北航工科数学分析杨小远-第2节 收敛数列的性质
北京航空航天大学-工科数学分析2014-2015(2)期中
北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩2015年5月16日一、 选择题（每题4分，满20分）1. 设)}({x f n 是定义在点集D 上的函数列，与“函数项级数)(1x f n n ∑∞=在点集D上一致收敛”等价的论断是下述的（ ）A ．,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有.|)()(|ε<-x f x f n mB ． ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有1|()|.=+<∑mk k n f x εC ． 函数列)}({x f n 在点集D 上一致收敛于.0D ． 对于每一个,D x ∈ ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 1|()|.mk k n f x ε=+<∑2. 幂级数03(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛域为（ ） A.24(,)33 ； B. 24[,)33； C. (3,3)-； D. (2,4)- ． 3. 函数x ye--的二阶Maclaurin 公式为（ ）A. 2()1()()2x y x y o x y +-++++； B. 1()()x y o x y -+++； C. 222()1()()2x y x y o x y +-++++； D. 222()1()()2x y x y o x y ++++++．4.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数242(,)x yf x y x y =+，下面命题正确的是（ ）①0000lim lim(,)lim lim (,)0x y y x f x y f x y →→→→==； ②0000lim lim(,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→不存在；③ 0lim (,)0x y f x y →→=；④0lim(,)x y f x y →→不存在.A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、（每题6分，满分30分）1. 设(),z F x z y =+，求方程所确定的隐函数的偏导数.x xy z z ，2. 求函数u xyz =在点(1,1,1)M ，沿方向 (2,1,3)=-rl 的方向导数与梯度。
收敛数列的性质(6)
证
必要性
设
lim
n
an
a,
{ank }是{an}的任一子列
0,N 0,使得当k N时有 ak a . 由于nk k,
所以当k
N时更有nk
N , 从而也有 ank
a
.
即lim k
ank
a.
充分性 考虑{an}的非平凡子列{a2k },{a2k1}与{a3k }. 按假设,
数列{cn}满足 : 存在正数N0 ,当n N0时有an cn bn ,
则数列{cn
}收敛,且
lim
n
cn
a.
证
0,由lim n
an
lim
n
bn
a,
分别存在N1与N2 ,
使得当n N1时有a an , 当n N2时有bn a .
取N max{N0, N1, N2}则当n N时,按假设及上不等式 同时成立, 即有
由此定理可见，若数列an 的任何非平凡子列都收敛，则所有
这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列an有一个子列发散，
2. n 1
数列{1 2 }是收敛于1的. n 1
故由迫敛性得证.
12
例2 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
,
求证 lim n® ¥
xn =
a.
证 由定理2.5可得 a≥0
任给 0,
lim n
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
证明
ln i a m nln i b m nln i c m n .
设 ln i a m nln i c m na ,则
由于
lim
n
bn
b,对来自0,N2 ,s.t
当
nN 2时 ,有 | bnb|b 22.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|bnb|.
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求ln i m 25n n22 34n n 14.
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN时 ,有anbn;
3 o设 ln i a m na ,ln i b m nb ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a nb n,则 a 有 b .
收敛数列性质
证明 ( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
解 li(1 m q q 2 .. .q n 1) n lim 1 qn n 1 q lim1 limqn n1q n1q
1 1 lim qn 1 . 1q 1qn 1 q
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5： 若数 {an}列 {,bn}{,cn}满足：
当nN时 , 恒有
§1.2收敛数列的性质
收敛数列性质
一、 收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一.
