一元二次方程培优试卷
(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（ ）A 、0πabB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 、2.5 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
一元二次方程专题能力培优（含答案）
⼀元⼆次⽅程专题能⼒培优（含答案）第2章⼀元⼆次⽅程 2.1 ⼀元⼆次⽅程专题⼀利⽤⼀元⼆次⽅程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -+=是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的取值范围是（）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的⽅程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是⼀元⼆次⽅程并写出这个⽅程；（2）m 取何值时，它是⼀元⼀次⽅程？专题⼆利⽤⼀元⼆次⽅程的项的概念求字母的取值3.关于x 的⼀元⼆次⽅程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若⼀元⼆次⽅程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有⼀次项，则a 的值为 .专题三利⽤⼀元⼆次⽅程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的⽅程x 2+bx+a=0的⼀个根是-a （a≠0），则a-b 值为（） A.－1 B.0 C.1 D.26.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此⽅程必有⼀个根为 .7.已知实数a 是⼀元⼆次⽅程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有⼀个未知数（⼀元），并且未知数的最⾼次数是2（⼆次），等号两边都是整式的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程.2.⼀元⼆次⽅程的⼀般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2温馨提⽰：1.⼀元⼆次⽅程概念中⼀定要注意⼆次项系数不为0的条件.2.⼀元⼆次⽅程的根是两个⽽不再是⼀个.⽅法技巧：1.ax k+bx+c=0是⼀元⼀次⽅程的情况有两种，需要分类讨论.2.利⽤⼀元⼆次⽅程的解求字母或者代数式的值时常常⽤到整体思想，需要同学们认真领会. 答案：1. D 解析：3020mm-≠+≥，解得m≥-2且m≠32.解：（1）当212,10mm+=+≠时，它是⼀元⼆次⽅程.解得：m=1．当m=1时，原⽅程可化为2x2-x-1=0；（2）当20,10m+=或者当m+1+（m-2）≠0且m2+1=1时，它是⼀元⼀次⽅程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为⼀元⼀次⽅程．3.解：由题意，得：210,10.mm-=-≠解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.aa+=-≠解得a=－2.5. A 解析：∵关于x的⽅程x2+bx+a=0的⼀个根是-a（a≠0），∴a2－ab+a=0.∴a（a－b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：⽐较两个式⼦会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后⼀项相同；（3）第⼀个式⼦x2对应了第⼆个式⼦中的1，第⼀个式⼦中的x对应了第⼆个式⼦中的-1.故==-.解得x=－1.7.解：∵实数a是⼀元⼆次⽅程x2－2013x+1=0的解，∴a2－2013a+1=0. ∴a2+1=2013a，a2－2013a=－1.∴2.2 ⼀元⼆次⽅程的解法专题⼀利⽤配⽅法求字母的取值或者求代数式的极值1.若⽅程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成⼀个完全平⽅式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是⼀个完全平⽅式，则m= .3.⽤配⽅法证明：⽆论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒⼩于零．专题⼆利⽤△判定⼀元⼆次⽅程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三⾓形的三边，则⽅程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有⼀个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的⽅程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果⼀元⼆次⽅程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满⾜a＋b＋c＝0，那么我们称这个⽅程为“凤凰”⽅程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”⽅程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c专题三解绝对值⽅程和⾼次⽅程7.若⽅程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解⽅程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原⽅程的解是x=1或x=－2.10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解⽅程3x （x+2）=5（x+2）时，先将⽅程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0，这个⽅程左边可以分解成两个⼀次因式的积，所以⽅程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中⾄少有⼀个等于0；反过来，如果两个因式有⼀个等于0，它们的积等于0．因此，解⽅程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解⽅程 x+2=0或3x-5=0，得到原⽅程的解为x 1=-2，x 2=53．根据上⾯解⼀元⼆次⽅程的过程，王⼒推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >??>?或者0,0.a b请判断王⼒的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五利⽤根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是⼀元⼆次⽅程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是⼀元⼆次⽅程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成⽴？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=ca .根据这⼀性质，我们可以求出已知⽅程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为⽅程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __．请你完成以上的填空．．．．．．．．．．