小升初数学典型题练习：余数问题
小升初专练-数论问题-带余除法通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【常考题型】例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【解题思路】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．一．选择题1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
小升初名校招生真题数学(一)有余数的除法
除法叫做有余数的除法。
被除数=商× 除数+余数
题1
若 a b 84，且 a、b 都是非0的自然数，那么a 最小是_44__。
分析：a 8b 4, a要取最小，也就是 b要最小，b最小为多少呢？
是__1_00___。
解法1：1900÷600=3…100
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数，商不变， 但余数也对应扩大或缩小 相同的倍数
解法2：1×100=100
题5 • 在有余数的除法算式中，24÷（
有___2__种答案。
）=（
）…3，商可以
分析：除数>余数>3，24-3=21，21=1×21=3×7， 所以除数=21或7
除数最小为余数加1
解：b 4 1 5 a 58 4 44
题2
• 一个数被3除余2，被4除余3，被5除余4，符合这个条件的500以内的最 大数是_4_7_9 __。
分析：被3除少1，被除数=3的倍数-1；
温馨提示
被a除少1， 被除数=a的倍数-1
被4除少1，被除数=4的倍数-1； 被5除少1，被除数=5的倍数-1； 被3除少1，被4除少1， 被5除少1，被除数=3、4、5的公倍数-1； 3、4、5的最小公倍数为60，500以内60的最大倍数为480，
480-1=479。
题3 • 一个数被8除，余数是7，该数的3倍被8除时，余数是_5____。
解法1：设商为1，被除数=8×1+7=15，15×3÷8=5…5
被除数扩大若干倍后再除 以除数，余数等于原来余 数扩大与被除数同样的倍 数除以除数的余数。
解法2：7×3÷8=2…5
余数问题例题
1、当73除以某个数时，余数是5，那么除数可能是以下哪个数？A. 6B. 7C. 8D. 9（答案：C，因为73-5=68，68能被8整除）2、一个数除以17后，商是12，余数是13，这个数是多少？A. 197B. 213C. 204D. 220（答案：B，因为17*12+13=213）3、将数字478除以一个两位数，余数为18，则这个两位数除数最小可能是多少？A. 30B. 40C. 50D. 60（答案：C，因为478-18=460，需找到大于18且能整除460的最小两位数）4、某数除以9，商是15，余数是a，且1≤a<9，则这个数的可能值有多少个？A. 7B. 8C. 9D. 10（答案：C，因为该数可以表示为9*15+a，a有1到8共9种可能）5、一个自然数除以5余3，除以6余4，除以7余1，那么这个自然数最小是多少？A. 33B. 63C. 93D. 123（答案：C，通过逐一检验或中国剩余定理可求解）6、当12345除以某个大于10的整数时，余数是9，那么这个整数的最大可能值是多少？A. 1233B. 1234C. 1235D. 1236（答案：D，因为12345-9=12336，需找到能整除12336且小于12345的最大数）7、一个数除以8的余数是5，那么这个数除以4的余数可能是多少？A. 0B. 1C. 2D. 以上都有可能（答案：D，因为该数可以表示为8n+5，n为整数，其除以4的余数随n 变化）8、将数字2020除以一个两位数，余数为20，若这个两位数的十位与个位数字之和为9，则这个两位数是？A. 36B. 45C. 54D. 63（答案：D，因为2020-20=2000，需找到能整除2000且十位与个位和为9的两位数）。
小升初必考专题余数问题(讲义)-2020-2021学年数学六年级下册(含答案)全国通用
余数问题定义：在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数性质：性质1：余数小于除数性质2：被除数＝除数×商＋余数除数＝(被除数－余数)÷商；商＝(被除数－余数)÷除数。
性质3：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除性质4：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和性质5：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)同余性质：性质1：a≡a(mod m)，(反身性)性质2：若a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)，(对称性)。
性质3：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)，(传递性)。
性质4：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，(可加减性)。
性质5：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。
性质6：若a≡b(mod m)，那么an≡bn(mod m)，(其中n为自然数)。
性质7：若ac≡bc(mod m)，(c，m)＝1，那么a≡b(mod m)，(记号(c，m)表示c与m的最大公约数)。
例1被3除余2，被4除余3，被5除余4的最小的数是( )测试题1．一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；例7有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25。
