极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)
极值点偏移的解题思路及比较
用，在解答题中需要证明．
（ 五） 思路五（ 对称构造）
设 f（ x） 的极值点为 m，构造函数 F（ x） = f（ x） － f（ 2m －
x） 或 F（ x） = f（ m － x） － f（ m + x） 并参照零点 x1 （ 或 x2 ） 注明 定义域，然后确定 F（ x） 的符号，并依据极值点一侧的单调
（ 三） 思路三： 双向型超越不等式
{ 借 助 形 如
lnx
＞
2（ x － m） x+m
+ lnx（ x ＞ m） ，（ m ＞ 0） ，
的双
lnx
＜
2（ x － m） x+m
+ lnm（ 0 ＜ x ＜ m）
向型超越不等式化超越函数为有理函数，形成关于 x1 + x2 或 x1 x2 的有理不等式后进行证明．
ln1
=
2（ x － 1） x +1
（
0
＜
x
＜
1）
．
（
证明略）
可以得到
2lnt
= x2
－ x1
+
ln
2 2
－ x2 － x1
＜
x2
－
x1
+
2（ x1 － x2 ） 4 － （ x1 + x2 ）
=
（
x2
－
x1） ［2 － （ 4 － （ x1 +
x1 + x2 ）
x2）
］ ，
∵ x2 － x1 ，4 － （ x1 + x2 ） ＞ 0．
（* ）
{lna + 2ln（ 1 － x1 ） = x1 + ln（ 2 － x1 ） ， 两式相减， lna + 2ln（ x2 － 1） = x2 + ln（ 2 － x2 ） ，
对数平均不等式在极值点偏移中应用
对数平均不等式(d e )典型应用极值点偏移问题(de)母题对数、指数平均不等式与高考中(de)一类热点,即极值点(de)偏移(类对称或淮对称)问题具有深该(de)内在联系,利用对数与指数平均不等式可建立极值点(de)偏移母题如下.[母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m≠0)图像上(de)任意两点,则当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ ; (Ⅱ)(指数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=me x +ax 2+bx+c(m ≠0)图像上(de)任意两点,则当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ . [母题解析]:(Ⅰ)由f(x)=mlnx+ax 2+bx+c⇒f '(x)=xm+2ax+b⇒f '(221x x +)=212x x m ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(xx x f x f --= m⋅2121ln ln x x x x --+a(x 1+x 2)+b⇒k PQ -f '(221x x +)=m(2121ln ln x x x x ---212x x +),由对数平均不等式:2b a +>ba ba ln ln --⇒2121ln ln x x x x -->212x x +⇒当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ ; (Ⅱ)由f(x)=me x+ax 2+bx+c ⇒f '(x)=mex+2ax+b ⇒f '(221x x +)=me221x x ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =2121)()(x x x f x f --=m⋅2121x x e e x x --+a(x 1+x 2)+b ⇒k PQ -f '(221x x +)=m(2121x x e e x x ---e221x x +),由指数平均不等式:ba e eb a -->e2b a +⇒2121x x e e x x -->e221x x +⇒当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ .1.对数模型子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x. (Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)设a>0,证明:当0<x<a 1时,f(a 1+x)>f(a1-x);(Ⅲ)若函数y=f(x)(de)图像与x 轴交于A,B 两点,线段AB 中点(de)横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0. [解析]:(Ⅰ)f(x)(de)定义域为(0,+∞),由f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x ⇒f '(x)=-xx 12+(ax-1);①当a ≤0时,f '(x)>0⇒f(x)在(0,+∞)上递增;②当a>0时,f(x)在(0,a 1)上递增,在(a1,+∞)递减;(Ⅱ)令g(x)=f(a1+x)-f(a1-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,则g '(x)=axa+1+axa -1-2a=222312xa x a ->0⇒g(x)在[0,a1)上递增⇒g(x)>g(0)=0⇒f(a 1+x)>f(a1-x);(Ⅲ)设A(x 1,0),B(x 2,0),则k AB =0,由f '(221x x +)<k AB =0⇒f '(x 0)<0.[点评]:若连续函数f(x)在区间(x 1,x 2)内有唯一(de)极值点x 0,且f(x 1)=f(x 2),研究221x x +与x 0(de)大小或判断f '(221x x +)(de)符号,统称为极值点(de)偏移问题;母题结论具有解决极值点偏移问题(de)根本性. 2.指数模型子题类型Ⅱ:(2010年天津高考试题)已知函数f(x)=xe -x (x ∈R). (Ⅰ)求函数f(x)(de)单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数y=g(x)(de)图象与函数y=f(x)(de)图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);(Ⅲ)如果x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),证明:x 1+x 2>2. