各类型中高难度全等三角形 题 习题版

1.已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =．求证：AB DE =．2.图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF ∆的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC ∆斜边AB 的中点处，304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．（2）如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．3.在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且EF DG ⊥．求证：EF DG =．4.在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，且EG FH ⊥，求证：EG FH =．5.ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．FEDC B A图2图1EHABCD FGN NMGF ED CBAGFEDC BA M GFE DC BAHGFE D CBAGFE MN H D CBA6.如图，在Rt ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．7.E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．8.E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．9.如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．N MPCB AFBA PFEDCBAGA BC DEF10.如图，已知ABC ∆中，90ABC AB BC ∠=︒=，，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______．11.两个全等的30︒、60︒的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ∆的形状，并说明理由．12.已知等腰直角三角形ABC ，C ∠为直角，M 为BC 的中点．CD AM ⊥．求证：AMC DMB ∠=∠．求证：AMC DMB ∠=∠．13.如图所示，已知在等腰直角三角形ABC 中，BAC ∠是直角，D 是AC 上一点，AE BD ⊥，AE 的延长线交BC 于F ，若ADB FDC ∠=∠，求证：D 是AC 的中点．14.如图所示，在等边ABC ∆中，DE BC ∥，O 为ADE ∆的中心，M 为BE 的中点，求证OM CM ⊥．EDCBF ACBAl 3l 2l 1ME DCBA MDCBA F EDCBA15.已知P 为等腰直角ABC ∆的斜边AB 上任意一点，PE 、PF 分别为AC 、BC 之垂线，垂足为E 、F ．M 为AB 之中点．则E 、M 、F 组成等腰直角三角形．16.长方形ABCD 中，4AB =，7BC =，BAD ∠的角平分线交BC 于点E ，EF ED ⊥交AB 于F ，则EF =_________．17.如图，设ABC ∆和CDE ∆都是正三角形，且62EBD ∠=︒，则AEB ∠的度数是()A ．124︒B ．122︒C ．120︒D ．118︒18.已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．MP F EC BA FEDCB A 1ADBCE19.如图，ABC ∆的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．⑴在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；⑵将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；⑶将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．20.ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．21.如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，,MN MD BN CBE ⊥∠平分，E 为AB 的延长线上一PDQCBEA图⑴lPC (F )B A (E )图⑵Q ←lPFE C B A图⑶←QAEB CF Pl4321A B C EFPlQN lPFCBEAQEGF DC BA22.如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？23.如图，点M 为正方形ABCD 的边AB (或BA )延长线上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，此时MD 与MN 有何数量关系?并加以证明．24.如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?25.已知，ABC ∆中，3AB =，120BAC ∠=︒，1AC =，D 为AB 延长线上一点，1BD =，点P 在BAC ∠的平分线上，且满足PAD ∆是等边三角形．NM EDCB AN CDE B M A NCDEB M A CDNEM B A NEB M A D⑵求点C 到BP 的距离．26.如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD +相等的理由．27.如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是AB 上一个动点；若60B ∠=︒，AB BC =，且60DEC ∠=︒，判断AD AE +与BC 的关系并证明你的结论．28.已知，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，D 是射线BC 上一动点(D 与C 不重合)，以AD 为一边向右侧作等边ADE ∆(C 与E 不重合)，连接CE ．⑴若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 上时(如图1所示)，则直线BD 与直线CE 所夹锐角为度；⑵若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；⑶若ABC ∆不是等边三角形，且BC AC >(如图3所示)．试探究当点D 在线段BC 上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB ∠满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．CB PDAE DCBAEDCBAEDCB A图1FED C BA图2BC D F AE图3BC FA29.如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．30.如图，ABD ∆和CED ∆均为等边三角形，AC BC =，AC BC ⊥．若BE =CD =．31.如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．32.如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．请你证明：（1）AN BM =；（2）DE AB ∥；（3）CF 平分AFB ∠．33.如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．DECBA图6DECBANMEDCBAM D NEC BF A34.如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等腰三角形35.已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆的高．求证：CG CH =．36.如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．37.以ABC ∆的两边AB AC ，为边向外作正方形ABDE ACFG ，，求证：CE BG =，且CE BG ⊥．M DNECBAPMBC DEAHG NM CBAG FE DCBA38.如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)BH CF =；(2)MF MH=39.如图1，若ABC ∆和ADE ∆为等边三角形，M N ，分别EB CD ，的中点，易证：CD BE =，AMN ∆是等边三角形．（1）当把ADE ∆绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ADE ∆绕A 点旋转到图3的位置时，AMN ∆是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当2AB AD =时，ADE ∆与ABC ∆及AMN ∆的面积之比；若不是，请说明理由．40.如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP OQ ⊥．GOFEDCB AGHM FED CBA图1N M E DC BA图2ABCDEMN图3ABCDEMN41.如图所示，在等腰直角ABC ∆的斜边AB 上取两点M 、N ，使45MCN ∠=︒，记AM m =，MN x =，BN n =，求证：以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是直角三角形.42.请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．43.如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=︒，AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．RQPOD CBAx m n N M CBA 图1ABCDE图2AB CDE【巩固】在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．44.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD ∠=∠=︒，180ABC AED ∠+∠=︒，连结AD 。