（2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值．解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴211是⽅程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的⽅法及（1）的⽅法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n+的值．知识要点：1.解⼀元⼆次⽅程的基本思想——降次，解⼀元⼆次⽅程的常⽤⽅法：直接开平⽅法、配⽅法、公式法、因式分解法.2.⼀元⼆次⽅程的根的判别式△=b-4ac 与⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系：当△>0时，⼀元⼆次⽅程有两个不相等的实数解；当△=0时，⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数解；△<0时，⼀元⼆次⽅程没有实数解.3.⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.温馨提⽰： 1.x 2+6x+m 2是⼀个完全平⽅式，易误以为m=3.2.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=.⽅法技巧：1.求⼆次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2+k ；（2）当a>0，k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2+k ≤k.2.若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．3.解绝对值⽅程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式⼦与0的⼤⼩关系.4.解⾼次⽅程的基本思想是将⾼次⽅程将次转化为关于某个式⼦的⼀元⼆次⽅程求解.5.利⽤根与系数求解时，常常⽤到整体思想.答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3 解析：据题意得，m 2=9，∴m=±3．3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2∴⽆论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒⼩于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三⾓形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该⽅程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为⼀元⼀次⽅程⽅程时，必有实数根，此时k=0；当kx 2+3x+1=0为⼀元⼆次⽅程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠?-??≥?.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤.6.A 解析：∵⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac＝0，⼜a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代⼊b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a－c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）．综上所述，原⽅程的解是x=0或x=－2． 9.4 1-，﹣3；41，3．发现的⼀般结论为：若⼀元⼆次⽅程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0，∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0．⼜∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a，解得a =24．经检验a =24是⽅程－62-a a ＋4 =6-a a的解．（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数，∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.⼜2m 2-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．∴m 、1n是⽅程2x 2-3x-1=0的两根．∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134.2.3 ⼀元⼆次⽅程的应⽤专题⼀、利⽤⼀元⼆次⽅程解决⾯积问题 1.在⾼度为2.8m 的⼀⾯墙上，准备开凿⼀个矩形窗户．现⽤9.5m 长的铝合⾦条制成如图所⽰的窗框．问：窗户的宽和⾼各是多少时，其透光⾯积为3m 2（铝合⾦条的宽度忽略不计）．条所占⾯积为原矩形图案⾯积的三分之⼀，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举⼀反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下⾯的问题：（1）在长为a m，宽为b m的⼀块草坪上修了⼀条1m宽的笔直⼩路（如图（1）），则余下草m；坪的⾯积可表⽰为2（2）现为了增加美感，设计师把这条⼩路改为宽恒为1m的弯曲⼩路（如图（2）），则此时m；余下草坪的⾯积为2（3）聪明的鲁鲁结合上⾯的问题编写了⼀道应⽤题，你能解决吗？相信⾃⼰哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的⼀块草坪上修了⼀条宽为xm的笔直⼩路和⼀条长恒m．求⼩路的宽x.为xm的弯曲⼩路（如图3），此时余下草坪的⾯积为14212专题⼆、利⽤⼀元⼆次⽅程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨⼤，但合理利⽤量⼗分有限，2012年的利⽤率只有30%，⼤部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利⽤量的增长率相同，要使2014年的利⽤率提⾼到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）5.某种电脑病毒传播⾮常快，如果⼀台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你⽤学过的知识分析，每轮感染中平均⼀台电脑会感染⼏台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·⼴元）某中⼼城市有⼀楼盘，开发商准备以每平⽅⽶7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平⽅⽶5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引⼒．请问房产销售经理的⽅案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利⽤⼀元⼆次⽅程解决市场经济问题7.