这三个余数中最大的一个是多少？例6算式7＋7×7＋…＋1990777...7⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少?例5求14389除以7的余数。
例4有一串数：1、3、8、22、60、164、448，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍。
小学数学有余数问题的题目100道
小学数学有余数问题的题目100道1. 23除以5，余数是多少2. 19除以3，余数是多少？3. 41除以6，余数是多少？4. 35除以7，余数是多少？5. 56除以8，余数是多少？6. 28除以4，余数是多少？7. 37除以9，余数是多少？8. 16除以2，余数是多少？9. 53除以5，余数是多少？10. 22除以3，余数是多少？11. 47除以7，余数是多少？12. 32除以6，余数是多少？13. 59除以8，余数是多少？14. 25除以4，余数是多少？15. 34除以9，余数是多少？16. 17除以2，余数是多少？17. 61除以5，余数是多少？18. 29除以3，余数是多少？19. 44除以7，余数是多少？20. 38除以6，余数是多少？22. 26除以4，余数是多少？23. 31除以8，余数是多少？24. 15除以2，余数是多少？25. 63除以5，余数是多少？26. 35除以3，余数是多少？27. 49除以7，余数是多少？28. 42除以6，余数是多少？29. 55除以9，余数是多少？30. 27除以4，余数是多少？31. 39除以8，余数是多少？32. 18除以2，余数是多少？33. 67除以5，余数是多少？34. 37除以3，余数是多少？35. 46除以7，余数是多少？36. 33除以6，余数是多少？37. 58除以9，余数是多少？38. 24除以4，余数是多少？39. 40除以8，余数是多少？40. 19除以2，余数是多少？41. 69除以5，余数是多少？42. 32除以3，余数是多少？44. 36除以6，余数是多少？45. 53除以9，余数是多少？46. 一根绳子长23米，要剪成每段长4米的小段，最多可以剪成多少段，还剩多少米？47. 一盒巧克力有25块，小明每天吃3块，吃了8天后还剩下多少块巧克力？48. 小红有32个苹果，她每天吃5个，吃了6天后，还剩下多少个苹果？49. 一个果园里有47棵苹果树，每棵树上平均有18个苹果，如果摘掉8个坏苹果，最后还剩多少个苹果？50. 小华读一本200页的书，他每天读15页，读了12天后，还剩下多少页没有读？51. 丽丽有50张邮票，她给朋友送了8张后，还剩下多少张邮票？52. 一块布长60厘米，要裁成每段长8厘米的小段，最多可以裁成多少段，还剩多少厘米？53. 一袋糖有100颗，小明每天吃6颗，吃了15天后，还剩下多少颗糖？54. 小刚买了36支铅笔，他每天用4支，用了9天后，还剩下多少支铅笔？55. 小红从图书馆借了45本书，她每天读7本，读了6天后，还剩下多少本书没有读？56. 一个班级有50名学生，每5人组成一个小组进行活动，最后会剩下多少名学生没有参加小组？57. 小华买了28个苹果，她每天吃4个，吃了7天后，还剩下多少个苹果？58. 小明买了30支水彩笔，他每天用5支，用了6天后，还剩下多少支水彩笔？59. 丽丽买了42块巧克力，她每天吃6块，吃了7天后，还剩下多少块巧克力？60. 一盒饼干有35块，小明每天吃4块，吃了8天后，还剩下多少块饼干？61. 小华有60张邮票，她给朋友送了10张后，还剩下多少张邮票？62. 一根绳子长36米，要剪成每段长9米的小段，最多可以剪成多少段，还剩多少米？63. 一个班级有48名学生，每6人组成一个小组进行活动，最后会剩下多少名学生没有参加小组？64. 小刚买了24个玩具，他每天玩3个，玩了8天后，还剩下多少个玩具？65. 小红从图书馆借了60本书，她每天读8本，读了7天后，还剩下多少本书没有读？66. 小明买了50支铅笔，他每天用7支，用了7天后，还剩下多少支铅笔？67. 一盒糖果有42颗，小明每天吃5颗，吃了8天后，还剩下多少颗糖果？68. 丽丽买了21块巧克力，她每天吃3块，吃了6天后，还剩下多少块巧克力？69. 小华有30张邮票，她给朋友送了5张后，还剩下多少张邮票？70. 一根绳子长45米，要剪成每段长6米的小段，最多可以剪成多少段，还剩多少米？71. 一个班级有54名学生，每9人组成一个小组进行活动，最后会剩下多少名学生没有参加小组？72. 小刚买了40个玩具，他每天玩4个，玩了10天后，还剩下多少个玩具？73. 小红从图书馆借了72本书，她每天读9本，读了8天后，还剩下多少本书没有读？74. 小明买了63支铅笔，他每天用9支，用了7天后，还剩下多少支铅笔？75. 一盒糖果有70颗，小明每天吃8颗，吃了8天后，还剩下多少颗糖果？76. 丽丽买了35块巧克力，她每天吃5块，吃了7天后，还剩下多少块巧克力？77. 小红买了123颗糖果，平均分给9个小朋友后，还剩下几颗糖果？78. 爸爸买了256个苹果，如果每盘放6个，最多可以放满多少盘，还剩下几个？79. 三年级一班有43名学生，每6人组成一个小组进行活动，最多可以组成几个完整的小组，还剩下几人？80. 一本故事书有285页，小明每天看9页，看了30天后，还剩下多少页没有看？81. 小华的妈妈买了367个鸡蛋，每盘只能放10个，她需要准备多少个盘子才能放下所有的鸡蛋？82. 一条长239米的绳子，每段剪成8米长，最多可以剪成多少段，还剩下多少米？83. 学校图书馆有450本图书，每个班级借走7本，最后还剩下多少本图书？84. 小红有302张邮票，她想把它们平均分给5个好朋友，每个朋友最多能得到多少张邮票，还剩下多少张？85. 