2012年全国高中数学联赛试题及详细解析
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。
设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。
由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。
2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。
若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。
2012年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷及解析
2012年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）一、填空题1.123，…是一个等差数列，其中a1>0,S n表示前n项和．如果S3=S11，在S1,S2,S3，…中最大数为S k，则k=______．2.任作椭圆x 252+y232=1的一条切线，与椭圆的两条对称轴分别交于点A,B．则线段AB长度的最小值是______．3.在矩形ABCD中，已知AB=2,BC=3,E,F分别是AB,CD的中点，以EF为旋转轴将ΔFAB空间旋转90∘至ΔFA′B′．则四面体A′B′CD的体积为______．4.sin7.5∘+cos7.5∘=______．5.用1，2，．．．，7这七个数码排成一个七位数，使得其是11的倍数．则能排出的七位数的个数为______．6.若7n+1,8n+1都能表示为成等比数列的三个互异正整数的和，则正整数n的最小值是______．7.设x,y∈[0,1]，函数f(x,y)=x√1−y+y√1−x的最大值是______．8.记A是集合M={1,2,⋅⋅⋅,2012}的20元子集，且A中的任两个元素之差为12的倍数，则这种子集A的个数是______．二、解答题9.抛物线的顶点为O、焦点为F．当动点P在抛物线上移动时，求距离比|PO PF|的最大值．10.已知ΔABC内接于⊙O,I是其内心，直线AI,BI分别与⊙O交于点D,E，过点I作直线l1∥AB，过点C作⊙O的切线l C，若l C与l1交于点F，证明：D,E,F三点共线．11.问：有多少种不同的方法将集合M={1,2,3,4,5}中的元素归入A,B,C三个（有序）集合，使得每个元素至少含于其中一个集合之中，这三个集合的交是空集，而其中任两个集合的交都不是空集?参考答案1.7【解析】1. 设公差为d ．则a n =a 1+(n −1)d ．由S 3=S 11⇒d =−213a 1<0．故a n =a 1+(n −1)(−213a 1)=a 113(15−2n )，而使a n ≥0最大的正整数n =7．2.8【解析】2.设切点P (5cosθ,3sinθ)．则椭圆在点P 的切线方程为cosθ5x +sinθ3y =1，其分别与x 轴、y 轴交于A (5cosθ,0),B (0,3sinθ)．所以AB 2=52cos 2θ+32sin 2θ．由柯西不等式得52cos 2θ+32sin 2θ=(52cos 2θ+32sin 2θ)(cos 2θ+sin 2θ)≥(5+3)2=82．因此，|AB |≥8．当tan 2θ=35时，上式等号成立． 3.2【解析】3.试题根据题意四面体A ′B ′CD 是以ΔA ′AB 为底面、以EF 为高的三棱锥，根据题意，V =13×12×2×2×3=2 4.√4+√6−√22【解析】4. 注意到，sin15∘=√1−cos30∘2=√8−4√316=√6−√24．则(sin7.5∘+cos7.5∘)2=1+2sin7.5∘⋅cos7.5∘=1+sin15∘=4+√6−√24．因为sin7.5∘+cos7.5∘>0，所以sin7.5∘+cos7.5∘=√4+√6−√22．5.576．【解析】5.设n 是满足条件的一个七位数，a,b 分别是其奇数数位、偶数数位的数码和．则a +b =28,a−b为11的倍数．由于a+b与a−b同奇偶，故均为偶数．显然，|a−b|≠22，只有a−b=0．于是，a=b=14．因为1，2，…，7中的三数和为14，所以只有以下四种情形：{1,6,7},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6}．在每种情形下，它们只能排在偶数数位，剩下四数和也是14，它们应排在奇数数位，因此，共得到4×6×24=576个这样的七位数．6.6【解析】6.注意到，当n=6时，7n+1=43=1+6+62，8n+1=49=32+3×5+52均为成等比数列的三个正整数的和．当n≤5时，易知，7×1+1=88×2+1=178×3+1=257×4+1=298×5+1=41均不能表示为成等比数列的三个互异正整数的和．因此，正整数n的最小值为6．7.1【解析】7.由于x,y∈[0,1]，则x≤√x,y≤√．令x=sin2α,y=sin2β（α,β∈[0,π2]）．故f(x,y)=x√+y√1−x≤√x(1−y)+√y(1−x)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ=sin(α+β)≤1当且仅当α+β=π2时，上式等号成立，且x=√x,y=√y．此时，|x,y|=|0,1|．8.8C16820+4C16720【解析】8.对于x,y∈M ，若12|(x −y ) ，则称x,y 是“同类的”．于是，当n∈{1,2,⋅⋅⋅,8}时，n 的同类数有168个，对于其中每个n ，168元集合T n ={n +12k |k =0,1,⋅⋅⋅,167 }的任一个20元子集均符合条件，共得8C 16820个子集；当n∈{9,10,11,12}时，n 的同类数有167个，对于其中每个n ，167元集合T n ={n +12k |k =0,1,⋅⋅⋅,166 }的任一个20元子集也符合条件，共得4C 16720个子集． 因此，所求集合个数为8C 16820+4C 16720．9.2√33【解析】9. 设抛物线方程为y 2=4ax （a >0）．则顶点为O (0,0)，焦点为F (a,0)．若抛物线上的动点坐标为P (x,y )，则(PO PF)2=x 2+y 2(x−a )2+y 2=x 2+4ax (x−a )2+4ax =x 2+4ax x 2+2ax+a 2． 令x 2+4axx 2+2ax+a 2=t ．得(t −1)x 2+2a (t −2)x +ta 2=0．若t 使方程有实数解x ，则Δ=4a 2(t −2)2−4a 2t (t −1)≥0⇒4−3t ≥0⇒t ≤43．当取等号时，由x 2+4ax x 2+2ax+a 2=43⇒x =2a ⇒y =2√2a ． 此时，P(2a,2√2a)．所以，(PO PF )2=t ≤43⇒|PO PF |≤2√33． 10.见解析【解析】10.如图1，设直线l 1与DE 交于点F 1，联结F 1C ．由熟知的定理知DC=DI,EC =EI ．于是，ΔIDE 与ΔCDE 关于直线DE 对称，即DE 是线段IC 的中垂线．故F1I=F1C，∠DCP=180∘−∠DCF1=180∘−∠DIF1=∠AIF1=∠IAB=∠IAC．又由弦切角性质，知直线CF1是⊙O的切线，从而，点F与F1重合，即D,E,F三点共线．11.1230【解析】11.如图2，考虑韦恩图所分成的七个部分，分别用x,u,v,w,a,b,c表示．