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=xe -x ⇒f '(x)=e-x-xe -x =(1-x)e -x ,列表如下,由表知f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=e -1;(Ⅱ)由函数y=g(x)(de)图象与函数y=f(x)(de)图象关于直线x=1对称⇒g(x)=f(2-x)=(2-x)e x-2;当x>1时,令F(x)=f(x)-g(x)=xe -x +(x-2)e x-2,则F '(x)=(x-1)(e 2x-2-1)e -1>0⇒函数F(x)在[1,+∞)是增函数⇒F(x)>F(1)=0⇒f(x)>g(x);(Ⅲ)设P(x 1,y 0),Q(x 2,y 0),由x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),则x 1,x 2>0;令g(x)=lnf(x)=lnx-x,则g '(221x x +)<k PQ =0⇒212x x +-1<0⇒x 1+x 2>2.[点评]:指数与对数函数模型不仅具有相似(de)结论,实质上,由函数y=e x 与y=lnx(de)对称性知,母题中,指数与对数函数模型(de)结论是等价(de);把指数函数问题转化为对数函数问题是解决指数函数问题(de)常用方法. 3.切线背景子题类型Ⅲ:(2005年湖南高考试题)已知函数f(x)=lnx,g(x)=21ax 2+bx,a ≠0.(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a(de)取值范围;(Ⅱ)设函数f(x)(de)图象C 1与函数g(x)图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ(de)中点作x 轴(de)垂线分别交C 1,C 2于点M 、N,证明:C 1在点M 处(de)切线与C 2在点N 处(de)切线不平行. [解析]:(Ⅰ)当b=2时,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-21ax 2-2x ⇒h '(x)=x 1-ax-2=-x1(ax 2+2x-1)(x>0);所以,h(x)存在单调递减区间⇔h '(x)≤0在(0,+∞)内有解集区间⇔T(x)=ax 2+2x-1≥0在(0,+∞)内有解集区间⇔a>0,或a<0,且4+4a>0⇔ a(de)取值范围是(-1,0)∪(0,+∞);(Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),A(x 1,0),B(x 2,0),由h(x)=f(x)-g(x)=lnx-21ax 2+bx ⇒h '(x)=f '(x)-g '(x)⇒h '(221x x +)=f '(221x x +)-g '(221x x +)<k AB =0⇒f '(221x x +)<g '(221x x +)⇒C 1在点M 处(de)切线斜率=f '(221x x +)<C 2在点N 处(de)切线斜率=g '(221x x +)⇒C 1在点M 处(de)切线与C 2在点N 处(de)切线不平行.[点评]:对数、指数平均不等式及其引伸(de)母题结论具有广泛(de)应用,尤其在解决双切线问题中,具有十分有力(de)深刻应用;掌握对数、指数平均不等式及其引伸(de)母题结论(de)证明是十分必要(de). 4.子题系列:1.(2016年安徽蚌埠二模试题)设函数f(x)=x 2+3x+3-ae x (a 为非零常数). (Ⅰ)求g(x)=xe xf )((de)单调区间;(Ⅱ)若存在b,c ∈R,且b ≠c,使f(b)=f(c),试判断a f '(2c b +)(de)符号.2.(2014年江苏南通二模试题)设函数f(x)=e x -ax+a(a ∈R),其图像与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点,且x 1≠x 2. (Ⅰ)求a(de)取值范围; (Ⅱ)证明:f '(21x x )<0(f '(x)为函数f(x)(de)导函数).3.(2013年湖南高考试题)已知函数f(x)=211x x +-e x .(Ⅰ)求f(x)(de)单调区间;(Ⅱ)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0.4.(2014年广东韶关二模试题)已知函数f(x)=ln(x+a 1)-ax,其中,a ∈R 且a ≠0.(Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)若不等式f(x)<ax 恒成立,求实数a(de)取值范围;(Ⅲ)若方程f(x)=0存在两个异号实根x 1,x 2,求证:x 1+x 2>0. 5.(2011年湖南高考试题)设函数f(x)=x-x1-alnx(a ∈R),(Ⅰ)讨论f(x)(de)单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x 1和x 2,记过点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2)),(de)直线(de)斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a 若存在,求出a(de)值;若不存在,请说明理由. 6.(2015年广东广州二模试题)已知函数f(x)=alnx-11+-x x ,g(x)=e x (其中e 为自然对数(de)底数).(Ⅰ)若函数f(x)在区间(0,1)内是增函数,求实数a(de)取值范围;(Ⅱ)当b>0时,函数g(x)(de)图象C 上有两点P(b,e b ),Q(-b,e -b ),过点P,Q 作图象C(de)切线分别记为l 1,l 2,设l 1与l 2(de)交点为M(x 0,y 0),证明:x 0>0. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)由g(x)=xex f )(=(x 2+3x+3)e -x -a ⇒g '(x)=-x(x+1)e -x ⇒g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上递减,在(-1,0)上递增; (Ⅱ)令P(b,f(b)),Q(c,f(c)),则k PQ =0;①当-a>0,即a<0时,f '(2c b +)<k PQ =0⇒a f '(2cb +)>0;②当-a<0,即a>0时, f '(2cb +)>k PQ =0⇒a f '(2c b +)>0.