是奇函数，因此f （﹣a ）＝﹣f （a ）， 所以﹣f （a ）＞f （b ），即f （a ）+f （b ）＜0． 故选：B ．6．若命题“对任意的x ∈（0，+∞），x +1x−m ＞0恒成立”为假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ＞2}C ．{m |m ≤2}D ．{m |m ＜2}解：当原命题为真时，m ＜x +1x恒成立，即y =x +1x ≥2√x ×1x =2，m ＜(x +1x)min =2， 则当命题为假命题时，m ≥2， 所以m 的取值范围为{m |m ≥2}． 故选：A ． 7．函数y =x−3sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设f(x)=y =x−3sinxe |x|，x ∈R ， 由f(−x)=−x+3sinxe |x|=−f(x)，得f （x ）为奇函数，故B ，D 错误；由f(π2)=π2−3sin π2e |π2|=π2−3e π2＜0，故A 正确，C 错误．故选：A ．8．将函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω＞0)的图像向左平移π6个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，且函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，则ω的取值是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．1解：f(x)=sin(ωx +π6)的图像向左平移π6个单位长度后，得到g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)的图象．因为g(x)=sin(ωx +π6ω+π6)关于y 轴对称，所以π6ω+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω＝2+6k ，k ∈Z ．因为ω＞0，故当x ∈[0，π6]时，ωx +π6∈[π6，ωπ6+π6]，因为函数f （x ）在[0，π6]上单调递增，所以ωπ6+π6∈(π6，π2]，解得ω∈（0，2]．故ω＝2+6k ∈（0，2]，解得k ∈(−13，0]．因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω＝2． 故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 30＞0，S 31＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．a 15＞0 B ．{Sn n}是等差数列C ．a 16＞0D ．对任意n ∈N *，都有S n ≤S 15解：设等差数列{a n } 的公差为d ， 则S n =na 1+n(n−1)d2，得S n n =a 1+(n−1)d 2， 所以S n+1n+1−S n n=a 1+nd 2−a 1−(n−1)d 2=d 2，所以{Sn n } 是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列，选项B 正确；S 31=31(a 1+a 31)2=31a 16＜0，即a 16＜0，选项C 错误；S 30=30(a 1+a 30)2=15(a 15+a 16)＞0，由于a 16＜0，所以a 15＞0，A 正确；因为a 15＞0，a 16＜0，所以当n ＝15 时，S n 取得最大值，故对任意n ∈N *，恒有S n ≤S 15，选项D 正确． 故选：ABD ．10．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增 B ．f （8）＜0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）D ．f （x ）的图象与x 轴只有3个交点解：函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， 函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，A 错误；由f （﹣7）＝0，得f （7）＝0，则f （8）＜f （7）＝0，B 正确；当x ＜0时，f （x ）＞f （﹣7），则x ＜﹣7，当x ＞0时，f （x ）＞f （7），则0＜x ＜7， 因此不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7），C 正确； 当x ＜0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（﹣7，0）， 当x ＞0时，函数f （x ）的图象交x 轴于点（7，0），而f （0）＝0，则点（0，0）是函数f （x ）的图象与x 轴的公共点， 所以f （x ）的图象与x 轴只有3个交点，D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1，若关于x 的方程f （x ）＝m 有四个不等实根x 1、x 2、x 3、x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列结论正确的是（ ） A ．1＜m ≤2B ．﹣3＜x 1＜﹣2C ．﹣1≤4x 3+x 4＜0D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为10解：作出函数f(x)={2(x+2)2，x ≤−1|log 2(x +1)|，x ＞−1的图象如下图所示：根据图象知：f（﹣1）＝2，f（﹣2）＝1，因为直线y＝m与函数f（x）的图象有四个交点，则1＜m≤2，故A正确；对于B选项，由图可知x1＜﹣2，由f(x1)=2(x1+2)2∈(1，2]，可得0＜(x1+2)2≤1，所以﹣3≤x1＜﹣2，故B错误；对于C选项，由图可知﹣1＜x3＜0＜x4，则0＜x3+1＜1＜x4+1，由f（x3）＝f（x4），得|log2（x3+1）|＝|log2（x4+1）|，即﹣log2（x3+1）＝log2（x4+1），所以x4+1=1x3+1，化简得到x4=1x3+1−1．由f（x3）＝﹣log2（x3+1）∈（1，2]，可得14≤x3+1＜12，所以4x3+x4=4x3+1x3+1−1=4(x3+1)+1x3+1−5，由双勾函数的单调性可知g(x)=4x+1x在[14，12)上单调递减，所以4(x3+1)+1x3+1−5＞4×12+2−5=−1，且4(x3+1)+1x3+1−5≤4×14+4−5=0，当x3=−34时取等号，所以﹣1＜4x3+x4≤0，故C错误；由2(x+2)2=m，可得x2+4x+4﹣log2m＝0，所以x1、x2为方程x2+4x+4﹣log2m＝0的两根，由根与系数的关系可得{x1+x2=−4x1x2=4−log2m，所以x12+x22+log m√2=(x1+x2)2−2x1x2+log m√2=16−8+2log2m+12log m2=2log2m+12log2m+8≥2√2log2m×12log2m+8=10，当且仅当2log2m=12log2m时，即当m=√2时等号成立，故D正确．故选：AD．12．如图，在△ABC中，BA＝BC＝1，延长BC到点D，使得BC＝CD，以AD为斜边向外作等腰直角三角形ADE ，则（ ）A ．AD 2＝5﹣4cos BB ．sin ∠CAD ∈(12，√32)C ．△ACD 面积的最大值为12D ．四边形ACDE 面积的最大值为5+2√54解：在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB =5−4cosB ，A 正确；∠ACB =∠CAB =π−B 2，∠ACD =π−∠ACB =π2+B 2∈(π2，π)，则∠CAD ∈(0，π2)，所以sin ∠CAD ∈（0，1），B 错误；易得S △CAD =12S △BAD 当BA ⊥CD 时，S △BAD S △ACD 取最大值12，C 正确；S 四边形ACDE ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ADE +S △ABC =AD 24+12sinB=54−cosB +12sinB =54+√12+(12)2sin(B −φ)≤54+√12+(12)2=5+2√54，其中sinφ=2√55，cosφ=√55，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知函数f(x)={(a +2)x ，x ≥2a x+1，x ＜2是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 （1，3] ．解：函数f （x ）是R 上的增函数，则f （x ）在[2，+∞）上单调递增， 故a +2＞0⇒a ＞﹣2，f （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，则a ＞1， 且在x ＝2处，有a 2+1≤2（a +2）⇒﹣1≤a ≤3， 所以a 的取值范围是（1，3]． 故答案为：（1，3]．14．已知函数f(x)=1−e x 1+e x ，若m ＞0，n ＞0，且f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0），则1m +2n 的最小值为 8 ．解：因为f(x)=1−e x1+e x的定义域为R ，关于（0，0）对称，且f(−x)=1−e −x1+e −x =e x −1e x1+e xe x =e x −11+e x=−f(x)，即函数f （x ）为奇函数， 又因为f(0)=1−e 01+e 0=0，所以f （2m ）+f （n ﹣1）＝f （0）＝0， 即2m +（n ﹣1）＝0，所以2m +n ＝1，则1m +2n =(1m +2n )(2m +n)=n m +4m n +4≥2√n m ⋅4m n +4=8， 当且仅当{n m =4m n 2m +n =1时，即{m =14n =12，取等号． 所以1m +2n的最小值为8． 故答案为：8．15．已知x ，y ，z ∈R ，且x ﹣2y +2z ＝5，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2的最小值是 36 ．