第四讲 对数与对数函数(教师版)
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
解(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.
(2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2.∴x=102=100.
(3)由3lo g 3 √ =9 得√=9,解得 x=81.
规律方法
1
2
在对数的运算中,常见的对数的基本性质有:(1)负数和零没有对数;
1
解(1)log24=-2.
(2)log10100=2,或 lg 100=2.
(3)loge16=a,或 ln 16=a.
1
3
-
(4)64 =
1
.
4
(5)xz=y(x>0,且 x≠1,y>0).
探究点二 利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
学以致用•随堂检测全达标
1.将log5b=2化为指数式是( C )
A.5b=2 B.b5=2
C.52=b D.b2=5
2.已知ln x=2,则x等于(
A.±2
B.e2
C.2e
)
D.2e
答案 B
解析 由ln x=2,得e2=x,即x=e2.
3.(多选题)下列选项中,可以求对数的是(
A.0
B.-5 C.π
)
D.7
答案 CD
解析 根据对数的定义可知0和负数没有对数,所以选项A,B没有对数,π>0,
选项C有对数.又7>0,所以选项D有对数.
4.已知a=log23,则2a=
.
答案 3
解析 由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
对数与对数函数(教案)
对数与对数函数一、知识讲解考点1对数的概念及其运算性质（1）对数的概念：b a ＝N （a ＞0, a ≠1）N b a log =⇒（2）对数的性质： ①负数与零没有对数； ②，；③对数恒等式：．（3）对数的运算：①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnMa na m log log =01log =a 1log =a a log a N a N=④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）考点2对数函数（1）对数函数定义：形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数． （2）对数函数的图象与性质二、例题精析【例题1】求下列各式的值：（1）； （2）； （3）；（4）．【解析】（1）.（2）.（3）.()352log 24⨯5log 125lg 32lg 21lg1.2+-22log log ()3535222log 24log 2log 4⨯=+235log 435213=+=+⨯=3555log 125log 53log 53===lg32lg 21lg3lg 41lg1.2lg1.2+-+-=lg1.21lg1.2==（4）.【例题2】求下列各式的值． （1）35log 5＋2log 221－501log 5－14log 5；（2）6log 4log 1836＋log 263． 【解析】（1）35log 5＋2log 221－501log 5－14log 5 ＝35log 5－2log 2＋50log 5－14log 5 ＝)145035(log 5÷⨯－１＝355log －１＝2． （2）6log 4log 1836＋log 263＝18log 2log 66⋅＋log 263＝)3log 22(log 2log 666+⋅＋log 263 ＝3log 3log 22log 6626⋅+＋log 263 ＝266)2log 3(log +＝1．提示：灵活运用对数的运算性质、换底公式进行对数式的转化，是对数学习的重点，需进行反复训练，熟能生巧．【例题3】已知 ，, 用, 表示．【解析】因为，所以， 所以 ．22log log2log =22log log 42===2log 3a =3log 7b =a b 42log 562log 3a =31log 2a=2333423333log (79)log 7log 3log 63log (237)log 2log 3log 7⨯+==⨯⨯++22111b ab a ab a b a++==++++【例题4】计算（1）；（2）【解析】（1）原式． 或 原式． （2）原式．【例题5】（1）设410=a ，5lg =b ，求b a -210的值． （2）1052==b a ，求ba 11+的值． （3）设3log 22=x ，求xx xx --+-222233的值．【解析】（1）由5lg =b ，得510=b，∴ba -210＝51610102=b a ．（2）∵1052==b a ， ∴a ＝10log 2,b ＝10log 5， ∴15lg 2lg 11=+=+ba ． （3）由3log 22=x ，得3log 2=x ，∵ N a Na=log，∴xx xx --+-222233＝6131331931333133=+-=+-． 提示：对数的运算性质和换底公式都是根据对数的定义及对数与指数的关系推导，灵活进行指数、对数之间的的转化，可以帮助我们解决对数式的求值、化简和等式证明． 【例题6】427125log 9log 25log 16⋅⋅483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-lg 9lg 25lg16lg 4lg 27lg125=⨯⨯2lg32lg54lg 282lg 23lg33lg59=⨯⨯=23524log 3log 5log 233=⋅⋅89==2233111(log 3log 3)(log 2log 2)232+⋅+25log 24+53556242=⨯+=求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）由得，所以函数的定义域是；（2）由，得， 所以函数的定义域是． （3）由 得，所以，函数的定义域是． 