初二轴对称图形难题总结
轴对称图形重难点题型培优
轴对称图形解答题较难题一、翻折变换题型1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=½AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程．（ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长．（ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长．二、特异三角形1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线；（ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数．5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到△ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ．（ 1 ）求证： FD=FB ．（ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长．三、点的运动变化题型8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接PQ 交 AB 于 D ．（ 1 ）当∠ BQD=30°时，求 AP 的长；（ 2 ）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．9 ．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点 P 到边 AB 、 BC 的距离相等，并且点 P 到点 A 、 D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点 P （不写作法，保留作图痕迹）．四、等边三角形题型12 ．已知：在△ AOB 和△ COD 中， OA=OB ， OC=OD ．（ 1 ）如图①，若∠ AOB= ∠ COD=60°，求证：① AC=BD ②∠ APB=60°．（ 2 ）如图②，若∠ AOB= ∠ COD=α，则 AC 与 BD 间的等量关系式为，∠ APB 的大小为（直接写出结果，不证明）。
初二轴对称重难点
轴对称【知识要点】1.如果两个图形沿某条直线对折后能完全重合,则称这两个图形关于这条直线对称.如果一个图形沿某条直线对折后能和本身重合,则称这个图形是轴对称图形.2.关于某条直线对称的两个图形是全等形,对应点的连线被对称轴垂直平分.3.在坐标系内,点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).【温馨提示】1.轴对称和轴对称图形的对称轴是直线,不是线段或射线.2.轴对称图形和两个图形成轴对称是紧密联系的,可以把一个轴对称图形沿对称轴分成轴对称的两个图形,也可以把一个成轴对称的两个图形看成是一个轴对称图形.但是两者也有区别,轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合,而轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.【方法技巧】1.找两个成轴对称图形的对称轴,可以先找到一对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.2.作一个图形各特殊点关于某直线的对称点,相应连接各点就可以得到这个图形关于某直线成轴对称的图形.3.若点(x,y)关于x=m对称的点的坐标是(x,y′),则y、m和y′之间的关系是y+y′=2m,同理,点(x,y)关于y=n对称的点的坐标是(x′,y),则x、n和x′对称的点的x+x′=2n.一、利用轴对称解决路径最短问题1、“一线+两点”型2.“两线+一点”型3.“两线+两点”型练习：1.如图，直线l 是一条河，P 、Q 两地相距8千米，P 、Q 两地到l 的距离分别为2千米，5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）2.已知，如图（1），Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后选择一种关系予以证明．3.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是（a ，b ），则经过第2013次变换后所得的A 点坐标是________．（知识点：在坐标系内,点(x ,y )关于y 轴对称的点的坐标为(-x ,y ),关于x 轴对称的点的坐标为(x ,-y ).）C AB D F E （1）y x O A B C y x O y x O y x O y x O 第1次 关于x 轴对称 第2次 关于y 轴对称 第3次 关于x 轴对称 第4次 关于y 轴对称 B Q l P l P M Q Ａ D Ql P M l P M Q C。
初二数学八上轴对称知识点总结复习和常考题型练习
第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.(4)线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.(5)等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.(6)等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.③如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
④两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x, -y）.②点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）.③点（x, y）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y）⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.(6)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.常考例题精选1.(2015·三明中考)下列图形中，不是轴对称图形的是( )2.(2015·日照中考)下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是( )3.(2015·杭州中考)下列“表情图”中，属于轴对称图形的是( )4.(2015·凉山州中考)如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.(2015·德州中考)如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )A.(1，4)B.(5，0)C.(6，4)D.(8，3)6.(2015·南充中考)如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是( )A.70°B.55°C.50°D.40°7.(2015·玉溪中考)若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为( )A.12B.16C.20D.16或208.(2014·海门模拟)如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于x轴对称的点的坐标是( )A.(0，-1)B.(1，1)C.(2，-1)D.(1，-1)9.(2015·绵阳中考)如图，AC，BD相交于O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB= 35°，则∠AOD= .10.(2015·丽水中考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是.1．(2015·遵义)观察下列图形，是轴对称图形的是()2．点P(5，－4)关于y轴的对称点是()A．(5，4) B．(5，－4) C．(4，－5) D．(－5，－4)3．如图，△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称，∠BCD＝70°，∠B ＝80°，则∠DAC的度数为()A．55°B．65°C．75°D．85°,第3题图)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC长为()A．2 B．3 C．4 D．以上都不对,第4题图)5．如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝()A．80°B．100°C．140°D．160°,第5题图)6．如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是()A．①B．②C．⑤D．⑥,第6题图)7．(2015·玉林)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是()A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DE＝12BC,第7题图)8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为() A．1 B．1.5 C．2 D．2.5,第8题图)9．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC 的值是()A．10 B．8 C．6 D．4,第9题图)10．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP; ⑤∠AOB＝60°.其中正确的结论的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个,第10题图)12．如图，D，E为△ABC两边AB，AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B＝55°，则∠BDF等于．,第12题图)13．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种．,第13题图)14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.若∠B＝35°，则∠DAC的度数为．,第14题图)15．在△ABC中，AC＝BC，过点A作△ABC的高AD，若∠ACD＝30°，则∠B＝．16．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：．,第16题图)17．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是．,第17题图)18．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM ＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为．,第18题图)19．如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等．请用尺规作图作出银杏树的位置点P.(不写作法，保留作图痕迹)20．如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)．(1)若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为；(2)将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为；(3)求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC为上一点，∠B＝30°，∠DAB ＝45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.22．(2015·潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．23．如图，△ABC，△ADE是等边三角形，B，C，D在同一直线上．求证：(1)CE＝AC＋DC；(2)∠ECD＝60°.24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD⊥CF；(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．25．如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图③，如果(1)的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．。