综上,a f '(2cb +)>0. 2.解:(Ⅰ)由f '(x)=e x -a;①当a ≤0时,f '(x)>0⇒f(x)在(-∞,+∞)上单调递增⇒f(x)至多有一个零点,不合题意;②当a>0时,f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,由f(x)有两个零点⇒f min (x)=f(lna)=2a-alna<0⇒a>e 2⇒lna>2;又f(1)=e>0,f(a -1lna)=e 1-alna-lna+a>a -1lna+1-(a-1)+a=a -1lna+2>0⇒f(x)有两个零点x 1,x 2,且1<x 1<x 2.故a(de)取值范围是(e 2,+∞);(Ⅱ)由f '(221x x +)<k PQ =0,且f '(x)=e x -a 在(-∞,+∞)上单调递增;又由1<x 1<x 2⇒21x x <221x x +⇒f '(21x x )<f '(221x x +)<0.3.解:(Ⅰ)由f(x)=211x x +-ex⇒f '(x)=-222)1()32(x x x x ++-ex⇒f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减; (Ⅱ)不妨设x 1<x 2,由(Ⅰ)知x 1<0,x 2>0;由f(x 1)=f(x 2)⇒21111x x +-e 1x =22211x x +-e 2x >0⇒0<x 2<1,ln(1-x 1)-ln(1+x 12)+x 1=ln(1-x 2)-ln(1+x 22)+x 2⇒(x 1+x 2)22212221)1ln()1ln(x x x x -+-++)1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------=1;根据对数平均不等式,有22212221)1ln()1ln(x x x x -+-+>222221++x x ,)1()1()1ln()1ln(2121x x x x ------>)(2221x x +-⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(2221x x +-<1⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(2221x x +--1<0⇒(x 1+x 2)222221++x x +)(22122x x x x +-+<0⇒(x 1+x 2)[222221++x x +)(2121x x +-]<0;由x 1<0,0<x 2<1⇒x 1+x 2<2⇒)(2121x x +->0⇒222221++x x +)(2121x x +->0⇒x 1+x 2<0.4.解:(Ⅰ)由f(x)(de)定义域为(-a1,+∞),f '(x)=-12+ax x a ;①当a<0时,f '(x)>0⇒f(x)在(-a 1,+∞)上单调递增;②当a>0时,在区间(-a1,0)上,f '(x)>0,在区间(0,+∞)上,f '(x)<0⇒f(x)在(-a1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;(Ⅱ)由f(x)<ax ⇔2ax-ln(x+a 1)>0,令x=e-a 1得:2a(e-a1)-1>0⇒2ea-3>0⇒a>0;令g(x)=2ax-ln(x+a1),则g '(x)=122+ax a (x+a21)⇒g(x)在(-a1,-a21)上单调递减,在(-a21,+∞)上单调递增⇒g min (x)=g(-a 21)=-1-ln(2a);由g min (x)>0⇒a>2e ⇒a(de)取值范围是(2e,+∞);(Ⅲ)由(Ⅰ)知a>0,且-a1<x 1<0<x 2,由f(x 1)=f(x 2)=0⇒ln(x 1+a 1)-ax 1=ln(x 2+a 1)-ax 2=0⇒x 1+a 1=e 1ax ,x 2+a1=e 2ax⇒x 2-x 1=e2ax -e1ax ⇒1212ax ax e e ax ax --=a1;又x 1+x 2+a2=e1ax +e2ax ,根据指数平均不等式,有=e 1ax +e2ax >2⋅1212ax ax e e ax ax --=a2⇒x 1+x 2+a2>a2⇒x 1+x 2>0.5.解:(Ⅰ)f(x)(de)定义域为(0,+∞),f '(x)=21x(x 2-ax+1);①当a ≤2时,f '(x)≥0⇒f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>2时,由f '(x)=0⇒x 1=242--a a ,x 2=242-+a a ⇒f(x)在(0,x 1)和(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,a<2,且x 1x 2=1;由k=2121)()(x x x f x f --=1+211x x -a 2121ln ln xx x x --;若存在a,使得k=2-a,则2121ln ln x x x x --=1,即2121ln ln xx x x --=21x x ;但由加细基本不等式知;2121ln ln xx x x -->21x x .故不存在a,使得k=2-a.6.解:(Ⅰ)由函数f(x)在区间(0,1)内是增函数⇔当x ∈(0,1)时,f '(x)=x a -2)1(2+x ≥0⇔当x ∈(0,1)时,a ≥212++xx ⇔a ≥21.故实数a(de)取值范围为[21,+∞);(Ⅱ)由g(x)=e x⇒g '(x)=e x⇒切线l 1:y=e b (x-b)+e b ,l 2:y=e -b (x+b)+e -b ⇒x 0=b ⋅bb b b e e e e ---+-1=b ⋅b bee 2211---+-1;设t=e -2b ∈(0,1),则lnt=-2b ⇒-1=tbln2⇒x 0=b ⋅t t -+11+t b ln 2=b(t t -+11+t ln 2);由(Ⅰ)知,当a=21时,f(x)=21lnx-11+-x x 在区间(0,1)内是增函数⇒f(t)=21lnt-11+-t t <f(1)=0⇒2ln t<11+-t t ⇒t t-+11+tln 2>0⇒x 0>0.。
含对数式的极值点偏移问题