商店里有263支铅笔，每盒装12支，最多可以装满多少盒，还剩下几支？86. 丽丽买了496块巧克力，她每天吃8块，吃了60天后，还剩下多少块巧克力？87. 三年级二班有52名学生，每4人组成一个小组进行课外活动，最多可以组成多少个小组，还剩下几人？88. 小明有278张卡片，他打算每10张放进一个信封里，他需要准备多少个信封才能装下所有的卡片？89. 一根绳子长345米，每段剪成6米长，最多可以剪成多少段，还剩下多少米？90. 学校食堂买了196斤大米，每天吃9斤，吃了20天后，还剩下多少斤大米？91. 商店里有175瓶果汁，每箱装8瓶，最多可以装满多少箱，还剩下几瓶？92. 丽丽买了283颗糖果，她每天吃9颗，吃了30天后，还剩下多少颗糖果？93. 小红有421张邮票，她想把它们平均分给7个好朋友，每个朋友最多能得到多少张邮票，还剩下多少张？94. 商店里有312支铅笔，每盒装9支，最多可以装满多少盒，还剩下几支？95. 小华的妈妈买了157个鸡蛋，每盘只能放5个，她需要准备多少个盘子才能放下所有的鸡蛋？96. 一条长408米的绳子，每段剪成7米长，最多可以剪成多少段，还剩下多少米？97. 学校图书馆有369本图书，每个班级借走6本，最后还剩下多少本图书？98. 小红买了574颗糖果，平均分给8个小朋友后，还剩下几颗糖果？99. 爸爸买了179个苹果，如果每盘放4个，最多可以放满多少盘，还剩下几个？100. 三年级一班有38名学生，每5人组成一个小组进行活动，最多可以组成几个完整的小组，还剩下几人？。
六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用
第05讲 数论综合——余数问题【一】了解“除法算式——a b qr b r ÷=> ()” 及应用1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .1010989108=910898÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数 求最大值一位数最大是，余数最大是 两位数 两位数2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.17073717073717073746546461707463755375424545451707453742424645542a r a r a ra a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩综上：或3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.带 余 除 法52310523105555523(5)105231152310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一： 法二：除数余数 除数余数余数与除数的差是 余数与除数的差是 若设余数为，则除数为 若给余数加上 除数 =52311=48=43434348x ∴÷=∴ 除数，余数 余数是，除数是4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=法一： 法二： 若设为，则为 则5：某个除法算式的被除数、除数、商与余数之和为115，如果被除数和除数都扩大为原来的2倍，得到的除法算式中被除数、除数、商与余数之和为223，那么原来的算式中商是 .11522222222311522237A B CD A B C D A B C D A B C D C ÷=⇒+++=÷=⇒+++=∴=⨯-=22222(22)22222a b q r a bq r a bq ra b bq r b q r a b q r a b q r÷=⇒=+⇒=+÷=+÷=∴÷=⇒÷=证明：6：某个整数除36，商和余数相等，那么这个整数可能是 .3636(1)136=8111735b c c bc c c b b b cb ÷=⇒=+=++>是的因数，但是枚举：、、、7：在大于2015的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有多少个？5758575756201558=3443355635122a c c c a c c c c c =+=⎧÷=⇒⎨<⎩÷⇒∴=-+= 的最大值是 的最小值是 个数（个）【二】余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和 证明： [弃9法 整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和 证明： [()(999)910019911999910019911(]a a b b c c d e c a d e a b c d a c m e a mc e b c nf b nc f a b mc e nc f m n d b ++-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+⎩÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+ 对于（1） 余数可加可减可乘2)()()()()()()()()()()()1192329c e f a b ce f a b mc e nc f m n c e f a b ce f a b mc e nc f mnc mcf nec ef a b ce f ++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+=+++⇒⨯÷⨯⇒÷÷ （2） （3） 余数可加 