八年级数学轴对称解答题易错题(Word版 含答案)
八年级数学轴对称解答题易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】定理证明：先证明△PAC≌△PBC，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；（1）连结AO、BO、CO利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m 是边BC 的垂直平分线， ∴OB ＝OC ，∵直线n 是边AC 的垂直平分线， ∴OA ＝OC ， ∴OA ＝OB ∵OH ⊥AB ， ∴AH ＝BH ；（2）如图③中，连接BD ，BE ．∵BA ＝BC ，∠ABC ＝120°， ∴∠A ＝∠C ＝30°，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ， ∴DA ＝DB ，EB ＝EC ，∴∠A ＝∠DBA ＝30°，∠C ＝∠EBC ＝30°，∴∠BDE ＝∠A +∠DBA ＝60°，∠BED ＝∠C +∠EBC ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴AD ＝BD ＝DE ＝BE ＝EC ， ∵AC ＝15＝AD +DE +EC ＝3DE ， ∴DE ＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.2．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．【答案】证明见解析 【解析】 【分析】延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF. 【详解】如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ．∵AD 是BC 边上的中线， ∴DC DB =． 在ADC 和GDB △中，AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）， ∴ADC ≌GDB △（SAS ）． ∴CAD G ∠=∠，BG AC =． 又BE AC =， ∴BE BG =． ∴BED G ∠=∠． ∵BED AEF ∠=∠∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠ ∴AF EF =．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.3．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”. 理解：（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小；（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ∆的“好好线”； 在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； 应用：（3）在ABC ∆中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数.【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42° 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值； 【详解】解：（1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ，∵BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=°180-2x可得°180-22x x∴x=36°则∠A=36°；（2）如图所示：（3）如图所示：①当AD=AE时，∵2x+x=27°+27°，∴x=18°；②当AD=DE时，∵27°+27°+2x+x=180°，∴x=42°；综上所述，∠C为18°或42°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．5．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC +∠ADB =120°， ∴∠ADM =60°， ∴△ADM 是等边三角形， ∴AD =AM ． 【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.6．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设(090BAC θθ∠=︒<<︒).现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB 、AC 上．活动一、如图甲所示，从点1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（12A A 为第1根小棒） 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”） （2）设11223AA A A A A ==，求θ的度数；活动二：如图乙所示，从点1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第一根小棒，且121A A AA =． 数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则213A A A ∠= ，423A A A ∠= ，43 A A C ∠= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放5根小棒，则θ的取值范围是 ．【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°． 【解析】 【分析】（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案；（3）由121A A AA =，得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，同理得423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ，43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ；（4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案． 【详解】（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可， ∴小棒能无限摆下去， 故答案是：能；（2）∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3， ∴∠A 2A 1A 3＝45°， ∴∠AA 2A 1+θ＝45°， ∵AA 1＝A 1A 2∴∠AA 2A 1＝∠BAC=θ， ∴θ＝22.5°； （3）∵121A A AA =， ∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ， ∵3122A A A A =，∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ，∴423A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ， ∵3342A A A A =，∴423A A A ∠=243 A A A ∠=3θ， ∴43A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ， 故答案是：2θ，3θ，4θ；（4）由第（3）题可得：645A A A ∠=5θ，65 A A C ∠=6θ， ∵只能摆放5根小棒， ∴5θ＜90°且6θ≥90°， ∴15°≤θ＜18°． 故答案是：15°≤θ＜18°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,.（1）点A 的坐标为___________；（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）425【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAGOPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO ，可得'8OP OA ，82AP，设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE解之即可． 【详解】解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：22221068AOAB BO ，∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BPAB 时，如图一所示：OP BP BO，∴1064∴P点的坐标是()4,0；=时，如图二所示：当AP ABOP BO∴6∴P点的坐标是()6,0；=时，如图三所示：当AP BP设OP x =，则有6AP x∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：22286x x解之得：73x = ∴P 点的坐标是7,03； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；当ABP △是锐角三角形时，如图四示：连接'OA ，∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA OGP ∴EAG OPG ，∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'8OA OA ，'EAEA ∴'FAO FAO，'FAE FAE ∴'EAG EAO则有：'OPG EAO ∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ， ∴22228882AP AO OP ，设BE x =，则有6AEx ，根据勾股定理，有： 22222BP BE EP AP AE 即：2222688210x x 解之得：425BEx 【点睛】 本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．8．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC-=【解析】【分析】（1）通过ASA证明CDO CEF∆∆≌即可得到CD=CE；（2）过点C作CM OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，通过AAS证明CMD CNE∆∆≌同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点C作C M OA⊥，CN OB⊥垂足分别为M，N，通过AAS得到CMD CNE∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN==，利用等量代换得到=OE OD ON OM++，在Rt CMO∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC=，同理得到12ON OC=，所以OE OD OC+=；方法二：以CO为一边作60FCO∠=︒，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF∆∆≌，得到,CD CE OD EF==，所以OE OD OE EF OF OC+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解：(1)OC平分AOB∠，145∠=∠2=︒∴，390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO∆与CEF∆中，1346OC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA∴∆∆≌CD CE∴=(2)如图2，过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形 O DCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵90AOB DCE ∠=∠=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵13180∠+∠=︒，∴32∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，32CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴CD CE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC +=.