现将M的元素填入各个部分中，由题意，知x处不能填数，而u,v,w处必须填有数字，且所填元素互不相同（否则，相同元素将归入x区域中）；a,b,c处可以填或不填数字，不同的区域中不再填有相同元素（否则，又将归入u,v,w中）．用u表示u处所填数字的个数，下同．由对称性，不妨按u≤v≤w情形列举，则有四种情形：（1）(u,v,w)=(1,1,1)；（2）(u,v,w)=(1,1,2)；（3）(u,v,w)=(1,2,2)；（4）(u,v,w)=(1,1,3)．对于情形（1），从M中各取一数分别置于u,v,w格，有5×4×3=60种方法，剩下两数各随意放入a,b,c格，共有32种方法．于是，情形（1）有60×9=540种．对于情形（2）中的u,v,w，含两个数的格有三种情形，对于其中任一情形，M中取两数放入一格，另外两格各放一数，有C52C31C21=60种，剩下一数放于a,b,c格之一，有3种方法．于是，情形（2）有3×60#3=540种．对于情形（3）中的u,v,w，含一个数的格有三种情形，对于其中任一情形，M中取一数放入一格，另外取两数放入一格，剩下两数放入另一格，有C51C42=30种．于是，情形（3）有3×30=90种．对于情形（4）中的u,v,w，含三个数的格有三种情形，对任一情形，M中取三个数放入一格，另外的两格各放一个数，有C53C21=20种．于是，情形（4）有3×20=60种．综上，共有540+540+90+60=1230（种）．。
2012年全国高中数学联赛广东预赛试题及解答
2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--24222(54)(2).n n n n =+-+=-2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 .答案：1 解：因为()sin coscos sinsin coscos sincos 36666cos 32sin()3,6f x x x x x x x x x πππππ=++--+=-+=-+所以)(x f 的最小值为1.3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 .答案：1.4解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++ 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k k a --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =.4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .答案：9(,2).4--解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22 . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--.5. 将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11- 解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-； 若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.6.设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-. 函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=.由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种.所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=，因此梯形的周长为39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ 所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a bQ θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分22222222222)cos (sin )(2AQ AQ AQ AQ k a a k a b k b b ak +<+=+⋅+≤⇒θθ||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分2．（本小题满分20分） 设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求222222()()()S a ab b b bc c c ca a =-+-+-+的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ab ab S a b a ab b a ab b ab ab a b a b c a ab b ≤-+=⋅⋅⋅-++++++-+≤=≤=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y*N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除.因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)f f+>-，所以(1)10f -=，(1)1f =. ……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案
全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为________ 解：设3()3, [3,3]g x x x x =-∈-，2()333(1)(1)g x x x x '=-=-+；∵(1)2g -=，(1)2g =-，(3)18g =，(3)18g -=-，∴根据()g x 的单调性结合绝对值的性质知：3()3f x x x =-的最大值为18． （点评：用好特殊点，脱掉绝对值号．）2．在ABC ∆中，已知12AC BC ⋅= ，4AC BA ⋅=-，则AC =________ 解：16AC BC AC BA ⋅-⋅= ，16AC AC ⋅= ，所以4AC =．（点评：向量求模，必求其平方．）3．从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为________ 解：考虑取出三数从小到大成数列：当1d =时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组； 当2d =时，有3，5，7；4，6，8两组；所以，一共有6种情形；从6个元素中随机选取3个不同的元素共有：3620C =种情形；故概率为：632010P ==． （点评：有序分类，逐一列出，不会失解．）4．已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________解：由2(4)40b i b ai ++++=，即2(44)()0b b b a i ++++=；得2244020a b b b a b =⎧++=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩a bi ⇒+=． （点评：复数相等原理、向量线性表出、多项式恒等属同类型问题，注意对应项的系数相等．）