【例题7】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. 【解析】记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ， ∴a 的取值范围是)3,3(-；（2）由u 21log 的值域为R ，即)(x g u =能取遍),0(+∞的一切值．)(x g u = 的值域为),,0(),3[2+∞⊇+∞-a∴命题等价于33032min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或，0.2log (4)y x =-71log 13y x=-y =40x ->4x <0.2log (4)y x =-(,4)-∞130x ->13x <71log 13y x =-1{|}3x x <2log (43)0x -≥431x -≥1x≥y =[1,)+∞∴a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ ；（3）命题等价于“),1[0)(+∞-∈>=x x g u 对恒成立”，应按)(x g 的对称轴a x =0分类，∴ ⎩⎨⎧<<--≥⎩⎨⎧->-<⇒⎩⎨⎧<-=∆-≥⎩⎨⎧>--<33121012410)1(12a a a a a a g a 或或， ∴a 的取值范围是)3,2(-；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式0322>+-ax x 的解集为}31|{><x x x 或， ∴ 3,121==x x 是方程0322=+-ax x 的两根， ∴ ,2322121=⇒⎩⎨⎧=⋅=+a x x ax x 即a 的值为2；（5）函数的值域为]1,(--∞，即)(x g 的值域为),2[+∞， ∵)(x g 的值域是),3[2+∞-a ，∴命题等价于123)]([2min ±=⇒=-=a a x g ； 即a 的值为±1； （6）命题等价于：⎩⎨⎧>≥=⇔⎩⎨⎧-∞∈>-∞0)1(1]1,(0)(]1,()(0g a x x x g x g 恒成立对为减函数在， 即⎩⎨⎧<≥21a a ，得a 的取值范围是)2,1[.三、课堂运用【基础】 1.填空：（1）－ ； （2） － ；（3） ； （4）=3+2log 32）（－. 【答案】（1）1；（2）－1； （3）2；（4）－1.2log 62log 3=3log 53log 15=551log 75log 3+=2．计算：（1）14；（2）. 【解析】（1）原式.或原式； （2）原式.【巩固】3．已知，试用表示．【解析】因为，所以， 所以． 4．（1）已知a =3log 2，b =7log 3，用a ，b 表示56log 42；（2）已知log ,6log ,3log ,2===c b a x x x 求x abc log 的值． 【解析】（1）log 5642＝42lg 56lg ＝3lg 2lg 7lg 2lg 37lg +++， 又∵,3lg 2lg ,3lg 7lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ab b a ==⇒== ∴ log 5642＝131133lg 3lg 3lg 3lg 33lg +++=+++=+++a ab ab ab a b a b a b ． （2）∵a ＝x 2，b ＝63,x c x =，∴ 111log log 632==++x x x abc ． lg -2lg18lg 7lg 37-+2lg 2lg32lg 0.362lg 2+++2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=0=27lg14lg()lg 7lg183=-+-2147lg 7()183⨯=⨯lg10==2lg 2lg32lg3622lg 2+=+-+2lg 2lg314lg 22lg32+==+3log 12a =a 3log 24333log 12log (34)12log 2a =⨯=+=31log 22a -=333log 24log (83)13log 2=⨯=+1311322a a --=+⨯=5．比较下列各组数中两个数的大小：（1），； （2），； （3），，． 【解析】（1）对数函数在上是减函数，于是；（2）因为，，所以；（3）因为，，而， 所以． 【拔高】6．求值（n n 3log 27log 9log 3log 2842++++ ）n 32log 9；【解析】 ∵ ,3log 3log 22=nn∴ 原式＝25=2log 3log =32log 3log 532922nn ．7．已知11log )(--=x mxx f a是奇函数（其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.【解析】（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a a对定义域内的任意x 恒成立，0.5log 1.80.5log 2.17log 56log 72log 34log 5320.5log y x =(0,)+∞0.5log 1.8>0.5log 2.766log 7log 61>=77log 5log 71<=6log 7>7log 524log 3log 9=43log 82=444log 5log 8log 9<<4log 532<<2log 3∴10)1(11122222±=⇒=-⇒=--m x m xx m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）11log )(-+=x x x f a，∴定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 11log )(-+=x x x f a ＝)121(log -+x a ， 1>a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； 10<<a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是增函数；另解：设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， ∵0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-x x x x x x x x x g x g ， ∴)()(12x g x g <，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ， ∵ 01≠-y a ，∴0≠y ；)10,0(11)(1≠>≠-+=-a a x a a x f x x 且．