解：由于[（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2][（12+（﹣2）2+22）]≥[（x +5）+（﹣2）（y ﹣1）+2（z +3）]2 ＝324，则（x +5）2+（y ﹣1）2+（z +3）2≥36（当且仅当x+51=y−1−2=z+32，即{x =−3y =−3z =1时取等号． 故答案为：3616．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，f （x ）为奇函数，g （x +1）为偶函数，f （﹣1）＝2，g （x +2）﹣f （x ）＝1，则∑g(i)2023i=1= 2023 ．解：因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），因为g （x +1）为偶函数，所以g （﹣x +1）＝g （x +1），所以g （x +2）＝g （﹣x ），g （﹣x +2）＝g （x ），又因为g （x +2）﹣f （x ）＝1，所以g （x +2）＝f （x ）+1，①所以g （﹣x +2）＝f （﹣x ）+1，所以g （x ）＝﹣f （x ）+1，②①+②得g （x +2）+g （x ）＝2，所以g （x +4）+g （x +2）＝2，所以g （x +4）＝g （x ），又因为g （1）+g （3）＝g （2）+g （4）＝2，g （2）＝f （0）+1＝0+1＝1，所以∑g(i)2023i=1=505×[g （1）+g （2）+g （3）+g （4）]+g （1）+g （2）+g （3），＝505×4+2+1＝2023．故答案为：2023．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ={5，n =12n +2，n ≥2． （1）求S n ；（2）若b n =1S n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）当n ≥2时，S n =5+(n−1)(6+2n+2)2=5+(n −1)(n +4)=n 2+3n +1． 当n ＝1时，S 1＝a 1＝5，也适合上式．故S n =n 2+3n +1．（2）由（1）可得b n =1n 2+3n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n 2n+4． 18．（12分）已知函数y ＝f （x ）的图象与g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象关于x 轴对称，且g （x ）的图象过点（4，2）．（1）若f （3x ﹣1）＞f （﹣x +5）成立，求x 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[1，4]，不等式f （2x ）g (x 4)−m ＜0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：∵g （4）＝log a 4＝2，∴a 2＝4，解得a ＝2，∴g （x ）＝log 2x ，由已知得f （x ）＝lo g 12x ，即f （x ）＝﹣log 2x ．（1）∵f （x ）＝lo g 12x 在（0，+∞）上单调递减，∴{3x −1＞0，−x +5＞0，3x −1＜−x +5，解得13＜x ＜32， ∴x 的取值范围为(13，32)． （2）∵f （2x ）g (x 4)−m ＜0， ∴m ＞f （2x ）g (x 4)对于任意x ∈[1，4]恒成立等价于m ＞(f(2x)g(x 4))max ． ∵y ＝f （2x ）g (x 4)=−log 22x log 2x 4=−（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）＝﹣（log 2x ）2+log 2x +2， 令u ＝log 2x ，1≤x ≤4，则u ∈[0，2]，∴y ＝﹣u 2+u +2=−(u −12)2+94， 当u =12，即log 2x =12，即x =√2时，y max =94， ∴实数m 的取值范围是m ＞94． 即m ∈（94，+∞）． 19．（12分）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)，函数f(x)=a →⋅b →+1（其中0＜ω＜1），函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2． （1）求ω的值；（2）若0＜α＜π3且f(32α)=43，求f(32α+3π8)的值． 解：（1）已知向量a →=(√3，−sin ωx 2)，b →=(sinωx ，2sin ωx 2)， 则f(x)=a →⋅b →+1=√3sinωx −2sin 2ωx 2+1=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)， ∵函数f （x ）的图象的一条对称轴是直线x =π2， ∴π2ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ， 得ω=23+2k ，k ∈Z ， ∵0＜ω＜1，∴ω=23； （2）由（1）可得f(x)=2sin(23x +π6)， 由f(32α)=43得2sin(α+π6)=43， 即sin(α+π6)=23， 结合0＜α＜π3， 则π6＜α+π6＜π2， 得cos(α+π6)=√1−sin 2(α+π6)=√53， ∴f(32α+3π8)=2sin[(α+π6)+π4]=2sin(α+π6)cos π4+2cos(α+π6)sin π4=2×23×√22+2×√53×√22=2√2+√103．20．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=2√3sinC3a．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，求△ABC面积的取值范围．解：（1）由已知条件得bcosA+acosB=2√33bsinC，由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=2√33sinBsinC，即sin(A+B)=2√33sinBsinC，因为在△ABC中，sin（A+B）＝sin C≠0，所以sinB=√32，又B是锐角，所以B=π3．（2）由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=√3√32=4，则a＝4sin A，c＝4sin C，所以S△ABC=√34ac=4√3sinAsinC=4√3sin(π3+C)sinC=4√3(√32cosC+12sinC)sinC=6sinCcosC+2√3sin2C=2√3sin(2C−π6)+√3，由0＜C＜π2，0＜2π3−C＜π2，得π6＜C＜π2，所以π6＜2C−π6＜5π6，所以sin(2C−π6)∈(12，1]，所以2√3sin(2C−π6)+√3∈(2√3，3√3]，所以△ABC面积的取值范围为(2√3，3√3]．21．（12分）为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为360m2，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为480m2，浮萍覆盖面积y（单位：m2）与2022年的月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x （k＞0，a＞1）与y＝mx2+n（m＞0）可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为200m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过8100m2？（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）解：（1）若选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1），则{ka 2=360ka 3=480，解得a =43，k =4052， 故函数模型为y =4052(43)x ， 若选择模型y ＝mx 2+n （m ＞0），则{4m +n =3609m +n =480， 解得m ＝24，k ＝264，故函数模型为y ＝24x 2+264．（2）把x ＝0代入y =4052(43)x 可得，y =4052=202.5， 把x ＝0代入y ＝24x 2+264可得，y ＝264，∵202.5﹣200＜264﹣200，∴选择函数模型y =4052(43)x 更合适， 令y =4052(43)x ＞8100，可得(43)x ＞40，两边取对数可得，xlg(43)＞lg40， ∴x ＞lg4+lg10lg4−lg3=2lg2+12lg2−lg3≈2×0.3+12×0.3−0.48≈13.3， 故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m 2．22．（12分）已知{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式及∑ 2n−1i=2n−1a i （n ∈N *）； （Ⅱ）设{b n }是等比数列，且对于任意的k ∈N *，当2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1时，b k ＜a n ＜b k +1． （i ）当k ≥2时，求证：2k ﹣1＜b k ＜2k +1；（ii ）求{b n }的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列，a 2+a 5＝16，a 5﹣a 3＝4．∴{a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =16a 1+4d −a 1−2d =2d =4，得d ＝2，a 1＝3， 则{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1（n ∈N •），∑ 2n −1i=2n−1a i 中的首项为a i =2×2n−1+1=2n +1，项数为2n ﹣1﹣2n ﹣1+1＝2n ﹣2n ﹣1＝2×2n ﹣1﹣2n ﹣1＝2n ﹣1，则∑ 2n −1i=2n−1a i =2n ﹣1（2n +1）+2n−1(2n−1−1)2×2＝2n ﹣1（2n +1）+2n ﹣1（2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +1+2n ﹣1﹣1）＝2n ﹣1（2n +2n ﹣1）＝2n ﹣1×3×2n ﹣1＝3×4n ﹣1． （Ⅱ）（i ）∵2k ﹣1≤n ≤2k ﹣1，∴2k ≤2n ≤2k +1﹣2，1+2k ≤2n +1≤2k +1﹣1， 即1+2k ≤a n ≤2k +1﹣1，当k ≥2时，∵b k ＜a n ＜b k +1．∴b k＜1+2k，且b k+1＞2k+1﹣1，即b k＞2k﹣1，综上2k﹣1＜b k＜1+2k，故成立；（ii）∵2k﹣1＜b k＜2k+1成立，∵{b n}为等比数列，∴设公比为q，当k≥2时，2k+1﹣1＜b k+1＜2k+1+1，12k+1＜1b k＜12k−1，则2k+1−12k+1＜b k+1b k＜2k+1+12k−1，即2(2k+1)−32k+1＜b k+1b k＜2(2k−1)+32k−1，即2−32k+1＜q＜2+32k−1，当k→+∞，2−32k+1→2，2+32k−1→2，∴q＝2，∵k≥2时，2k﹣1＜b k＜2k+1，∴2k﹣1＜b12k﹣1＜2k+1，即2k−12k−1＜b1＜2k+12k−1，即2−12k−1＜b1＜2+12k−1，当k→+∞，2−12k−1→2，2+12k−1→2，则b1＝2，则b n＝2×2n﹣1＝2n，即{b n}的通项公式为b n＝2n，则{b n}的其前n项和T n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．。