5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A B 、两点；若FAB ∆的面积为________ 解：由题可设斜率为 (0)k k >，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由对称知：1y 与2y 是互为相反数；DCBA将y kx =代入:C 223120x y --=； 得：22(13)12k x -=，221213x k =-，22221213k k x k =-；由1211442S y y y =⨯⨯-==2112y =；∴22121213k k =-，2213k k =-；∴214k =，而0k >，∴12k =． （点评：圆锥曲线问题总是有点运算的，要有耐心，还要注意用好几何性质．） 6．已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________解：两边取对数得：2lg (lg )0k a =≥，∴1k ≥，即k 的取值范围是[1, )+∞． （点评：两边取对数，是个冷方法．）7．在四面体ABCD 中，5AB AC AD D B ====，3BC =，4CD =；该四面体的体积为________解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A 点在底面上的射影为三角形的外心；∴由直角三角形知它是为BD中点，故113432V =⋅⋅⋅=． （点评：注意用好平面几何的性质．）8．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b +=，227a b +=，3315a b +=，4435a b +=，则n n a b +=________解：设公差为d ，公比为q ，则11112113113 (1)7 (2)215 (3)335 (4)a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩； （4）减（3）得：321120d b q b q +-=； （3）减（2）得：2118d b q b q +-=； 上述两式相减：32111212 (5)b q b q b q -+=；（1）+（4）得：31112338a d b q b +++=，（2）+（3）得：21112322a d b q b q +++=； 两式相减得，32111116b q b b q b q +--=（6）； 从而(5)(6)，可得：314q q =+；∴3q =， 112, 2,1a d b ===； ∴12, 3n n n a n b -==，123n n n a b n -+=+．（点评：递推数列相加、相减是常规方法，相除则要细心观察．）9．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种． 解：将7个数分成3类：（1）3k 的数为：27，48，75，有3个； （2）31k -的数为47，71，有2个； （3）31k +的数为37，55，有2个；要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数， 第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有33A 种，每一类位置各有22A 种排法，故共有233233144A A =（）种排法． （点评：用特例进行分析，找到数与数之间的规律．）10．三角形的周长为31，三边, , a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________解：∵31, a b c a b c Z +++=∈、、，∴11c ≥；又∵a b c +>，∴15c ≤；∴c 的所有可能取值为：11，12，13，14，15；当11c =时，(, )a b 的取值为（9，11）（10，10），有2组； 当12c =时，(, )a b 的取值为（7，12）（8，11）（9，10），有3组；当13c =时，(, )a b 的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9），有5组； 当14c =时，(, )a b 的取值为(3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9），有6组； 当15c =时，(, )a b 的取值为（1，15）（2，14）（3，13）┅（8，8）有8组 故满足要求的三元(, , )a b c 的个数为24． （点评：处理不定方程的常规方法是缩小范围．）二、解答题（本大题共4小题，每小题20分） 11．在ABC ∆中，角, , A B C 对应的边分别为, , a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=；（2）22sin cos cos 2C A Ba bc +=+．证法一：（余弦定理法）（1）22222222cos cos 222a b c a c b a b C c B b c a ab ac a+-+-+=+==；（2）222222cos cos 22a c b b c a A B ac bc a b a b+-+-++=++ 22322322222()2ab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc+-++---+==+而222222212sin1cos 2222a c b CC ab a b c ac c c c abc+-----+===，∴等式成立． 证法二：（正弦定理法）（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：2sin , 2sin b R B c R C ==，∴cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin()2sin b C c B R B C R C B R B C R A a +=+=+== （2）由（1）可知：cos cos b C c B a +=，同理有：cos cos a C c A b +=；∴cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+； 即2(cos cos )()(1cos )()2sin 2C c B A a b C a b +=+-=+⋅； ∴22sin cos cos 2CA Ba bc +=+．（点评：三角恒等式的证明，通常是“由繁向简”，十分复杂的“作差得0”．） 12．已知, a b 为实数，2a >，函数()|ln | (0)af x x b x x=-+>；若(1)1f e =+，(2)ln 212e f =-+；（1）求实数, a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数, c d 满足c d >，1cd =，求证：()()f c f d <． 解：（1）由题意可得：(1)1(2)ln 2ln 2122f a b e a ef b ⎧=+=+⎪⎨=-+=-+⎪⎩； ∵1a >，∴ln 2ln 222a a-=-，∴122a e b +=+，∴, 1a e b ==．