2018年高考数学一模试卷(理科)
【全国通用-2018高考推荐】高三数学(理科)考前一模检测试题及答案解析
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种5．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．77．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6 B．30+6C．56+12D．60+128．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B． C．6 D．99．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30°B．135° C．45°或135°D．45°10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．11．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若tan（π﹣α）=2，则sin2α= ．14．展开式中不含x4项的系数的和为．15．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= ．16．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．18．“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．21．已知函数，当时，函数f（x）有极大值．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+2=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．【解答】解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={}⊆A，=1或=﹣1⇒a=﹣2或2，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}．故选D．【点评】本题考查集合的包含关系及应用．注意空集的讨论，是易错点．2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．【点评】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．5．执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S 的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k ＞4，k=3不满足条件k ＞4，k=4不满足条件k ＞4，k=5满足条件k ＞4，S=sin =，输出S 的值为．故选：D ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x ﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．【点评】本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6 B．30+6C．56+12D．60+12【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）A．2 B． C．6 D．9【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由于⊥⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）•（4，y）=0，化为4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，当且仅当2x=y=1时取等号．故选C．【点评】本题考查了⊥⇔=0、基本不等式的性质，属于基础题．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30°B．135° C．45°或135°D．45°【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可．【解答】解：由1+=．得1+=．即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（A+B）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，即A=，∵a=2，c=2，∴a＞c，即A＞C，由正弦定理得，即，∴sinC=，即C=45°，故选：D【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性极值等函数特点是解决本题的关键．11．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|=求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=x2+=2，∴x2=2，把x2=2代入抛物线y2=2x，得，y2=﹣2，∴直线AB过点M（3，0）与（2，﹣2）方程为2x﹣y﹣6=0，代入抛物线方程，解得，x1=，∴|AE|=+=5，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：A【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力．12．对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解答】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．【点评】本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．若tan（π﹣α）=2，则sin2α= ．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tanα的值，再利用同角三角函数间的基本关系得到sinα=2cosα，且sinα与cosα异号，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α与sin2α的值，进而求出sinαcosα的值，最后利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值．【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，即=﹣2＜0，∴sinα=﹣2cosα，两边平方得：sin2α=4cos2α，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，sin2α=，∴sin2αcos2α=，即sinαcosα=﹣，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．14．展开式中不含x4项的系数的和为0 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】给二项式中的x赋值1，得到展开式的所有项的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为4求出展开式中x4的系数，利用系数和减去x4的系数求出展开式中不含x4项的系数的和．【解答】解：令x=1求出展开式的所有的项的系数和为1展开式的通项为令得r=8所以展开式中x4的系数为1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故答案为：0【点评】本题考查解决展开式的系数和问题常用的方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．15．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= π．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案为：π【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．16．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的命题是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计；推理和证明．【分析】根据抽样方法的定义，可判断①；根据相关系数与相关性的关系，可判断②；根据相关系数的几何意义，可判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④．【解答】解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故②正确；在回归直线=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位，故③正确；对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④错误；故正确的命题是：②③，故答案为：②③【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了抽样方法，相关系数，回归分析，独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*）．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）设b n=（1﹣a n）（1﹣a n+1），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知，令n=1可求T1，然后利用已知变形可得：T n•T n﹣1=2T n ﹣1﹣2T n（n≥2），变形即可证明（Ⅱ）由等差数列，可求，进而可求a n，代入即可求解b n，结合数列的特点考虑利用裂项求和【解答】解：（Ⅰ）∵T n=2﹣2a n∴T1=2﹣2T1∴∴由题意可得：T n•T n﹣1=2T n﹣1﹣2T n（n≥2），所以∴数列是以为公差，以为首项的等差数列（Ⅱ）∵数列为等差数列，∴，∴，∴，∴==【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及数列的裂项求和方法的应用．18．“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（Ⅱ）由频率公布直方图知100×0.15=15，100×0.05=5，由此能求出抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数．（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为35．…（Ⅱ）100×0.15=15，100×0.05=5，所以，即抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数为2．…（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．；；．所以X的分布列为X 0 1 2PX的数学期望为．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A﹣PB﹣E的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC （II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，∴令得…∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为．…设二面角的A﹣PB﹣E大小为θ，由图知，，所以θ=60°，即二面角的A﹣PB﹣E大小为60°…【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a2=4b2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力．21．已知函数，当时，函数f（x）有极大值．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，利用当时，函数f（x）有极大值，建立方程，即可求得实数b、c的值；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a﹣7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b∵当时，函数f（x）有极大值，∴f′（）=﹣++b=0，f（）=﹣++c=，∴b=0，c=0；（Ⅱ）存在x0∈[﹣1，2]，使得f（x0）≥3a﹣7成立，等价于x∈[﹣1，2]，使得f（x）max≥3a﹣7成立由（Ⅰ）知，①﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣3x（x﹣），函数在（﹣1，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减∵f（﹣1）=2，f（）=，∴﹣1≤x＜1时，f（x）max=2，；②2≥x≥1时，f′（x）=，1°、a＞0，函数在[1，2]上单调递增，f（x）max=f（2）=aln2，∴或，∴＜a≤或0＜a≤；2°、a≤0，函数在[1，2]上单调递减，f（x）max=f（1）=aln1=0，∴2≥3a﹣7，∴a≤3，∴a≤0综上，实数a的取值范围是a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE•DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】选作题．【分析】（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O 的半径．【解答】（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE•DB．（II）解：设⊙O的半径为R∵D是弧AC的中点∴OD⊥AC，设垂足为F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3【点评】本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l 的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；…（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0 ∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．