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．23．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 35．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（ ） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ） A ．−725B ．−1625C ．725D ．16258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为CC 1，A 1D 1的中点，则（ ） A ．BM ∥AD 1 B ．AM ⊥BDC ．B 1M ⊥平面ABND ．MN ∥平面A 1BD10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜312．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）；②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为 ；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长． 19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．21．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnx．x（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}． 故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ， 因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数， 所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝1，则f(x)=2x−12x +1，f(−x)=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）是奇函数； 若函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数，可得f(−x)=12x −a 12x +a =1−a⋅2x 1+a⋅2x =−f(x)=−2x −a 2x +a =a−2x2x +a， 解得a ＝±1，∴a ＝1是函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．故选：A ．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x ，2x ， 因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°， 所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x ＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x ＝15，下底面半径为2x ＝10，高为5√3． 由此可得圆台的体积为V =13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm 3）． 故选：A ．5．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 解：对于甲，该f （x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T 2=πω=π2，则f （x ）的周期T ＝π；对于乙，将函数y =cos2x −√3sin2x =2cos(2x +π3)的图象向右平移 π4个单位长度，得到y =2cos[2(x −π4)+π3]=2sin(2x +π3) 的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2．故选：B．7．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A．−725B．−1625C．725D．1625解：∵sin(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin（2α+π3+π2）＝cos（2α+π3）=1−2sin2(α+π6)=1−2×(35)2=725．故选：C．8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，则函数f（x）的极小值是（）A．−14B．0C．−427D．−49解：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，所以f（m）＝f（m+1）＝0，且x＝m为f（x）＝0的二重根，所以f（x）＝（x﹣m）2[x﹣（m+1）]，则f′（x）＝2（x﹣m）[x﹣（m+1）]+（x﹣m）2＝（x﹣m）（3x﹣3m﹣2），则当x＞3m+23或x＜m时f′（x）＞0，当m＜x＜3m+23时f′（x）＜0，所以f（x）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m）上单调递增，在(m，3m+23)上单调递减，所以f（x）在x=3m+23处取得极小值，即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m+1)]=−427．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，A1D1的中点，则（）A．BM∥AD1B．AM⊥BDC．B1M⊥平面ABN D．MN∥平面A1BD解：对于选项A：连接BC1，则BC1∥AD1，又BC1∩BM＝B，所以BM∥AD1不正确，故选项A不正确；对于选项B：在正方体中，BD⊥AA1，BD⊥AC且AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又AM⊂平面AA1C1C，所以AM⊥BD，故选项B正确；对于选项C：在正方体中，AB⊥平面B1BCC1，又B1M⊂平面B1BCC1，所以AB⊥B1M，取B1C1的中点Q，连接BQ，在正方形BCC1B1中（如图），△BB1Q≅△B1C1M，∠BQB1＝∠B1MC1，又∠B1MC1+∠MB1C1＝90°，所以∠B1QB+∠MB1C1＝90°，所以B1M⊥BQ，又在正方体中，AN∥BQ，所以B1M⊥AN，又AN∩AB＝A，所以B1M⊥平面ABN，故选项C正确；对于选项D：取A1D的中点E，连接EN，EC，则EN∥AA1，且EN=1AA1，2所以EN∥MC，且EN＝MC，故四边形NECM为平行四边形，则MN∥EC，又EC与平面A1BD相交于点E，所以MN不可能与平面A1BD平行，故选项D不正确．故选：BC ．10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A ．当c ＝0时，a |c |＞b |c |不成立，故选项A 不正确． 选项B ．由b+c 2a+c 2−b a=(b+c 2)a−b(a+c 2)a(a+c 2)=c 2(a−b)a(a+c 2)＞0，所以ba≤b+c 2a+c 2，故选项B 正确．选项C ．由 a 2−b 2−(1a−1b)=(a −b)(a +b)−b−a ab =(a −b)(a +b +1ab)＞0， 所以a 2−b 2＞1a−1b，故选项C 不正确．选项D ．由[√2(a 2+b 2)]2−(a +b)2=a 2+b 2−2ab =(a −b)2＞0，所以a +b ＜√2(a 2+b 2)，故选项D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3解：依题意，a 4＝4，a n a n+1=2n，a n =2na n+1，a n+1=2na n，所以a 3=23a 4=84=2，a 2=22a 3=42=2，a 1=21a 2=22=1，A 选现正确．所以a 3＝a 2，所以B 选项错误． 由a n a n+1=2n 得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n }的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a 1+a 2+⋯+a 2023＝（a 1+a 3+⋯+a 2023）+（a 2+a 4+⋯+a 2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C 选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列． 