举性余数可减性余数可乘性例259753295⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷⎩⎩⎩或者（一）余数特征+余数可加可减可乘性的“基础练习”1：将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（二）余数特征+余数可加可减可乘性的“拓展练习”71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C D ABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++证明：判断能被和整除奇段和 偶段和 奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴ 能被和整除1：（1）求20172017201720172017个除以9的余数. （2）求20146666个除以7的余数.201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡个个 20146666666666100120146335466666666666660302(mod 7)=⨯÷=∴≡≡-≡≡≡个2：求1020162017201620162016个除以7的余数.9201620163603603602016201620167020162016201670201720162016201620172016000(mod 7)1428577110000001000000711000712017201600020172016(mod 7)20÷∴÷⇒≡⨯+=∴÷∴÷⇒≡个10个个个个172016201710000201620177110000742016701404=⨯+÷÷÷∴=⨯+=余数可乘，余数3：求15!除以17的余数.15!4!(56)(71113)(89)(10121415)243010017225210015!7131541415916021069654636181(mod 7)15!(29)(36)(413)(57)(815)(1012)(1114)171=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⇒≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡⨯≡≡=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯法一：法二：每个括号内两数之积都是除以 余 15!171∴÷ 的(2)!1(mod )p p p ⇔-≡延伸说明：上一题的（2）是威尔逊原理内容： 是质数（三）余数周期性的“基础练习”1：兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、……，第2017项除以5的余数.5112303314044320224101123033020201720100172÷=兔子数列每一项除以的余数如下：周期是， ，即余2：分别求出23456789103333333333、 、 、 、 、 、 、 、 、 除以7的余数.发现规律，并求出1003除以7的余数. 并试求231001+3+3+3++3除以7的余数.234567891010043333333333326451326461006164334(mod 7)⇒÷=⇒≡≡、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是若为01231002+2+2+2++2除以7呢？61016165(132645)1613262116162(mod 7)⇒÷=⇒≡+++++⨯++++≡⨯+≡周期是 原式3：今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是周一（四）余数周期性的“拓展练习” 1：求3332除以31的余数.33133333231535334812228(mod 31)n ∴÷=⇒≡≡≡研究除以的余数容易发现周期是只要考虑除以的余数，容易发现周期是42：求332的末位数字.33133481333(mod10)÷=⇒≡≡寻找末位就是相当于除以10的余数周期现象：1、3、9、7、1、3、9、7、……，周期是4(1)(2)(3)x Nx N x N x x 以下是固定值，是变量对于，其个位数字是4个一循环 对于，其个位数字是10个一循环 对于，其个位数字是20个一循环3：求123420132014123420132014+++++除以10所得的余数是多少？12341920201234192014765636901636567490944,201420100141001004(14765636901636)=463463++++++++++++++++++++++++=÷=⨯++++++++++++++除以10的余数就是相当于寻找其个位数字，底数指数都是变化的，即周期为先计算的个位数字：为“”其个位数字是即个整周期还多出14个个位数字即为“”的个3位数字是 ，即答案就是34：求2007200720072007200712342006++++计算结果的个位数字是多少？200732007320073200720072007200720073333311(mod10)22(mod10)20072007(mod10)1234200612342006(mod10)≡≡≡+++++≡+++++首先，按规律，底数不变指数变化，其个位数字的周期是每4个一循环 即 、 、 得到： 然后，按规律，底数变化指数不变，其个位数字的周期是每10个一循环 33333333333333331234105(mod10)1234200652001234561(mod10)+++++≡+++++≡⨯++++++≡ 又因为， 所以，【一】化余数为整除（余数相同） （一）余数已知1：某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是几？ 