（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数， ∴ 命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a ， 解得32+=a .提示：函数的性质综合问题，需要准确把握定义域、值域、奇偶性、单调性、反函数等概念，充分运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，灵活运用通性通法．四、课程小结（1）对数函数与指数函数的关系对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）是指数函数xa y =)1,0(≠>a a 且的反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称． （2）对数函数图象特征1,0≠>a a 时，)(log x y a -=与x y a log =的图象关于y 轴对称；x x x y a aalog 1log log 1-===，x y a1log =与x y a log =的图象关于x 轴对称； 对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴，当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）．（3）利用对数函数比较大小问题的处理方法： ①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量． 零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．五、课后作业【基础】1.把下列各题的对数式写成指数式：（1）27log =5x ：___ _____ (2) 7log =8x ： ____ _____ (3) 3log =4x ： ___ _____ （4）31log 7=x ：___ _____ (5)log 241=-2： ___ _____ (6)log 3811=-4：___ _____ 【答案】（1）27=5x ； (2) 7=8x ； (3) 3=4x ；（4）31=7x； (5)41=22－； (6)811=34－．2.计算下列各式的值 （1）；（2）．【解析】（1）原式． 83log 9log 32⨯272log 9+lg9lg32lg8lg3=⨯2lg35lg 23lg 2lg3=⨯103=（2）原式． 3.函数x a y +=1 (0＜a ＜1)的反函数的图象大致是（）（A ）（B ）（C ）（D【答案】 C4.已知＝，＝，求下列对数的值(精确到小数点后第四位)（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）0.7781；(2) 0.1761； （3）1.5050.5.比较下列各题中两个值的大小：（1）5log ,9log 76； （2）6.0log ,log 23π；（3）7.0log ,7.0log 32；【解析】（1）1>9log 6，1<5log 7，∴5log >9log 76；（2）0>log 3π，0<6.0log 2，∴6.0log >log 23π；（3）0<2log <3log 7.07.0，∴7.0log =2log 1>3log 1=7.0log 27.07.03．【巩固】1.求下列函数的定义域：233log 922log 273=+=+=83lg 20.3010lg 30.4771lg 63lg 2lg 32lg 6lg 2lg3=+=3lg lg 3lg 22=-=lg325lg 2==（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）由得，所以函数的定义域是．（2），且，解得且，所以函数的定义域是且． （3）， 得 或， 所以函数的定义域是．2．将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（）A. ()11log 2+-=x yB. ()11log 2--=x yC. ()11log 2++=x yD. ()11log 2-+=x y【答案】B3.计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅. 【解析】分子＝3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++； 分母＝41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴ 原式＝43. 4．（1）已知36log ,518,9log 3018求==b a 值.log a y =(0,1)a a >≠21log y x=2(21)log (23)x y x x -=-++10x ->1x>log a y =(0,1)a a >≠{1}x x >2log 0x ≠0x >0x >1x ≠21log y x={0x >1x ≠}2210211230x x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪-++>⎩112x <<13x <<2(21)log (23)x y x x -=-++1(,1)(1,3)2（2）已知a =++-)12(log )122(log 27，求)12(log )122(log 27-++．