当n 为偶数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1a 3+⋯+1a n−1)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n)，=1(1−12n 2)1−12+12(1−12n 2)1−12=3−32n 2＜3；当n 为奇数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n =(1a 1+1a 3+⋯+1a n)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3， 综上所述，1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3，所以D 选项正确．故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 解：f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），f ′（x ）＝2a 2x lna ﹣1，对于A ：因为a 2x ＞0恒成立，所以当a ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减， 所以此时不存在极值点，A 错误；对于B ：当a ＝e 时，f （x ）＝e 2x ﹣x ，令g （x ）＝f （x ）﹣（lnx +2）＝e 2x ﹣x ﹣lnx ﹣2， 下面先证明：e x ≥x +1和lnx ≤x ﹣1，令f 1(x)=e x −x −1，则f 1′(x)=e x −1＞0⇒x ＞0，所以f 1（x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f 1（x ）≥f 1（0）＝0，所以e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，取到等号； 令f 2（x ）＝lnx ﹣x +1，则f 2′(x)=1x −1＞0⇒0＜x ＜1， 所以f 2（x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f 2（x ）≤f 2（1）＝0，所以lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时，取到等号， 由上结论可得：e 2x ≥2x +1，﹣lnx ≥﹣x +1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e 2x ﹣lnx ＞x +2， 即e 2x ﹣lnx ﹣x ﹣2＞0恒成立，即g （x ）＞0恒成立， 所以y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方，B 正确；对于C ：函数f （x ）有2个零点等价于方程a 2x ﹣x ＝0有两个根， 即a 2x =x ⇒lna 2x =lnx ⇒2xlna =lnx ⇒2lna =lnxx有两个根， 令ℎ(x)=lnxx ，则ℎ′(x)=1−lnxx 2＜0⇒x ＞e ， 所以h （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1e ，当x →0时，h （x ）→﹣∞，当x →+∞时，h （x ）→0， 所以要使得2lna =lnx x 有两个根，则2lna ∈(0，1e)， 所以0＜lna ＜12e⇒1＜a ＜e 12e ，所以C 正确；对于D ：设切点坐标为(x 0，a 2x 0−x 0)，则k =f ′(x 0)=2a 2x 0lna −1，又因为切线经过点P （0，t ），所以k =a 2x 0−x 0−tx 0， 所以2a2x 0lna −1=a 2x 0−x 0−tx 0，解得t =a 2x 0−a 2x 0lna 2x 0，令m =a 2x 0，则m ∈（0，+∞），所以t ＝m ﹣mlnm ， 因为过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切， 所以方程t ＝m ﹣mlnm 有两个不同的解，令φ（m ）＝m ﹣mlnm ，则φ′（m ）＝﹣lnm ＞0⇒0＜m ＜1， 所以φ（m ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m ）max ＝φ（1）＝1，当m →0时，φ（m ）→0，当m →+∞时，φ（m ）→﹣∞， 所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52． 解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)， 所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ a x （0＜a ＜1）（答案不唯一） ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）； ②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由性质②，f（x）是R上的减函数，且满足性质①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），可以是指数函数，所以函数f（x）＝a x（0＜a＜1）符合题意．故答案为：a x（0＜a＜1）（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.08t．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待5分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln11≈2.4）解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e−0.08t=2 3，所以−0.08t=ln 23，解得t=−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A ′E =AE =√62，FC =FE +EC =x +√22，A ′C =√3， 在Rt △A ′FE 中，有A ′F 2+FE 2＝A ′E 2，即x 2+(2ℎ)2=32， 在Rt △A ′FC 中，有A ′F 2+FC 2＝A ′C 2，即(x +√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x =√22，ℎ=12， 所以R =√ℎ2+12=√14+12=√32， 从而四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为S =4πR 2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E 用现在的点F 来代替，而现在的点E 为线段BD 的靠近点B 的三等分点， 此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小， 设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2， 所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ， 由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23． 故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．解：（1）f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x =cos2x sin2x +12cos4x=12（sin4x +cos4x ）=√22sin （4x +π4）， 当4x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π16+kπ2，k ∈Z 时，函数取得最大值√22，此时{x |x =π16+kπ2，k ∈Z }； （2）因为g （x ）＝f （ωx ）=√22sin （4ωx +π4），ω＞0，若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，则极值点只能为极大值， 根据五点作图法，令4ωx +π4=π2，则x =π16ω， 令4ωx +π4=3π2，则x =5π16ω，所以{π16ω＜π25π16ω≥π2ω＞0解得18＜ω≤58，故ω的范围为（18，58]．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB ． （1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．解：（1）因为tan A +tan B =−√3cacosB ，所以sinA cosA +sinBcosB =−√3c acosB，由正弦定理得，sinAcosA +sinBcosB =−√3sinCsinAcosB ，因为sinAcosA+sinB cosB=sinAcosB+cosAsinB cosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinC cosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0， 又cos B ≠0，所以tan A =−√3， 因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72， 因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6，在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7， 在△ACD 中，由正弦定理知，ADsinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD=AD×1272=AD7， 在△ABC 中，由正弦定理知，bsinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3，所以b2AD 7=cAD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3， 在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49， 所以（√3）2+（√3）23×3=49，解得AD =√212．