6含对数式的极值点偏移问题二f 2X0 -X 2，比较X 2与2X0 7的大小，即比较X0与宁的大小.2.又一解题策略：根据f x ^ f X 2建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解. 对数平均不等式的介绍与证明对数平均与算术平均、几何平均的大小关系: 、、ab 乞L(a,b)乞勺匕(此式记为 对数平均不等式) 取等条件：当且仅当 a 二b 时，等号成立._ a 亠b只证：当 a = b 时，.、ab ::: L(a,b)： 2证明如下:(I )先证:■. ab ： L(a,b)IHIIIa + b(II )再证：L(a,b)::2构造函数 g(x) =lnx 」2^ 9,(x 1)，则 g (x)=丄(x+1)不等式Cyf2( ---- 1 )a+b b(兰+i )1.若f X 的极值点为X 0，则根据对称性构造一元差函数Fx=fX0，X-fX 0-X ，F x 的单调性以及F 0 [=0，借助于f 为i= f X2 =X 。
- X 。
- X 2 与 f ||_X o •X o 巧借X 2两个正数a 和b 的对数平均定义:a-b -- @ 丰 b),ln (3 — ln2)a(a = b)..不失一般性，可设 a b .不等式★…一a a ；i)二 2Inxcx —〕(其中X = J2A 1) a xb构造函数 f(x)=2In x-(x 」,(x1)，2 1 1 2 则 f (刈二—-—二二「(1-一)2.XXX因为X 1时，f (x) - 0，所以函数f (x)在(1「：)上单调递减, 故f (x) ：： f(1) =0，从而不等式成立;4 (x-1)2・…2 , 亠八2 . X (x 1) x(x 1)a b因为x .1时，g(x) .0,所以函数g(x)在(1,七)上单调递增，故g(x) ：：：g(1) =0，从而不等式成立；m亠b综合(I)(II )知，对-a,b・R •，都有对数平均不等式ab_L(a,b) 成立，2当且仅当a二b时，等号成立.例 1.已知函数f(x)=lnx-ax2• (2-a)x.(1)讨论f (x)的单调性；1 1 1(2)设a . 0，证明：当0 ：：：x 时，f ( x) f ( x)；a a a(3)若函数y = f(x)的图象与x轴交于代B两点，线段AB中点的横坐标为沧，证明:【解析】门)易得：当*0时，/(力在(02)上单调递曹当心0时，/仗)在(0丄)上单调递増，在(-;+x)±B调递减一a a(2)法一：构造函数g(x) = f(— + x)-/(--算)：(0 < 兀< 丄), a a a二&(刃在①丄)上单调递増，a又£(0) = 0,二£(兀)>0, PP /(-+x) > /(- -x> .1 1法二：构造以a为主元的函数，设函数h(aH f ( x) - f( x)，a a1 1由0 ：：： x ，解得0 ::: a ：：：a x1 当0：：：a 时，h(a) 0 ,.•. h(a)在(0「：)上单调递增，x1 1 1而h(0) =0 ,所以h(a) 0，故当0 ：：x 时，f ( x) f ( x).a a a f (x。
(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式
极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换） 令，则，构造函数可证．证法3（主元法） 不妨设，111ln2e e 2ln b a b aa ab b ab ab b a b a ba b a b b b a a a ---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ab a b ≠ln ln a ba b--a b ln ln 2a b a ba b -+<-()()(),,,G a b L a b A a b <<0ln ln a bR a b-=>-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1kf x x'=-()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<<22a b kab k +>⎧⎨<⎩1at b=>()()11ln ln 2ln 2b t b t a b a ba b t -+-+<<⇔<<-()2111ln ln 21t t t t t t --+⇔<⇔<<+a b >．记，，则 ，得在上，有，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设，则由得，； 由得，．证法5（几何图示法） 过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即； 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得． 由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：即，，则ln ln ln ln 0ln ln a b a b a b a b -<⇔-<⇔-<-()ln ln f a a b =-(),a b ∈+∞()210f a a '==<()f a (),b +∞]()()0f a f b <=a b >()()()()2ln ln ln 22ln ln ln e e 1aa axx bbbdxdxdx <⎰⎰⎰()()()2221ln ln 2b a a b a b -<--ln ln 2a b a ba b -+<-()222111a a ab b bdx dx dx x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()211ln ln a b a b b a ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭ln ln a ba b-<-()1f x x =2,2a b a b +⎛⎫⎪+⎝⎭()11ln ln 2a b a b dx a b a b x -⋅<=-+⎰ln ln 2a b a b a b -+<-1dx x=< ⎪ ⎪⎝⎭ln ln a b a b -<-()()12f x f x =1212ee x x x x --=1122ln ln x x x x -=-12121ln ln x x x x -=-（正数，的对数平均数为1），得，且．再解例2：即；由得，两式相减得 ，下面用反证法证明．若，则，，取对数得，则．而由对数平均不等式得，矛盾．再解例3：由得， ； ． 由对数平均不等式得，，得． 