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第6章函数的 Riemann积分 与Lebesgue积 分初步
0 1
6.1定积分的基 本概念
0 2
6.2可积的条件
0 3
6.3微积分的基 本定理
0 4
6.4定积分的计 算：分部积分 与换元公式
0 5
6.5积分中值定 理
0 6
6.6关于定积分 的进一步讨论： Lebesgue定理
第6章函数的Riemann积分与Lebesgue积分 初步
10.3函数项级数的一 致收敛性
10.5幂级数
10.2函数序列的一致 收敛性
10.4函数项级数和函 数的性质
10.6幂级数的应用
第10章函数序列与函 数项级数
探索类问题
13
参考文献
参考文献
感谢聆听
A
9.1数项 级数的收
敛性
D
9.4一般 级数的收
敛问题
第9章数项级数
B
9.2正项 级数的比 较判别法
E
9.5绝对 收敛和条
件收敛
C
9.3正项 级数的其 他判别法
F
9.6级数 的乘法
第9章数项级数
*9.0章函数序列与函数项级数
第10章函数序列与函数项级数
10.1函数序列和函数 项级数的几个基本概念
05
2.5连续函 数
03
2.3函数的 基本概念和
性质
06
2.6函数极 限的其他形
式
第2章函数极限与连续
2.7收敛速度问题：无穷 小与无穷大的阶的比较
2.8函数的一致连续性
2.9有限闭区间上连续函 数的性质
*2.10关于函数极限和连 续的进一步讨论
探索类问题
05
最新02-2 收敛数列的性质
02-2收敛数列的性质仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢0§ 2 收敛数列的性质1. 极限唯一性：若数列«Skip Record If...»收敛，则它只有一个极限。
证 （反证法）若数列«Skip Record If...»有两个极限收敛，«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，（极限的几何定义）«Skip Record If...»外至多有数列«Skip Record If...»的有限项«Skip Record If...»内最多只有数列«Skip RecordIf...»的有限项，与 «Skip Record If...»矛盾。
2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件若数列«Skip Record If...»收敛，则数列«Skip Record If...»有界，即存在«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»«Skip Record If...» 都有 «Skip Record If...»证明由«Skip Record If...»，存在 «Skip Record If...» 时，«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»记«Skip Record If...»，则对任意«Skip Record If...»都有：«Skip Record If...»3 收敛数列保号性：kip Re cord If...»若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；推论若 «Skip Record If...»则对«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»例1 设«Skip Record If...»证明：若 «Skip Record If...»则«Skip Record If...»（证）定理2.5 设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»4迫敛性设«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»满足：存在«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则数列«Skip Record If...»收敛，且«Skip Record If...»证明 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»取 «Skip Record If...»时«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1例2 求 «Skip Record If...»解法1） «Skip Record If...»，所以可将 «Skip Record If...»的形式，«Skip Record If...»用牛顿二项式定理«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»由迫敛性 «Skip Record If...»解法2）«Skip Record If...»5绝对值收敛性:«Skip Record If...» ( 注意反之不确 ).«Skip Record If...» ( 证 )推论设数列{«Skip Record If...»}和{«Skip Record If...»}收敛, 则«Skip Record If...»6四则运算性质:设«Skip Record If...»，则数列 «Skip Record If...»也收敛，且«Skip Record If...»， «Skip Record If...»。
1.3.2收敛数列的性质
使得，对任意n Z+ , yn M 成立.
推论： 无界数列必发散。
例如,数列n2 ,2n 1 等， 是无界数列，
因此，当n 时，数列发散
性质3、(存在性) 单调有界数列必有极限。
1 例如：数列 1 是单调递增数列， n 1 对任意n Z ,1 1成立， n 1 所以，当n 时，数列 1 的极限存在。 n
n
1 n+1 n
0.
n
n
n
例题：讨论下列数列的极限情况。
（2）、yn n+1 n
解： 因为
1，所以
n n
yn n 1 n
1
n 1 n
当 n 时，分母
1 n 1 n 0
n 1
， 由观察可知， n ，分子为常数
，即
lim yn lim( n+1 n )= lim
1.3.2 收敛数列的性质
性质1、(唯一性) 若数列 yn 收敛，则其极限值唯一。
即：甲同学lim yn =A，乙同学lim yn =B,
n n
ห้องสมุดไป่ตู้
若lim yn 存在，则A=B。
n
反之，若A B， lim yn不存在。
n
性质2、(有界性) 收敛数列必有界。
即：若lim yn =A, 则，必存在正数M,
例题：讨论下列数列的极限情况。
（1）、yn (1)
n 1
1 n
n
n
解：当 n 为奇数时， y 为一正数，当 n 为
偶数时，y 为一负数． 当 n 越来越大时，y 越来越小，当 n 时，y 与常数 0 无限接 近，所以数列 y 的极限是 0，即 n 1 1 lim yn lim(1) =0. n n n
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当 nN时 , 恒有
a a n b n c n a ,
即 bna成,立 ln i m xna.
夹逼定理应用
例3 求 li(m 11 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
lim1 qn n 1 q
1
qn
lim lim
n1q n1q
1 1 lim qn 1q 1qn
1
1
q
.
夹逼定理
三、夹逼定理
定理2.5： 若数 {an}{列 ,bn}{,cn}满足：
a n b n c n , n 1 , 2 , 3 , , 且 l n a i n m l n c i n , 则 m
取 N m N 1 ,N a 2 ,则 xn当 N时有
a b ( x n b ) ( x n a ) x n b x n a 2 .
上式a仅 b时 当才能 . 故成 极限唯立 一.