…【点评】本题以参数方程和极坐标方程为例，考查了两种方程的互化和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，f（x）=3，成立；当﹣1＜x＜2时，f（x）=﹣2x+1，﹣4＜﹣2x＜2，∴﹣3＜﹣2x+1＜3，成立；当x≥2时，f（x）=﹣3，成立；故﹣3≤f（x）≤3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1；当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，∴﹣1≤x≤1，∴﹣1＜x≤1；当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，确定函数的解析式是关键．。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本题共12小题，每小题5分,共60分）1．（5分)已知集合A={x｜x2﹣2x﹣3＞0｝，B=N，则集合（∁R A）∩B中元素的个数为（)A．2B．3C．4D．52．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(）A．﹣6B．13C．D．3．（5分）已知f（x)=sinx﹣tanx，命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则（）A．p是假命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f(x0）≥0C．p是真命题,￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题,￢p：∃x0∈（0，)，f（x0）≥04．(5分）已知程序框图如图，则输出i的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5分）2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1）班、(2)班，(3）班、(4）班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中（1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（)A．18种B．24种C．48种D．36种6．(5分）《九章算术》是我国古代数学名著,在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,若某阳马”的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．(5分）设不等式组表示的平面区域为D,若圆C:（x+1)2+y2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围为()A．（0，）∪（,+∞）B．（，+∞）C．(0，）D．［，］8．（5分)若等边三角形ABC的边长为3,平面内一点M满足6﹣3=2，则•的值为(）A．﹣B．﹣2C．2D．9．（5分）关于函数f(x)=3sin（2x﹣）+1（x∈R），下列命题正确的是(）A．由f（x1)=f（x2)=1可得x1﹣x2是π的整数倍B．y=f（x)的表达式可改写成f(x）=3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象关于点（，1）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称10．（5分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1,若对于x∈[1，3］，f（x）＜﹣m+4恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0］B．C．D．11．（5分)设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点,顶点P在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（5分)已知定义在R上的函数f（x）和g（x)分别满足f（x）=，e2x﹣2+x2﹣2f（0)•x,g′（x)+2g（x）＜0，则下列不等式恒成立的是（）A．g(2016）＜f（2）•g（2018)B．f（2）•g（2016）＜g（2018）C．g（2016）＞f（2）•g（2018）D．f（2)•g（2016）＞g（2018）二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13．(5分）设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式(a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．（5分）若函数f（x）=（a，b∈R）为奇函数，则f(a+b）的值为．15．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．(5分）如图，OA,OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣区域I和区域Ⅱ，点C在上,∠COA=θ，CD∥OA,其中，半径OC及线段CD需要用渔网制成．若∠AOB=,OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70分)17．（12分)已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2,a n＞0,6S n=+3a n+2，n∈N ＊．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若对∀n∈N＊，b n=(﹣1)n，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（12分)如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4．（1)求证：PC⊥BD；（2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B﹣DF﹣C的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．(12分)某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2）假设在（90,100]段的学生中有3人得满分100分,有2人得99分,其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20．（12分)已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，点(2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A,B两点，M（0，2），直线AM与BM 的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使｜AN｜=｜BN｜,求△ABN的面积的最小值．21．（12分)已知函数f（x）=ae x+x2﹣bx(a,b∈R），其导函数为y=f′（x)．（1)当b=2时,若函数y=f′（x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）设a≠0，点P(m，n)（m,n∈R）是曲线y=f（x)上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m）使得f（x0）﹣n=f′（)（x0﹣m）成立？并证明你的结论．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲]22．(10分)在直角坐标系xOy中，已知直线l1：（t为参数），l2:（t为参数）,其中α∈(0，），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设l1，l2分别与曲线C交于点A,B(非坐标原点），求｜AB｜的值．［选修4—5：不等式选讲］23．设函数f（x）=|x﹣a|（a＞0）．(1）当a=2时,解不等式f（x）≥1﹣2x；（2）已知f（x）+|x﹣1｜的最小值为3，且m2n=a（m＞0,n＞0），求m+n的最小值．2018年河南省高考数学一模试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分）1．【分析】可先求出集合A=｛x｜x＜﹣1，或x＞3｝,然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：A=｛x|x＜﹣1，或x＞3｝；∴∁R A={x|﹣1≤x≤3};∴（∁R A)∩B={0，1,2，3}．故选：C．【点评】考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念,交集和补集的运算．2．【分析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则,解得a=﹣6．故选:A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3．【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣tanx,x∈（0,）,当x=时，∴f(x）=，命题p：∃x0∈（0,)，f(x0)＜0，是真命题,命题p:∃x0∈（0，）,f（x0）＜0，则￢p：∀x∈(0，），f（x）≥0．故选:C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件,故S=105,i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件,故S=945,i=11;当S=945时，不满足退出循环的条件,故S=10395，i=13；当S=10395时,满足退出循环的条件，故输出的i=13，故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．【分析】分类讨论，第一类,一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类,一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类,一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．【点评】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力,属于中档题．6．【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD⊥底面ABCD，且侧棱AD=1,∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形,且PA=PC=，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．故选：C．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以（﹣1，﹣1)为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△MNP及其内部,其中M(1，1），N（2，2），P（1，3)∵圆C:(x+1）2+y2=r2（r＞0)表示以C（﹣1，0)为圆心，半径为r的圆,∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时,圆C不经过区域D上的点，∵CM==,CP==．∴当0＜r＜或r＞时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识,属于中档题．8．【分析】根据条件可先求出，而由即可得出,这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：等边三角形ABC的边长为3;∴；;∴；∴==，=；∴===﹣2．故选:B．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9．【分析】根据函数f（x)=3sin（2x﹣）+1(x∈R）,结合三角函数的性质即可判断各选项．【解答】解：函数f(x）=3sin(2x﹣）+1（x∈R)，周期T=，对于A：由f（x1)=f（x2）=1，可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的，此时x1﹣x2不是π的整数倍；∴A 不对．对于B：由诱导公式，3sin（2x﹣)+1=3cos［﹣（2x﹣)］+1=3cos（2x﹣）+1．∴B不对．对于C:令x=，可得f(）=3sin（2×﹣）+1=﹣1=，∴C不对，对于D:当x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f(x）的图象关于直线x=﹣对称．故选：D．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10．【分析】利用分离参数法,再求出对应函数在x∈［1，3］上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意，f（x)＜﹣m+4，可得m(x2﹣x+1）＜5．∵当x∈[1，3］时，x2﹣x+1∈[1,7］，∴不等式f（x）＜0等价于m＜．∵当x=3时，的最小值为，∴若要不等式m＜恒成立,则必须m＜，因此，实数m的取值范围为(﹣∞，），故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11．【分析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得=4,得到5b=4c，即可求出a=c，根据正弦定理可得===【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2﹣10x=0，即（x﹣5）2+y2=25所截得的两条弦长之和为12,设圆心到直线的距离为d，则d==4，∴=4，即5b=4c，即b=c∵a2=c2﹣b2=c2，∴a=c，∴|AP﹣BP|=2a,由正弦定理可得===2R，∴sinB=，sinA=,sinP=，∴===,故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12．【分析】f(x）=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0）=．由f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0）,令x=1，可得f（0）．进而得出f′（1)，f(x），f （2）．令h（x）=e2x g（x），及其已知g′(x)+2g（x）＜0，可得h′（x)=e2x[g′（x）+2g（x）]＜0，利用函数h（x)在R上单调递减，即可得出．