再解练习1：由得，则，1x 2x 1212x x +<<121x x <122x x +>()()()22e 10xf x x a x =-+-=()()22e 10xx a x -=->()()120f x f x ==()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-122x x +<122x x +≥()()12122e 2e 0x x x x ---≤()()12122e 2e x xx x -≤-()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------1122ln ln x x x x m ==11ln m x x =22ln mx x =1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+()12122ln ln ln x x x x ->+=1221e x x <1122ln ln x ax x ax -=-1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭1212x xa +<得； ，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到，则． 再解例7（2）：易得，则，则，． 再解例8：，，得，则，，．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．即，，则 ①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．，得，且．①＋②得，由此可得．解练习3：选项D ：即，则，，所以1222ex x a +>>()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>121x x <12112x x +>>()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-1ln ln a b a b->-12a b+>2a b +>11222ln 2ln x ax x ax -=-()()12122ln ln x x a x x -=-12122ln ln x x x x a -=-1222x x a +>124x x a +>()121224262x x x x x a a a+=++>+=0f '<()0f x =()()2e 1e x a x a =->()ln ln 1x a x =+-()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①②()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---11x -21x -()()121112x x -+-<<()()12111x x --<124x x +>()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<0f '<()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=121212ln ln 2x x x x x x -=-． 顺带地，也有． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数的两个零点是，，求证：． 证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．证法2：由题意得，两式相减得 ， ，，121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>()()120f x f x ==1x 2x ()()2ln 2f x x ax a x =-+-1x 2x 1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 1a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭]1210x x a <<<121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-所以．()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭。
极值点偏移问题专题(二)——函数的选取(操作细节)
这或许是史上最全的极值点偏移系列文章极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移）极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路）极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节）极值点偏移（3）——变更结论（操作细节）极值点偏移（4）——比值代换（解题方法）极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归）极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例今天带来极值点偏移系列 第三篇文章，供大家参考极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节）例4 已知函数()e xf x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ．（1）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<； （3）求证：122x x +>；（4）求证：121x x <． 解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上 ，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上 ，在()l n ,a +∞上 ，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a <⇒>．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：()e e 0e x x xf x ax ax a x =-=⇔=⇔=，记函数()e xg x x =，则有()()12g x g x a ==． 