理由如下：方法一：如图3(1)，过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形ODCE 中，12360AOB DCE ∠+∠+∠+∠=︒，又∵60120180AOB DCE ∠+∠=︒+︒=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵23180∠+∠=︒，∴13∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，13CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴,CD CE DM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在 Rt CMO ∆中，1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2ON OC =， ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，∴COF ∆是等边三角形，∴CO CF =，∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，6560FCO∠=∠+∠=︒，∴46∠=∠，在CDO∆与CEF∆中，1346CO CF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA∆∆≌，∴,CD CE OD EF==.∴OE OD OE EF OF OC+=+==.②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC-=.如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE（ASA）∴CD=CE，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.9．八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB 边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．（1）如图①，当点E 为AB 的中点时，DE ＝ ；（2）如图②，点E 在运动过程中，DE 与EC 满足什么数量关系？请说明理由；（3）如图③，F 是AC 的中点，连接EF ．在AB 边上是否存在点E ，使得DE +EF 值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）【答案】（1）23；（2）DE ＝CE ，理由见解析；（3）这个最小值为27；【解析】【分析】（1）如图①，过点E 作EH ⊥BC 于H ，由等边三角形的性质可得BE =DB =AE =2，由直角三角形的性质可求BH =1，EH 3=，由勾股定理可求解；（2）如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，可证△AEF 是等边三角形，AE =EF =AF =BD ，由“SAS ”可证△DBE ≌△EFC ，可得DE =CE ；（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H ，由“SAS ”可证△ACE '≌△AC 'E '，可得C 'E '=CE '，可得当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小，由勾股定理可求最小值.【详解】（1）如图①，过点E 作EH ⊥BC 于H ，∵△ABC 为边长为4的等边三角形，点E 是AB 的中点，∴AE =BE =2=DB ，∠ABC =60°，且EH ⊥BC ，∴∠BEH =30°，∴BH =1，EH 3=3=∴DH =DB +BH =2+1=3，∴DE 2293DH EH =+=+=23故答案为：3（2）DE =CE.理由如下：如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°，AB =AC =BC.∵EF ∥BC ，∴∠AEF =∠ABC =60°，∠AFE =∠ACB =60°，∴∠AEF =∠AFE =∠A =60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE =EF =AF ，∴AB ﹣AE =AC ﹣AF ，∴BE =CF.∵∠ABC =∠ACB =∠AFE =60°，∴∠DBE =∠EFC =120°，且AE =EF =DB ，BE =CF ，∴△DBE ≌△EFC (SAS)，∴DE =CE ，（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H.∵将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，∴AC =AC '=BC =BC '=4，∠BAC =∠BAC '=60°，且AE '=AE '，∴△ACE '≌△AC 'E '(SAS)，∴C 'E '=CE '，由（2）可知：DE '=CE '，∴C 'E '=CE '=DE '.∵DE +EF =C 'E +EF =C 'E '+EF ，∴当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小.∵F 是AC 的中点，∴AF =CF =2，且HF ⊥AC '，∠FAH =180°﹣∠CAB ﹣∠C 'AB =60°，∴AH =1，HF 3=3=∴C 'H =4+1=5，∴C'F22=+=+=27，'253C H HF∴DE+EF的最小值为27.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，添加恰当辅助线是解答本题的关键.=. 10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE理由；AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,由；（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出AB BD AE的数量关系.,,+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE=+.解析；（3）AB AE BD【解析】【分析】（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD是△ABC的中线．（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BAD CDEAHD DCEAD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，∴BD=CE，∴AE=AC+CE=AB+BD．（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AFE 是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，∴EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DEF ，∵AD=DE ，∴∠DEA=∠DAE ，∴∠DEF=∠DAF ，∵DF=DF ，AF=EF ，在△AFD 和△EFD 中，AD DE DF DF AF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△AFD ≌△EFD （SSS ）∴∠ADF=∠EDF ，∠DAF=∠DEF ，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ，∵∠EDB=∠DEF ，∴∠FDB=∠DFB ，∴DB=BF ，∵AB=AF+FB ，∴AB=BD+AE ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．。
专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。
适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解： 四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
《轴对称图形》易错疑难点归纳
第2章《轴对称图形》易错疑难点归纳易错点1 对轴对称的概念理解不透1.下列说法正确的有( )①全等的两个图形一定成轴对称;②成轴对称的两个图形一定全等;③若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧; ④若点,A B 关于直线MN 对称，则直线MN 垂直平分线段AB .A.1个B. 2个C. 3个D. 4个易错点2 判断轴对称图形对称轴的条数出错2.如图所示的图形分别有几条对称轴?请分别画出它们的对称轴.易错点3 没有正确利用轴对称的性质画出对称图形3.如图，作出ABC ∆关于BC 所在直线对称的图形.易错点4 解题时考虑不全面，导致漏解4.在ABC ∆中，,AB AC AB =的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求C ∠的度数.易错点5 未能正确理解“三线合一”中的“三线”指的是哪三条线段5.已知在ABC ∆中， ,AB AC BD AC =⊥，垂足为点D .若30A ∠=︒，求DBC ∠的度数.疑难点1 利用轴对称解决最值问题1.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，当EF CF +取得最小若值时，ECF ∠的度数为( )A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°疑难点2 利用线段垂直平分线知识解决线段相等问题2.如图，已知P 为ABC ∆的边BC 的垂直平分线上的一点，该垂直平分线交BC 于点G ，且1,,2PBG A BP CP ∠=∠的延长线分别交,AC AB 于点D ，E .求证:BE CD =.疑难点3 探索问题3.如图，在Rt ABC ∆中，90,30,ACB A P ∠=︒∠=︒为BC 边上任意一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF .(1)试探索EF 与AB 的位置关系，并证明;(2)如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时， (1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)如图3，在Rt ABC ∆中，90,,ACB A m P ∠=︒∠=︒为BC 延长线上一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使(1)中的结论仍然成立，则需要添加怎样的条件?不需证明.易错点1.B2.图1有2条对称轴，图2有3条对称轴，图3有8条对称轴，图4有5条对称轴.分别画出它们的对称轴如图所示.3.如图1，作点A 关于直线BC 的对称点A '，分别连接A B ',A C '，则A BC '∆即所求作的图形.4.20°或70°5. 15°疑难点1.C2. ()PBF PCM AAS ∆≅∆()BEF CDM AAS ∆≅∆3．(1) EF AB ⊥(2)当点P 为BC 延长线上任意一点时，(1)中的结论成立.(3)要使(1)中的结论依然成立，则需要添加条件是CPF B QPE ∠=∠=∠。