【解答】解：f（x)=e2x﹣2+x2﹣2f（0）•x，令x=0，则f（0)=．∵f′（x）=f′(1）•e2x﹣2+2x﹣2f（0)，令x=1,则f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），解得f(0）=1．∴f′（1）=2e2．∴f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2)=e4．令h（x)=e2x g（x），∵g′(x）+2g（x)＜0，∴h′（x）=e2x g′（x）+2e2x g（x)=e2x［g′(x）+2g（x）］＜0，∴函数h（x)在R上单调递减，∴h(2016）＞h（2018），∴e2016×2g（2016）＞e2018×2g(2018），可得:g（2016)＞e4g（2018）．∴g(2016）＞f（2）g(2018)．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力,属于难题．二、填空题（本题共4小题,每小题5分，共20分）13．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）｜=﹣1﹣1=﹣2，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1=26﹣r C6r•x3﹣r，令3﹣r=2,求得r=1，故含x2项的系数为26﹣1C61=192．故答案为:192【点评】本题主要考查定积分、二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．【分析】由已知中函数f(x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值．【解答】解：∵函数f（x)==为奇函数，故f（﹣x）=﹣f（x）恒成立,故．即，∴f（x)=，∴f（a+b)=f（1）=1﹣2=﹣1，故答案为:﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的奇偶性,函数求值,难度中档．15．【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长,即可求出AA1的长度．【解答】解:由题意,△ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ABC外接圆圆心G，即GA=GB=GC=2，从而正三角形ABC边长2,设球心O,由题意，E、D在球面上,OE=OD=2,F为DE中点，则OF⊥DE，OF=GD=GC=1，在Rt△OEF中，OE=2，OF=1，∴EF=，∴DE=2，∴AA1=2．故答案为：2．【点评】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系,通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力,逻辑推理能力．16．【分析】确定∠COD，在△OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式,利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ，得∠OCD=θ,∠ODC=，∠COD=﹣θ;在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ),可得f（θ）=θ+1+sin(﹣θ）,所以f′(θ）=1﹣cos（﹣θ）,因为θ∈(0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ)=0，得cos（﹣θ)=，所以﹣θ=，所以θ=．θ（0,）（,）f′（θ）+0﹣f（θ）极大值所以f（θ)∈（2,］．故所需渔网长度的最大值为．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题,是难题．三、解答题（共70分）17．【分析】（1）6S n=+3a n+2,n∈N＊．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3)=0,由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1=3，n=1时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n=(﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n=﹣(6n﹣5）2+（6n﹣2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组求和即可得出．【解答】解：（1）6S n=+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n=6S n﹣6S n﹣1=+3a n+2﹣（+2)，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，n=1时,6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得a1=1．∴数列{a n｝是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2)b n=（﹣1）n=（﹣1）n（3n﹣2）2．+b2n=﹣（6n﹣5）2+(6n﹣2)2=3（12n﹣7）=36n﹣21．∴b2n﹣1∴数列｛b n｝的前2n项的和T2n=36（1+2+……+n）﹣21n=﹣21n=18n2﹣3n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1)推导出△BAD≌△EDC,∠DBA=∠DEH,从而BD⊥EC，由PH⊥平面ABCD，【分析】得BD⊥PH,由此能证明BD⊥平面PEC，从而PC⊥BD．（2）推导出PH、EC、BD两两垂直,建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系,利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F 满足CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：(1）∵AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠EDC=∠BAD=90°,∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，∴△BAD≌△EDC,∴∠DBA=∠DEH，∵∠DBA+∠ADB=90°,∴∠DEH+∠ADB=90°，∴BD⊥EC,又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH，又∵PH∩EC=H，且PH,EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，又∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD．解：（2）由(1）可知△DHE∽△DAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=，∴,∴EH=1，HC=4，DH=2,HB=3，∵PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H(0，0，0）,B（3，0，0)，C（0，4，0)，D（﹣2，0，0），P（0，0，4）,假设线段PC上存在一点F满足题意，∵与共线,∴存在唯一实数λ，（0≤λ≤1)，满足=λ，解得F（0，4﹣4λ，4λ),设向量=（x,y,z）为平面CPD的一个法向量,且=（0,﹣4，4），=(﹣2，﹣4,0）,∴，取x=2,得=（2，﹣1,﹣1），同理得平面CPD的一个法向量=(0，λ，λ﹣1），∵二面角B﹣DF﹣C的余弦值是，∴|cos＜＞｜===，由0≤λ≤1,解得λ=，∴=,∵CP=4,∴线段PC上存在一点F,当点F满足CF=3时,二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【点评】本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是中档题．19．【分析】（1)把组中值看作各小组的平均数,根据加权平均数公式计算;（2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．【解答】解:（1）=45×0。
2018高考全国1卷理科数学试卷及答案
2018高考全国1卷理科数学试卷及答案2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题，本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 $z=\frac{1-i+2i}{1+i}$，则 $z=$A.0B.1C.1/2D.22.已知集合 $A=\{x|x-x-2>0\}$，则 $C_R A=$A。
$\{x|-1<x<2\}$B。
$\{x|-1\leq x\leq 2\}$C。
$\{x|x2\}$D。
$\{x|x\leq -1\}\cup\{x|x\geq 2\}$3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若$3S_3=S_2+S_4$，$a_1=2$，则 $a_5=$A。
$-12$B。
$-10$C。
10D。
125.设函数 $f(x)=x+(a-1)x+ax$，若 $f(-x)$ 为奇函数，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3,32)$ 处的切线方程为A。
$y=-2x$B。
$y=-x$XXXD。
$y=x$6.在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$E$ 为 $AD$ 的中点，则 $EB=\frac{1}{3}AB-\frac{1}{4}AC$A。
$\frac{3}{11}AB-\frac{8}{11}AC$B。
$\frac{4}{11}AB-\frac{7}{11}AC$C。
$\frac{7}{11}AB-\frac{4}{11}AC$D。
【高三数学试题精选】2018年高考理科数学一模考试试题(带答案)
∵平面，平面，平面；---4分
（其它证法，请参照给分）
（2）依题意知且
∴平面
∵平面，∴，------------------5分
∵为中点，∴
结合，知四边形是平行四边形
∴，----------------------------------------------------7分
∵，
∴--------------------------------11分
2018年高考理科数学一模考试试题（带答案）
5绝密★启用前
揭阳市--2分
从而，，-----------------------------------------------4分
∵，∴；--------------------------------------------------------------6分
把代入并去绝对值整理，
或者
前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立
则，解得；----------------------------------------------------------------------12分
②当直线斜率不存在时，其方程为和，---------------------------13分
而，∴∴，即-----8分
又∴平面，
∵平面，∴------------------------------------------------9分
（3）解法一如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设，则
易知平面的一个法向量为，-----------10分
设平面的一个法向量为，则
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
1、设z= ，则|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由题可得 ，所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则 A=
A、{x|-1<x<2}
B、{x|-1 x 2}
D.[1，+∞）
【答案】C
【解析】
根据题意：f(x)+x+a=0有两个解。令M(x)=-a,
N(x)=f(x)+x =
分段求导：N‘(x)=f(x)+x = 说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下：
M(x)=-a在区间(-∞，+1]上有2个交点。
∴a的取值范围是C.[-1，+∞）
【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法
【解析】
S1=2a1+1=a1∴a1=-1
n>1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 两式相减：Sn-Sn-1= an=2an-2an-1∴an=2an-1
an=a1×2n-1= （-1）×2n-1
则下面结论中不正确的是：
A、新农村建设后，种植收入减少。
B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A
【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，
【考点定位】简单统计
M、N的坐标（1，2），（4，4）
则 · =(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8
2018年高考理科数学(全国I卷)试题及详细答案
5、设函数 f （ x） =x3+（ a-1 ） x2+ax . 若 f（ x ）为奇函数，则曲线 y= f （ x ）在点（ 0， 0）处的切线方 程为（ ） B.y= -x C.y=2x D.y=x =（ + ） D. +
A.y= -2x
6、在 ? ABC中， AD为 BC边上的中线， E 为 AD的中点，则 A. B. C.
7、某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。 圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 度为（ A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8. 设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F， 过点（ -2 ， 0） 且斜率为 的直线与 C 交于 M ， N 两点，则 A.5 B.6 C.7 D.8 ・ ）
A，
M到 N 的路径中，最短路径的长