（2）()ln 1af x x x=-+； 设()ln a g x x x =-(0)x >；21()0eg x x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上递增； ∵()0g e =，∴0x e <<时，()0g x <；∴()ln 1ef x x x=-+，()f x 在(0, )e 上递减；当x e >，()0g x >，()ln 1ef x x x=-+在(,)e +∞上递增，即()f x 的减区间为(0, )e ，增区间为(,)e +∞．（3）1, 1d c c =>，()ln 1e f c c c=-+；11()()ln 1f d f ce c c ==-+ln 1ln 1ln 1c c c ce c c e e=++>++>++ln 1()cc f c e>-+=； ∴命题成立．（点评：注意同一道题中各小题关系，前面的可用作后面的结论．）13．如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM 上有一动点B ，1AB =，1OB >，线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点，求线段CD 长的取值范围．M BDOA证明：如图，设AO B θ∠=，∵OA OB =，∴O BA θ∠=，∴2BAO πθ∠=-，∵OA OC =，∴2OCA πθ∠=-，∴3BOC πθ∠=-， ∵D 为OB 的中点，∴cos cos OD OA θθ==；∴2222cos CD OC OD OCOD COD =+-∠21cos 2cos cos(3)θθπθ=+--21cos 2cos cos3θθθ=++231cos 2cos (4cos 3cos )θθθθ=++-4222578cos 5cos 18(cos )1632θθθ=-+=-+又3BOC AOB πθθ∠=-<∠=，2OCA OBA πθθ∠=->∠=； 得3πθθ-<，2πθθ-<；∴43ππθ<<，∴211cos (, )42θ∈，∴271[,)322CD ∈；∴CD ∈． （点评：用解三角形的知识处理平面几何题，是高中平面几何一大特色．）14．设是, , , a b c d 正整数，, a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根；证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形． 证明：由题设可知，a b d cab cd+=-⎧⎨=⎩，由于,,,a b c d 是正整数，考虑, , a b a c b c +++三个数： 易知：()()2()a b a c a b c b c +++=++>+，()()2()a b b c b a c a c +++=++>+， ()()2()a c b c c a b a b +++=++>+，即, , a b a c b c +++中任两个数之和大于第三个数，且为正整数， 2222222222222()()22()22()22()c a b c a b c c a b a b c c d c a b cd a b ab a b +++=++++=+++-=++=++=+又111()()(())()222S a c b c ab c a b c ab cd ab =++=+++=+=；故存在边长为,a c b c a b +++，（均为正整数）的直角三角形（a b +为斜边）符合题设要求． （点评：探索性问题求解时要大胆地猜测，这也是创造性思维的特点．）。
2012年全国高中数学联赛试题及解答
PA ⋅ PB = 1 x - (x + 2) 0 0 x 02 2 PA ⋅ PB = PA PB cos 3π42 2 2 x x A D 0 0 x ⎝ 0 ⎭ 0一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）2012 年全国高中数学联合竞赛第一试 1. 设 P 是函数 y = x + 2(x > 0) 图像上的任意一点，过 P 分别向直线 y = x 和 y 轴作垂线，垂足分别为xA 、B ．则 PA ⋅ PB = ． 答案：-1．解法 1 设 P ⎛ x , x + 2 ⎫，则l: y - ⎛ x + 2 ⎫ = -(x - x ) ，即 y = -x + 2x + 2 ．⎝ 0 ⎭ PA 0 x ⎪ 0 0 x 上式与 y = x 联立解得点 A ⎛ x + 1 , x+ 1 ⎫ ．又点 B ⎛ 0, x + 2 ⎫ ，则 PA = ⎛ 1 , - 1 ⎫ ，PB = (-x ,0) ，0 x 0 x ⎪ 0 x x x ⎪⎝ 0 0 ⎭ 故 (-x ) = -1 ． ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 0 ⎭0 0⎛ 2 ⎫解法 2 如图 3，设 P x 0 , x 0 + ⎝⎪(x 0 > 0) ．则点P 到直线 x - y = 0 和 y x 0 ⎭ PA = = ， PB = x ． 0因为 O 、A 、P 、B 四点共圆，所以， ∠APB = π - ∠AOB = 3π ．4图 3 故= -1． 2. 设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足a cos B - b cos A = 3 c .则 tan A= ．5tan B答案：4．c 2 + a 2 - b 2b 2 +c 2 - a 2 3 2 23 2 解法 1由题设及余弦定理得a ⋅- b ⋅ = c ⇒ a - b = c ．tan A = sin A ⋅ cos B = a ⋅ 2cac 2 + a 2 - b 22ca 2bc 5 5=c + a - b = 故 tan B sin B ⋅ cos A b 2 + c 2 - a 2 b ⋅2bcc 2 + b 2 - a 24 C 解法 2 如图 4，过点 C 作CD ⊥ AB ，垂足为 D .则a cos B = DB ， b cos A = AD ．由题设得 DB - AD = 3c ．B5CD 图 4 又 DB + DA = c ，联立解得 AD = 1 c ， DB = 4c .故tan A = AD = DB = 4 ． 5 解法 3 由射影定理得a cos B + b cos A = c5 tan B CD ADDB 又 a cos B - b cos A = 3 c ，与上式联立解得a cos B = 4 c ， b cos A = 1c5 5 5故 tan A = sin A ⋅ cos B = a cos B = 4 tan B sin B ⋅ cos A b c os AMNABAF BF⎛ 2π ⎫ AB π AF + BF AB AF + BFMN AB AF + BF AF + BF MN AB⎫ 2 3. 设 x 、y 、z ∈[0,1] .则 M =的最大值是 ．答案： +1．解：不妨设0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1.则 M =⇒ M ≤ ( 2 + 2+1．当且仅当 x = 0 ， y = ， z = 1 时，上式等号同时成立．24. 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π. 3设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N .