初二数学轴对称知识点总结及练习题详解
轴对称（复习一讲义）课前预习1.剪纸艺术源远流长，是中华民族智慧的结晶，为我们的生活添加了别样的色彩．请欣赏以下美丽的剪纸图片，你发现它们有什么共同的特点？2.做一做，想一想在纸上画一条线段AB，并将线段对折，思考：（1）折痕两边的线段________（填“相等”或“不相等”）；（2）折痕与线段AB____________（填“垂直”或“不垂直”）；（3）在折痕上任找一点P，并连接AP，BP，沿着折痕对折，可发现AP_____BP（填“>”，“<”或“=”）．3.如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，若PM=4 cm，则PN=______cm．PNMBOA知识点睛1.如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形__________，这条直线叫做_________．2.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________，这条直线叫做_______．3.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴___________，对应线段________，对应角________．4.垂直平分线性质定理：___________________________________________________．5.角平分线性质定理：___________________________________________________．精讲精练1. 如图，在10×10的正方形网格中作图：作出△ABC 关于直线l 的对称图形△A 1B 1C 1．lC BA2.3. 下列四个图案中，是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 如图是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB 的对应线段是_________，EF 的对应线段是_________，∠A 的对应角是______．连接CE 交l 于点O ，则_____⊥_____，且________=________．lB D F HGE OCA A EB D C第4题图 第5题图5. 如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F处．若∠BAF =60°，则∠AEF =_____．6. 如图，先将正方形纸片ABCD 对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样得到的△ADH 中（ ） A ．AD DH AH ≠= B ．AD DH AH == C ．DH AD AH ≠=D ．AD DH AH ≠≠HN M ED CAA EBDC第6题图 第7题图7. 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，连接AD ．若AC =4 cm ，BC =8 cm ，则△ADC 的周长为__________．8. 已知：如图，在△ABC 中，DF ，EG 分别是AB ，AC 的垂直平分线，且△ADE 的周长为32 cm ，则BC =__________．A GEDBF CP DNOMCA B第8题图第9题图9. 已知：如图，点P 关于OA ，OB 的对称点分别为C ，D ，连接CD ，交OA 于点M ，交OB 于点N ．若△PMN 的周长为8，则CD 的长为_________．10. 如图，MD ，ME 分别为△ABC 的边AB ，BC 的垂直平分线，若MA =3，求MC 的长度．MBC DE11. 如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若P A =3，则PQ 的最小值是____________．QP MNAOE DC第11题图 第12题图 第13题12. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若CD =3 cm ，AB =10 cm ，则△ABD 的面积为_________．13. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB =3 cm ，AC =2 cm ，则S △ABD :S△ACD=_________．14. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ．求证：MB =MC ．ABCD MABCD【参考答案】课前预习1.都是左右两边对称的图形2.（1）相等（2）垂直（3）=3. 4知识点睛1.成轴对称，对称轴2.轴对称图形，对称轴3.垂直平分，相等，相等4.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等5.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等精讲精练1.作图略2.作图略3. C4.GH，CD，∠GCE，l；OC，OE5.75°6. B7.12cm8.32cm9.810.MC=3提示：连接ME，由垂直平分线定理可得结论11. 312.15cm213.3:214.证明略提示：过点M作ME⊥AD于点E，由角平分线定理可得结论轴对称（复习二习题）例题示范例1：已知：如图，AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，垂足分别为点F ，G ，DE 是BC 的垂直平分线． 求证：BF =CG ．【思路分析】 读题标注：① 从条件出发，看到角平分线考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”，结合题目其他条件，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ，可得EF =EG ；② 看到垂直平分线考虑“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因此连接BE ，CE（如图所示），得到BE =CE ；③ 题目所求为BF =CG ，证明△BEF ≌△CEG 即可． 【过程书写】证明：如图，连接BE ，CE ∵AE 平分∠FAC ，EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴EF =EG∵DE 是BC 的垂直平分线 ∴BE =CE∵EF ⊥AF ，EG ⊥AC ∴∠BFE =∠CGE =90° 在Rt △BEF 和Rt △CEG 中BE CE EF EG =⎧⎨=⎩（已证）（已证）∴Rt △BEF ≌Rt △CEG （HL ） ∴BF =CG （全等三角形对应边相等）GFDCB A巩固练习1.下列是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2.一个风筝的设计图如图所示，其主体部分（四边形ABCD）关于线段BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断错误的是（）A．△ABD≌△CBDB．△ABC≌△ADCC．△AOB≌△COBD．△AOD≌△COD3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上，将△ABC沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点D处．若∠A=30°，则∠BED=_______．C EDBODC BA第3题图第4题图4.已知：如图，∠AOB=40°，若CD是OA的垂直平分线，则∠ACB=__________．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E．若DE+BD=3cm，则AC=__________cm．EDCBA6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．O DBAEDCA7. 作图题：利用网格线，作出△ABC 关于直线DE 对称的图形△A 1B 1C 1．EC BAD8. 已知：如图，P 为∠ABC 内一点，请在AB ，BC 边上各取一点M ，N ，使△PMN 的周长最小．9. 已知：如图，CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别连接AC ，BC ，AE ，BE ．求证：∠CAE =∠CBE ．ED C10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点O ．OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ． 求证：OD =OE ．OE DA11.已知：如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，垂足分别为点D，E，AD与CE相交于点O，连接OB，∠OBC=∠OBA．求证：OA=OC．O E DCBA思考小结1.轴对称的思考层次：①全等变换：对应边__________、对应角__________．②对应点：对应点所连线段被对称轴_________________；对称轴上的点到对应点的距离_____________．③应用：奶站问题等．如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl【参考答案】巩固练习1. B2. B3.60°4.80°5. 36.327.作图略8.作点P关于BA的对称点O1，作点P关于BC的对称点O2，连接O1O2，分别交BA，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小．9.证明略提示：利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，得出AC=BC，AE=BE，再证明△CAE≌△CBE10.证明略提示：过点O作OF⊥BC于点F，角平分线上的点到角两边的距离相等可得结论11.证明略提示：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，得出OD=OE，再证明△COD ≌△AOE思考小结1.①相等、相等②垂直平分；相等④作点A关于街道的对称点A1，连接A1B交街道于点P，则点P即为满足条件的点轴对称（复习三随堂测试）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，若△ABC 和△EBC 的周长分别为60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰长为____________，底边长为____________．2. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，且∠DEA +∠DF A =180°．求证：DE =DF ．【思路分析】（1）读题标注：（2）梳理思路：①从条件出发：看到角平分线考虑角平分线上的点到角两边的距离相等，可作________________，________________，可得②题目所求为DE =DF ，证明____________________【过程书写】 证明：如图，【参考答案】1.22cm，16cm2.思路分析：①DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，DM=DN过程书写略。
初二轴对称图形难题总结