19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n=1n−1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1． （2）b n =(−1)n−14na n a n+1=(−1)n−14n(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1， 当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．解：（1）已知f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x，此时f′（1）＝a﹣1，又f（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（a﹣1）（x﹣1），即（a﹣1）x﹣y﹣a+1＝0；（2）证明：当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=1−1x=x−1x，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0，故f（x）≥0；（3）由（2）知lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，等号成立，令x=2n−13n+1，此时ln(1+2n−13n)＜2n−13n，可得ln(1+13)+ln(1+232)+ln(1+2233)+⋯+ln(1+2n−13n)＜13+232+⋯+2n−13n=13(1−2n3n)1−23=1−2n3n＜1，即ln[(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)]＜1，所以(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜e，当n≥4时，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)≥(1+13)(1+232)(1+2233)(1+2334)=12139659049＞2，所以对于任意n∈N*，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜m成立时，整数m的最小值为3．21．（12分）如图，AB是半球O的直径，AB＝4，M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON＝60°．（1）证明：PB⊥平面P AM；（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面P AB所成角的正弦值．证明：（1）连接OM ，MN ，BM ，因为M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点， 所以有∠MON ＝∠NOB ＝60°，又因为OM ＝ON ＝OB ＝2，所以△MON ，△NOB 都为正三角形，所以MN ＝NB ＝BO ＝OM ，即四边形OMNB 是菱形， 记ON 与BM 的交点为Q ，Q 为ON 和BM 的中点， 因为∠PON ＝60°，OP ＝ON ， 所以三角形OPN 为正三角形， 所以PQ =√3=12BM ，所以PB ⊥PM ，因为P 是半球面上一点，AB 是半球O 的直径，所以PB ⊥P A ， 因为PM ∩P A ＝P ，PM ，P A ⊂平面P AM ， 所以PB ⊥平面P AM ；解：（2）因为点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，由（1）知Q 为ON 的中点，△OPN 为正三角形，所以PQ ⊥ON ， 所以PQ ⊥底面ABM ，因为四边形OMNB 是菱形，所以MB ⊥ON ， 即MB 、ON 、PQ 两两互相垂直，以点Q 为坐标原点，QM ，QN ，QP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)， 所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)，设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0， 令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ， 所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=3+36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2． 解：（1）由f(x)=1+lnx x 得，f ′(x)=−lnxx2， 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0． 故f （x ）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）． （2）将ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b 变形为a+1e a=b+1e b ．令e a ＝m ，e b ＝n ，则上式变为1+lnm m=1+lnnn，即有f （m ）＝f （n ），于是命题转换为证明：m +n ＞2．不妨设m ＜n ，由（1）知0＜m ＜1，n ＞1． 要证m +n ＞2，即证n ＞2﹣m ＞1，由于f （x ）在（1，+∞）上单调递减，故即证f （n ）＜f （2﹣m ）， 由于f （m ）＝f （n ），故即证f （m ）＜f （2﹣m ）， 即证f （m ）﹣f （2﹣m ）＜0在0＜m ＜1上恒成立． 令g （x ）＝f （x ）﹣f （2﹣x ），x ∈（0，1），则g ′(x)=f ′(x)+f ′(2−x)=−lnx x 2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2， =−(4−4x+x 2)lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x 2ln[(2−x)x]x 2(2−x)2≥0，所以g （x ）在区间（0，1）内单调递增， 所以g （x ）＜g （1）＝0，即m +n ＞2成立． 所以e a +e b ＞2．。
2023-2024学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省潍坊市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 ．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元． （1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围； （3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1． 故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去， 当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意， 当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1． 故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66， 故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8． 故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0， 当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1； 当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意； 若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意； 当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3． 故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确； 三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ， 解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确． 故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根， 所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8， 由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0． 对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 （1，﹣2） ．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ． 解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32， 且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10， 所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32； （2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3， 因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]， 所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]， 所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]． 即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35， 由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号， 此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132． （1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ， 因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9， 当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立， 所以m ＝1． （3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2， 当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6； 当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ， 所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。