则的最大值是 ．答案：1．解法 1 设∠ABF = θ ⎛0 < θ < 2π ⎫ .则由正弦定理得 = = ． 3 ⎪ sin θ ⎝ ⎭ sin ⎝ 3- θ ⎪ ⎭ sin3 sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫3 ⎪ ⎛ π ⎫ 故 = ，即= ⎝ ⎭ = 2 c os θ - ⎪． sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫ sin π sin π ⎝ 3 ⎭ 3⎪ 3 3 ⎝ ⎭如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN =①2 则 = cos ⎛θ - π ⎫ ．故当θ = π 时，取得最大值 13 ⎪ 3 ⎝ ⎭解法 2 同解法 1 得式①在△AFB 中，由余弦定理得AB 2= AF 2+ BF 2- 2 AF BF cos π3= ( AF + BF )2- 3 AF BF⎛ ⎫2≥ ( AF + BF )2 - 3 ⎪⎝ 2 ⎭⎛ 2= 2 ⎪= MN . ⎝ ⎭当且仅当 AF = BF 时，上式等号成立．故 的最大值为 1．2 MN AB⎣⎨ 5. 设同底的两个正三棱锥 P - ABC 和Q - ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P - ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 ．答案：4．解：如图 6，联结 PQ .则 PQ ⊥平面 ABC ，垂足 H 为正△ABC 的中心，且 PQ 过球心 O ．联结 CH 并延长与 AB 交于点 M .则 M 为边 AB 的中点，且CM ⊥ AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥 P - ABC 、正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则∠PMH = 45°⇒ PH = MH = 1AH .2由∠PAQ = 90°， AH ⊥ PQ ⇒ AH 2 = PH ⋅ QH1 ⇒ AH 2= AH ⋅ QH2⇒ QH = 2 AH = 4MH .故 tan ∠QMH = QH= 4MH图 66. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 ．若对任意的 x ∈[a , a + 2]，不等式 f (x + a ) ≥ 2 f (x )恒成立，则实数 a 的取值范围是．⎧⎪x 2 , x ≥ 0;解：由题设知 f (x ) = 2⇒ 2 f (x ) = f ( 2x )⎪⎩-x , x < 0 故原不等式等价于 f (x + a ) ≥ f ( 2x )．由 f (x ) 在 R 上是增函数知x + a ≥ 2x ⇒ a ≥ ( 2 -1)x ⇒ a ≥ ( 2 -1)(a + 2) ⇒ a ≥ 2. 即 a 的取值范围为 ⎡ 2, +∞)7. 满足 1 < sin π < 1的所有正整数 n 的和是．4 n 3解：由正弦函数的凸性，知当 x ∈(0, π )6 时， 3x < sin x < x ． π 故sin π < π < 1 ， sin π > 3 ⨯ π = 1 ， sin π < π < 1 ， sin π3 π 1 ．> ⨯ = 13 13 4 12 π 12 4 10 10 39 π 9 3因此，满足 1 < sin π < 1的正整数 n 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33．4 n 3⎨8. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 A 种密码.那么，第七周也使用 A 种密码的概率是 （用最简分数表示）． 解：用 P k 表示第 k 周用 A 种密码本的概率.则第 k 周未用 A 种密码的概率为1 - P k ．故P = 1(1 - P )(k ∈ N ) k +1 3 k +⇒ P - 1 = - 1 (P - 1)k +14 3 k 4 ⇒ P - 1 = 3 (- 1)k -1k⇒ P k⇒ P 7 4 4 3 = 3 (- 1)k -1 + 14 3 4= 61 . 243二、解答题（共 56 分）9. （16 分）已知函数 f (x ) = a s in x - 1 cos 2x + a - 3 + 1，其中，a ∈ ，且a ≠ 0 ． 2 a 2（1）若对任意 x ∈ ，都有 F (x ) < 0 ，求 a 的取值范围．（2）若a ≥ 2 ，且存在 x ∈ ，使 f (x ) ≤ 0 ，求 a 的取值范围．解：（1） f (x ) = sin 2 x + a sin x + a - 3 . 令t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1) .则 g (t ) = t 2 + at + a - 3a a⎧g (-1) = 1 - 3 ≤ 0, 由题设知⎪ a 3 ⎪g (1) = 1 + 2a - ≤ 0． ⎩⎪ a解得 a 的取值范围为(0,1]．（2）因为a ≥ 2 ，所以， - a≤ -1 ．2故 g (t ) min= g (-1) = 1 - 3 ． a从而， f (x ) min= 1 - 3 ． a 由题设知1 - 3≤ 0 ．a解得0 < a ≤ 3 ．故 a 的取值范围是[2,3]．⎩10. （20 分）已知数列{a n } 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n 都有(a + a + …+ a )2 = a 3 + a 3 + …+ a 3．12n12n（1）当n = 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n } ，使得a 2013 = -2012 ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）当n = 1时， a 2 = a 3 ．由a ≠ 0 ，得a = 1．1111当 n = 2 时， (1+ a )2= 1+ a 3．由a ≠ 0 ，得a = 2 或-1 ．2222当 n = 3时， (1+ a + a )2= 1+ a 3 + a 3．若a = 2 ，得a = 3 或-2 ；若a = -1，得a = 1 ．23232323综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3 或 1，2， -2 或 1， -1 ，1． （2）令 S = a + a + …+ a .则 S 2 = a 3 + a 3 + …+ a 3 (n ∈ N ) ． n1 2 n n 1 2 n +故(S + a)2= a 3 + a 3 + …+ a3.两式相减并结合a≠ 0 ，得2S = a 2- a ．nn +112n +1n +1nn +1n +1当 n = 1时，由（1）知a 1 = 1； 当 n ≥ 2 时， 2a = 2(S - S ) = (a 2 - a)- (a2 - a )，nnn -1即(a n +1 + a n )(a n +1 - a n -1) =0 ．