=( )
9. 已知函数 f （ x ） = ( ) ， 0） B. [0 ， +∞）
g （ x ）=f （ x） +x+a，若 g（ x ）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是
A. [-1
C. [-1
， +∞）
D. [1
， +∞）
10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC的斜边 BC ，直角边 AB ， AC. △ ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为 Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 则( ) A. p 1=p2 B. p 1=p3 C. p 2=p3 D. p 1=p2+p3 11. 已知双曲线 C： - y 2=1， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交 p1 ， p2， p3，
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
y
0
D.
3 2
．
14. 记 Sn 为数列an的前 n 项和，若 Sn 2an 1 ，则 S6
．
15. 从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有
种．（用数字填写答案）
16. 已知函数 f x 2sin x sin 2x ，则 f x的最小值是
A. y 2x
B. y x
C. y 2x
6. 在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
3 1 AB AC
A． 4
4
1 3 AB AC
B． 4
4
3 1 AB AC
C． 4
4
D. y x
1 3 AB AC
D． 4
4
7. 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱 表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 z 1 i 2i
1. 设 1 i ，则| z |
2018年陕西省高考数学一模试卷(理科)
2018年陕西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|x∈N}，则A∩B中元素的个数（）A．0B．1C．2D．32．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q 4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3•a5=12，a2=0．若a1＞0，则S20=（）A．420B．340C．﹣420D．﹣3405．（5分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．2D．18．（5分）已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB=4．若平面ABC与平面BCD 垂直，且异面直线AB和CD所成角为θ，则cosθ=（）A．B．C．D．9．（5分）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=x a，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，=0，||=||=||=2，则△ABC的面积等于（）A．B．2C．3D．411．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．12．（5分）若函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx存在极值，且这些极值的和不小于4+ln2，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．C．D．[4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若直线2x﹣y+c=0是抛物线x2=4y的一条切线，则c=．14．（5分）已知函数f（x）=ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，则函数g（x）=bx+，x∈[﹣4，﹣1]的值域为．15．（5分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）．已知在鳖臑M﹣ABC中，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，则该鳖臑的外接球的表面积为．16．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）•（acosB+bcosA）=abc，若a+b=2，则c的取值范围为．三、解答题（本大题分必考题和选择题两部分，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知在递增等差数列{a n}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，S n为数列{b n}的前n项和，求S100的值．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．19．（12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到如表（单位：人）：（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）①现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率．②将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为X，求X的数学期望和方差．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．21．（12分）设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t ＞0，α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）当t=1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≤3；（2）记函数g（x）=f（x）+|x+1|的值域为M，若t∈M，证明：．2018年陕西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|x∈N}，则A∩B中元素的个数（）A．0B．1C．2D．3【分析】先求出集合A={x|﹣3＜x＜3}，然后即可求出A∩B，即得出A∩B元素的个数．【解答】解：A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x∈N}；∴A∩B={0，1，2}；∴A∩B中元素的个数为3．故选：D．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】e2i=cos2+isin2，根据2∈，即可判断出．【解答】解：e2i=cos2+isin2，∵2∈，∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3•a5=12，a2=0．若a1＞0，则S20=（）A．420B．340C．﹣420D．﹣340【分析】利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此利用等差数列前n项和公式能求出S20．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3•a5=12，a2=0．a1＞0，∴，解得a1=2，d=﹣2，∴S20=20×2+×（﹣2）=﹣340．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前20项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（5分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则函数f（x）=|x|sgnx的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据新定义可得f（x）=|x|sgnx==x，问题得以解决．【解答】解：函数f（x）=|x|sgnx==x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故选：C．【点评】本题考查了新定义和函数图象的识别，属于基础题．6．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（1，﹣1）时，z最大，且最大值为z max=1﹣2×（﹣1）=3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．（5分）已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB=4．若平面ABC与平面BCD 垂直，且异面直线AB和CD所成角为θ，则cosθ=（）A．B．C．D．【分析】过B作BE∥CD，过D作DE∥CB，交BE于点E则∠ABE是异面直线AB 和CD所成角（或所成角的补角），由此能求出cosθ．【解答】解：过B作BE∥CD，过D作DE∥CB，交BE于点E，则∠ABE是异面直线AB和CD所成角（或所成角的补角），∵△ABC与△BCD均为正三角形，且AB=4．平面ABC与平面BCD垂直，且异面直线AB和CD所成角为θ，∴AD==2，AE===2，∴cos∠ABE==﹣．∴cosθ=．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（5分）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，则函数y=x a，x∈[0，+∞）是增函数的概率为（）A．B．C．D．【分析】先根据流程图进行逐一进行运行，求出集合A，再求出基本事件的总数，然后讨论满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”时包含基本事件，最后根据古典概型公式求出该概率即可．【解答】解：由框图可知A={3，0，﹣1，8，15}，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数”为事件E，当函数y=xα，x∈[0，+∞）是增函数时，α＞0事件E包含基本事件为3，则．故选：C．【点评】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，算法与其他知识结合在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．10．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，=0，||=||=||=2，则△ABC的面积等于（）A．B．2C．3D．4【分析】根据题意，设BC的中点为D，AC中点为M，由向量加法的几何意义分析可得2=﹣2，由三角形中位线定理可得=﹣2，分析可得P、D、M 三点共线且D为PM的中点，进而可得四边形CPBM为平行四边形，又由| |=||=||=2，分析可得|AC|=4且∠BAC=60°，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，如图：设BC的中点为D，AC中点为M，则有+=2，若=，则有=﹣2，又由D为BC的中点，M为AC中点，则有=﹣2，则有=，则P、D、M三点共线且D为PM的中点，D为BC的中点，四边形CPBM为平行四边形；又由||=||=||=2，则|MC|=|BP|=2，则|AC|=4，且|BM|=|PC|=2，△APB为等边三角形，∠BAC=60°，=×2×4×=2；则S△ABC故选：B．【点评】本题考查向量加法、向量的模的几何意义以及正弦定理的应用，关键是确定点P的位置．11．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．【分析】根据OM⊥PF，且FM=PM判断出△POF为等腰直角三角形，推断出∠OFP=45°，进而在Rt△OFM中求得半径a和OF的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：∵OM⊥PF，且FM=PM∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•∴e==故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．12．（5分）若函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx存在极值，且这些极值的和不小于4+ln2，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．C．D．[4，+∞）【分析】求函数f（x）的定义域，求出f′（x），利用导数和极值之间的关系将条件转化：f′（x）=0在（0，+∞）上有根，即即2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围．【解答】解：f（x）=ax﹣x2﹣lnx，x∈（0，+∞），则f′（x）=a﹣2x﹣=﹣，∵函数f（x）存在极值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，即2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，∴△=a2﹣8≥0，显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；∴方程必有两个不等正根，记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，x1+x2=，x1x2=，f（x1），f（x2）是函数F（x）的两个极值，由题意得，f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2）=﹣+1﹣ln≥4+ln2化简解得，a2≥12，满足△＞0，又x1+x2=＞0，即a＞0，∴∴a的取值范围是[2，+∞），故选：C．【点评】本题考查导数与函数的单调性、极值的关系，以及二次方程根的分布问题，考查转化思想，化简、变形能力，综合性大，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若直线2x﹣y+c=0是抛物线x2=4y的一条切线，则c=﹣4．【分析】利用直线与抛物线联立方程组，通过判别式为0求解即可．