山东省青岛2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024-2025学年度第一学期期中考试解析-高三上数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，i 为虚数单位，为z 的共轭复数，则（ ）A.B. 4C.D.2. 已知集合，，则（ ）A. B.C. D. 3. （ ）A.B.D.24.已知向量，，其中，若，则（ ）A. 40B. 48C.D. 625. 已知的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，则的最大值为（ ）A.B.C.D.6. 若定义在上的偶函数在上单调递增，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.7. 已知a ，且，，，则（ ）A.B. C.D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.44i z =+z z i -=5(){}2024log 20250M x y x ==-<{}2026x N y y ==M N = (2024,2025)(,2025)-∞(0,)+∞(2025,)+∞4log 50.5=1215-()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ 0λ≥a b ∥ ()b a b ⋅-=34-ABC △B 6π3π2π23πR ()f x [)0,+∞1πf ⎛⎫- ⎪⎝⎭31f ⎛⎫- ⎪⎝⎭127f -⎛⎫⎪⎝⎭12117π3f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->-> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121173πf f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b ∈R 0b ≠1a b ≠-1sin 21a b a bα-=+ab =1cos 1cos αα-+πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭1sin 1sin αα-+2πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x >ln e ln x x ex x a -≥(],0-∞(20,e ⎤⎦(],1-∞[)e,+∞9. 已知且，则（ ）A. B. C.2D.10. 已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（ ）A. B.是偶函数C. D.若，则11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 的定义域为B. 有解C. 不存在极值点D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线在点处的切线方程为______.13. 数列共有5项，前三项成等比数列，公比为q . 后三项成等差数列，公差为d ，且若第5项为1，第2项与第4项的和为18，第1项与第3项的和为35，则____________.14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O ，称为密克点.在梯形ABCD 中，，，M 为CD 的中点，动点P 在BC 边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q （异于点P ），则BQ 的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知单位向量，满足．（1）求；（2）求在上的投影向量（用表示）．16.（15分）0xy >21x y +=0y <102x <<42xy+≥22log log 0x y +<()f x 14,16⎛⎫⎪⎝⎭()00f =()f x ()12f '-=()()321f x f x ->+233,,4322x ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()(1)log x f x x +=()f x ()0,+∞()2f x =()f x ()()()11f x f x x <+>21e x y x x -=-()1,0{}n a dq +=111A B C △1M 1N 1P 11A B 11B C 11C A 111A M P △111B M N △111C N P △60B C ∠=∠=︒22AB AD ==ABP △CMP △1e 2e121()23e e e ⋅+= 1232e e -125e e - 1e1e定义三阶行列式运算：，其中（i ，）.关于x 的不等式的解集为M .（1）求M ；（2）已知函数在实数集单调递增，求a 的取值范围.17．（15分）函数（，，）的部分图象如图，和均在函数的图象上，且Q 是图象上的最低点．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求的值．18. （15分）已知数列是首项为2，公比为4的等比数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n 项和.19.（17分）已知函数（1）求的值；111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---ij a ∈R {}1,2,3j ∈10100001x x x->()()241,,e 22,x x a x x Mf x a x M⎧-+∈=⎨--∈⎩R ðR ()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<()1,0P ()4,2Q -()f x ()f x ()056f x =058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos x π{}2na {}nb 321212222n n b b b b n -++++= {}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S ()3f x x x =-()0f（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.高三期中考试题 数学参考答案1. D 【解析】由，可得.故选D.2. C 【解析】由可得，则；，故，则.故选C.3. C 【解析】由题意得.故选C 项.4. D 【解析】因为，，且，故，解得或（舍去），经检验当时，，故.故选D.5. B 【解析】由题意可得，由余弦定理可得，，，.故选B.6. .B 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，，又()()()ln 0g x a x x f f x =-+-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -44i z =+45i z i -==-=()2024log 20250x -<020241x <-<()2024,2025M =20260x y =>()0,N =+∞()2024,2025M N = 444222log 5111log loglog log 5log 552510.522222-⎛⎫======⎪⎝⎭()1,54a λ=+ ()2,8b λ=+ a b ∥ ()()54218λλ++=⨯0λ=145-0λ=a b ∥ ()()()2,81,4124834b a b ⋅-=⋅--=-⨯-⨯=-2b ac =2222221cos 2222a cb ac b ac ac B ac ac ac +---=≥==0B π<< 03B π∴<≤()f x R 3113f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭127-=，在上单调递增，所以.故选B 项.7. D 【解析】由题意可得，解得.故选D.8. A 【解析】由对恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即.令，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选A.9. BCD 【解析】由且，得，解得，同理得，故A 项错误，B 项正确；对于C 项，，当且仅当时，取等，故C项正确；对于D项，，故D 项正确.