垂直关系的性质_课件(1)

a
已知：a⊥α,b⊥α
b
b’
求证：a∥b α 证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b’是经过点0 与α平行的直线 ∵a∥b’ 且 a⊥α ∴b’⊥ α ∵过一点作一平面的垂线有且只有一条 ∴b 与 b’重合 ∴a∥b
o
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行 （直线和平面垂直的性质定理）
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(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
所以 AD⊥平面 PBG，
所以 AD⊥PB.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．下列命题：
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①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是 A．1 B． 2 C．3 D．4 ( B )
D1 C1
证明：连接A1C1、C1D、B1D1、AD1 ∵AC∥A1C1 且EF⊥AC A1 ∴EF⊥A1C1 又EF⊥A1D ∴EF⊥平面A1C1D ∵AB⊥A1D 且AD1⊥A1D ∴A1D⊥平面ABD1 A ∴BD1⊥A1D 同理可证BD1⊥A1C1 ∴BD1⊥平面A1C1D ∴EF∥BD1
B1 E D C F B
所以 OE⊥面 β，所以 OE⊥l，
同理 OF⊥l，OE∩OF＝O， 所以 l⊥γ.
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3.如图所示，平面 ABC⊥平面 ABD，∠ACB ＝ 90° ， CA ＝ CB ，△ABD 是正三角形， O 为 AB 的中点，则图中直角三角形的个数为
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例3、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC， 且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点 求证：DF∥平面ABC 证明：作AB的中点G，连接FG、GC E ∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC ∴BE∥CD H 又∵GF∥BE 且GF＝1 ∴GF∥CD 且 GF＝CD ∴四边形CDFG为平行四边形 F B ∴DF∥GC 且
________ ． 6
解析
由题意知 CO⊥AB，
∴CO⊥面 ABD， ∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD， △COD.
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4. 如图，在斜三棱柱 ABC － A1B1C1 中， ∠BAC＝90° ，BC1⊥AC，则点 C1 在底面
a b
a⊥α a∥b b⊥α
}
α
由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找 一个平面，使这两条直线同垂 直于这个平面即可
理论迁移
例、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD、BC1、 DC1分别为三条面对角线，AC为一条体对角线. 求证 (1)A1C⊥BD (2)A1C⊥平面DBC1
D1 A1 E C1
证明：连接A1C1、C1D、B1D1、AD1 ∵AC∥A1C1 且EF⊥AC ∴EF⊥A1C1 又EF⊥A1D ∴EF⊥平面A1C1D ∵AB⊥A1D 且AD1⊥A1D ∴A1D⊥平面ABD1 ∴BD1⊥A1D 同理可证BD1⊥A1C1 ∴BD1⊥平面A1C1D ∴EF∥BD1
D1 A1 B1 E D C F B C1
B1 D C F B
A
理论迁移
例1、如图，已知 l , CA , 于点A，CB 于点B， a , a AB, 求证：a // l .
β B α l A a
C
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相 交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1
∴MN⊥平面ABCD
又AB 平面ABCD
D1 C1
∴MN⊥AB
A1 D
B1
N C
M A B
如图，已知 PA 矩形ABCD所在平 面，M、N分别是AB、PC的中点求证： MN CD; （1 ） （2）若 PDA P 45，求证：MN 面PCD
E N A M B D
当堂练习1
C
当堂练习2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、 A1D都垂直且相交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1
证明
(1)由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，
∴PG⊥AD.
又平面 PAD⊥平面 ABCD，
∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60° ，
∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD.
研一研·问题探究、课堂更高效
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
C
B
研一研·问题探究、课堂更高效
如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的 一点，ABCD 是∠DAB＝60° 且边长为 a 的菱 形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于 底面 ABCD.G 为 AD 边的中点．
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(1)求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
垂直关系的性质
一、直线与平面垂直的性 质 在初中我们学过：“在平面内，如果两条直线同垂 直于另一条直线，那么这两条直线平行。”
请问在空间中有相同或者类似的结论吗？ 观察右图的长方体： a⊥α a∥b b⊥β
}
a
b
α
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？
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直线 AB 上 ABC 上的射影 H 必在______________ ． 解析 由 AC⊥BC1，AC⊥AB，
得 AC⊥面 ABC1，又 AC 面 ABC，
∴面 ABC1⊥面 ABC.
∴C1 在面 ABC 上的射影 H 必在交线 AB 上．
小
直线与平面垂直的性质：
结
1、如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直 这个平面内的所有直线。 3.平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于 它们交线的直线垂直于另一个平面
证明： 在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角
∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又 AB⊥MN ∴AB⊥ α
α
M
A N B C
β
定理6.4 (平面与平面垂直的性质定理) 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
β
若α⊥β， α∩β=MN ， AB β， AB⊥MN， 则AB ⊥β
若α⊥β， α∩β＝MN ， AB β， AB⊥MN， 则AB ⊥β

面面垂直
例4、 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且 MN⊥BC于点M。判断MN与AB的位置关系，并说明理由。
解：显然，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC，
MN 平面BCC1B1 且MN BC
A
课堂练习3
如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ≠ ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ≠ ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
GC
D
C
平面ALeabharlann BaiduC
G
∴DF∥平面ABC
A
二、平面与平面垂直的性质
观察右图的长方体：
β
α
a
b
平面α⊥平面β,α∩β＝b,a⊥b，这时，a⊥β 问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN， AB在β内,AB⊥MN于点B，这时， 直线AB和平面α垂直吗？
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？
解析 由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选 B.
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2．平面 α∩平面 β＝l，平面 γ⊥α，γ⊥β，则 A．l∥γ C．l 与 γ 斜交
解析
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( D )
B． l γ D．l⊥γ
在 γ 面内取一点 O，
作 OE⊥m，OF⊥n，
由于 β⊥γ，γ∩β＝m，
A N C
α
M
B
b a
垂直关系综述
ab= A
若a ,b
l
线面垂直
线线垂直
直 是
l a; l b

则ab
角 . 面 直 二 垂 的 相 成 互 所 面 果 平 如 个 ， 两 交 这 相 说 面 就 平 ， 个 角 两 面 二
AB⊥α AB β