【解答】解：由题意可得：，可得x2﹣8x﹣4c=0，直线2x﹣y+c=0是抛物线x2=4y的一条切线，可得△=64+16c=0，解得c=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．14．（5分）已知函数f（x）=ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，则函数g（x）=bx+，x∈[﹣4，﹣1]的值域为．【分析】根据函数f（x）=ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，求解出a，b的值，可得g（x）的解析式，即可求解值域．【解答】解：函数f（x）=ax+b，x∈[a﹣4，a]的图象关于原点对称，f（x）是奇函数．可得：a﹣4+a=0，且f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax+b=﹣ax﹣b，∴a=2，b=0．那么g（x）=．根据反比例的性质可得：x∈[﹣4，﹣1]上，g（x）是递减函数．∴g（﹣1）≤g（x）≤g（﹣4），即﹣2≤g（x）≤，故答案为：[﹣2，]．【点评】本题考查函数奇偶性的应用和反比例单调性求解值域问题，较容易．15．（5分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）．已知在鳖臑M﹣ABC中，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，则该鳖臑的外接球的表面积为12π．【分析】根据M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，求解三角形的AC=2，从而可得MC=2，即可求解该鳖臑的半径，由此能求出该鳖臑的外接球的表面积．【解答】解：M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，∴三角形的AC=2，从而可得MC=2，∵△ABC时等腰直角三角形，∴外接圆的半径为AC=，外接球的球心到平面ABC的距离为=1．可得外接球的半径R==，故得外接球表面积S=4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了等腰三角形的高线即中线的性质，解本题的关键是掌握等腰三角形底边的高线，中线，角平分线三线合一的性质．16．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）•（acosB+bcosA）=abc，若a+b=2，则c的取值范围为[1，2）．【分析】根据题意，由余弦定理分析可得acosB+bcosA=c，由此分析（a2+b2﹣c2）•（acosB+bcosA）=abc可得a2+b2﹣c2=ab，变形可得cosC==，则C=；由余弦定理的c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4﹣3ab，结合基本不等式分析可得ab≤（）2=1，即可得c≥1，又由三角形三边关系可得c＜a+b=2，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，acosB+bcosA=a×+b×==c，若（a2+b2﹣c2）•（acosB+bcosA）=abc，则有a2+b2﹣c2=ab，则cosC==，则C=，又由a+b=2，则c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4﹣3ab，又由a+b=2，则ab≤（）2=1，则c2≥1，则有c≥1，又由c＜a+b=2，则c的取值范围为[1，2）；故答案为：[1，2）．【点评】本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式并灵活变形．三、解答题（本大题分必考题和选择题两部分，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）已知在递增等差数列{a n}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，S n为数列{b n}的前n项和，求S100的值．【分析】（1）设出公差，利用等比数列关系，列出方程，求出公差然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】解：（1）由{a n}为等差数列，设公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∵a3是a1和a9的等比中项，∴，即（2+2d）2=2（2+8d），解之，得d=0（舍），或d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n．（2）．S n=b1+b2+…+b100==．【点评】本题考查数列求和数列的递推关系式以及裂项相消法求解数列的和的应用，考查计算能力．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明A1O⊥BD．CO⊥BD，推出BD⊥平面A1CO．然后证明平面A1CO ⊥平面BB1D1D．（Ⅱ）以O为原点，，，方向为x，y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．求出平面OBB1的法向量平面OCB1的法向量，利用向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD．∵ABCD是菱形，∴CO⊥BD．∵A1O∩CO=O，∴BD⊥平面A1CO．∵BD⊂平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D．（Ⅱ）解：∵A1O⊥平面ABCD，CO⊥BD，以O为原点，，，方向为x，y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．∵AB=2，AA1=3，∠BAD=60°，∴OB=OD=1，，．则B（1，0，0），，，，∴，．设平面OBB 1的法向量为，∵，，∴．令，得．同理可求得平面OCB 1的法向量为．∴．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了200人进行抽样分析，得到如表（单位：人）：（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）①现从所抽取的30岁以上的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出3人赠送优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用共享单车的概率．②将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用共享单车的人数为X，求X的数学期望和方差．参考公式：，其中n=a+b+c+d．参考数据：【分析】（Ⅰ）由列联表可知，求解K2，推出能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关．（Ⅱ）①依题意，求出可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有的人数，偶尔或不用共享单车的人数，然后求解概率．②由2×2列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取1人，推出，然后求解期望．【解答】解：（Ⅰ）由列联表可知，．∵2.198＞2.072，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关．（Ⅱ）①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）．则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为．②由2×2列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为．由题意得，∴；．【点评】本题考查离散型随机变量的期望以及独立检验的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．【分析】解：（1）由题意知b=，=3，即a+c=3①，又a2=3+c2②，联立①②解得a，c，；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，△F2AB的面积S==|y1﹣y2|=，由韦达定理代入面积表达式变为k的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S的最大值；【解答】解：（1）由题意知b=，=3，所以a+c=3①，又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，联立①②解得a=2，c=1，所以椭圆方程为：；（2）由（1）知F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，由得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，△＞0成立，且，，△F2AB的面积S==|y1﹣y2|===12=，又k2≥0，所以递增，所以9+1+6=16，所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，所以△F2AB面积的最大值为3．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（2）问的关键是合理表示三角形面积并对表达式恰当变形．21．（12分）设函数，f（x）=lnx+，k∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求f（x）的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；（2）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（2）由题意可知，函数f（x）﹣x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．【解答】解：（1）由已知得．∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0．即f′（e）=0，有，解得k=e．∴，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x=e时f（x）取得极小值．故f（x）的单调递减区间为（0，e），极小值为2．（2）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2（*）恒成立．设h（x）=f（x）﹣x=lnx+．∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．由在（0，+∞）上恒成立，得恒成立．所以（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），故k的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义（切线问题）以及利用导数如何研究函数单调性、极值的基本思路，属于基础题型．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t ＞0，α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）当t=1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．【分析】（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用三角函数的性质计算t=1时曲线C上的点到直线l距离的最大值；（2）由曲线C上的所有点均在直线l的下方，知对∀α∈R，有tcosα+sinα﹣3＜0恒成立，利用三角恒等变换转化为不等式，从而求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为，即ρsinθ+ρcosθ=3，化为直角坐标方程是x+y﹣3=0，t=1时，曲线C上的点到直线l的距离为=，当时，，即曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；（2）∵曲线C上的所有点均在直线l的下方，∴对∀α∈R，有tcosα+sinα﹣3＜0恒成立，即（其中）恒成立，∴；又t＞0，∴解得，∴实数t的取值范围是．【点评】本题主要考查了坐标系与参数方程的相关知识，涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）≤3；（2）记函数g（x）=f（x）+|x+1|的值域为M，若t∈M，证明：．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）求出M，根据m的范围以及不等式的性质证明结论即可．【解答】解：（1）依题意，得，于是得或或，解得﹣1≤x≤1．即不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤1}．（2）证明：g（x）=f（x）+|x+1|=|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣2x﹣2|=3当且仅当（2x﹣1）（2x+2）≤0时，取等号，∴M=[3，+∞）．原不等式等价于=≥0，∵t∈M，∴t﹣3≥0，t2+1＞0．∴．∴．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A ∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁U A）=∅．⑧∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．复合命题及其真假【知识点的认识】含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．3．函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．4．函数的图象与图象的变换【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．【图象的变换】1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)
