参数估计习题

第八章 参数估计习题
一、 填空题：
1．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，参数2,σμ都是未知的，
则μ的矩估计量为 。

2
σ的矩估计量为 。

2．设总体),(~2σμN X ，其中2
σ未知，μ已知，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，
做样本函数如下①∑=-n i i X n 12)(1μ，②2
1])([∑=-n
i i X σμ，③∑=-n i i X X n 12)(1，④
∑=--n i i
X X n 12
)(11，⑤∑=+--n
i i i X X n 121)()
1(21，这些样本函数中，是统计量的有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。

3．设某总体X 的密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他
,00,
)(2
);(2ααα
αx x x f ，对容量为n 的样本，
参数α的矩估计量为 。

4.假设总体)81.0,(~μξN ，n X X X ,,,21 是来自ξ的样本，测得样本均值5=x ，则置
信度是0.99的μ的置信区间是
5．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，对总体方差进行估计时，常用的无偏估计量是 。

6．设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，则未知参数θ的矩法估计量为 。

二、选择题：
1．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2
)(,)(σμ==x D x E ，并且和是未知参数，下面结论中是错误的[ ]。

（A ）X =1ˆμ
是μ的无偏估计； （B ）12ˆX =μ是μ的无偏估计； （C ）21ˆˆμμ比有效； （C ）21
)(1∑=-n
i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。

2．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，X 的分布函数);(θX F 含未知参数，则下列结论中，正确的是[ ]。

（A ） 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量相同； （B ） 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量不同；
（C ） 用矩估计法和极大似然估计法求出θ的估计量不一定相同； （D ） 用极大似然估计法求出的估计量是唯一的；
3．在区间估计中αθθθ-=<<1)ˆˆ(2
1P 的正确含义是[ ] (A)θ以α-1的概率落在区间)ˆ,ˆ(21θθ内； (B)θ落在区间)ˆ,ˆ(21θθ以外的概率为α； (C)θ不落在区间)ˆ,ˆ(21θθ以外的概率为α； (D)随机区间)ˆ,ˆ(2
1θθ包含θ的概率为α-1。

4．设n X X X ,,,21 独立同分布，2
)(σ=x D ，∑==n i i X n X 11，∑=--=n i i X X n S 1
22
)(11，则[ ]
(A) S 是2
σ的无偏估计； (B) S 是σ的极大似然估计；
(C) S 是σ的相合(一致)估计； (D) S 与X 相互独立。

5．设总体),(~2
σμN X ，其中2
σ未知，则总体均值μ的置信区间长度L 与致信度α-1 的关系是[ ]
(A) 当α-1缩小时，L 缩短； (B) 当α-1缩小时，L 增大； (C) 当α-1缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不变。

三、计算题：
1．总体的密度函数为
)0;,1,0();(+∞<<==
-θθθθ
x x
e x
f x
用矩估计量及极大似然法求θ的估计量θˆ（设样本容量为n ）。

2．设某总体X 的密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧>≥=-其他
,00,0,
1);(θθ
θϕθx e x x
，求
(1) θ的极大似然估计量θˆ； (2) 判断θˆ是否为θ的无偏估计；
3．设某车间生产的螺杆直径服从正态分布),(2σμN ，今随机地从中抽取5只，测得直径分别为22.3 , 21.5 , 22.0 , 21.8 , 21.4 (单位：mm)，求直径均值μ的置信度是0.95的置信区间，其中总体标准差0.3。

若σ未知，则置信区间又如何？
4．设总体为),(2σμN ，3=σ。

如果要求μ的置信度α-1置信区间的长度不超过2，如取水平01.01.0或=α，那么需要抽取的样本容量n 应该分别是多少？
5．一批产品中含有废品，从中随机得抽取60件，发现废品4件，试用矩估计法估计这批产品的废品率。

四、证明题：
1． 设θˆ是参数θ的无偏估计，且有0)(>θD ，试证2
ˆθ
不是2
θ的无偏估计。

2． 设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2
σμN 的一个样本，其中μ已知，试证
∑=-=n
i i X n 1
22
)(1ˆμσ
是2σ的无偏估计和相合估计。