415(415)03603636181296b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、、、2：某个整数除31，余数是7，那么这个整数可能是几？ 317(317)024********b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、同 余 问 题3：某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、4：某个额整数除229、337得到的余数都是13，这个整数最大是几？最小是几？ (22913)021*******(33713)0324033713(337229)01080216324108(216,324,108)1081310818b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩⇒⇒=>∴是、、的公因数是最大公因数的因数，且最大为，最小为（二）余数未知1：某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 41(4111)030030302153105611b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、、2：某个大于1的整数除89、71得到的余数相同，那么这个整数可能是几？89(8971)01801818293671b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、3：某个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是几？ 17(5317)036053(11317)0960369660113(11353)0600(36,96,60)12122634b r b bb r b b b b b r b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷-÷÷⎩⎩⎩=∴=是、、的公因数是最大公因数的因数、、、、【二】化余数为整除（余数不同） （一）余数已知1：某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？ 475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b bbb b b bbb b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=是、的公因数是最大公因数的因数，且、2：（拓展）用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？ 13（二）余数未知1：某个整数除29、56的余数分别是a 、3a +，这个数可能是几？ 2929(5329)0240245635333324128462924529125298524,12,8()56248561285680294129654(),6()56405662b aba bbb ba baa b b b b b b b ÷÷⎧⎧⇒⇒-÷⇒÷⇒⎨⎨÷+÷⎩⎩+≥⇒>∴=÷÷÷⎧⎧⎧===⎨⎨⎨÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧==⎨⎨÷÷⎩⎩是的因数、、、、验证：舍去舍去舍去综上2412b =，、2：某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=舍去舍去舍去综上，、3：一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数的和a 的值.429+54248482(848791)0570791279127912(1000791)0209050050010002(1000848)0152057209152(57,209,15b a ba b a b b b a ba b a b b b a b a b a b b b b ÷÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪÷⇒÷⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷÷÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⎩⇒⇒是、、的公因数是最大公因数的因数2)19519571911192091912152196196b b b b a =>∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩==，且验证：综上，，4：已知60、154、200被某数除所得的余数分别是1a -、2a 、31a -，求这个自然数的值. 22222333361(3721154)03567060161154154154(61154)2001201(9394201)09193020135679193(3567,9193)b a b b b a b a b a b a b a b ab a b a b b b a b b ⎧⎛÷⇒-÷⇒÷÷-÷⎪ ⎧⎧ ÷⎪⎪⎪⎝÷⇒÷⇒⎨⎨⎨⎛⨯÷⎪⎪⎪÷-÷⇒-÷⇒÷ ⎩⎩⎪ ÷⎝⎩⇒⇒=是、的公因数是最大公因数的因数29296029229154299200292629b b b ∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩=验证：综上，5：（拓展）糖果254粒，饼干210块，水果186个. 