2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．（5 分）已知会合 A={ x| x2﹣ 2x﹣3＞0} ，B=N，则会合（ ?R A）∩ B 中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（ 5 分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣ 6B．13C．D．3．（ 5 分）已知 f（x）=sinx﹣tanx，命题 p：? x0∈（ 0，），f （x0）＜0，则（）A．p 是假命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0B．p 是假命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 0C．p 是真命题，￢ p：? x∈（ 0，），f（x）≥ 0D．p 是真命题，￢ p：? x0∈（ 0，），f（x0）≥ 04．（5 分）已知程序框图如图，则输出i 的值为（）A．7B．9C．11D．135．（5 分） 2018 年元旦假期，高三的8 名同学准备拼车去旅行，此中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4 名同学（乘同一辆车的4 名同学不考虑地点），此中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A．18 种B．24 种C．48 种D．36 种6．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如下图，此中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（）A．1+B．1+2C．2+D．2+27．（5 分）设不等式组表示的平面地区为D，若圆 C：（x+1）2+y2=r2（r ＞0）不经过地区 D 上的点，则 r 的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．[，]8．（5 分）若等边三角形ABC的边长为 3，平面内一点 M 知足 6﹣3=2，则?的值为（）A．﹣B．﹣ 2C．2D．9．（ 5 分）对于函数 f（x）=3sin（ 2x﹣）+1（x∈R），以下命题正确的选项是（）A．由 f（ x1）=f（ x2） =1 可得 x1﹣ x2是π的整数倍B．y=f（x）的表达式可改写成f（ x） =3cos（2x+）+1C．y=f（x）的图象对于点（，1）对称D．y=f（x）的图象对于直线x=﹣对称10．（ 5 分）设函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，若对于 x∈[ 1， 3] ，f （x）＜﹣ m+4 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A．（﹣∞， 0]B．C．D．11．（ 5 分）设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若双曲线的渐近线被圆 M ：x2+y2﹣10x=0 所截得的两条弦长之和为12，已知△ ABP的极点 A，B 分别为双曲线的左、右焦点，极点 P 在双曲线上，则的值等于（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知定义在R 上的函数 f（ x）和 g（x）分别知足 f（x）=，e2x﹣2+x2﹣ 2f（0）?x，g′（x）+2g（ x）＜ 0，则以下不等式恒成立的是（）A．g（2016）＜ f（2）?g（ 2018）B．f （2）?g（ 2016）＜ g（ 2018）C．g（2016）＞ f （2）?g（ 2018）D．f（2）?g（ 2016）＞ g（2018）二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）设 a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的睁开式中含x2项的系数为．14．（ 5 分）若函数 f （x）=（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为．15．（ 5 分）已知三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面 ABC，如有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为．16．（ 5 分）如图， OA，OB 为扇形湖面 OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区﹣地区I 和地区Ⅱ，点 C 在上，∠ COA=θ，CD∥OA，其中，半径 OC及线段 CD 需要用渔网制成．若∠ AOB=，OA=1，则所需渔网的最大长度为．三、解答题（共70 分）17．（ 12 分）已知 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且 a1＜2，a n＞0， 6S n=+3a n+2，n∈N* ．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若对 ? n∈ N* ，b n（﹣）n ，求数列 { b n 的前2n 项的和2n ．=1 } T18．（12 分）如下图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AB∥CD，∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2 ，点 E 为 AD 的中点，BD∩ CE=H，PH⊥平面 ABCD，且 PH=4．（1）求证： PC⊥BD；（ 2）线段 PC上能否存在一点 F，使二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是？若存在，请找出点 F 的地点；若不存在，请说明原因．19．（ 12 分）某地域为认识学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出 160 名，其数学构成绩（均为整数）的频次散布直方图如下图．（ 1）预计此次考试数学成绩的均匀分和众数；（ 2）假定在（ 90，100] 段的学生中有 3 人得满分 100 分，有 2 人得 99 分，其他学生的数学成绩都不同样．现从 90 分以上的学生中任取 4 人，不一样分数的个数为 ξ，求 ξ的散布列及数学希望 E （ξ）．20．（12 分）已知椭圆 C 1： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为 ，右焦点 F 是抛物线 C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点（ 2，4）在抛物线 C 2 上．（ 1）求椭圆 C 1 的方程；（ 2）已知斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 1 于 A ，B 两点， M （ 0，2），直线 AM 与 BM的斜率乘积为﹣ ，若在椭圆上存在点 N ，使| AN| =| BN| ，求△ ABN 的面积的最小值．21．（ 12 分）已知函数 f （x ）=ae x +x 2﹣bx （a ，b ∈ R ），其导函数为 y=f ′（ x ）．（ 1）当 b=2 时，若函数 y=f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点，务实数 a 的取值范围；（ 2）设 a ≠0，点 P （m ， n ）（m ， n ∈ R ）是曲线 y=f （x ）上的一个定点，能否存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立？并证明你x xx的结论．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．（ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 1：（ t 为参数）， l 2：（t 为参数），此中 α∈（ 0，），以原点 O 为极点， x 轴第 5页（共 25页）非负半轴为极轴，取同样长度单位成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（1）写出 l1， l2的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 l1，l 2分别与曲线 C 交于点 A，B（非坐标原点），求 | AB| 的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．设函数 f （x）=| x﹣a| （ a＞ 0）．（1）当 a=2 时，解不等式 f（x）≥ 1﹣ 2x；（2）已知 f（x）+| x﹣1| 的最小值为 3，且 m2n=a（ m＞0，n＞0），求 m+n 的最小值．2018 年河南省高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．【剖析】可先求出会合A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ，而后进行交集、补集的运算即可．【解答】解： A={ x| x＜﹣ 1，或 x＞3} ；∴?R A={ x| ﹣1≤x≤3} ；∴（ ?R A）∩ B={ 0，1，2，3} ．应选： C．【评论】考察一元二次不等式的解法，以及描绘法、列举法表示会合的观点，交集和补集的运算．2．【剖析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部等于0 且虚部不等于求解 a 的值．【解答】解：由复数==是纯虚数，则，解得 a=﹣6．应选： A．【评论】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础的计算题．3．第 7页（共 25页）否认是全称命题写出结果．【解答】解：f（ x）=sinx﹣tanx，x∈（ 0，），当x=时，∴ f（x）=，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，是真命题，命题 p：? x0∈（ 0，），f（x0）＜0，则￢p：? x∈（0，），f（x）≥ 0．应选： C．【评论】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，基本知识的考察．4．【剖析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当 S=1时，不知足退出循环的条件，故S=1，i=3；当 S=1时，不知足退出循环的条件，故 S=3，i=5；当S=3时，不知足退出循环的条件，故 S=15， i=7；当S=15时，不知足退出循环的条件，故 S=105，i=9；当 S=105时，不知足退出循环的条件，故 S=945， i=11；当S=945时，不知足退出循环的条件，故 S=10395，i=13；当S=10395时，知足退出循环的条件，故输出的 i=13，应选： D．【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采纳模拟循环的方法解答．5．【剖析】分类议论，第一类，一班的 2 名同学在甲车上；第二类，一班的2 名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，一班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不一样的班级，从三个班级中选两个为C2=3，而后分别从选择的班级中再选第 8页（共 25页）择一个学生为 C21C21=4，故有 3×4=12 种．第二类，一班的 2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为 C31=3，而后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有 3×4=12 种，依据分类计数原理得，共有 12+12=24 种不一样的搭车方式，应选： B．【评论】此题考察计数原理的应用，考察组合知识，考察学生的计算能力，属于中档题．6．【剖析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形联合图形求出它的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图；正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，此中一条侧棱 PD⊥底面 ABCD，且侧棱 AD=1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且 PA=PC= ，∴四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2S△SAD+2S△SAB=1+2××1×1+2××1×=2+．应选： C．【评论】此题考察了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．【剖析】作出题中不等式组表示的平面地区，获得如图的△MNP 及其内部，而圆 C 表示以（﹣ 1，﹣1）为圆心且半径为 r 的圆．察看图形，可得半径r ＜CM或 r＞CP 时，圆 C 不经过地区 D 上的点，由此联合平面内两点之间的距离公式，即可获得 r 的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面地区，获得如图的△ MNP 及其内部，此中M（1，1）， N（2，2），P（1，3）∵圆 C：（x+1）2 +y2=r2（r ＞0）表示以 C（﹣ 1，0）为圆心，半径为r的圆，∴由图可得，当半径知足r＜ CM 或 r＞CP时，圆 C 不经过地区 D 上的点，∵CM==，CP==．∴当 0＜r ＜或r＞时，圆C不经过地区D上的点，应选： A．【评论】此题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面地区，求半径r的取值范围．侧重考察了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面地区等知识，属于中档题．8．【剖析】依据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，而后进行数目积的运算即可．【解答】 解：等边三角形 ABC 的边长为 3；∴；；∴；∴==，=；∴= ==﹣2．应选： B ．【评论】考察向量数目积的运算及计算公式， 以及向量的数乘运算， 向量加法的几何意义．9．【剖析】依据函数 f （ x ）=3sin （ 2x ﹣ ）+1（ x ∈ R ），联合三角函数的性质即可 判断各选项．【解答】 解：函数 f （x ） =3sin （2x ﹣ ）+1（x ∈R ），周期 T=，对于 A ：由 f （ x 1） =f （ 2） ，x =1可能 x 1 与 x 2 对于此中一条对称轴是对称的，此时 x 1﹣x 2 不是 π的整数倍；∴ A不对．对于 B ：由引诱公式， 3sin （2x ﹣ ） +1=3cos[ ﹣（ 2x ﹣ ） ]+ 1=3cos （ 2x﹣）+1．∴ B 不对．第11页（共 25页）∴C不对，对于 D：当 x=﹣时，可得f（）=3sin（﹣﹣）+1=﹣1×3+1=﹣2，f（x）的图象对于直线x=﹣对称．