故选BCD 113π>>()f x [)0,+∞1211π73f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 21a b a bα-=+22221sin 2sin cos 2sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos a b αααααααααα+++==-+-()()()()22222sin cos 1tan πtan 4sin cos 1tan ααααααα++⎛⎫==+ ⎝--=⎪⎭ln e ln x x x x a -≥0x >()ln f x x x =()ln 1f x x ='+()0f x '=1ex =10e x <<()0f x '<1e x >()0f x '>()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()11e ef x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭1ln ex x ≥-ln tx x =()1e et g t et t ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭()e t g t e '=-11e t -≤<()0g t '<1t >()0g t '>()g t 1,1e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭()1,+∞()()min 01g t g ==0a ≤0xy >210x y +=>(12)0x x ->102x <<01y <<422x y +==>…14x =12y =()22222222121log log log log log log 302822x y x y x y xy ⎡⎤⋅+⎛⎫+====-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…项.10. BCD 【解析】设幂函数，由，得，所以，所以无意义，故A 项错误；，所以是偶函数，故B 项正确；由，得，故C 项正确；因为是偶函数，且在上单调递减，所以由，得，即且解得且，故D 项正确.故选BCD 项.11. ACD 【解析】对于A 选项，由函数的定义知的定义域为，故A 正确.对于B 选项，令，则，即，判别式，无实数解，故B 错误.对于C 选项，，可知，设函数，可知，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，且在上，则的图象为的图象向左平移一个单位长度，易得两者无交点，则无零点，即不存在极值点，故C 正确.对于D 选项，方法一：由的单调性可知，D 正确.方法二：作差有，且，故，D 正确.故选ACD.12. 【解析】，故时，，故曲线在点处()a f x x =()14416af ==2α=-()2f x x -==()0f ()()f x f x -=()f x ()32f x x -=-'()12f '-=()f x ()0,+∞()()321f x f x ->+321x x -<+22(32)(1)x x -<+320,10,x x -≠⎧⎨+≠⎩243x <<32x ≠()f x ()0,+∞(1)log 2x x +=2(1)x x +=2403x x +=+70∆=-<()(1)ln log ln(1)x x xf x x +==+()2211ln(1)ln (1)ln(1)ln 1ln 1)(1)ln )((1x xx x x x x x f x x x x x +-++-+==+++'()ln g x x x =()ln 1g x x ='+()0g x '=1e x =()g x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1()0g x <()()1ln 1y x x =++()g x ()f x '()f x ()f x ()()()(1)21lo (1)g log x x x f x x f x ++-+=+-()()()2ln ln 2ln 1ln(2)ln 1x x x x x ⋅+-++⋅+=()()()()222ln ln 22ln 1ln ln 2ln 122x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⋅+<<=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()11f x f x x <+>22y x =-()212e 1x y x x -'+-=1x =2y '=21e x y x x -=-()1,0的切线方程为.13. 5【解析】由题意得该数列的项可设为，，，，1，又即从而，即，即，解得所以.14.【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，则为正三角形.由题设结论，，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在的外接圆上.由题意得，，则是直角三角形，故其外接圆半径.在中，由余弦定理可知，，当Q 在线段BD 上，且时，BQ 取得最小值.15. 解：（1）．……6分（2）在上的投影向量为．……13分16．（15分）解：（1），（3分）所以，所以原不等式的解集.（6分）（2）由（1）知，所以（7分）22y x =-()212d q +()12d q +12d +1d +()()211218,121235,d d q d d q ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩()()221217,2234,q d q q d q ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩()()()()2212341722q q q q +-=-+232334682343422q q q q q q -+-=+--235700q q -=2,3,q d =⎧⎨=⎩5q d +=1-EBC △ABP △CMP △AME △AME △120BAD ∠=︒90BAM ∠=︒AME △1R AD ==ABD △BD ==1QD =11232e e -==125e e -1e ()121111352e e e e e e -⋅⋅=-()()1010110001x x x x x xx x x=-=->-1x >{|1}M x x =>{|1}M x x =>()()241,1e 22,1xx a x x f x a x ⎧-+>=⎨--⎩…在实数集上单调递增，，又因为当时，是单调增函数，所以当时，，解得（10分）综上，a 的取值范围是.17. 解：（1）由题得，，故，．由，得，，故，，，故，故．，即单调递增区间为，．……9分（2）由，即，又，则，故，．……15分18.解：（1）由题意得，（2分）所以.（3分）由，得当时，，（5分）所以，即.（6分）又当时，也符合，()f x R 4112a +∴≤14a ∴≤1x ≤()f x 1x =224e a a --≤-12ea ≤-,1(]2e -∞-2A =334T =4T =π2ω=2113f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π113π2π232k ϕ⨯+=+k Z ∈π2π3k ϕ=-+k Z ∈π2ϕ<π3ϕ=-()ππ2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππππ152π2π44223233k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x 154,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k Z ∈()056f x =0ππsin 2335x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭058,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0πππ,π232x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭04ππcos 235x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0000ππππππ1ππcos cos cos sin 223323223x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()22000ππcos cos(2c )2)1os (2(122x x x π=-∴=⨯=⨯-=1212422na n n --=⨯=21n a n =-32122222n b b b b n ++++= 2n …()31212222122n n b b b b n --++++=- 122nn b -=2n n b =1n =12b =所以.（7分）（2）设，则，（8分）（9分）两式作差得，（10分）即，（12分）所以.19.（17分）已知函数（1）求的值；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以.（5分）（2）由（1）可得，（6分）2nn b =()1212nn n n a c n b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()21221111()32221nn n S c c c n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()231111132112222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231111112211222222221nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1121722222212111272111n n n n n S n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+--=- ⎪⎝⎭-2277n nn S +=-()3f x x x =-+()0f ()()()ln 0g x a x x f f x =-++-(]1,3a ∈-()g x []1,e Mm -()3f x x x =-+()()332223031()2e f f x x e x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-()206f e =()32ln 6g x x a x e =-++，（7分）①当时，，， 在区间上单调递减， （8分）所以的最小值.（9分）的最大值，（10分），（11分）这时的取值范围为.