（2012·济宁）⼀学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了⼀批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司⽀付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6⽉份销售某⼚家的汽车，在⼀定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当⽉仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；⽉底⼚家根据销售量⼀次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当⽉售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当⽉盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利⽤⼀元⼆次⽅程解决⽣活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中⼀个顶点．．．．．．的对⾓线有条.(2)⼀个凸多边形共有14条对⾓线,它是⼏边形？10.如图每个正⽅形是由边长为1的⼩正⽅形组成．（1）观察图形，请填与下列表格：正⽅形边长 1 3 5 7 … n （奇数）红⾊⼩正⽅形个数 … 正⽅形边长 2 4 6 8 … n （偶数）红⾊⼩正⽅形个数…（2）在边长为n （n≥1）的正⽅形中，设红⾊⼩正⽅形的个数为P 1，⽩⾊⼩正⽅形的个数为P 2，问是否存在偶数n ，使P 2=5P 1？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列⽅程解决实际问题的常见类型：⾯积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、⽣活中的其他问题. 温馨提⽰：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x ，增长(或降低)前的数量为a ，则第⼀次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第⼆次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.⾯积(体积)问题属于⼏何图形的应⽤题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据⾯积(体积)公式列出⼀元⼆次⽅程．3.列⽅程解决实际问题时，⽅程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. ⽅法技巧：1. 变化率问题中常⽤a （1±x ）n=b ，其中a 是起始量，b 是终⽌量，n 是变出次数，x 是变化率.变化率问题⽤直接开平⽅法求解简单.2.解决⾯积问题常常⽤到平移的⽅法，利⽤平移前后图形⾯积不变建⽴等量关系.答案：1.解：设⾼为x ⽶，则宽为9.50.523x --⽶.由题意，得9.50.5233xx --?=. 解得121.5,3x x == (舍去,⾼度为2.8m 的⼀⾯墙上). 当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==.答：⾼为1.5⽶,宽为2⽶.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0.。
一元二次方程专题能力培优(含答案)
一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。
解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。
给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。
解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。
根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。
由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
培优专题01 一元二次方程的解法-原卷版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
一元二次方程培优检测
一元二次方程培优检测
姓名：
一、填空题(每小题5分，共25分）
1.方程01892=+-x x 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 .
2.关于x 的方程()02=++b m x a
的解是1,221=-=x x （b m a 、、均为常数，0≠a ），则方程()022=+++b m x a 的解是 .
3.已知b a 、是方程042=+-m x x 的两个根，c b 、是方程0582=+-m x x 的两个根，则
m = .
4.关于x 的方程()k x k kx 81822-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
5.设b a 、是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则b a += .
二、解答题（每题15分，共75分）
6.设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和.
7.已知21,x x 为方程0132=++x x
两实根，求代数式208231++x x 的值.
8.设方程
42=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.
9.设a 是方程0412
=-+x x 的根，求234531a a a a a --+-的值.
10.关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实数根，求a 的取值范围.。
【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=4．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1＋62x2＝1－621＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝32±6 2.∴x1＝1＋62，x2＝1－62.(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
一元二次方程培优检测卷九年级数学上册重难点专题提优训练
《第二十一章 一元二次方程》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·吉林· 八年级期中）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．()()121x x -+= D ．223250x xy y --=【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、2210x x +=是分式方程，选项说法错误，不符合题意； B 、当0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意； C 、(1)(2)1x x -+=，即230x x +-=是一元二次方程，选项说法正确，符合题意； D 、223250x xy y --=是二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．2．（山东省济南市高新区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）已知x ＝1是方程x 2﹣3x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】【分析】将x ＝1代入已知方程求出c 即可．【详解】解：把x ＝1代入x 2﹣3x +c ＝0得：1﹣3+c ＝0，解得：c ＝2，故选：D ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．