求导得()()2e 1x x g x x -'=，则1是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>；顺带地，也可证（4）中结论121x x <．（i ）()g x 在(),0∞上 ，在()0,1上 ，在()1,+∞上 ；()g x 与x 的符号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +→时，()g x →+∞时，()g x →+∞，()g x 的图像如下：由()()12g x g x a ==不妨设1201x x <<<．（ii ）构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()2222222e 1e 12e e 12x x x x G x g x g x x x x x x x x --'''=+---=+-⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（4）（i ）同上；（ii ）构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()()()()1122222111e 1e 111e e 1x xx x G x g x g x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-⋅当01x <<时，10x -<，但因式1e e x x -的符号不容易看出，引进辅助函数()1e e xx x x ϕ=-，则()11e 1e x x x x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上 ，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上 ，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭； （iii ）将1x 代入（ii ）中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=<⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上 ，故211x x <，121x x <． 点评：虽然做出来了，但判定因式()222e e 2x xx x ---及1e e x x x -的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：()()0e e ln ln ln ln x f x ax a x a x x x a =⇔=>⇔=+⇔-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再解（3）、（4）两问．（3）（i ）()11h x x '=-，得()h x 在()0,1上 ，在()1,+∞上 ，有极小值()11h =，又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞，故()h x 的图像如下：由()()12h x h x =不妨设1201x x <<<．（ii ）构造函数()()()2H x h x h x =--，则()()()()2111121112H x h x h x x x x x x '''=+-=-+--⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭当01x <<时，10x -<，1102x x->-，则()0H x '<，得()H x 在()0,1上 ，有()()10H x H >=，即()()()201h x h x x >-<<点评：用函数()ln h x x x =-来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=．注2：在第（ii ）步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小，以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，被迫分为两类：①若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；②当()1,2x ∈时，类似于原解答．而给字()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．思考：练习1（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？ 提示：用函数ln x y x =来做212e x x >，用函数ln y x ax =-来做122x x a+>．练习2 （安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知()ln()f x x m mx =+-（1） 求()f x 的单调区间（2） 设1m >, 1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证120x x +<提示：将()0f x =，两边取对数转化为指数方程处理。
对数平均不等式极值点偏移
对数平均不等式极值点偏移大家好，今天咱们聊聊一个数学小问题，听上去可能有点拗口，但其实并不难懂。
我们要探讨的是“对数平均不等式极值点偏移”。
别急，听我慢慢道来。
1. 对数平均不等式的基础知识1.1 什么是对数平均不等式？首先，啥是对数平均不等式呢？简单来说，就是在数学里，有一种不等式，它涉及到对数运算。
对数平均不等式就是其中一种。
你可以把它当作是两个数的对数平均值和它们的对数和之间的关系。
这种不等式告诉我们，怎么计算这些对数值的平均数更能体现真实情况。
1.2 如何理解对数平均不等式？打个比方，就像是你和朋友一起去吃饭，大家都点了不同的菜。
你想算出每个人平均吃了多少，其实就是在用对数平均的办法。
这时候，如果你算出的数和大家的实际情况对不上，说明可能你的计算方法有点偏差。
对数平均不等式就是帮我们纠正这些偏差的工具。
2. 极值点的概念2.1 什么是极值点？接下来，我们聊聊极值点。
极值点就是函数图像上最高点或者最低点的地方，简单点说，就是“山顶”和“山谷”。
比如，你在山上爬山，爬到最高点就是极值点。
而在数学里，这个极值点帮助我们了解函数的行为和变化。
2.2 极值点偏移是什么意思？当我们说“极值点偏移”时，其实就是在探讨这些“山顶”和“山谷”位置的变化。