初二轴对称图形难题总结如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于I的对称点B',连接A B与直线I交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，O O的直径CD为4,点A在O O 上, / ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为 ____________________ .（2）知识拓展：如图（c）,在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.2. （1）观察发现如图（1）:若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B',连接AB',与直线m的交点就是所求的点P,线段AB'的长度即为AP+BP的最小如图（2）:在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小, 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为（2 ）实践运用如图（3）：已知O O的直径CD为2，配的度数为60 °点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的（3）拓展延伸如图（4）:点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB BC上作出点M，点N,使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.如图（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律？人/I* / Vy ■-r■v 『P \% H* *B4 5 6 7 8 9⑴⑵聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道I看成一条直线（图（2））,问题就转化为，要在直线I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：①作点B关于直线I的对称点B'.②连接AB交直线I于点P,则点P为所求.请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC中，点D、E分别是AB AC边的中点，BC=6, BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点巳使厶PDE得周长最小.（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）.（2）请直接写出△ PDE周长的最小值：__________ .4（1）观察发现：如（a）图，若点A, B在直线I同侧，在直线I上找一点P,使AP+BP的值最小.做法如下：作点B关于直线I的对称点B',连接AB'，与直线I的交点就是所求的点P.再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE 的最小值为___________ .（2）实践运用：如（c）图，已知O O的直径CD为4, / AOD的度数为60°点B是肛＜的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：8,(a)5.几何模型：条件：如下图, A、B是直线I同旁的两个定点.久问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'B 交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+PE 的最小值是 ______________ ;(2) 如图2, O O 的半径为2,点A 、B 、C 在O O 上，0A 丄OB , / AOC=60 , P 是0B 上一动点，求 PA+PC 的最小 值； (3) 如图3, / AOB=45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、0B 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 6.如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,- 1).(1) __________________________________________________ 若P ( p , 0)是x 轴上的一个动点，则当 p= 时，△ PAB 的周长最短；(2) _____________________________________________________________ 若C (a , 0), D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= _____________________________________________________ 时，四边形ABDC 的周长最短； (3)设M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m , 0)、N (0, n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m= ____________ , n= ___________ (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.21\■11 1 >-1(?123456"-1 ■1-3-/ A8 .如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角 / AON=30 ；新开发区 B 到公路MN 的距离BC=3千米.ayE1圈2图孑A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.£3.公曙7 .需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到(1) ________________________________________ 新开发区A到公路MN的距离为；(2)现要在MN上某点P处向新开发区A, B修两条公路PA, PB,使点P到新开发区A, B的距离之和最短.此时PA+PB= _________ (千米).10 .如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.(1)请画出：点 A 、B 关于原点0的对称点A2、B2 (应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明);(2) 连接A1A2、B1B2 (其中A2、B2为(1)中所画的点)，试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2; (3)设线段AB 两端点的坐标分别为 A (- 2, 4)、B ( - 4, 2),连接(1)中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , 使厶A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点C 的坐标(不必说明周长之和最小的理由) ；若不存在，请说明理由.1A厂B比____________________________________ X11•某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益.请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)■B 99.如图：(1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人； (2)若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边I 上点P 处喝水后，再游到B ,但要使游泳的路程最短，试如图1 , △ ABC中，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，/ BAC是△ ABC的好角.小丽展示了确定 / BAC是厶ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角/ BAC的平分线AB1 折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合.探究发现(1)_______________________________________________________________________ △ ABC中，/ B=2/ C,经过两次折叠， / BAC是不是△ ABC的好角？____________________________________________ (填是”或不是”).(2)小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C (不妨设/ B> Z C)之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠Z BAC是厶ABC的好角，则Z B与Z C (不妨设Z B> Z C)之间的等量关系为应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.sinZB=T13 .如图，△ ABC中AB=AC, BC=6, 5,点p从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；(2)如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度14 . (2012?东城区二模)已知：等边△ ABC中，点0是边AC, BC的垂直平分线的交点，M , N分别在直线AC, BC 上，且Z M0N=6° .(1)如图1,当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN MN三者之间的数量关系；(2)如图2,当C昨CN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系. 保持不变的线段？请说明理由;16 .如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC, AC=DB, AC 与DB 交于点 M .求证: (1) △ ABC ^^ DCB;(2) 点M 在BC 的垂直平分线上.17 .如图，△ ABC 的边BC 的垂直平分线 DE 交厶BAC 的外角平分线 AD 于D , E 为垂足，DF 丄AB 于F ,且AB > AC,15 •如图，线段 CD 垂直平分线段 求证：DE=DFAB, CA 的延长线交BD 的延长线于E , CB 的延长线交AD 的延长线于F,18 .已知△ ABC 的角平分线 AP 与边BC 的垂直平分线求证：BK=CLPM 相交于点P ,作PK 丄AB , PL 丄AC,垂足分别是 K 、L,19 .某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村 A 、B 的距离必须相等，且到两条公路21.如图，在 △ ABC 中，/ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P ,过点P 分别作PN 丄AB 于N , PM 丄AC 于点M ，求证：BN=CM ./ B=15° DE 垂直平分 AB , E 为垂足交 BC 于D, BD=16cm ,求 AC 长.参考答案与试题解析 一.解答题（共22小题）1. （2013?日照）问题背景：如图（a ）,点A 、B 在直线I 的同侧，要在直线I 上找一点C ,使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于I 的对称点B',连接A B 与直线I 交于点C ,则点C 即为所求.n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置. （要有作图痕迹）MN 交BC 于M ，交AB 于N ,求BM 的长.(1)实践运用：如图(b),已知，O O的直径CD为4,点A在O O上，/ ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2二.(2)知识拓展：如图(c),在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点, 求BE+EF 的最小值，并写出解答过程.考点：轴对称-最短路线问题.3113559分析：(1)找点A或点B关于CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置•根据题意先求出 / C' AE再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；(2)首先在斜边AC上截取AB =AB连结BB',再过点B作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE,则线段解答：解：(1)作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P 此时PA+PB最小，且等于AE.作直径AC,连接C'.根据垂径定理得弧BD=< DE.