收敛数列性质
, 定义2.1 (数列有界的定义) 对数{a列 n}，
若存在一个实数M，对数列所有的项都满足 a n M ,n 1 ,2 ,3 ,
§1.2 收敛数列的性质
收敛数列性质
一、 收敛数列的基本性质
定理2.1 (唯一性)若数列收敛, 则其极限唯一.
证明 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
由定义, 0 , N 1 N ,N 2 N , 使 得
N 1,nN 1:xna, N 2, nN 2:xnb
1
1
1annn
由于 lim nn 1 1, 由夹逼定理 ,知 n
lim an 1 1对 a1成.立
n
再 a 设 (0 ,1 )这 , a 1时 1 ,于是
1
liman
n
Байду номын сангаас
1
1
ln im a1n
11. 1
夹逼定理应用
例5 设 0 a 1 a 2 a k 则
lin m a1 na2 n ak nak
又lim n lim1 n n2n n 11
1,
n
lim n lim 1 n n21 n 1n12
1,
由夹逼定理得
li(m 11 1) 1 .
n n 2 1n 2 2 n 2 n
夹逼定理应用
例4 设 a 0求 , :l证 ia m n 1 1 n
证 先 a 1 设 当 n , a 时 ,有
则M 称 是 {an}的上 . 界
相应的, 可以给出有界和有下界的定义
一个数列即有上界又有下界, 则称为有界数列.
定理2.2 (有界性)
若数列{an}收敛，则必有界。
收敛数列性质
定理2.3 (数列极限的保序性）
1o设 ln i m ana, 且 a,则 N当 , nN时 ,有 an;
2o 设 ln i m ana,ln i m bnb,且 ab,则 N 当 nN 时 ,有 anbn;
取 N m N 1 , N 2 } 当 a n , N , x a n { .
收敛数列性质
(2)令ba,则
2
N 1 , 当 n N 1 时 , |a n a | , 即 a n a a 2 b . N 2 , 当 n N 2 时 , |b n b | , 即 b n b a 2 b .
|a n a |b n || |a |b n | b |. 由 a n ， b n 收敛 ,b n 有 ， |b n 界 | 可 M 和 得
0 , N 1 ,n N 1:|a n a | 2 (M 1 ),
N 2,nN 2:|bnb|2(a1),
取 N m N 1 , N 2 } 当 n a , N , 得 | x a n b n a | { .b
取 N m N 1 ,N a 2 } 当 x n , N { , 由 a n 上 b n . 得
(3)用反证(法 2)可 由得 .
注 (3 )中即 a n b n ,也 使a 可 有 b . 有
极限的四则运算
证 (1)由绝对值的三角不等得 式; 可
( 2 ) | a n b n a | | a n b n a n a b n a b | b
s.t
当
nN 2 时 ,有 | bnb|b 2 2.
因此当n max{N1, N2 }时, 便有
| b 1 n1 b|b 2 2|b nb|.
即证得, lim 1 1 .
b n n
b
再由(2)易见结论成. 立
应用举例
例1: 求 ln i m 2 5n n2 2 3 4n n 1 4.
解
原式
2 lim n 5
(3) 先证 lim 1 1
b n n
b
对 |b 2 | 0 , 于 N 1 ,s .t当 n N 1 时 ,
|
bn
b||b|, 2
且此 |bn|时 |b 2|0.
所以当n N1时, 有
| 11||bnb| bn b |bnb|
2 b2
|
bn
b
|
.
极限的四则运算
由于
lim
n
bn
b,
对
0,
N2 ,
3 o设 ln i a m n a ,ln i b m n b ,若 N 当 n ,N 时 , 有 a n b n , 则 a 有 b .
收敛数列性质
证明 ( 1 ) 取 a 2, N 1 ,当 n N 1 ,|a n a |
即 anaa 2;
同理 2 a , N ， 2 ,当 n N 2 取 ,a n ,
证明
ln i a m n ln i b m n ln i c m n .
设 ln i a m n ln i c m n a ,则
0 , N 1 0 ,N 2 0 ,使得
当 n N 1 时a 恒 n a 有 , 当 n N 2 时c 恒 n a 有 ,
取 N mN a 1 ,N 2 x }{ ,上两式同时成立,
3
n 4
n
4
n2 1
n2
ln im2ln imn3lnimn42 lnim5lnim n4 lnim n12
2 5
应用举例
例2 设 |q | 1 ,计l 算 i( 1 m q 极 q 2 . .q 限 .n 1 ) n
解 li(1 m q q 2 . .q .n 1 ) n