应选： D．【评论】此题主要考察利用y=Asin（ωx+φ）的信息特点，判断各选项的正误，属于中档题．10．【剖析】利用分别参数法，再求出对应函数在x∈ [ 1，3] 上的最大值，即可求m 的取值范围．【解答】解：由题意， f（x）＜﹣ m+4，可得 m（ x2﹣x+1）＜ 5．∵当 x∈[ 1， 3] 时， x2﹣x+1∈[ 1，7] ，∴不等式 f（ x）＜ 0 等价于 m＜．∵当 x=3 时，的最小值为，∴若要不等式 m＜恒成立，则一定 m＜，所以，实数 m 的取值范围为（﹣∞，），应选： D．【评论】此题考察恒成立问题，考察分别参数法的运用，解题的要点是分别参数，正确求最值，属于中档题．11．【剖析】依据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再依据点到直线的距离公式可得=4，获得5b=4c，即可求出a= c ，依据正弦定理可得第12页（共 25页）== =【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M ：x2+y2﹣ 10x=0，即（x﹣ 5）2+y2=25 所截得的两条弦长之和为 12，设圆心到直线的距离为d，则 d==4，∴=4，即 5b=4c，即 b= c∵ a2=c2﹣ b2=c2，∴a= c，∴| AP﹣BP| =2a，由正弦定理可得∴sinB= ， sinA====2R，，sinP=，∴== =，应选： C．【评论】此题考察了双曲线的简单性质以及圆的相关性质和正弦定理，属于中档题12．【剖析】 f（x）=2x﹣2 2﹣ 2f（0）?x，令 x=0，则 f （0）= ．由 f ′e +x（x）=f （′1）?e2x﹣2+2x﹣2f（0），令 x=1，可得 f（0）．从而得出 f （′1），f（ x），（）．令（）2x （），及其已知2x[ g′f 2h x =e g x g′（x）+2g（x）＜0，可得 h′（x）=e （x）+2g（x）] ＜0，利用函数 h（ x）在 R 上单一递减，即可得出．【解答】解： f（x） =2x﹣ 2 2e +x ﹣2f（ 0） ?x，令 x=0，则 f（0）=．∵f （′ x）=f ′（1）?e2x﹣2+2x﹣ 2f（0），令 x=1，则 f ′（ 1） =f ′（1）+2﹣2f（0），解得 f（ 0） =1．∴ f （′ 1） =2e2．∴ f（x）=e2x+x2﹣2x，∴f（2）=e4．令 h（x） =e2x g（x），∵ g′（x） +2g（x）＜ 0，∴h′（x） =e2x g′（x）+2e2x g（ x） =e2x[ g′（ x）+2g（ x） ] ＜ 0，∴函数 h（ x）在 R 上单一递减，∴ h（2016）＞ h（ 2018），∴e2016×2g（2016）＞ e2018×2g（ 2018），可得： g（2016）＞ e4g（2018）．∴g（ 2016）＞ f（ 2）g（2018）．应选： C．【评论】此题考察了利用导数研究函数的单一性极值与最值、结构法、方程与不等式的解法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．第14页（共 25页）出 r 的值，问题得以解决．【解答】解：因为 a= （cosx﹣sinx）dx=（ sinx+cosx）| =﹣ 1﹣ 1=﹣2，∴（﹣2 ﹣）6+ ）6的通项公式为r+1 6﹣r 6r 3﹣r ，=（2 T =2 C ?x令 3﹣r=2，求得 r=1，故含 x2项的系数为 26﹣1C61=192．故答案为： 192【评论】此题主要考察定积分、二项式定理的应用，二项式睁开式的通项公式，属于基础题．14．【剖析】由已知中函数f（ x）为奇函数， f（﹣ x）=﹣f（ x）恒成立，可得 a，b 的值，从而可得 f （a+b）的值．【解答】解：∵函数 f （x）==为奇函数，故 f（﹣ x） =﹣ f（ x）恒成立，故．即，∴ f（x）=，∴f（a+b） =f（1）=1﹣ 2=﹣1，故答案为：﹣ 1．【评论】此题考察的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15．【剖析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA1的长度．【解答】解：由题意，△ ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面△ ABC外接圆圆心 G，即 GA=GB=GC=2，从而正三角形 ABC边长 2 ，设球心 O，由题意， E、D 在球面上， OE=OD=2，F 为 DE中点，则 OF⊥DE， OF=GD= GC=1，在 Rt△OEF中， OE=2， OF=1，∴EF= ，∴ DE=2 ，∴AA1=2 ．故答案为： 2 ．【评论】此题考察正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，经过两者的关系求出正三棱柱的体积，考察计算能力，逻辑推理能力．16．【剖析】确立∠ COD，在△ OCD中利用正弦定理求得CD 的长度，依据所需渔网长度，即图中弧 AC、半径 OC和线段 CD长度之和，确立函数的分析式，利用导数确立函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．【解答】解：由 CD∥OA，∠ AOB=，∠ AOC=θ，得∠ OCD=θ，∠ ODC=，∠COD=﹣θ；在△ OCD中，由正弦定理，得CD= sin（﹣θ），θ∈（0，），设渔网的长度为f（θ），可得 f （θ）=θ+1+ sin（﹣θ），所以 f ′（θ）=1﹣cos（﹣θ），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（ 0，），第16页（共 25页）令 f ′（θ）=0，得 cos（﹣θ）=，所以﹣θ= ，所以θ= ．θ（0，）（，）f （′θ）+0﹣f（θ）极大值所以 f （θ）∈（ 2，] ．故所需渔网长度的最大值为．【评论】此题考察了正弦定理的应用问题，也考察了函数模型的建立与最值应用问题，是难题．三、解答题（共70 分）17．【剖析】（1）6S n=+3a n+2，n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1，化为（ a n+a n﹣1）（a n﹣ a n﹣1﹣3）=0，由 a n＞0，可得 a n﹣a n﹣1=3，n=1 时，6a1=+3a1+2，且a1＜2，解得 a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2） b n=（﹣ 1）n =（﹣ 1）n（3n﹣2）2． b2n﹣1+b2n=﹣（ 6n﹣ 5）2+（6n﹣ 2）2=3（12n﹣7）=36n﹣21．利用分组乞降即可得出．【解答】解：（1）6S n =+3a n+2， n∈N* ．n≥2 时， 6a n=6S n﹣6S n﹣1= +3a n +2﹣（+2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴ a n﹣ a n﹣1=3，n=1 时， 6a1= +3a1+2，且 a1＜2，解得 a1=1．∴数列 { a n} 是等差数列，首项为1，公差为 3．∴a n=1+3（ n﹣ 1）=3n﹣2．=（﹣ 1）n（3n﹣ 2）2．（ 2） b n =（﹣ 1）n∴b+b=﹣（ 6n﹣5）2+（6n﹣ 2）2=3（ 12n﹣7）=36n﹣21．第17页（共 25页）∴数列 { b n 的前2n 项的和 2n （）﹣21n=﹣ 2} T =36 1+2+ +n 21n=18n ﹣3n．【评论】此题考察了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与乞降公式、分组乞降方法，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【剖析】（1）推导出△ BAD≌△ EDC，∠ DBA=∠DEH，从而 BD⊥EC，由 PH⊥平面 ABCD，得 BD⊥PH，由此能证明 BD⊥平面 PEC，从而 PC⊥ BD．（2）推导出 PH、 EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为 x，y， z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【解答】证明：（1）∵ AB∥CD，∠ BAD=90°，∴∠ EDC=∠BAD=90°，∵DC=DA=2AB，E 为 AD 的中点，∴ AB=ED，∴△ BAD≌△ EDC，∴∠ DBA=∠DEH，∵∠ DBA+∠ADB=90°，∴∠ DEH+∠ADB=90°，∴ BD⊥EC，又∵ PH⊥平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，∴ BD⊥PH，又∵ PH∩ EC=H，且 PH，EC? 平面 PEC，∴ BD⊥平面PEC，又∵ PC? 平面 PEC，∴ PC⊥BD．解：（ 2）由（ 1）可知△ DHE∽△ DAB，由题意得 BD=EC=5，AB=DE= ，∴，∴EH=1， HC=4，DH=2，HB=3，∵ PH、EC、BD 两两垂直，成立以 H 为坐标原点， HB、HC、HP 所在直线分别为x，y，z 轴的坐标系，H（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），D（﹣ 2，0，0），P（0，0，4），假定线段 PC上存在一点 F 知足题意，∵与共线，∴存在独一实数λ，（0≤λ≤ 1），知足 =λ，解得F（0，4﹣4λ， 4λ），设向量=（x，y， z）为平面 CPD的一个法向量，且=（0，﹣ 4，4），=（﹣2，﹣4，0），∴，取 x=2，得=（2，﹣ 1，﹣ 1），同理得平面 CPD的一个法向量=（0，λ，λ﹣1），∵二面角 B﹣DF﹣ C 的余弦值是，∴ | cos＜＞| ===，由 0≤λ≤ 1，解得λ=，∴=，∵CP=4 ，∴线段 PC上存在一点 F，当点 F 知足 CF=3时，二面角B﹣DF﹣C的余弦值是．【评论】此题考察线线垂直垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．19．【剖析】（1）把组中值看作各小组的均匀数，依据加权均匀数公式计算；（ 2）依据组合数公式计算各样状况的概率，得出散布列．【解答】解：（1） =45×0.005×10+55×0.015×10+65× 0.02×10+75× 0.03×10+85×0.025×10+95× 0.005×10=72（分），众数为 75 分．（2） 90 分以上的人数为 160×0.005×10=8人．∴ξ的可能取值为 2， 3， 4，P（ξ =2）==，P（ξ =3）==，P（ξ =4）==．∴ξ的散布列为：ξ 2 3 4P∴ξ的数学希望是 E（ξ）=2× +3×+4×=．【评论】此题考察了频次散布直方图，失散型随机变量的散布列和数学希望，属于中档题．20．【剖析】（1）先求出 p 的值，即可求出 c 的值，依据离心率求出 a 的值，即可得到椭圆方程，（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（ x1，1），（2，2），由，yB x y依据直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，求出m=0，再依据弦长公式求出| AB|和| ON| ，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：（1）∵点（ 2， 4）在抛物线 y2=2px 上，∴16=4p，第20页（共 25页）∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c=2，∵椭圆 C1：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，∴= ，∴a=2 ，∴b2=a2﹣ c2=8﹣4=4，∴椭圆 C1的方程为+，=1（ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m，设 A（x1，1 ），（ 2 ， 2 ），y B x y 由，消 y 可得（ 1+2k2） x2 +4kmx+2m2﹣8=0，∴ x1 2 ， 1 2 ，+x = x x =∴ y1 2 （ 1 2 ）+2m= ，12 212 （ 1 2） 2=+y =k x +x y y =k x x +km x +x +m∵ M（0，2），直线 AM 与 BM 的斜率乘积为﹣，∴ k1?k2=?===﹣，解得 m=0，∴直线 l 的方程为 y=kx，线段 AB 的中点为坐标原点，由弦长公式可得 | AB| ==，∵| AN| =| BN| ，∴ ON 垂直均分线段 AB，当 k≠0 时，设直线 ON 的方程为 y=﹣x，同理可得|ON|== ，∴ S △ ABN = | ON| ?| AB| =8，当 k=0 时，△ ABN 的面积也合适上式，令 t=k 2+1， t ≥1，0＜ ≤ 1，则S =8=8=8，△ABN∴当 = 时，即 k=±1 时， S △ABN 的最小值为 ．【评论】此题考察椭圆的标准方程， 直线与椭圆的地点关系， 考察椭圆与二次函数函数的应用，考察计算能力，属于难题．21．【剖析】（1）当 b=2 时，f （ x ）=ae x +x 2﹣ 2x ，（ a ∈ R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣2，（ a ∈ R ），由题意 a=，令 h （ x ）= ，则 =0，解得 x=2，由此能求出当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2 ）由f （ x ） =ae x +x 2 ﹣ bx ， 得 f ′（ x ） =ae x +2x ﹣ b ， 假定 存在 x 0 ，则，利用导数性质推导出不存在实数x （0 x 0≠m ）使得 f （x 0）﹣ n=f （′）（ 0﹣ m ）成立．x【解答】 解：（1）当 b=2 时， f （x ）=ae x +x 2﹣2x ，（a ∈R ），f （′x ）=ae x +2x ﹣ 2，（a ∈R ）， 由题意得 ae x +2x ﹣ 2=0，即 a= ，令 h （x ） =，则=0，解得 x=2，当 x ＜2 时， h ′（ x ）＜ 0，h （x ）单一递减，当 x ＞2 时， h ′（ x ）＞ 0，h （x ）单一递加， ∴ h （ x ）min =h （ 2）=﹣ ，∵当 x=﹣ 1 时， h （﹣ 1） =4e ＞0，当 x ＞2 时， h （x ）=＜0，由题意适当 a=﹣或 a ∈[ 0， +∞）时， f ′（ x ）在 R 上有且只有一个零点．（ 2）由 f （x ）=ae x +x 2﹣bx ，得 f ′（x ）=ae x +2x ﹣ b ，假定存在 x 0，则有 f （x 0）==，即，∵ f （′）= +2 ﹣b ，==+（x 0+m ）﹣ b ，∴+2?