某幼儿园人数超过40人，平均分给学生，余下糖果、饼干、水果比是1:3:2，求共有多少人？没人每种各分多少个？5082(508186)032202541862210321031862(440210)02300(254186)3322230(322,230)4640223254202210201862b ab b b a b a b a b a b a b b b a b b b b b ⎧÷⎧⇒-÷⇒÷÷⎧⎨⎪÷⎪⎪⎩÷⇒⎨⎨÷⎧⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⎨⎩⎪+÷⎩⎩⇒⇒=<∴=÷=÷÷是、的公因数是最大公因数的因数，且、验证：254231()23210233018623223b b ÷⎧⎧⎪⎪=÷⎨⎨⎪⎪÷⎩⎩=舍去，综上，6：有一个整数，用它除70、110、160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？121233111221233370110(70110160)()340502900290160707070121101333531718316011b r b r b r r r bb b b rbr b b r b r b r b r b r r r b b b b r b r b ÷⎧⎪÷⇒++÷++⇒÷⇒÷⇒⎨⎪÷⎩÷≤÷≥+⎧⎧⎪⎪÷⇒≥+⇒≥+++⇒≥⇒≥⇒≥⎨⎨⎪⎪÷≥+⎩⎩∴=是的因数现在讨论的就是范围对来说，其中,290,2,145,5,58,10,29581105815229b b =÷==对于， ，不成立综上，【三】同余方程 1：（铺垫）（1）解同余方程：45(mod11)x ≡45(mod11)41151(45)110451144(mod11)5115245(mod11)4511(mod11)416(mod11)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x x x x ≡÷⎧⇒-÷⇒-=⇒=⇒≡⎨÷⎩≡≡+≡=∴≡ 转化： 试除：(mod )(,)1(mod )(mod )()()0()()()()(,)1(mod )ac bc m c m a b m ac m x pac bc m ac bc m x y c a b m x y bc m y p c a b m x y c m m a b a b m a m b m a b a b m m m ≡=≡÷=⎧≡⇒-÷=-⇒-=-⎨÷=⎩-=-=-≡÷÷--=证明：若，当 时，有开始：对“”，有对“”，若，为的因数若想让“”，即让“的余数等于的余数”，即“化为分数相减为整数”同时，确实为整数，得证.（2）解同余方程：729(mod13)x x ≡+729(mod13)7131(729)130(29)135913()(59)130592677(mod13)2729(mod13)59(mod13)59132(mod13)5x x x r x x x rx x x x xx x x x x ≡+÷⎧⇒--÷⎨+÷⎩-=⨯⎧⇒-÷⇒⎨-=⇒=⇒≡⎩-≡≡≡+⨯ 转化： 试除： 35(mod13)(5,13)17(mod13)x ≡=∴≡2：用枚举法检验的方法，找出有那些整数x 满足：35(mod 7)x ≡，用一个同余式来表示结果.135(mod 7)411184(mod 7)235(mod 7)357(mod 7)312(mod 7)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x ≡=≡≡≡+≡=∴≡ ，枚举得到、、、，表示为3：求解同余方程：3843(1)(mod13)x x +≡+. 8343(1)(mod13)83433(mod13)83334(mod13)5334313(mod13)58(mod13)58x x x x x x x x x +≡++≡+-≡-≡-+⨯≡≡+第一步：化简 第二步：（试除法） 134(mod13)XX 5383(mod13)560(mod13)1524(mod13)(5,13)112(mod13)211(mod13)(XX ) 5x x x x x x ⨯⨯≡⨯≡≡=∴≡≡⨯ （法） 法888(mod13)21113(mod13)4064(mod13)224(mod13)12(mod13)12(mod13)x x x x x ≡⨯≡+≡≡≡≡5：（拓展）老师选了一个两位数，然后讲这个数乘23，并且加上79，发现正好是111的倍数，你能猜出老师选的是什么数吗？23790(mod111)2311179(mod111)2332(mod111)235325(mod111)115160(mod111)x x x x x x +≡≡-≡⨯≡⨯≡设这个两位数为，得到 4160(mod111)40(mod111)40.x x ≡≡ 即这个两位数是一：余同加余，差同减差，和同加和 1：小强家有很多巧克力:。
小升初数论重点考查内容————(余数问题——余数三宝)
千里之行，始于足下。
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【例】一个数除以4余2，除以5余3，则这个数最小是？
【例】一个数除以3余2，除以4余1，则这个数最小是？
(★★★)
两位天然数ab 与ba 除以7都余1，并且a ＞b ，求ab ba ⨯
小升初数论重点考查内容
朽木易折，金石可镂。
(★★★) (2005年全国小学数学奥林匹克试题)
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是________。
(★★★) (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)
试求22008＋20082除以7的余数。
(★★★)(2009年第十届中环杯五年级试题)
