高中数学 涉及函数的实际应用问题研究(教师版)
高中数学教案应用函数解决实际问题
高中数学教案应用函数解决实际问题高中数学教案：应用函数解决实际问题引言：数学是一门抽象而深奥的学科，然而，它在解决现实生活中的实际问题中扮演着重要的角色。
高中数学教育的目标之一就是培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本教案将介绍如何通过应用函数的方法来解决实际问题，帮助学生深入理解数学在现实生活中的应用。
一、案例一：汽车行驶里程与燃油消耗的函数关系在汽车行驶过程中，燃油的消耗与行驶里程之间存在着一定的函数关系。
我们通过一个示例来进行分析。
假设一辆汽车的燃油消耗与行驶里程之间满足线性关系，即燃油消耗量与行驶里程成正比。
设汽车行驶里程为x公里，燃油消耗量为y 升。
已知当行驶里程为0时，燃油消耗量为10升；当行驶里程为100公里时，燃油消耗量为30升。
现在我们需要建立这两者之间的函数关系。
1. 首先，我们可以通过观察两个数据点得到直线的斜率k。
斜率表示单位行驶里程对应的燃油消耗量的增量。
设两个数据点为A(0,10)和B(100,30)，则斜率k=(30-10)/(100-0)=20/100=0.2。
2. 接下来，我们可以通过求解线性函数的截距b来确定具体的函数关系。
由直线的点斜式可知，直线的方程为y=kx+b。
代入已知点A(0,10)，可得10=0+10b，解得b=1。
所以，线性函数的表达式为y=0.2x+1。
通过这个函数表达式，我们可以预测在行驶特定的里程时所需要的燃油消耗量。
二、案例二：商业利润的函数模型商业活动中，利润通常与销售额之间存在着一定的函数关系。
我们以一家零售商店为例进行分析。
假设该商店的利润与销售额之间满足二次函数关系，即利润与销售额的平方成正比。
设销售额为x万元，利润为y万元。
已知当销售额为1万元时，利润为4万元；当销售额为2万元时，利润为16万元。
现在我们需要建立这两者之间的函数关系。
1. 通过观察两个数据点，我们可以得到二次函数的相关参数。
设两个数据点为A(1,4)和B(2,16)。
高中生函数研究性课题研究报告
高中生函数研究性课题研究报告高中生函数研究性课题研究报告摘要：本研究旨在探究函数的基本概念、性质以及在实际生活中的应用。
通过对函数定义、图像、性质等方面的深入研究，我们得出了一些结论。
通过此研究，我们提高了对函数的理解，增强了数学思维能力，培养了实践应用数学知识的能力。
一、引言函数作为数学的一门基础理论，其在实际生活中的应用非常广泛。
在我们学习过程中，我们常常接触到各种函数，如一元一次函数、二次函数、正弦函数等。
通过学习函数，我们能够更好地了解数学，提高数学思维，同时也对实际问题的分析与解决有着重要的作用。
二、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一个用来将一个集合的每一个元素（叫函数的自变量或自变量值）对应到另一个集合的一个元素的规则。
2. 定义域与值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是函数所有可能的结果的集合。
3. 函数图像：函数的图像是指函数在坐标系中的表示，横坐标为自变量取值，纵坐标为函数对应的因变量值。
三、函数图像的性质1. 奇偶性：函数若满足f(x) = f(-x)（对所有x∈定义域），则称这个函数为偶函数；若满足f(x) = -f(-x)（对所有x∈定义域），则称这个函数为奇函数。
2. 单调性：函数若满足对于任意的x1 < x2，有f(x1) <f(x2)（递增）或者f(x1) > f(x2)（递减），则称这个函数为单调函数。
3. 极值点：函数在定义域内某一点f(x0)处的函数值为f(x0)，若存在ε > 0，使得当x≠x0时，有f(x) < f(x0)（或f(x) > f(x0)），则称f(x0)是函数的一个极值点。
四、函数在实际生活中的应用1. 函数在物理学中的应用：物体的运动、速度、加速度等问题中运用了函数的概念与相关计算。
2. 函数在经济学中的应用：经济学中的供求关系、价格变化等也需要使用函数的概念与相关计算。
五、结论和启示通过本次研究，我们对函数的定义、图像、性质以及在实际生活中的应用有了更深入的理解。
2024春新教材高中数学3.4函数的应用(一)教学设计新人教A版必修第一册
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示函数的性质和图像，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（2）教学软件：教师运用教学软件，如数学建模软件、函数图像绘制工具等，辅助教学，使学生更好地理解函数的应用。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象四个方面展开。
首先，通过实际问题引入函数模型，培养学生从复杂问题中抽象出函数关系的能力，即数学抽象素养。学生需要能够识别实际问题中的数量关系，自主构建函数模型，从而培养其抽象思维能力。
其次，通过对实际问题进行数学建模，让学生学会如何用函数来描述现实世界中的变化规律，培养学生的数学建模素养。学生需要能够将现实问题转化为数学问题，运用函数理论知识进行分析，进而提高其解决实际问题的能力。
（3）学生可以利用在线函数图像绘制工具，自主探索函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（4）建议学生学习一些数学软件的使用方法，如MATLAB、Python等，掌握这些软件在函数分析和应用方面的功能，提高自己的实际问题解决能力。
内容逻辑关系
①函数应用的基本概念：
-重点词汇：函数、自变量、因变量、函数值、定义域、值域等。
选择几个典型的函数应用案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数应用的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用函数解决实际问题。