•/ / ACD=30 ,°••• / AOD=60 ° / DOE=30 °••• / AOE=90 °•/ C' AE=45 °又AC为圆的直径，AEC =90；•/ C'纟C' AE=45 °V2• C' E=AE= AC' =2 °即AP+BP的最小值是2:.故答案为：2二；(2)如图，在斜边AC上截取AB =AB连结BB.•/ AD 平分 / BAC,•••点B与点B关于直线AD对称.过点B'作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE, 则线段B'F勺长即为所求.(点到直线的距离最短)在RtA AFB中，•••/ BAC=45 , AB =AB=10•B' F=AB ' ?sin45 °=AB?sin455^2, =10 x•BE+EF的最小值为' •-.⑹ I点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点 P位置是解题关键.（1）观察发现A 、B 在直线m 同侧，在直线 m 上找一点P ,使AP+BP 的值最小，做法如下：m 的对称点B',连接AB',与直线m 的交点就是所求的点 P ,线段AB'的长度即为AP+BP 的最小E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P ,使BP+PE 的值最小,做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ,故BP+PE 的最小值为（2 ）实践运用如图（3）:已知O O 的直径CD 为2，証的度数为60 °点B 是風 的中点，在直径 CD 上作出点P ,使BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为..（3）拓展延伸如图（4）:点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边 AB BC 上作出点M ，点N ,使PM+PN+MN 的值最小，保留作图 痕迹，不写作法.2 . （2013?六盘水）如图（1）:若点圆的综合题；轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题. (1) 观察发现：利用作法得到 CE 的长为BP+PE 的最小值；由AB=2,点E 是AB 的中点，根据等_1边三角形的性质得到 CE1AB, / BCE=：/ BCA=30, BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关 系得CE=-(2) 实践运用：过 B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结OB 、OE 、OA 、PB,根据垂径 定理得到CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP+AP 的最小值；由于“的度数为60°,点B 是的中点得到 / BOC=30 , / AOC=60，所以/ AOE=60 +30° =90°, 于是可判断△ OAE 为等腰直角三角形，则 AE=二0A=.'：; (3 )拓展延伸：分别作出点P 关于AB 和BC 的对称点E 和F ,然后连结EF, EF 交AB 于M 、交BC 于 N .解：(1)观察发现如图(2) , CE 的长为BP+PE 的最小值，•••在等边三角形 ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点2••• CE 丄 AB , / BCE= :/ BCA=30 ,° BE=1, CE= ；BE= 故答案为一：；(2 )实践运用如图(3),过B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB, •/ BE 丄 CD,• CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，•••AC 的度数为60 ；点B 是AC 的中点，• / BOC=30 ,° / AOC=60 /• / EOC=30,°• / AOE=60 +30 =90 °•/ OA=OE=1,• AE=：》O A =--,••• AE 的长就是 BP+AP 的最小值. 故答案为- 丁；(3 )拓展延伸 如图(4).考点 专题 分析解答:3. (2012?凉山州)在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.如图(1),要在燃气管道I 上修建一个泵站，分别向 A 、B 两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在I 上找几个点试一试，能发现什么规律?⑴ <2>25聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道 为，要在直线I 上找一点P ,使AP 与BP 的和最小.他的做法是这样的: ① 作点B 关于直线I 的对称点B'. ② 连接AB 交直线I 于点P,则点P 为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC 中，点D 、E 分别是AB AC 边的中点，BC=6, BC 边上的高为4,请你在BC 边上确定一点 巳使厶PDE 得周长最小. (1) 在图中作出点 P (保留作图痕迹，不写作法). (2)请直接写出 △ PDE 周长的最小值： 8 .考点： 轴对称-最短路线问题.3113559 专题： 压轴题.分析：(1)根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求； (2)利用中位线性质以及勾股定理得出 D'啲值，即可得出答案.解答：解：(1)作D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求；(2) •••点D 、E 分别是AB AC 边的中点, ••• DE ABC 中位线，点评:I 看成一条直线(图(2)),问题就转化用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称-最短路径问题.•/ BC=6, BC 边上的高为4, ••• DE=3, DD ' =4 • D ' E=「f * 二5, • △ PDE 周长的最小值为： DE+D ' E=3+5=8故答案为：&此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求 值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键.4. （2010?淮安）（1）观察发现：如（a ）图，若点A , B 在直线I 同侧，在直线I 上找一点P,使AP+BP 的值最小.做法如下：作点 B 关于直线I 的对称点B',连接AB'，与直线I 的交点就是所求的点 P.再如（b ）图，在等边三角 形ABC 中，AB=2,点E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P,使BP+PE 的值最小.做法如下：作点 B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点 P ,故BP+PE的最小值为.（2） 实践运用：如（c ）图，已知O O 的直径CD 为4, / AOD 的度数为60°点B 是AD 的中点，在直径 CD 上找一点P ,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值. （3） 拓展延伸：考点： 轴对称-最短路线问题.3113559分析：（1 ）首先由等边三角形的性质知， CE1AB ,在直角△ BCE 中，/ BEC=90BC=2 BE=1，由勾股定理可 求出CE 的长度，从而得出结果；（2） 要在直径CD 上找一点P ,使PA+PB 的值最小，设 A'是A 关于CD 的对称点，连接 A',与CD 的 交点即为点P .此时PA+PB=A B 是最小值，可证 △ OA B 是等腰直角三角形，从而得出结果. （3） 画点B 关于AC 的对称点B',延长DB 交AC 于点P .则点P 即为所求.解答：解：（1） BP+PE 的最小值=•八■] L=.… 」=.';.点评:△ PDE 周长的最小(2)作点A 关于CD 的对称点 A ,连接A B 交CD 于点P,连接OA , AA', OB. •••点A 与A 关于CD 对称，/ AOD 的度数为60 °•••/ A ， OD=AOD=60 ； PA=PA,' •••点B 是i 的中点，• / BOD=30 ,°•••/ A ， O 出A ，OD+BOD=90 ° •/ O O 的直径CD 为4 °• OA=OA ， =2 • A ， B=2:.• PA+PB=PA ， +PB=A ，.B=2(3) 如图d :首先过点 B 作BB 丄AC 于O °且OB=OB , 连接DB 并延长交AC 于P .(由AC 是BB'的垂直平分线，可得 / APB=Z APD).此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题 转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.5. (2009?漳州)几何模型:条件：如下图，A 、B 是直线I 同旁的两个定点.问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明). 模型应用： (1)如图1°正方形ABCD 的边长为2 ° E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+PE 的最小值是 ；(2) 如图2° O O 的半径为2°点A 、B 、C 在O O 上，OA 丄OB ° / AOC=60 ° P 是OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值；(3) 如图3° / AOB=45 ° P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题；动点型.(1) 由题意易得 PB+PE=PD+PE=DE 在厶ADE 中，根据勾股定理求得即可；(2) 作A 关于OB 的对称点A'°连接A'C 交OB 于P,求A'啲长，即是PA+PC 的最小值;点评:考点 专题 分析(3)作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N,连接MN，它分别与OA, OB 的交点Q、R,这时三角形PEF的周长-MN，只要求MN的长就行了.解答：解：(1) •••四边形ABCD是正方形，• AC垂直平分BD,•PB-PD,由题意易得：PB+PE-PD+PE-D,在厶ADE中，根据勾股定理得，DE- T(2)作A关于OB的对称点A',连接A C交OB于P, PA+PC的最小值即为A'啲长，•/ / AOC-60 °•/ A' OC-120 °作OD丄A'C于D,则 / A OD-60•••OA' -OA-2• A' D-；•I「:;(3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN , MN交OA、OB于点Q、R, 连接PR、PQ,此时△ PQR周长的最小值等于MN .由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10, / MOA=Z POA,•••/ MON=2 / AOB=2 X 4590 °在Rt A MON 中，MN= | 厂I =10 I:.即厶PQR周长的最小值等于10二点评:3£)V|!So此题综合性较强，主要考查有关轴对称--最短路线的问题,角形的有关知识.综合应用了正方形、圆、等腰直角三6. (2006?湖州)如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,—1).(1)P ( p, 0)是x轴上的一个动点，则当p=工时，△ PAB的周长最短;(2)(3) 时，四边形ABDC的周长最短；M (m, 0)、N (0, n),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=5-■(不必写解答过程) ；若不存在，请说明理由./ NOB=/ POB,T C 点的坐标为(a , 0),且在直线A'F 上,5••• a="(3)存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,作A 关于y 轴的对称点A',作B 关于x 轴的对称点B',连接A B'与x 轴、y 轴的交点即为点 M 、N ,• A' (- 2, - 3), B' (4 , 1),2 卫•直线A ' 的解析式为：y='x -」,考点 专题 分析 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质. 3113559压轴题. (1)根据题意，设出并找到 B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 ,1),进而可得直 线AB'的解析式，进而可得答案；(2) 过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长AE ,取A'E=AE 做点F (1, - 1),连接A'F .