所以， a n +1 = -a n 或a n + 1 ．又 a 1 = 1， a 2013 = -2012 ，则n +1n +1nn⎧⎪n ,1 ≤ n ≤ 2012; a n = ⎨⎪(-1)n2012, n ≥ 2013. 11. （20 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4，且 OB = OD = 6 .（1）证明： OA OC 为定值；（2）当点 A 在半圆 M : (x - 2)2 + y 2 = 4(2 ≤ x ≤ 4) 上运动时，求点 C 的轨迹.解：（1）由 AB = AD = CB = CD ， OB = OD ，知 O 、A 、C 图 7，联结 BD.则 BD 垂直平分线段 AC ．设垂足为 K ， OA OC= ( OK - AK )(OK + AK )故 = OK 2- AK 2= (OB 2- BK2)- ( A B 2- BK 2)= OB 2 - AB 2= 20(定值).（2）设C (x , y ) ， A (2 + 2cos α, 2sin α ) ，其中， α = ∠xMA ⎛ - π ≤ α ≤ π ⎫．2 2 ⎪ ⎝ ⎭则∠xOC = α． 2又 OA 2 = (2 + 2cos α )2 + (2sin α )2 = 8(1 + cos α ) = 16cos 2 α ， 2所以， OA = 4 cos α．2由（1）的结论得 OC cos α= 5 ．2则 x = OC cos α= 5 ．2故 y = OC sin α = 5 t an α∈[-5,5] ．2 2因此，点 C 的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5) ， (5, -5) ．⎨ ++ 加试一、（40 分）如图 2，在锐角△ABC 中，AB > AC ，M 、N 是边 BC 上不同的两点，使得∠BAM = ∠CAN .设△ABC 和△AMN 的外心分别为O 1 、O 2 .证明： O 1 、O 2 、A 三点共线.图2证明：如图 8，联结 AO 1 、 AO 2 ，过点 A 作 AO 1 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P .则 AP 是 O 1 的切线.故∠B = ∠PAC .因为∠BAM = ∠CAN ，所以， ∠AMP = ∠B + ∠BAM = ∠PAC + ∠CAN = ∠PAN ． 从而，AP 是△AMN 外接圆 O 2 的切线.故 AP ⊥ AO 2 ． 因此， O 1 、O 2 、A 三点共线．二、（40 分）试证明：集合 A = {2, 22 ,…, 2n ,…}满足图 8（1）对每个a ∈ A 及b ∈ N + ，若b < 2a -1，则b (b +1) 一定不是 2a 的倍数；（2）对每个a ∈ A （ A 表示 A 在N + 中的补集），且a ≠ 1，必存在b ∈ N + ，b < 2a -1，使b (b +1) 是 2a 的倍数．解：（1）对任意a ∈ A ，设a = 2k (k ∈ N ) .则2a = 2k +1． 若 b 是任意一个小于2a -1的正整数，则b +1 ≤ 2a -1 ．由于 b 与b +1中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2 的幂的次数最多为 k 、因此， b (b +1) 一定不是 2a 的倍数．（2）若a ∈ A ，且a ≠ 1，设a = 2k m ，其中， k ∈ N ，m 为大于 1 的奇数． 则 2a = 2k +1 m ． 下面给出三种证明方法．方法 1 令b = mx ， b +1 = 2k +1 y ．消去 b 得2k +1 y - mx = 1.由(2k +1 , m )= 1，知方程必有整数解⎧⎪x = x + 2k +1t ,⎨ 0⎪⎩ y = y 0 + mt , 其中， t ∈ Z ， (x 0 , y 0 ) 为方程的特解． 记最小的正整数解为(x ', y ') .则 x ' < 2k +1 ．故b = mx ' < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a 的倍数．方法 2 注意到， (2k +1 , m )= 1，由中国剩余定理，知同余方程组⎧⎪x ≡ 0(mod 2k +1 ), ⎪⎩x ≡ m -1(mod m )在区间(0, 2k +1 m ) 上有解 x = b ，即存在b < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a的倍数． 方法 3 由(2, m ) = 1 ，总存在r (r ∈ N + , r ≤ m -1) ，使得2r ≡ 1(mod m )取t ∈ N ，使得tr > k +1 .则2tr≡ 1(mod m ) ． 存在b = (2tr -1)- q (2k +1 m )> 0(q ∈ N ) ， 使得0 < b < 2a -1.此时， m b ，2k +1 (b +1) .从而， b (b +1) 是 2a 的倍数．0 k⎛d ⎫3三、（50 分）设P，P1，…，Pn是平面上n +1 个点，其两两间的距离的最小值为d(d > 0) ．证明：P P P P …P P>d n0 1 0 2 0 n(3)证法1 不妨设PP1≤PP2≤…≤PPn．先证明：对任意正整数 k 都有 P P >.0 k3显然， P P ≥d ≥ 对k = 1, 2 ，…，8 均成立，只有当k = 8 时，上式右边取等号.0 k3所以，只需证明：当k ≥ 9 时，有 P P >即可．0 k3以点P (i = 0,1,…k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切；以点 P 为圆心、 PP +di 2 0 0 k2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1 个圆．则π⎛P Pd ⎫2+⎪2>(k +1)π ⎪ ⇒P0P k>d (1)．由k ≥ 9 ，易知>．⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ 2 2 3所以， P P >对k = 9 ，10，…，n 也成立．0 k3综上，对任意的正整数 k 都有 P P >．0 k3⎛d ⎫n故PP1PP2…PPn> ⎪⎝⎭．证法 2 所设同证法1．以P (i = 0,1,…, k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切．i设Q 是2Pi上任意一点．PQ ≤PPi+PiQ由=P P +1d0 i2≤P P +1P P =3P P ,0 k 2 0 k 2 0 k知以P 为圆心、3PP 为半径的圆覆盖上述k +1 个圆．0 2 0 k⎛3 ⎫2 ⎛d ⎫2则π2PPk⎪ > (k + 1)π 2 ⎪ ，即 P0P k>k = 1, 2,…, n)．⎝⎭⎝⎭四、（50 分）设S =1+1+…+1n 是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S-[S]}（n 2 n n n 中有无穷多项属于(a,b)，（[x]表示不超过实数x 的最大整数）．