4.学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与函数应用相关的主题进行深入讨论。
《三角函数的应用(一)》示范课教学设计【高中数学人教】
第一课时 三角函数的应用（一）任务一、整体感知问题 1 你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期性现象？答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型：（1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动，摩天轮的运动等；（2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等；（3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化，生物钟，波浪，音乐等．已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等．任务二、新知探究1．问题研究1——简谐运动问题 2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性现象？弹簧振子的运动（如图1）．答案：振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子离开中心位置的位移s 与时间t 之间的函数关系，也可以用振子所受的回复力F 与时间t 之间的函数关系来刻画其运动过程中周期性现象．例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：mm ）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．图12．建模解模问题3 例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？答案：搜集数据，画散点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型——利用数据信息，求解函数模型．活动：教师或者学生画出散点图．问题4观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y 随时间t 的变化规律？答案：根据散点图（如图2），分析得出可以用y =A sin(ωt +φ)这个函数模型进行刻画． 问题5 由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？答案： 依据数据表和散点图，可得A =20，T =60s ，求得ω=3π10，然后将点（0，－20）的坐标代入解析式y =20sin(3π10t +φ)，解得φ=－2π+2k π，k ∈Z ，所以函数的解析式为y =20sin(3π10t －2π)，t ∈[0，+∞)． 教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数y =A sin(ωx +φ)，x ∈[0，+∞)表示，其中A >0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：图2表1A 就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 简谐运动的周期是2π=T ω，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 简谐运动的频率是π21ω==T f ，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx +φ称为相位；x =0时的相位φ称为初相.问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是什么？答案：振幅A ＝20mm ，周期T ＝53s ，频率f ＝35次，相位为3π10t －2π，初相为－2π． 3．问题研究2——交变电流例2 如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图3（2）．（1）求电流i 随时间t 变化的函数解析式；（2）当601,6007,1501,6001,0=t 时，求电流i ．4．建模解模问题7 观察图象，交变电流i 随时间t 的变化满足怎样的函数模型？其中每个参数的物理意义是什么？答案：由交变电流的产生原理可知，电流i 随时间t 的变化规律可以用i =A sin(ωt +φ)，t ∈[0，+∞)来刻画.其中A 为振幅，ωπ2为周期，ωt +φ为相位，φ为初相．问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？答案：由图可知，A =5，T =501s ，初始状态的电流为4.33A ． 解：由图3（2）可知，电流最大为5A ，因此A =5；电流变化的周期T =501s ，即ωπ2=501s ，解得ω=100π；再由初始状态（t =0）的电流约为4.33A ，可得sin φ=0.866，因此φ约为3π．所图3（1） 图3（2）以电流i 随时间t 变化的函数解析式是 π5sin(100π)[0,)3i t t =+∈+∞，． 当0=t 时，235=i ； 当6001=t 时，5=i ； 当1501=t 时，0=i ； 当6007=t 时，5-=i ； 当601=t 时，0=i ． 练习1 如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm ，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是).∞,0[∈),3cos(3++=t t l g s π （1）当l =25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad ）；（2）已知g =9.8m/s 2，要使沙漏摆动的周期是1s ，线的长度应当是多少（精确到0.1cm ）?