【解析】（1）518=b ，∴,5log 18b = ∴ab a b -+-=-+-+=++=22)2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830. （2）∵ )12(log )122(log 27++- ＝a =--+-)12(log )122(log 127 ∴a -=-++1)12(log )122(log 27．【拔高】1．若132log >a，则a 的取值范围是（）A ．231<<aB ．23110<<<<a a 或C ．132<<aD ．1320><<a a 或 【答案】C ．2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]【答案】D【解析】∵函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，即)2(xf y =中的4≤2≤2x ； 再由4≤log ≤22x ，得16≤≤4x ，∴函数)(log 2x f y =的定义域为[4，16]． 3．求函数)32(log 221-+=x x y 的单调递增区间．【答案】），－－3∞( 4．函数)+(log =221a ax x y －在]2,(-∞上是增函数，求实数a 的取值范围.【解析】 因为对数的底为21，问题转化为在]2,(-∞上0>+2a ax x －， 且a ax x x u +=)(2－在]2,(-∞上是减函数． 于是有2≥2a ，且0>+22=)2(2a a u －． 所以2+22<≤22a 即为所求实数a 的取值范围．。
对数及对数函数教案8篇
写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。
对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。
2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。
3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。
2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。
三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。
2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。
2对数函数性质的初步应用。
教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。
对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。
它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。
将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。
其理论依据为建构主义学习理论。
它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数本章总结提升课件北师大版必修第一册
y=g(x)是函数y=f(x)的相关函数.
(1)当a=1时,解关于x的不等式f(x)<1;
(2)对任意的x∈[0,1],f(x)的图象总在其相关函数图象的上方,求实数a的取
值范围.
+ 1 > 0,
解(1)依题意,
log 3 ( + 1) < 1,
则 > -1, 解得-1<x<2,
+ 1 < 3,
C.alogbc<blogac
D.logac<logbc
答案 (1)C (2)C
解析 (1)根据题意,函数 f(x)=log 1 x 在(0,+∞)上为减函数,又由
3
0<log52<log32<1<20.2,则 f(20.2)<f(log32)<f(log52),即 c<a<b.故选 C.
(2)对于选项 A,考虑幂函数 y=xc,因为 c>0,所以 y=xc 为增函数,又 a>b>1,所以
(3)若f(x)>0,求x的取值范围.
10 + > 0,
解(1)要使函数有意义,则
10- > 0,
>
-10,
得
即-10<x<10,
< 10,
所以函数的定义域为(-10,10).
(2)函数的定义域关于原点对称,
则f(-x)=loga(10-x)-loga(10+x)=-[loga(10+x)-loga(10-x)]=-f(x),
即函数f(x)是奇函数.
(3)若f(x)>0,
则f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)>0,
《 对数与对数函数》课件
1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。
4.3.2对数的运算课件(人教版)
(2).log a
N log a N
(3).log a ( MN ) log a M log a N
(4).log a M (log a M )
n
n
范例应用
1．计算log510－log52等于(
)A．log58 B．lg 5C．1
D．2
C
解析：log510－log52＝log55＝1.
＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
范例应用
解：
(3)原式=
1.8
21.8
1
=
2
（2+9−10）
1
2
1.8
=
18
10
21.8
=
范例应用
1．利用对数性质求值的解题关键是化
异为同，先使各项底数相同，再找真数间
范例应用
2．log23·log32＝
________.
解析：
log23·log32＝1.
范例应用
1
32
计算下列各式的值：(1) −
2
49
4
8 + 245
3
2
(2)5 +
2
8
3
+ 5 ∙ 20 + 2
2+3− 10
(3)
1.8
2
范例应用
解：
7
5
(2)
lg 5 100 .
讲授新知
探究
你能根据对数的定义推导出下面
的换底公式吗？
log c b
a 0, 且a 1; c 0, 且c 1; b 0.