证法1（1）对任意n ∈N+，S =1 +1+1+…+12n 2 3 2n=1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+1)有 2 21 +1222n-1 +12n>1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+12 22 222n 2n= 1 +1+1+…+1>1n.2 2 2 212iN0 令 N =⎡ 1 ⎤+ 1 ， m = [S]+1.则1< N ，1< b - a ，S< m ≤ m + a ． 0⎢⎣b - a ⎥⎦N 0b - a 0N 0又令 N 1 = 22(m +1) .则 S N = S2( m +1)> m +1 ≥ m + b ．从而，存在n ∈ N + ， N 0 < n < N 1 ，使得m + a < S n < m + b ⇒ S n - [S n ]∈(a ,b ) ．否则，存在 N 0 < k ，使得 S k -1 ≤ m + a ， S k ≥ m + b ．于是 S - S ≥ b - a ，与 S - S = 1 < 1 < b - a 矛盾．k k -1 k k -1k N 0故一定存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,b ) ． （2）假设只有有限个正整数 n 1 ， n 2 ，…， n k ，使得 S n - ⎡S n ⎤ ∈(a ,b )(1 ≤ j ≤ k ) ．j ⎣ j ⎦令c = min {S n j - ⎡S n j⎤}则a < c < b ．1≤ j ≤k⎣ ⎦ 故不存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,c ) 与（1）的结论矛盾．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ． 综上，原命题成立．证法 2 由证法 1，知当 n 充分大时， S n 可以大于任何一个正数．令 N = ⎡ 1 ⎤+ 1 .则 N > 1 ．⎢⎣b - a ⎥⎦b - a当 k > N 时， S - S= 1 < 1 < b - a ．0 k k -1k N 0同证法 1 可证，对于任何大于 S 0m + a < S n < m + b ．的正整数 m ，总存在n > N 0 ，使得 S n - m ∈(a ,b ) ，即令m i = ⎡S N ⎤ + i (i = 1, 2,…).则m i > S N .⎣ 0 ⎦ 0故一定存在n i > N 0 ，使得m i + a < S n < m i + b ．从而， a < S n - m i = S n - ⎡S n ⎤ < b ．i i ⎣ i ⎦这样的 i 有无穷多个．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．N。
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)
2012年全国高中数学联赛河南省预赛（高二）试题本试卷满分140分一．填空题（满分64分）1.在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________.2.将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3.在ABC ∆中，26C B ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B之间的距离为M 到面ABC 的距离为_________________. 4.若锐角α=+α的度数为________________.5.函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()f a f b f c === ()f d ，则abcd 的取值范围是_________________.6.各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______ _.7.一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________.8.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012++++= _ _.二.（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD -的地面为菱形，且3ABC π∠=，2AB EC ==，AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值.三.（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=. （1）当时0x >，求证：2()2f x x >+； （2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kx f x x +<+成立，求实数的值.四.（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++. （1）设n a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五.（本题满分20分） 已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值.。
2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
F
B
C
E
＝ ( a b c )2 ＝64. 2
…………………16 分
三、解答题（本题满分 20 分）
已知椭圆ax22＋by22＝1 (a＞b＞0) 右焦点为 F，右准线 l 交 x 轴于点 N，过椭圆上一点 P 作
PM 垂直于准线 l，垂足为 M．若 PN 平分∠FPM，且四边形 OFMP 为平行四边形，
证明：e＞23．
y l
P
M
O
F
Nx
证法一：设点 P(x0,y0).由对称性，不妨设 y0＞0．
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 3 页 共 5 页
四边形 OFMN 为平行四边形，所以 PM＝OF＝c，于是由 PM＝ac2－x0＝c，得 x0＝bc2. 又 xa022 +yb022＝1，得 y02＝b2(1－ ab24c2)．
2 22
22
2
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 2 页 共 5 页
＝ 1 (b2+c2－2bccosA)+ 1 b2+ 1 c2+ 1 ab+ 1 ac + 1 bc
4
442
22
＝ 1 (a2+b2+c2+2ab+ 2ac +2bc)2＝ 1 (a+b+c)2＝64．
4
4
……………………16 分
别为 P、Q． 求证：PQ 是以 AB 为直径的圆的一条切线．
E Q
D
H
C
A
O
O1 P
O2
B
证明：设 CP，DQ 相交于 E 点，
则∠BDQ＝180°－∠BAD＝∠CAB＝∠BCP．
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取得最大值 因此, 解得 故 的取值范围是
7.【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当 时, 由此得
所以
故满足 的正整数 的所有值分别为 它们的和为 .