（2022·福建省福州屏东中学八年级期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人可以传染x 个人，经过两轮传染后共有400人感染，列出的方程是（ ）A ．21400x x ++=B ．()21400x +=C ．()1400x x x ++=D ．12400x +=【答案】C【解析】【分析】根据题意，正确的理解题意，列出一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：根据题意， ()1400x x x ++=,故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意，列出一元二次方程． 4．（2021·贵州遵义·一模）已知a ，b 是一元二次方程2320x x +-=的两根，则252a a b ++的值是（ ）A ．-5B ．-4C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】把x =a 代入方程求出a 2+3a 的值，再利用根与系数的关系求出a +b 的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：把x =a 代入方程得：a 2+3a -2=0，即a 2+3a =2，由根与系数的关系得：a +b =-3，则原式=（a 2+3a ）+2（a +b ）=2-6=-4．故选：B ．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 5．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠0【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得0,≥ 一元二次方程有实数根，再解不等式即可．【详解】 解： 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， 22410k 且0,k ≠解得：1k ≥-且0,k ≠故选C【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，牢记“当0≥时，方程有实数根”是解题的关键，是基础题．6．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A ．方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B ．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0C ．只有当k ＝0时，方程kx 2+3x 1x 2为一元二次方程D ．当m 取所有实数时，关于x 的方程(m 2+1)x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A 、方程8x 2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B 、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），故选项错误；C 、当k ﹣1≠0，即k ≠1时，方程kx 2+3x ﹣1＝x 2为一元二次方程，故选项错误；D 、当m 取所有实数时，关于x 的方程（m 2+1）x 2﹣mx ﹣3＝0为一元二次方程是正确的． 故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·山东德州·九年级期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则m ＝______【答案】-2【解析】【分析】 根据一元二次方程的定义得到2m =且20m -≠，由此求得m 的值．【详解】 解：依题意得：2m =且20m -≠，解得m =-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程的最高次项的未知数的指数为2，注意二次项的系数不能等于0．8．（2022·江苏·九年级）若x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个实数根，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】解：由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝4，x 1x 2＝3，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝（x 1+x 2）﹣x 1x 2＝4﹣3＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 9．（2022·全国·九年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 __． 【答案】492【解析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其正值代入3t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了3t 步，甲斜向北偏东方向走了(710)t -步，则 依题意得：22210(3)(710)t t +=-，整理得：2401400t t -=， 解得：172t =，20t =（不合题意，舍去）， 7497722t ∴=⨯=，即甲走的步数是492， 故答案为：492． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2021·全国·九年级专题练习）求代数式2272x x -+的最小值为_________． 【答案】338-【解析】【分析】直接利用配方法进行整理．【详解】解：∴2272722()22x x x x -+=-+ 2733332()488x =--≥-， ∴最小值为338-， 故答案是：338-． 【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，出的完全平方公式，利用非负性求解．11．（2022·陕西西安·三模）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ⊗=+，若(1)3x x ⊗-=-，则x 的值为________．【答案】-1【分析】根据定义即可得到一元二次方程，解方程即可求得．【详解】解：根据题意得：()2(1)213x x x x ⊗-=+-=-得2210x x ++=解得121x x ==-故答案为：-1【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，理解题意，列出方程是解决本题的关键． 12．（2022·浙江绍兴·八年级期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长为_______________；【答案】6或12或15【解析】【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x 1=2，x 2=5，根据题意讨论：当腰为2，底边为5时；当腰为5，底边为2时，然后分别计算出等腰三角形的周长．【详解】∴x 2-7x +10=0，∴（x -2）（x -5）=0，∴x -2=0或x -5=0，∴x 1=2，x 2=5，当腰为2，底边为5时，2+2=4<5，不能构成三角形；当腰为5，底边为2时，等腰三角形的周长为2+5+5=12；当腰为2，底边为2时，等腰三角形的周长为2+2+2=6，当腰为5，底边为5时，等腰三角形的周长为5+5+5=15．故答案为6或12或15．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·江苏·九年级专题练习）解下列方程：(1)()24249x -= (2)()()2123x x +-= 【答案】(1)12113,22x x ==- (2)125,12x x ==- 【解析】【分析】（1）直接采用开平方的方法即可求出解．