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数1对数的概念课件北师大版必修第一册
【对点练习】❶ 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；(2)102＝100；
1
(3)42＝2；(4)log132＝－5．
2
[解析] (1)log416＝2 ． (2)lg 100＝2．
(3)log42＝12．
(4)21－5＝32．
题型二
对数基本性质的应用
例 2求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1； (3)lg(ln x)＝1； (4)lg(ln x)＝0． [分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答．
【对点练习】❷ 求下列各式中 x 的值：
(1)x＝log116； 2
(2)log8x＝－13；
(3)log( 2 －1)
1 3＋2
2＝x．
[解析] (1)∵x＝log2116，∴12x＝16， 即 2－x＝24．∴－x＝4，即 x＝－4．
(2)∵log8x＝－13，∴x＝8－13＝318＝12．
5．若ln e－2＝－x,则x＝____2_． [解析] 由题意可知e－2＝e－x,故x＝2．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
对数的定义
例 1 (1)在对数式 y＝log(x－2)(4－x)中，实数 x 的取值范围是 ___2_＜__x_＜__4_且__x_≠__3____．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log 5125＝6．
第四章 对数运算与对数函数
§1 指数幂的拓展
【素养目标】 1．能结合指数幂解对数的相关概念,常用对数、自然对数．(数 学抽象) 3．能结合教材中的例题掌握指数与对数的互化、简单的求值．(数 学运算)
新教材高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数 对数函数的概念课件北师大版必修第一册
基础知识
知识点1 对数函数 1．定义：给定正数a,且a≠1,对应每一个正数y,都存在唯一确定的实
数x,使得y＝ax．则______是_x_____的函y 数,称为以a为底的对数函数,记作x ＝logay．一般写成____________y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_且．a≠1)
2．性质：(1)定义域是(0,＋∞)；(2)图象过定点(1,0)； 3．特殊的对数函数： 常用对数函数：y＝lg x；自然对数函数：y＝ln x．
[解析] (1)要使函数有意义，需 22－x－x1＞＞00，，且2x－1≠1，即xx＞＜122，. 且x≠1， ∴12＜x＜2，且 x≠1， 故函数的定义域为x21＜x＜2，且x≠1．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，即33－－xx≤＞e02， 解得 3－e2≤x＜3，故函数的定义域为{x|3－e2≤x＜3}．
[归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中,a＞0且a≠1． (2)在解析式y＝logax中,logax的系数必须为1,真数必须为x,底数a必须 是大于0且不等于1的常数．
【对点练习】❶ 指出下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝5x； ②y＝－log3x； ③y＝log0.5 x； ④y＝log3x；
思考：为什么对数函数的图象过定点(1,0)? 提示：因为x＝1时,y＝loga1＝0．
知识点2 反函数 指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数,对数函数y＝logax也是指
数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数．
基础自测
1．下列函数是对数函数的是
(D)
A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0,且a≠1) C．y＝logax2(a＞0,且a≠1) D．y＝ln x
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为什么叫对数？指数跟对数关系是什么？一、对数的定义一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
特别提醒：1、对数记号log a N 只有在01a a ≠且>，0N >时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①log 10a =；②log 1a a =。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便, N 的常用对数N 10log ， 简记作：lg N 。
例如：10log 5简记作lg 5 5.3log 10简记作lg 3.5。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e 为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log ，简记作：ln N 。
如：3log e 简记作ln 3；10log e 简记作ln10。
二、对数运算性质：如果 0,1,0,0,a a M N n R ≠∈>>> 有：log ()log log a a a MN M N =+log log loga a a MM N N=- log log () n a a M n M n R =∈特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。
如[]2log (3)(5)--是存在的，但[]222log (3)(5)log (3)log (5)--=-+-是不成立的。
2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg 2lg101+==；对数与对数函数三、对数的换底公式及推论： 对数换底公式：()log log 0,1,0,1,0log m a m NN a a m m N a=≠≠>>>两个常用的推论: （1）1log log =⋅a b b a（2）1log log log =⋅⋅a c b c b a四、两个常用的恒等式：N a N a =log ，log log m n a a nb b m=()0,1,0,0a a b N ≠>>> 五、对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。