8.【答案】
【解析】用 表示第 周用 种密码的概率,则第 周末用 种密码的概率为
.于是,有 ,即 由 知， 是首项为 ，公比为 的等比数列。所以 ，即 ，故
9.（本小题满分16分）已知函数
（1）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；
（2）若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围．
10.（本小题满分20分）已知数列 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 ，都有
（1）当 时，求所有满足条件的三项组成的数列 ;
（2）是否存在满足条件的无穷数列 ，使得 若存在，
在 中,由余弦定理得
当且仅当 时等号成立.故 的最大值为1.
5.【答案】4
【解析】如图.连结 ,则 平面 ,垂足 为正 的中心,且 过球心 ,连结 并延长交 于点 ,则 为 的中点,且 ,易知 分别为正三棱锥 的侧面与底面所成二角的平面角,则
,从而 ,因为
所以 即
所以 ,故
6.【答案】
【解析】由题设知 ,则 因此,原不等式等价于
故
所以 三点共线。Байду номын сангаас‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
二、【解析】证明:对任意的 ,设 则 如果 是任意一个小于 的正整数,则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
由于 与 中,一个为奇数,它不含素因子 ,另一个是偶数,它含素因子 的幂的次数最多为 ,因此 一定不是 的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分
若 ,且 设 其中 为非负整数, 为大于 的奇数,
4.抛物线 的焦点为 ，准线为ｌ， 是抛物线上的
两个动点，且满足 ．设线段ＡＢ的中点 在ｌ上的投影为 ，
则 的最大值是.
5．设同底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球．若正三棱锥 的侧面与底面所成的角为 ，则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正切值是．
6.设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11.（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，且 ．
（1）求证： 为定值；
（2）当点A在半圆 （ ）上运动时，
求点 的轨迹．
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角 中， 是 边上不同的两点，使得 设 和 的外心分别为 ，求证： 三点共线。
存在 使
此时 因而 是 的倍数．‥‥‥‥‥40分
三、【解析】证法一:不妨设 先证明:对任意正整数 ,都有
显然, 对 均成立,只有 时右边取等号……10分
所以,只要证明当 时,有 即可.
以 为圆心, 为半径画 个圆,它们两两相离或外切;以 圆心， 为半径画圆，这个圆覆盖上述 个圆‥‥‥‥‥‥‥20分
所以 ‥‥‥‥‥‥‥30分
二、解答题
9.【解析】(1) 令 则 分
对任意 , 恒成立的充要条件是 分
(2)因为 所以 所以 分
因此 于是,存在 ,使得 的充要条件是
故 的取值范围是 分
10.【解析】(1)当 时, ,由 得 .当 时, ,
由 得 或 ‥‥‥‥‥‥‥5分
当 时, 若 得 或 ;若 得 ;
综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
因为 所以 ‥‥‥‥‥15分
由(1)的结论得 所以 从而
故点 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 ‥‥‥‥‥‥20分
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、【解析】证明：如图.连接 ,过 点作 的垂线 交 的延长线于点 ,则
是 的外接圆 的切线.因此 ‥‥‥10分
因为
所以 ‥‥‥‥20分
因而 是 的外接圆 的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分
7.满足 的所有正整数 的和是．
8.某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
1.设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向
直线 和 轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是．
2.设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，
则 的值是.
3.设 ，则 的最大值是.
(2)令 则 从而
两式相减,结合 得 当 时,由(1)知 ;
当 时, 即
所以 或 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分
又
所以 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分
11.【解析】因为 所以 山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分
如图,连结 ,则 垂直平分线段 ,设垂足为 ,于是有
(定值)‥‥‥‥10分
(2)设 其中 则 .
参考答案及详细评分标准
2012年全国高中数学联赛一试
一、填空题
1.【答案】-1
【解析】方法1:设 则直线 的方程为 即
由
又 所以 故
2.【答案】4
【解析】由题设及余弦定理得 ,即 故 .
3.【答案】
【解析】不妨设 则
因为
所以
当且仅当 时上式等号同时成立.故
4.【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
二、（本题满分４０分）
试证明：集合 满足
（1）对每个 ，及 ，若 ，则 一定不是 的倍数；
（2）对每个 （其中 表示 在Ｎ 中的补集），且 ，必存在 ， ，使 是 的倍数．
三、（本题满分５０分）
设 是平面上 个点，它们两两间的距离的最小值为
求证：
四、（本题满分５０分）
设 ，ｎ是正整数．证明：对满足 的任意实数 ，数列 中有无穷多项属于 ．这里， 表示不超过实数ｘ的最大整数．
则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
下面给出(2)的三种证明方法:
证法一:令 消去 得
由于 这方程必有整数解; 其中 为方程的特解.
把最小的正整数解记为 则 ,故 使 是 的倍数．‥‥‥40分
证法二:由于 由中国剩余定理知,同余方程组
在区间 上有解 即存在 使 是 的倍数．‥‥‥‥40分
证法三:由于 总存在 使 取 使 则
由 易知 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分