（2）将原方程化为一般形式，后采取因式分解法直接求出解．(1)解：原方程两边都除以4，得()24924x -=两边开平方，得722x -=± 所以，12113,22x x ==- (2) 解：原方程整理得22350x x --=，因式分解的：()()2510x x -+=，解得：11x =-，252x =． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握开方法，因式分解法是求解一元二次方程的关键．14．（2022·全国·九年级）若关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，求m 的值．【答案】m ＝﹣2【解析】【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m 的值即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程()222240m x x m -++-=的常数项为0，∴22040m m -≠⎧⎨-=⎩ 解得：2m =-【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．15．（2022·吉林通化·九年级期末）如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？【答案】20【解析】【分析】根据题意设车棚垂直于墙的一边的长为为x 米，则根据图并利用长×宽=面积，建立方程并求解即可．【详解】解：设车棚垂直于墙的一边的长为x 米，则平行于墙的一边的长为(5022)x +-米， 由题意列方程可得：(5022)240x x +-=，解得20x 或x =6当车棚垂直于墙的一边的长为6米时，平行于墙的一边的长为40米，大于墙长的18米， 答：车棚垂直于墙的一边的长为20米.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积为长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．16．（2022·河北保定·三模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成任务．①小颖解方程的方法是____；②第二步变形的依据是____；(2)任务二：请你用“公式法”解该方程．【答案】(1)配方法，等式性质(2)152x =，21x =- 【解析】【分析】（1）任务一，结合配方法解一元二次方程的步骤求解即可；（2）任务二，利用公式法求解即可．(1)解：小颖是将方程左边配成完全平方形式，∴小颖解方程的的方法是配方法，等式变形的依据是等式性质；(2)解：∴2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490∆=--⨯⨯-=>，则374x ±==， ∴152x =，21x =-． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（2022·江苏·九年级）已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根．(1)请判断ABC 的形状；(2)当5a =，3b =时，求一元二次方程的解．【答案】(1)∴ABC 为直角三角形；(2)1213x x ==- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及勾股定理的逆定理，即可求解；（2）由（1）可得4c =，再代入原方程，利用因式分解法解答，即可求解．(1)∴关于x 的一元二次方程2()20a c x bx a c +++-=有两个相等的实数根，∴()()()2240b a c a c ∆=-+-=，∴222b c a +=，∴∴ABC 为直角三角形；(2)∴222b c a +=，5a =，3b =，∴4c ，∴9261a c b a c +====-=，∴原方程为29610x x ++=， 解得：1213x x ==-． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2022·四川攀枝花·x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两根x 1，x 2，满足（x 1+1）（x 2+1）＝4，求k 的值．【答案】(1)k ≥﹣3且k ≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，并使k ﹣1≠0，即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x 1+x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -，再将它们代入（x 1+1）（x 2+1）＝4，即可求出k 的值．(1)解：（1 ）∴关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0有两个实数根．∴k﹣1≠0，∆＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，∴k≥﹣3且k≠1．(2)解：∴关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝41k-，x1x2＝﹣11k-．∴（x1+1）（x2+1）＝4，∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即41k-﹣11k-+1＝4，整理，得：k﹣1＝1，解得：k＝2，经检验，k＝2是方程的解，∴k＝2．∴k的值为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式．19．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bad bcc d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若764174x=，求x的值；(2)若1211011m mm m--=---，求m的值．【答案】(1)49 16(2)83或-1【解析】【分析】（1）根据新定义得到关于x的一元一次方程，然后利用整式的混合计算法则进行解方程即可；（2）根据新定义得到关于x的一元二次方程，然后解方程即可．(1)解：∴764174x=，∴1496404x -⨯=， ∴4916x =； (2) 解：∴1211011m m m m --=---，∴()()()()11-21110m m m m ----=-，∴222123110m m m m -+--+-=-，∴23580m m --=，∴()()3810m m -+=， ∴183m =，21m =-， ∴m 的值为83或1-． 【点睛】本题主要考查了新定义的知识，涉及到了解一元一次方程，解一元二次方程，整式的混合计算等知识，正确理解题意是解题的关键．20．（2022·浙江·杭州育才中学八年级期中）某商场对某种商品进行销售调整．已知该商品进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，现进行降价处理．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求这两次中平均每次下降的百分率．(2)经调查，该商品每降价0.5元，平均每天可多销售4件．若要使每天销售该商品获利510元，则每件商品应降价多少元？【答案】(1)该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)每件商品应降价1.5元或2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32．4元，列一元二次方程，求解即可；（2）设每件商品应降价m 元，根据每天要想获得510元的利润，列一元二次方程可得（40-30-m ）（48+8m ）=510，再解方程即可．