利用两点间 的线段最短，可知四边形 ABDC 的周长最短等于 A'F+CD+AB 从而确定C 点的坐标值.5解答: (3)根据对称轴的性质，可得存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,当且仅当m=：,时成立.解：(1)设点B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 , 1), 设直线AB'的解析式为y=kx+b ,n=—上；把 A (2, - 3) , B' (4, 1 )代入得:解得 ••• y=2x - 7 ,a令y=0得x=-即p= -(2 )过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长 AE ,取A'E=AE.做点F (1, - 1),连接A'F .那么 3).A (2,直线A'F 的解析式为C K -1)£ 丄 ,即 y=4x — 5,O 站 S 5• M ( 7, 0), N (0, - 8).C (a , 0),D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= 1 M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点5m= —, n=—考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与 坐标轴的交点等知识.7. （ 2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.利用轴对称图形的性质可作点A 关于公路的对称点 A ,连接A',与公路的交点就是点 P 的位置.本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离.用到的知识：两点之间线段最短.8. （2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公 路MN 的夹角/ AON=30，新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米. （1）新开发区A 到公路MN 的距离为 8 ;（2） 现要在MN 上某点P 处向新开发区 A , B 修两条公路PA , PB,使点P 到新开发区A , B 的距离之和最短.此时 PA+PB= 14 （千米）.点评:A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的考点 专题 分析 解答点评:O 站考点： 轴对称-最短路线问题.3113559 专题： 计算题；压轴题.分析：(1)先求出0B 的长，从而得出 0A 的长，再根据三角函数求得到公路的距离.(2)根据切线的性质得 EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,再根据余弦概念求解.解答： 解：(1) •/ BC=3, / AOC=30 , •••0B=6.过点A 作AE 丄MN 于点E , A0=AB+0B=16• AE=8.即新开发区A 到公路的距离为8千米；(2)过D 作DF 丄AE 的延长线(点 D 是点B 关于MN 的对称点)，垂足为F . 贝U EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,1 过B 作BG 丄AE 于G ,• BG=DF ,•/ BG=AB?cos30 ° -'=5•Q 二麻护*D 严二Jilt (MT )豆二“196 二 14连接 PB,贝U PB=PD,• PA+PB=PA+PD=AD=1（千米）.点评： 此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力.9. (2006?巴中)如图： (1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人；(2)若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 I 上点P 处喝水后，再游到 B ,但要使游泳的路程最短，试 在图中画出点 P 的位置.考点： 轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换.3113559 专题： 作图题.分析： 根据平移的规律找到点 B ,再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点 A 的对称点,连接A1B 与I 相交于点P,即为所求.点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题.最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线 段最短可求出所求的点.作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步•平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距 离，先确定一组对应点； ②确定图形中的关键点； ③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有 关键点的对应点； ④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形.10 . （2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.（1） 请画出：点 A 、B 关于原点O 的对称点A2、B2 （应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2） 连接A1A2、B1B2 （其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2；（3） 设线段AB 两端点的坐标分别为 A （- 2, 4）、B （ - 4, 2）,连接（1）中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , >△ A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由.解答:解：I 一! ： f ! I —丄丄；考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题.3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型.分析：(1)根据中心对称的方法，找点A2, B2,连接即可.(2 )设 A (xl, y1 )、B (x2, y2)依题意与(1)可得A1 (- x1, y1), B1 (- x2, y2), A2 (- x1,-y1) , B2 (- x2,- y2),得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2,所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.(3)根据A1与A2, B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.根据题意得B1 (4,2), A2 (2,- 4)设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法•解得I，所以可求直线A2B1的解析式10 10 22为y=3x- 10.令y=0,得x=3 ,所以C的坐标为(3,0).即点C^ , 0)能使△A1B1C与厶A2B2C 的周长之和最小.解答：解：(1)如图，A2、B2为所求的点.(2 )设 A (x1 , y1)、B (x2, y2)依题意与(1)可得A1 (- x1, y1) , B1 (- x2, y2), A2 (- x1,- y1) , B2 (- x2 , - y2)••• A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2 ,••• x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.(3 )存在符合题意的C点.由(2)知A1与A2 , B1与B2均关于x轴对称，•连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.T A (- 2 , 4) , B (- 4 , 2)依题意及(1 )得：B1 (4, 2), A2 (2, - 4).r4k^b=2设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有［乐+b二T 解得(b二- 1°•直线A2B1的解析式为y=3x- 10 ,110令y=0,得x=点评： 主要考查了轴对称的作图和性质， 以及垂直平分线的性质. 要知道对称轴垂直平分对应点的连线. 会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键.11. （2001?宜昌）某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益•请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加工厂C 的运输路程之和最短.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）AB■-轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.作A 关于直线L 的对称点E ,连接BE 交直线L 于C ,则C 为所求.本题主要考查对轴对称-最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键,12 . （2012?淮安）阅读理解如图1 , △ ABC 中，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC 的平分线AnBn+1折叠，点Bn 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次 恰好重合，/ BAC 是△ ABC 的好角.小丽展示了确定 / BAC 是厶ABC 的好角的两种情形.情形一：如图 2,沿等腰三角形 ABC 顶角/ BAC 的平分线AB1 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图 3，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的 平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合. 探究发现 考点 专题 分析 解答点评:w••• C 的坐标为（：；，0）BAC是不是△ ABC的好角？是（填是”或不是”）.（2）小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ BAC是厶ABC的好角，则/ B与/ C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系为 / B=n/ C •应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的考点：翻折变换（折叠问题）• 3113559专题：压轴题；规律型.分析：（1 ）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知/ B=2/ C;（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知/ A1A2B2=/ C+/ A2B2C=2Z C;根据四边形的外角定理知/ BAC+2Z B - 2C=180①，根据三角形ABC的内角和定理知 / BAC+/ B+/C=180。