想象一下，你在画一个山的图形，如果你动了一下笔的位置，山的顶端可能就不在原来的地方了，这就是偏移。
在对数平均不等式中，我们研究的就是这些“山顶”和“山谷”位置怎么随着条件的变化而移动。
3. 对数平均不等式的极值点偏移3.1 为什么要关注极值点偏移？极值点偏移听起来有点复杂，但其实它在很多实际问题中都很重要。
比如在优化问题中，我们希望找到最优解，这时极值点的偏移可能会影响到我们的结果。
如果我们能搞清楚这些极值点如何变化，就能更准确地找到最佳解。
3.2 举个例子，聊聊实际应用比如说你在找最佳的购物打折策略。
假如你有一张优惠券，它的使用规则就像是对数平均不等式的一种情况。
高中数学极值点偏移与对数均值不等式
极值点偏移与对数均值不等式【知识梳理】1．极值点偏移的基本特征：指单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有轴对称性．2．函数极值点偏移的含义：已知函数f(x)有唯一的极值点x＝x0，直线y＝a与函数f(x)的图象交于不同的两点A(x1，a)，B(x2，a)，AB的中点为M(x1＋x22，a)，若x0≠x1＋x22，则称f(x)的极值点出现了偏移．3．函数极值点偏移的分类：当x1＋x22＞x0时，称f(x)在x＝x0处的极值点左偏；当x1＋x22＜x0时，称f(x)在x＝x0处的极值点右偏．4．一般地，设函数f(x)在x＝a处取得极值，且当x＜a时，f(x)单调递增（递减），当x＞a时，f(x)单调递减（递增）．若f(x1)＝f(x2)，f(2a－x2)＞f(x2)＝f(x1)（f(2a－x2)＜f(x2)＝f(x1)），则有x1＋x2＜2a（x1＋x2＞2a）5．对数均值不等式：2x1＋x2＜ln x2－ln x1x2－x1＜1x1·x2．该不等式的几何意义是：曲线f(x)＝ln x上过点A(x1，ln x1)，B(x2，ln x2)的割线的斜率介于f(x)在点x＝x1＋x22处的切线斜率与在点x＝x1x2处的切线斜率之间．【例题分析】例1 （1）已知函数f(x)＝e x－ax有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（）（A）a＞e （B）x1＋x2＞2（C）x1x2＞1 （D）有极小值点x0，且x1＋x2＜2x0（2）函数f(x)＝x(2ln x－a)＋1有两个零点x1，x2，在下列不等式中：①x1＋x2＞1；②0＜x1＋x2＜1；③x1x2＞14；④0＜x1x2＜14．其中成立的是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④（3）设a，b∈R，且a＜b，若a3e b＝b3e a，给出下列结论：①a＋b＞6；②ab＜9；③a＋2b＞9；④a＜3＜b．其中所有正确结论的序号有________．例2 （2011辽宁）已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x．若y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，证明：f'(x0)＜0．例3 （2017安徽蚌埠模拟）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)是函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x （a∈R）图象上不同的三点，且x0＝x1＋x22，试判断f'(x0)与y1－y2x1－x2之间的大小关系．例4 已知函数f(x)＝x e－x，若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2．例5 设函数f(x)＝e x－ax＋a（a∈R），其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2，f'(x)为f(x)的导数，证明：f'(x1x2)＜0．例6 （2016镇江模拟）记函数f(x)＝e x的图象为C，函数g(x)＝kx－k的图象记为l．若图象C 与直线l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别为x1，x2，设x1＜x2，求证：x1x2＜x1＋x2．例7 已知函数f(x)＝ln x－ax2（a∈R）．（1）讨论f(x)的零点个数；（2）当f(x)有两个零点x1，x2时，求证：x1x2＞e．例8 已知函数f(x)＝x ln x与直线y＝m交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：0＜x1x2＜e－2．例9 （2017石家庄二模）设函数f(x)＝e x－ax＋a，其中e为自然对数的底数，其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f'(2x1＋x23)＜0（f'(x)为函数f(x)的导函数）．。
利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
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利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
作者：杨瑞强
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期
近几年的高考数学压轴题中，经常出现与函数的极值点偏移有关的问题，由于这类问题的解决往往需要构造函数，技巧性较强，考生难于切入，在短时间内难以解决.如果我们借助对数平均不等式加以放缩，那么问题难度大大降低.下面谈谈利用这个不等式破解此类高考导数的压轴题.
1极值点偏移的定义
对于函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，方程f（x）=0的解为x1，x2，且a
（1）若x1+x22>x0，则称函数y=f（x）在区间（a，b）上极值点x0左偏，简称x0左偏；（2）若x1+x22
4转化策略与步骤
极值点偏移问题中，函数中多有形如ex和lnx的式子，并且极值点偏移问题实质是双变量的问题，而双变量的问题许多都可以回归对数平均.常利用对数平均不等式放缩解决，其转化的步骤有：
第一步：根据f（x1）=f（x2）建立等式；
第二步：如果等式含有参数，则消参；有指数的则两边取对数，转化为对数式；
第三步：通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式放缩求解.