(1)解：设每次降价的百分率为x ， 根据题意，得40（1-x ）2=32.4，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9=190%（不合题意，舍去），答：该商品平均每次下降的百分率为10%；(2)设每件商品应降价m 元， 根据题意，得（40-30-m ）（48+8m ）=510，整理得：2416150m m ，解得121.5, 2.5,m m答：每件商品应降价1.5元或2.5元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：例：解方程：30=．t =（t ≥0）∴原方程化为2t ﹣3＝0 ∴32t = 而32t =＞032=∴94x = 请利用上面的方法，解出下面两个方程：(1)80x +=(2)60x =【答案】(1)x ＝4(2)x ＝5【解析】【分析】（1t ，将方程变形为2280t t +-=，解出t 即可求出x ；（2()0t t ≥，将方程变形为220t t +-=，解出t 即可求出x ．(1)t =，将原方程转化为2280t t +-=，解得，12t =，24t =-，而20t => ，2=，4x ∴=；(2)解：()0t t =≥，∴原方程化为220t t +-= ，解得11t =，22t =-，而10t =>，1，5x ∴=．【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观22．（2022·河南濮阳·八年级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x 2﹣6x +8＝0的两个根是2和4，则方程x 2﹣6x +8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：(1)若一元二次方程x 2﹣9x +c ＝0是“倍根方程”，则c ＝______；(2)若（x ﹣1）（mx ﹣n ）＝0（m ≠0“倍根方程”，求代数式222223m mn n m n -++的值． 【答案】(1)18(2)0或35【解析】【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．（4）根据定义可求出n =2m 或n =12m ，代入原式后即可求出答案； (1)由题意可知：x ＝m 与x ＝2m 是方程x 2﹣9x +c ＝0的解，∴m +2m ＝9，m •2m ＝c ，∴m ＝3，c ＝18，故答案为18；(2)由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和xnm =，∴nm=2或12nm=，当n＝2m时，222222222323244m mn n m m m mm n m m-+-⋅+==++0，当n12=m时，22222222112323324154m m m mm mn nm n m m-⋅+-+==++；故代数式222223m mn nm n-++的值0或35．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．六、（本大题共12分）23．（2022·江苏·九年级专题练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，3＝2，x4＝﹣2(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程：（x2＋x）2﹣4（x2＋x）﹣12＝0(3)已知非零实数a，b满足a2﹣ab﹣12b2＝0，求ab的值．【答案】(1)换元法；降次(2)x1＝2，x2＝﹣3(3)4或﹣3【解析】【分析】（1）根据解答过程归纳出银法为换元法，换元法的目的是将高次方程降为低次方程求解；（2）运用换元法求解，（3）运用因式分解法求得a＝4b或a＝﹣3b，再代入计算即可．(1)解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；故答案为：换元法，降次；(2)解：设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝﹣2，y2＝6．当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，方程没有实数解；当y＝6时，x2+x＝6，∴x＝2或﹣3；原方程有两个根：x1＝2，x2＝﹣3；(3)解：（a﹣4b）（a+3b）＝0，a﹣4b＝0或a+3b＝0，所以a＝4b或a＝﹣3b，当a＝4b时，4a bb b==44；当a＝﹣3b时，3a bb b-==-33．即ab的值为4或﹣3．【点睛】本题考查了高次方程：通过换元法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．。
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一元二次方程培优检测卷一、选择题（每题2分，共20分）1．对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 ( )A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定2．如果一元二次方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，那么有 ( )A ．m ＝0B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．以上结论都不对3．方程x 2＋3x －1＝0的两个根的符号为 ( )A ．同号B ．异号C ．两根都为正D ．不能确定4．把边长为1的正方形木板截去四个角，做成正八边形的台面，设台面边长为x ，可列出方程 ( )A ．（1－x)2＝x 2B ．14（1－x)2＝x 2 C ．(1－x)2＝2x 2 D ．以上结论都不正确5．已知方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a ，则下列代数式的值恒为常数的是 ( )A ．bB ．aC ．a ＋bD ．a －b6．设a 2＋1＝3a ，b 2＋1＝3b 且a ≠b ，则代数式11a b+的值为 ( ) A ．5 B ．3 C ．9 D ．11 7．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ． 1k ≥-且0k ≠D ． 1k >-且0k ≠8．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．2310x x -+=B ．210x +=C ．2210x x -+=D ．2230x x ++=9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ． 50（1+x 2）=196B ． 50+50（1+x 2）=196C ． 50+50（1+x ）+50（1+x 2）=196D ． 50+50（1+x ）+50（1+2x ）=19610．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-. 若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。