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初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_________．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：_________．4．（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE 的最小值为_________．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．5．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_________；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．6．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=_________，n=_________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为_________；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=_________（千米）．9.如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．11．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）12．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为_________．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．13．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；14．（2012•东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC 上，且∠MON=60°．（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．15．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，求证：DE=DF．16．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．17．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．18．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，求证：BK=CL．19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N，求BM的长．21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．22．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．解答：解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=AC′=2，即AP+BP的最小值是2．故答案为：2；（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×=5，∴BE+EF的最小值为．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键．2．（2013•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．解答：解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，∴CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴AE=OA=，∵AE的长就是BP+AP的最小值．故答案为；（3）拓展延伸如图（4）．点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．3．（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：8．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．解答：解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E===5，∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．4．（2010•淮安）（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．（3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．解答：解：（1）BP+PE的最小值===．（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，∵点B是的中点，∴∠BOD=30°，∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，∵⊙O的直径CD为4，∴OA=OA′=2，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，连接DB′并延长交AC于P．（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．点评：此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．5．（2009•漳州）几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题；动点型．分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．6．（2006•湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=，n=﹣（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据题意，设出并找到B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=，n=﹣；时成立．解答：解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A（2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0得x=，即p=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F的解析式为，即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．m=，n=﹣．点评：考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．7．（2007•庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题．分析：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点就是点P的位置．解答：解：点P就是飞机场所在的位置．（5分）点评：本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离．用到的知识：两点之间线段最短．8．（2006•贵港）如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为8；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=14（千米）．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：计算题；压轴题．分析：（1）先求出OB的长，从而得出OA的长，再根据三角函数求得到公路的距离．（2）根据切线的性质得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根据余弦概念求解．解答：解：（1）∵BC=3，∠AOC=30°，∴OB=6．过点A作AE⊥MN于点E，AO=AB+OB=16，∴AE=8．即新开发区A到公路的距离为8千米；（2）过D作DF⊥AE的延长线（点D是点B关于MN的对称点），垂足为F．则EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，过B作BG⊥AE于G，∴BG=DF，∵BG=AB•cos30°=5，∴，连接PB，则PB=PD，∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力．9．（2006•巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换．3113559专题：作图题．分析：根据平移的规律找到点B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点A的对称点，连接A1B与l相交于点P，即为所求．解答：解：点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题．最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．10．（2003•泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型．分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2，B2，连接即可．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）根据A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B1（4，2），A2（2，﹣4）设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法．解得，所以可求直线A2B1的解析式为y=3x﹣10．令y=0，得x=，所以C的坐标为（，0）．即点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．解答：解：（1）如图，A2、B2为所求的点．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，∴x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）存在符合题意的C点．由（2）知A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，∴连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依题意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有解得∴直线A2B1的解析式为y=3x﹣10，令y=0，得x=，∴C的坐标为（，0）综上所述，点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质．要知道对称轴垂直平分对应点的连线．会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键．11．（2001•宜昌）某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题．分析：作A关于直线L的对称点E，连接BE交直线L于C，则C为所求．解答：答：如图：．点评：本题主要考查对轴对称﹣最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键，12．（2012•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．3113559专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；。