解：（1）∵)3cos(3π+=t l g s ，∴可得s 的最大值为3． 设偏角为θ，可得最大偏角满足sin θ=253．利用计算器计算可得θ=0.1203rad ． 答：当l =25时，沙漏的最大偏角为0.1203rad ．（2）沙漏摆动的周期为1π2==lgT ，解得2)π2(g l =，故cm 8.2)π2(8.92≈=l ． 图4答：要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度l应当为24.8cm．任务三、归纳小结问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中，涉及哪些数学思想？答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．在本节课的学习中，涉及到数形结合思想和数学建模思想．。
高中数学教案：函数与导数在实际问题中的应用
高中数学教案：函数与导数在实际问题中的应用函数与导数在实际问题中的应用一、引言在高中数学教学中，函数与导数是一个重要的概念和技巧。
函数作为数学中最基本的概念之一，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
导数则是函数的重要属性，它可以描述函数在某一点处的变化率。
本文将探讨函数与导数在实际问题中的应用，包括优化问题、动态模型以及与相关概念的联系。
二、优化问题1. 线性规划问题线性规划是一个常见且重要的优化问题。
通过使用函数与导数的知识，可以求解线性规划问题中的最优解。
例如，在生产企业中，我们需要确定如何分配有限资源以获得最大利润。
这个问题可以转化为一个线性规划模型，并通过求解相关方程组来获得最优解。
2. 最小二乘法最小二乘法是回归分析中常用的方法之一。
它可以通过使用函数与导数来拟合数据点和曲线之间的关系。
例如，在市场调研中，我们常常需要找到最佳拟合曲线来预测销售趋势或者评估产品价格对销量的影响。
通过最小二乘法，我们可以找到最佳拟合曲线，并且通过导数求解相关方程来获得最优解。
三、动态模型1. 物理问题中的应用函数和导数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在机械运动中，通过描述位移、速度和加速度之间的关系，我们可以建立物体运动的数学模型。
函数和导数可以帮助我们计算物体在任意时刻的位置、速度以及加速度等重要参数，从而更好地理解物体在空间中的运动规律。
2. 经济问题中的应用函数与导数也能够帮助我们分析经济问题。
例如，在经济学中，利润函数是一个非常重要的概念。
通过对利润函数求导，我们可以计算出产量与利润之间的关系，并找到最大化利润时的生产量。
这对企业决策和资源配置具有重要意义。
四、与相关概念的联系1. 点斜式方程与导数点斜式方程是直线方程中常见形式之一。
它由直线上一点和其斜率确定。
通过使用导数，我们可以进一步研究点斜式方程与直线之间的关系。
例如，在空气动力学领域，通过导数可以计算出飞机的升力与速度之间的关系，从而优化设计飞机的性能。
高中数学中的多项式函数与实际问题的联系研究
高中数学中的多项式函数与实际问题的联系研究数学是一门抽象的学科，但它却与现实世界密切相关。
在高中数学中，多项式函数是一个重要的内容，它不仅有着广泛的应用，还能帮助我们解决实际问题。
本文将探讨高中数学中的多项式函数与实际问题的联系，并举例说明其应用。
多项式函数是由常数项、一次项、二次项等多个项组成的函数。
它的一般形式为：$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$，其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为常数，$n$为非负整数。
多项式函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在经济学、物理学、工程学等领域。
首先，我们来看一个经济学中的实际问题。
假设某个公司的销售额随时间的变化可以用一个二次函数来描述。
我们可以通过分析销售额与时间的关系，利用多项式函数来预测未来的销售情况。
通过对已有数据进行拟合，我们可以得到一个二次函数的模型，从而预测未来的销售额。
这个模型不仅可以帮助公司制定合理的销售目标，还可以帮助公司进行资源的合理配置，提高销售效益。
其次，多项式函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，当我们研究物体的运动时，可以利用多项式函数来描述物体的位置、速度和加速度与时间的关系。
通过对物体运动的观测和实验数据的分析，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测物体在未来的位置和速度。
这个模型不仅可以帮助我们理解物体的运动规律，还可以应用于工程设计和天体物理等领域。
此外，多项式函数还在工程学中有着重要的应用。
例如，在电路设计中，我们可以利用多项式函数来描述电流、电压和电阻之间的关系。
通过对电路的分析和实验数据的拟合，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测电路中的电流和电压。
这个模型不仅可以帮助我们优化电路设计，还可以应用于电力系统的规划和优化。
在实际问题中，多项式函数还可以用于解决一些优化问题。
例如，在工程设计中，我们经常需要在给定的条件下，寻找最大值或最小值。
高中数学问题解决教学研究——以函数教学为例
高中数学问题解决教学研究——以函数教学为例摘要：在高中数学教学实践中，函数是非常重要的内容。
整体优化高中数学的教学质量，不断提升高中数学的教学成效，科学提升学生的自主学习能力，教师应该着重提升学生的高中数学问题解决能力，不断优化学生的高中数学学习水平。
函数作为高中数学中的核心内容，直接关系着学生整个数学学习的质量与成效。