并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-==-=-==-=,从而对于任意正整数n ,我们可以得到()4144nn n i i i i i i +=⋅=⋅=, 同理可得 421n i +=- , 43n i i +=- , 41n i = .那么23420122013i i i i i i ++++⋅⋅⋅++的值为( )A. 0B. 1C.1-D. i二、填空题（每空2分，共20分）11．把方程(x －2)2＝4x ＋(2x －1)2化成一元二次方程的一般形式，得_______．12．当k_______时，关于x 的方程（k －2）x 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，13．如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是_______．14．已知一元二次方程x 2－6x －5＝0的两根为a ，b ，则11a b+的值是_______． 15．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是_______．16．已知a ，b 是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个实数根，则代数式（a －b ）( a ＋b －2)＋ab 的值为_______．17．若（x 2＋y 2－1)2＝25，则x 2＋y 2＝_______．18．有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形（充满）或正三角形（充满），摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，则球的个数为_______．19．现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a★b=a 2﹣3a+b ，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x 的值是______．20．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1<1<x 2，那么a 取值范围是_____________．三、解答题（共60分）21．解下列方程：（共12分）(1)3（2x －1)2＝27； (2)2x 2－4x ＋1＝0；(3)3（x －1)2＝2x －2； (4)x 2＋12x ＋27＝0．22．（6分）已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋2＝0．(1)当m 取何值时，方程有两个相等的实数根？(2)为m 选取一个适当的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．23．（6分）据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果2013年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约为多少万人次．24．（5分）在一幅长90 cm 、宽40 cm 的风景画的四周镶上一条宽度相同的黄色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图的72%，那么黄色纸边的宽是多少？25．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x 元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？26．（8分）已知:关于x 的一元二次方程2(41)330kx k x k -+++=（k 是整数）.(1)求证:方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中12x x <),设y = x 2 - x 1，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由.27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，B(5，0)，动点P从点B出发沿BO 向终点O运动，动点Q从点A出发沿AB向终点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs，则(1)点Q的坐标为(_______，_______)；（用含x的代数式表示）(2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？28．（9分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.参考答案1—10 CBBCD BDACD11．3x 2＋4x －3＝012．≠213．c>914．－1.215．25%16．－317．618．3619．﹣1或420．－211<a<0 21．(1) x 1＝2，x 2＝－1(2) x 1，x 2 (3) x 1＝1，x 2＝53(4) x 1＝－3，x 2＝－922．(1)m ＝12(2) x 1＝1，x 2＝3 答案不唯一 23．(1)20% (2) 8640(万人次)．24．黄色纸边的宽是5 cm ． 25．由题意得出：200×（10－6）＋（10－x －6）（200＋50x ）＋[（4－6）（600－200－（200＋50x ）]＝1250，即800＋（4－x ）（200＋50x ）－2（200－50x ）＝1250，整理得：x 2－2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝1，∴10－1＝926．（1）证明：△2(41)4(33)k k k =+-+ 2(21)k =-∵k 是整数 ∴12k ≠即210k -≠ ∴△2(21)0k =->∴方程有两个不相等的实数根.（2）解方程得：2(41)(21)2k k x k+±-= ∴3x =或11x k =+∵k 是整数 ∴11k ≤，1123k+≤< 又∵12x x < ∴111x k=+，23x = ∴113(1)2y k k=-+-=- ∴y 是k 的函数27．28．（1）分两种情况讨论：①当m =0 时，方程为x －2=0，∴x =2 方程有实数根②当m ≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[－（3m －1）]2－4m （2m －2）=m 2+2m +1=（m +1）2≥0不论m 为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根综合①②，可知m 取任何实数，方程mx 2-(3m －1)x +2m －2=0恒有实数根.（2）设x 1，x 2为抛物线y= mx 2-(3m －1)x +2m －2与x 轴交点的横坐标. 则有x 1+x 2=31m m -，x 1·x 2=22m m-由| x 1－x 2|=21212()4x x x x +-=2314(22)()m m m m ---=22(1)m m +=1||m m +， 由| x 1－x 2|=2得1||m m +=2，∴1m m +=2或1m m +=－2∴m =1或m =13-∴所求抛物线的解析式为：y 1=x 2－2x 或y 2=13-x 2+2x －83即y 1= x （x －2）或y 2=13-（x －2）（x －4）其图象如右图所示.（3）在（2）的条件下，直线y =x +b 与抛物线y 1，y 2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b 的取值范围.212 y x xy x b ⎧=-⎨=+⎩，当y 1=y 时，得x 2－3x －b =0，△=9+4b =0，解得b =－94； 同理2218233 y x x yx b ⎧=-+-⎪⎨⎪=+⎩，可得△=9－4（8+3b ）=0，得b =－2312 . 观察函数图象可知当b <－94 或b >－2312 时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交点.由2122218233y x x y x x ⎧=-⎪⎨=-+-⎪⎩当y 1=y 2时，有x =2或x =1当x =1时，y =－1所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y =x －2， 综上所述可知：当b <－94 或b >－2312 或b =－2时，直线y =x +b 与（2）中的图象只有两个交点.。