六、对数函数的图像和性质：a >1 01a <<图 像性 质定义域：()0,+∞值域：R过点()1,0，即当1x =时，0y =)1,0(∈x 时，0<y ；),1(+∞∈x 时， 0>y)1,0(∈x 时，0>y ；),1(+∞∈x 时，0<y在()0,+∞上是增函数在()0,+∞上是减函数七、比较对数值的大小，常见题型有以下几类：1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。
八、对数不等式的解法：()()()()()()()()()() 1 log log 0 01log log 0a a a a f x g x a f x g x f x f x g x a f x g x f x >⎧>>⎨>⎩<⎧<<>⎨>⎩当时，与同解。
当时，与同解。
九、对数方程常见的可解类型有：形如()()()()()log log 01,0,0a a f x g x a a f x g x =>≠>>且的方程，化成()()f x g x =求解；形如()log 0a F x =的方程，用换元法解；形如()()log f x g x c =的方程，化成指数式()()cf xg x =⎡⎤⎣⎦求解指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
（20-40分钟）指数幂的运算性质【典题导入】【亮点题】例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝127；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝64； (3)5－12 ＝15；(4)2log4＝4；(5)lg0.001＝－3; (6)21log(21)-+＝－1.【方法提炼】考点1【小试牛刀】练习1：将下列指数式与对数式进行互化． (1)e 0＝1；(2)(2＋3)－1＝2－3； (3)log 327＝3； (4)log 0.10.001＝3.对数基本性质的应用【典题导入】【亮点题】例2：求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1；【方法提炼】【小试牛刀】练习2：已知log 2(log 3(log 4x ))＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值．（20-40分钟）A1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A ．13B ．123C ．122D ．1332．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103D ．3103．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝a ＋3b －c B ．x ＝3ab5cC ．x ＝ab 3c5D ．x ＝a ＋b 3－c 34．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．33B ．3C ．19D ．95．e ln3－e －ln2等于( )A ．1B ．2C ．52D ．3B1．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 2．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝________. 3．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝________.4. (1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m＋n的值；(2)设x ＝log 23，求22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x 的值． 5. 已知log a x ＋3log x a －log x y ＝3(a ＞1)． (1)若设x ＝a t ，试用a 、t 表示y ；(2)若当0＜t ≤2时，y 有最小值8，求a 和x 的值．C1、使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．0＜a ＜12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜122、已知x 、y 为正实数，则下列各式正确的是( ) A ．2lg x ＋lg y 2＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2(lg x ·lg y )＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y3、若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( )A ．2a ＋b 1－a ＋bB ．2a ＋b 1＋a ＋bC ．a ＋2b 1－a ＋bD ．a ＋2b1＋a ＋b4、．log 52·log 425等于( ) A ．－1 B ．12C ．1D ．25、化简log 1a b －log a 1b 的值为( )A ．0B ．1C ．2log a bD ．－2log a b（5分钟）1．已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是下图中的( )2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x3．函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( ) A ．x ＝2－y B ．x ＝y －2 C ．y ＝2－x ，x ∈RD ．y ＝x －2，x ∈R4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e5．函数y ＝log 2(4x －x 2)的递增区间为________．答案部分例1(1)log 3127＝x .(2) log 14 64＝x .(3)log 515＝－12.(4)(2)4＝4. (5)10－3＝0.001. (6)(2－1)－1＝2＋1. 练习1答案：(1)ln1＝0.(2)2log ＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.例2解析：(1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝1，∴x ＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000. 答案：（1）x ＝5.（2） x ＝1 000. 练习2答案：80 A1.答案：C2.答案：B3.答案：C4.答案：C5.答案: C B1.答案：-32.答案：2－33.答案：2＋a4.答案：(1)12.(2)103. 5.答案：(1)y ＝at 2－3t ＋3(t ≠0)． (2)a ＝16，x ＝64. C1.答案： B2.答案：A3.答案：A4.答案：C5.答案:A优能测1.答案：B2.答案：D3.答案：D4.答案：C5.答案: (0,2]。