﹣ b=+（x 0 +m ）﹣ ，b即 = ，∵ a ≠0，∴，令 t=x 0﹣ m ＞ ，则，两边同时除以 e m ，得，即 ，令 g （t ） =，∴ ，令 h （t ） =﹣ ﹣1 在（ 0，+∞）上单一递加，且 h （0）=0，∴ h （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，即 g ′（t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴ g （ e ）在（ 0，+∞）上单一递加， g （0）=0，∴ g （ t ）＞ 0 对于 t ∈（ 0， +∞）恒成立，∴= 不可立，同理， t=x 0﹣ m ＜0 时，∴不存在实数 x 0（ 0≠ m ）使得 f （ 0）﹣ n=f ′（）（0﹣ m ）成立． x xx【评论】此题考察利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、 知足条件的实数能否存在的判断与证明，考察函数与方程思想、转变与化归思想，考察运算求解能力、推理论证能力，考察创新意识，是中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 ]22．【剖析】（1）考察直线 l 1，l 2 参数方程与极坐标方程的互化，曲线 C 的极坐标方程与直角坐标方程的互化．要点都是消去参数t ．（ 2）利用 l 1， l 2 极坐标方程，联合余弦定理，计算出 | AB| 的长度．【解答】 解：（1）l 1，l 2 的极坐标方程为 θ1=α（ρ∈R ）， θ2=α+ （ρ∈R ）．曲线 C 的极坐标方程方程为 ρ﹣4cos θ=0．即得 ρ2﹣4ρcos θ=0，222利用 ρ x +y ，x=ρcos θ得曲线 C 的直角坐标方程为（ x ﹣2）2+y 2=4． （ 2）因为 ρ1=4cos α， ρ2=4cos （α+ ），所以|AB|2﹣ ρ1． ρ222（ ）﹣ cos αcos=+2 cos=16[ cos α+cos（）]=16[ cos 2α+ （cos α﹣ sin α）2﹣cos α（ cos α﹣ sin α）] =8，所以| AB| 的值为 2 ．【评论】考察极坐标方程与参数方程， 一般方程的互化． 记准互化公式和原则是要点，属于中档题目．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]第24页（共 25页）23．【剖析】（1）经过议论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）依据绝对值不等式的性质求出 a 的值，联合基本不等式的性质求出 m+n 的最小值即可．【解答】解：（1）当 x≥2 时， x﹣ 2≥ 1﹣ 2x，得 x≥1，故 x≥2，当 x＜2 时， 2﹣x≥1﹣2x，得 x≥﹣ 1，故﹣ 1≤x＜2，综上，不等式的解集是 { x| x≥﹣ 1} ；（ 2）∵ f（ x）+| x﹣ 1| 的最小值是 3，∴ f（x）+| x﹣1| ≥| x﹣ a﹣（ x﹣ 1） | =| a﹣ 1|=3，故 a=4，∵ m+n= + +n≥3 =3，当且仅当=n 即 m=2， n=1 时取“=．”【评论】此题考察认识绝对值不等式问题，考察绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．第25页（共 25页）。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、 【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1 【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x2}【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A、新农村建设后，种植收入减少。
B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C 、-+D 、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
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2018年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．23．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．905．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π9．4的展开式共（）项．A．10 B．15 C．20 D．2110．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米11．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=﹣2x+3 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=2x﹣112．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．14．如图所示，输出的x的值为．15．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为．16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f （x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18．（12分）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2018年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查计算能力，是基础题．3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，∴，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单．5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，主要是渐近线方程的求法，在解题时要注意审题，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点建立方程，考查运算能力，属于中档题．6．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．【点评】本题主要考查了对数的大小判断，常常利用与1进行比较，属于基础题．7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，明确圆上的点到直线的最大距离和最小距离的计算方法是解题的关键．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．9．（x+y+z）4的展开式共（）项．A．10 B．15 C．20 D．21【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式定理的展开式即可的得出结论．【解答】解：（x+y+z）4=（x+y）4+4（x+y）3z+6（x+y）2z2+4（x+y）z3+z4，根据二项式定理：（x+y）n展示式中共有n+1项，所以上式中：共有5+4+3+2+1=15项．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力，属于中档题．11．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=﹣2x+3 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=2x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．将f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．∴f（x）=x2，f′（x）=2x，∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点处的导数值等于该点的切线方程的斜率．12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，明确椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点是关键，是基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．14．如图所示，输出的x的值为17．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．15．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．【点评】本题考查四面体外接球半径，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间距离公式的应用．【分析】由于函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=，设g（x）=e x﹣x，求出g（x）min=1﹣ln2，即可得出结论．【解答】解：∵函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=设g（x）=e x﹣x，（x＞0）则g′（x）=e x﹣1由g′（x）=e x﹣1≥0可得x≥ln2，由g′（x）=e x﹣1＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，d min=由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2d min=．故答案为：．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2018•营口一模）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．【点评】本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．18．（12分）（2018•营口一模）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意得到高三获得冠军的所有情况，然后利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出概率，由概率为求得p值；（Ⅱ）写出高三的得分为X的所有取值，求出相应的概率，则分布列及期望可求．【解答】解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场．高三胜两场的概率为，三个队各胜一场的概率为，∴．解得：；（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．∴X的分布列为：故X的期望E（X）=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查了相互独立事件及其概率计算公式，是中档题．19．（12分）（2018•营口一模）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB ⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，…（1分）在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，所以B1C=，…（3分）故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，…又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分），，令，∴，，设平面AB1E的一个法向量为．，令z=，则x=，y=，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或（舍去）．∴CE=CC1=2．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的向量求解方法，考查空间想象能力计算能力以及逻辑推理能力．20．（12分）（2018•营口一模）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M，N的坐标，再由y=2x2的导数，可得在点N处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得证；（2）假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，则|MN|=|AB|，运用弦长公式计算化简整理，即可求得k=±2，故存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，得x1+x2=．∵x N=x M==，∴N点的坐标为（，）．∵y′=4x，∴y′|=k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．∵直线l：y=kx+2的斜率为k，∴l∥AB；（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，∴|MN|=|AB|．由（Ⅰ）知y M=（y1+y2）=（kx1+2+kx2+2）= [k（x1+x2）+4]=（4+）=2+，由MN⊥x轴，则|MN|=|y M﹣y N|=2+﹣=，∵|AB|=•=•=•由=•∴k=±2，则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2018•营口一模）已知函数f（x）=x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由函数单调性，知其导函数≥0在[2，3]上恒成立，将问题转化为在[2，3]上单调递减即可求得结果；（2）根据题意，将写成，利用不等式的性质证明，所以＞，即得．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，所以≥0在[2，3]上恒成立，即在[2，3]上恒成立，设，则，所以g（x）在[2，3]上单调递减，故g（x）max=g（2）=﹣7，所以a≥﹣7；（2）对于任意两个不相等的正数x1、x2有＞==，∴，而，∴==＞，故：＞，即＞1，∴当a≤4时，．【点评】本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2018•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•天水校级模拟）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）【点评】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。