作者简介杨瑞强（1979—），男，湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，黄石市优秀数学教师，主要从事数学教育与中学教学研究.近几年，在数学专业杂志上发表文章80余篇.。
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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：111ln2e e2lnb ab a aa bbab ab b a b a baba b b b a aa---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．对数平均不等式：对于正数a，b，且a b≠，定义ln lna ba b--为a，b的对数平均值，且ln ln2a b a ba b-+<<-，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为()()(),,,G a b L a b A a b<<．先给出对数平均不等式的多种证法．证法1（对称化构造）设0ln lna bRa b-=>-，则ln lnk a k b a b-=-，ln lnk a a k b b-=-，构造函数()lnf x k x x=-，则()()f a f b=．由()1kf xx'=-得()0f k'=，且()f x在()0,k 上，在(),k+∞上，x k=为()f x的极大值点．对数平2a bk+<<，等价于22a b kab k+>⎧⎨<⎩，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换）令1atb=>，则()()11ln ln2ln2b t b ta b a ba b t-+-+<<⇔<-()2111lnln21tt ttt t--+⇔<<⇔<<+，构造函数可证．证法3（主元法）不妨设a b>，ln ln ln ln0ln lna ba b a ba b-<⇔-<⇔-<-．记()ln lnf a a b=-，(),a b∈+∞，则()21f aa'==<，得()f a 在(),b+∞上，有()()0f a f b<=，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式）不妨设a b>，则由()()()()2ln ln ln22ln ln lne e1a a ax xb b bdx dx dx<⎰⎰⎰得()()()2221ln ln2b a a b a b-<--，ln ln2a b a ba b-+<-；由()222111a a ab b bdx dx dxx x⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰得()()211ln lna b a bb a⎛⎫-<--⎪⎝⎭，ln lna ba b-<-．证法5（几何图示法）过()1f xx=上点2,2a ba b+⎛⎫⎪+⎝⎭作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得()11ln ln2aba b dx a ba b x-⋅<=-+⎰，即ln ln2a b a ba b-+<-；如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得1dxx=<⎪⎪⎝⎭ln lna ba b-<-．由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：()()12f x f x=即1212e ex xx x--=，1122ln lnx x x x-=-，则12121ln lnx xx x-=-（正数1x ，2x 的对数平均数为1）1212x x +<<，得121x x <，且122x x +>．再解例2：()()()22e 10x f x x a x =-+-=即()()22e 10x x a x -=->；由()()120f x f x ==得()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，两式相减得 ()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-，下面用反证法证明122x x +<．若122x x +≥，则()()12122e 2e 0x x x x ---≤，()()12122e 2e x xx x -≤-，取对数得()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+，则()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---．而由对数平均不等式得()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------，矛盾．再解例3：由1122ln ln x x x x m ==得11ln m x x =，22ln mx x = 1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---； ()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=． 由对数平均不等式得()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+，()12122ln ln ln x x x x ->+=，得1221e x x <． 再解练习1：由1122ln ln x ax x ax -=-得1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭，则1212x xa +<，得1222ex x a +>>； ()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到121x x <，则12112x x +>>． 再解例7（2）：易得()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-，则1ln ln a b a b->-，则12a b+>，2a b +>． 再解例8：11222ln 2ln x ax x ax -=-，()()12122ln ln x x a x x -=-，得12122ln ln x x x x a -=-，则1222x x a +>，124x x a +>，()121224262x x x x x a a a+=++>+=．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为0f '<．()0f x =即()()2e 1e x a x a =->，()ln ln 1x a x =+-，则 ()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①② ①－②得()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---，则()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---（正数11x -，21x -的对数平均数为1）．()()121112x x -+-<<，得()()12111x x --<，且124x x +>．①＋②得()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<，由此可得0f '<．解练习3：选项D ：()()12f x f x =即121222ln ln x x x x +=+，则()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=，121212ln ln 2x x x x x x -=-，所以121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>． 顺带地，也有()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据()()120f x f x ==建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用1x ，2x 表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-的两个零点是1x ，2x ，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 证法1：首先易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，在1a ⎛⎫∞⎪⎝⎭上，不妨设1210x x a <<<，121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭，构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭可证．证法2：由题意得()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩，两式相减得 ()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=， ()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-，()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-，所以()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭． 这或许是史上最全的极值点偏移系列文章1、极值点偏移问题专题一——偏移新花样—拐点偏移PK 极值点偏移常规套路2、极值点偏移问题专题二——如何选择合理的函数3、极值点偏移问题专题三——变更结论处理偏移4、极值点偏移问题专题四——比值代换齐次消元5、极值点偏移问题专题五——对数平均显神威6、极值点偏移问题专题六——本质回归泰勒展开7、极值点偏移问题专题七——历年精选一题多解23例其他相关文章8、利用对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题 9、一题学懂极值点偏移五大处理套路来源： 数学教师教研QQ 群54543319。