有一个数除以3余数是2，除以5余数是3，那么这个数除以15的余数是( )
(★★★★)(1998年小学数学奥林匹克预赛B卷)
一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是______。
(★★★★)( 1998年小学数学奥林匹克预赛)
某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是______。
千里之行，始于足下。
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小升初精选习题：余数问题能力达标卷及答案
小升初精选习题：余数问题能力达标卷及答案☆基础题1、有一筐苹果2个2个的数余一个，5个5个的数余一个，7个7个的数余一个。
问这筐苹果最少有多少个？2、召开学生座谈会，每组5人则多1人，每组6人则多2人，每组7人则多3人，至少有多少人？3、某数除以7余2，除以9余3，求：（1）满足条件的最小数是多少？（2）200以内满足条件的所以数分别是多少？4、如果某数除482、992、1094都余74，这个数最大是多少？☆☆提高题1、360360360除以99的余数是多少？2、计算249×388×234除以19，余数是几？3、49015×81364—83778＋10除以9的余数是多少？4、一个自然数被7、8、9除的余数分别是1、2、3，并且三个商的和是570，求这个自然数。
5、一筐苹果，三三数之余一，四四数之余三，五五数之不足一，这筐苹果最少有几个？6、一个三位数除以4余1，除以7余3，这个三位数最小是多少？7、有一个数除以3余1，除以4余2，这个数除以12，余数是多少？☆☆☆竞赛题1、4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为103，135，163，128．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？2、一个数除551、745、1133、1327这四个数，余数都相同，问：这个数最大可能是多少？2、1425除以11的余数是多少？余数问题能力达标卷答案解析☆基础题1、答案：71个解析：根据题意知这筐苹果的总个数是2、5、7的公倍数＋1，[2，5，7]＝7070＋1＝71（个）答：这筐苹果最少有71个。
2、答案：196人解析：此题的条件可以转化为：每组5人则少4人，每组6人则少4人，每组7人则少4人，参加座谈会的人数是5、6、7的公倍数—4，[5，6，7]＝210210—4＝196（人）答：参加座谈会的人数至少196人。
3、答案：（1）30；（2）3个解析：（1）先考虑除以9余3的最小的数是：9×1＋3＝12，依次加9的倍数直到找到符合条件除以7余2为止，12＋9＝21,21÷7＝7，21＋9＝30，30÷7＝4……2，所以满足条件的最小数是30。
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小升初数学典型题练习：余数问题
小升初数学是考试的必考科目，因此大家要认真备考小升初数学，复习完小升初数学知识点后大家要及时的做练习题进行巩固，下面为大家分享小升初数学典型题练习，希望大家认真做复习题！
★【口诀】★
余数有(N-1)个，最小的是1，最大的是(N-1)。
周期性变化时，不要看商，只要看余。
PS【例题讲解】
如果时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是几点钟?
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技
巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
分针旋转一圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生
的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?1980/24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22个圈，
分针向前旋转22个圈相当于时针向前走22个小时，
时针向前走22小时，也相当于向后24-22=2个小时，即相当于时针向后拔了2小时。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话
空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
即时针相当于是18-2=16(点)。
小编寄语：
中国古代剩余定理：我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题(即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正月半，除百零五便得知.”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定
理”(ChineseRemainderTheorem)，是我国古代数学的一项辉煌成果。
诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘。
五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘。
七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘。
除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数。
此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求。