第四讲 对数与对数函数(教师版)
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为什么叫对数？
指数跟对数关系是什么？
一、对数的定义
一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b
=，那么数 b 叫做 以a 为
底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
特别提醒：
1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N 的常用对数
N 10log ， 简记作：lg N 。 例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。 如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
二、对数运算性质：
如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：
log ()log log a a a MN M N =+log log log
a a a M
M N N
=- log log () n a a M n M n R =∈
特别提醒：
1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如[]2log (3)(5)--是存在的，但[]
222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。
2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==；
对数与对数函数
三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m N
N a a m m N a
=≠≠>>>
两个常用的推论: （1）1log log =⋅a b b a
（2）1log log log =⋅⋅a c b c b a
四、两个常用的恒等式：
N a N a =log ，
log log m n a a n
b b m
=
()0,1,0,0a a b N ≠>>> 五、对数函数的定义：
函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。 六、对数函数的图像和性质：
a >1 01a <<
图 像
性 质
定义域：()0,+∞
值域：R
过点()1,0，即当1x =时，0y =
)1,0(∈x 时，0
)1,0(∈x 时，0>y ；),1(+∞∈x 时，0 在()0,+∞上是增函数 在()0,+∞上是减函数 七、比较对数值的大小，常见题型有以下几类： 1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论； 2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较； 3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。 八、对数不等式的解法： ()()()()()()()()()() 1 log log 0 01log log 0a a a a f x g x a f x g x f x f x g x a f x g x f x >⎧>>⎨>⎩ <⎧<<>⎨>⎩ 当时，与同解。当时，与同解。 九、对数方程常见的可解类型有： 形如()()()()() log log 01,0,0a a f x g x a a f x g x =>≠>>且的方程，化成 ()()f x g x =求解； 形如()log 0a F x =的方程，用换元法解； 形如()()log f x g x c =的方程，化成指数式()()c f x g x =⎡⎤⎣⎦求解 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。 （20-40分钟） 指数幂的运算性质 【典题导入】【亮点题】 例1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)3x ＝127； (2)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫14x ＝64； (3)5－ 1 2 ＝15； (4)2 log 4＝4； (5)lg0.001＝－3; (6)21 log (21)-+＝－1. 【方法提炼】 考点1 【小试牛刀】 练习1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)e 0 ＝1； (2)(2＋3)－1 ＝2－3； (3)log 327＝3； (4)log 0.10.001＝3. 对数基本性质的应用 【典题导入】【亮点题】 例2：求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； 【方法提炼】 【小试牛刀】 练习2：已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值． （20-40分钟） A 1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －1 2 等于( )