（12分）②当时，，，在区间上，， 在区间上单调递减，（13分）所以的最小值.（14分）的最大值，（15分），这时的取值范围为.（16分）综上所述，当时，取值范围为；当时，取值范围为.（17分）变式：已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，记在区间上的最大值为M ，最小值为m ，求的取值范围.()32333x a x a g x x x '⎛⎫- ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭10a -<≤03a ->()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161(1,]M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈-Mm -33(1,]e e -03a <≤013a<≤01<≤[1,]e ()0g x '≤()g x [1,]e ()g x ()326m g e a e e ==-++()g x ()2161M g e ==-()232333(1)6161[4,1)M m g g e e a e e a e e e -=-=-+--=--∈--Mm -33[4,1)e e --10a -<≤M m -33(1,]e e -03a <≤Mm -33[4,1)e e --()3f x x x =-+()y f x =0x =()()()20g x ax x f f x =+--10a -<<()g x []1,0-M m -解：（1）由，（2分）所以，所以，（4分）所以，所以.（5分）所以在处的切线方程为（6分）化为.（7分）（2）由（1）可得，（8分）所以，，两零点为 （9分）-+单调递减单调递增（11分）因为，（12分）所以时，，（13分）()3f x x x =-+()()3223031(1)2f f x x x -'-'=-+()()30012f f =-+''()02f '=()3f x x x =-+()06f =()y f x =0x =()620y x -=-260x y -+=()()()()22332006g x ax x f f x ax x f x x x ax =-++-⎛=-+--+ ⎝=-++()22323()3a g x x ax x x =-+=--'10a -<<1222,0,033a x x ⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭x 21,3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x '()g x ()60g =()()7106g a g =+>=-[]1,0x ∈-()()max 17M g x g a==-=+（14分）所以设，（15分）（16分）所以在上单调递增，因为，所以的取值范围为.（17分）()n 33mi 3238462742769a m g x g a a a ⎛⎫== ⎪⎝=-++=+⎭()33472741276h a M m a a a a -=-==+--++10a -<<()22449433'1()()()0994922h a a a a a =-+=--=-+->()h a 10a -<<()4127h -=()01h =M m -4,127⎛⎫⎪⎝⎭。
山东省临沂市2024-2025学年高三上学期期中教学质量检测数学试题
临沂市高三教学质量检测考试数学2024.11本试卷共4页，19题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）A .B .C .D .2.已知非零实数a ，b 满足，则（ ）A .B .C .D .3.在平行四边形ABCD 中，点E 为线段CD 的中点，记，，则（ ）A .B .C .D .4.已知函数，则不等式的解集是（ ）A .B .C .D .5.已知，，则（ ）ABCD .16.“”是“不等式在上恒成立”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.已知函数（）与函数的图象在区间内交点的坐标分别为{}26A x x x =-<{}3,2,1,1,2,3B =---A B = {}2,1,1,2,3--{}2,1,1,2--{}1,1,2,3-{}1,1,2-a b >11a b<22a b>33a b>22ac bc>AB m = AD n =AE = 12m n - 12m n- 12m n + 12m n+ ()341xf x x =--()0f x >()0,2()(),02,-∞+∞ ()1,0-()(),10,-∞-+∞ ()1sin 3αβ-=tan 2tan αβ=()sin αβ+=3a <220x ax -+≥()0,+∞sin 1y x ω=+0ω>1221x x y +=+()2π,2π-，，…，，则的值可能是（ ）A .2B .4C .5D .88已知数列的前n 项和为，，，，（），则（ ）A .341B .340C .61D .60二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025北京海淀高三(上)期中数学试卷及答案
2024北京海淀高三（上）期中数 学2024.11本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则A B =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三上学期期中数学试卷
一、选择题
1. “x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
2. 已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y= ，x＞2}，则∁UP=（）
A . [ ，+∞）
B . （0，）
C . （0，+∞）
D . （﹣∞，0）∪（，+∞）
3. 在等差数列{an}中，an＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5+a6的值（）
A . 3
B . 6
C . 9
D . 12
4. 若直线y=kx与圆（x﹣1）2+y2=1的两个交点关于直线x﹣y+b=0对称，则k，b的值分别为（）
A . k=﹣1，b=1
B . k=﹣1，b=﹣1
C . k=1，b=1
D . k=1，b=﹣1
5. 已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）
A . 最小正周期为π的奇函数
B . 最小正周期为的奇函数
C . 最小正周期为π的偶函数
D . 最小正周期为的偶函数
6. 若关于x的方程x|x﹣a|=a有三个不相同的实根，则实数a的取值范围为（）
A . （0，4）
B . （﹣4，0）
C . （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
D . （﹣4，0）∪（0，4）
7. 设函数f（x）= （a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t）（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为（）
A . ﹣2
B . ﹣4
C . ﹣8
D . 不能确定
8. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0），A1，A2是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点p1（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）
A . （，+∞）
B . （，+∞）
C . （1，）
D . （，）
二、填空题
9. 已知sinα= ，α∈（0，），则cos（π﹣α）=________，cos2α=________．
10. 若（2x2+1）5=a0+a1x2+a2x4+…+a5x10，则a3的值为________．
11. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是________．
12. 已知函数f（x）= ，则f（f（﹣1））=________，|f（x）| 的解集为________．
13. 若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是________．
14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么（﹣
）• =________；若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则的取值范围是________
15. 圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为________
三、解答题
16. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A 的中点．
（1）求证：A1C∥平面BED；
（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．
17. △ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，+
= ，b=4，且a＞c．
（1）求ac的值；
（2）若△ABC的面积为2 ，求a，c的值．
18. 已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x=﹣1时有极值0．
（1）求常数a，b的值；
（2）方程f（x）=c在区间[﹣4，0]上有三个不同的实根时，求实数c的范围．
19. 如图，设椭圆C1：=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．
20. 数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）
（1）设Cn=log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn= ﹣，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：﹣≤Tn＜﹣．。