关键词：高中数学；问题解决教学；函数教学在高中数学的教学过程中，数学问题是非常重要的元素，也是学生进行数学学习的关键所在。
在高中数学问题教学实践中，教师有必要充分结合新课标的要求，全面突出学生的主体性地位，积极引导学生成为数学学习的主人。
同时，教师还应该结合学生的认知特点，巧妙科学的开展数学问题教学，以此来不断提升学生的数学学习成效。
特别是在函数教学过程中，作为高中数学的重中之重，学生只有在明确基础概念的基础上，积极优化自身的问题解决能力，掌握问题解决的方法和技巧，才能更有成效的开展函数学习，也才能更好的提升数学学习成效。
1数学问题解决的含义问题解决一般是指形成一个新的答案，超过过去所学规则的简单应用而产生的一个解决方案。
在新课改全面实施的今天，学生作为数学学习的主体，理应具备数学问题解决的能力和素养，只有这样，才能更好的投身于数学学习实践中，也才能更好的提升自身的数学学习成效。
在实践过程中，数学问题解决包括三个方面的内容。
第一，数学问题解决实际上是学生进行数学学习的关键，也学生必备的技能。
学生通过解决数学问题来获得数学学习的方法和技能，明确数学学习的重要性，提升自身的数学应用能力。
从这点来看，数学问题解决是学生的核心技能之一。
第二，数学问题解决实际上是一种教学工具。
教师引导学生来进行数学问题的解决，既能够帮助学生灵活运用所学知识，同时也能够迁移新的知识，继而整体完善学生的知识架构，更好的服务于学生的数学学习。
第三，数学问题解决还是一种艺术。
学生作为数学学习的主体，在数学问题的解决过程中，实际上是数学思维的一次升华，是数学思维的一次创造，极有可能迸发新的思维或者新的认知，继而达到灵活运用的目的。
函数思想在高中数学解题中的应用研究
函数思想在高中数学解题中的应用研究摘要：函数思想是数学思想中的重要内容，是指用函数概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略，在高中数学解题的过程中发挥着非常重要的作用。
高中数学教师将函数思想应用于解题练习中，会进一步提升高中生的解题能力。
为此，本文对函数思想在高中数学解题中的应用进行了研究，以供参考。
关键词：函数思想；高中数学；解题；应用前言：数学是高考中十分重要的考试科目，分值所占比例也比较大。
但高中数学知识复杂程度、抽象度等都较高，高中生学习起来会面临较大的阻力，所以一些高中生对于数学课程有畏难心理，同时也直接影响了他们的数学成绩。
教师通过将函数思想应用到数学题解答中，可以有效帮助高中生加深对数学知识的理解，并不断提升高中生的解题能力。
一、应用函数思想解答实际优化问题数学与生活有密切联系，数学知识可以良好解决许多生活问题。
但一些数学知识解答生活中的问题，需要高中生经过较为复杂的一个过程。
而一些数学知识解答生活中同样的实际问题，就可以十分简单。
比如，函数思想就可以将复杂的解题过程，进行高效优化。
并且，还会让实际生活问题加简单、系统，令高中生更快理解。
在实际生活中，存在许多量与量之间关系的问题。
如，路程方面的问题，需要考虑速度、路程、时间三个量之间的关系；生产方面的问题，需要考虑总数、价格、时间三者的关系。
其中价格方面的问题，又包括采购价格和售价，这些因素也都可以对应应用函数中的变量。
在数学试卷中，涉及实际优化问题的数学题也占有相当重的比重，教师指导高中生应用函数思想去解答，会更利于高中生提高解答问题的准确率。
在《函数的应用（一）》一课的讲解中，就涉及许多实际优化问题。
教师在提出问题后，就可以引入实际问题，来指导高中生应用函数思想来解答。
如：“距离甲船只正北方向200海里的位置，有船只乙，以每个小时40海里的速度，沿北偏西70度角的方向行驶，甲船只以每个小时20海里的速度向正北方向行驶。
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专题四：涉及函数的实际应用问题研究【题型导引】题型一：函数实际应用问题（1）一次函数的实际应用；（2）二次函数的实际应用；（3）一次与二次函数的综合应；（4）一次函数与反比例函数的综合应用。
题型二：方程、不等式与函数综合应用问题（1）反比例函数与分式的综合应用；（2）一次函数和方程的综合应用；（3）函数与不等式的综合应用；【典例解析】类型一：函数实际应用问题例题1：(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为km，大客车途中停留了min，a＝；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待分钟，大客车才能到达景点入口．【解析】(1)由图形可得学校到景点的路程为40km，大客车途中停留了5min，小轿车的速度为4060－20＝1(km/min)，a＝(35－20)×1＝15. 故答案为40，5，15.(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12(km /min )． 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km )，40－1257－15＝507(km )． 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507km . (3)设直线CD 的表达式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20， ∴直线CD 的表达式为s ＝t －20.当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107＝35(min )， 小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32(km /min )＝90 km /h ＞80 km /h . 答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：4012＝80(min )，80－70＝10(min )． 故答案为10.技法归纳：解答解决函数之间的综合题目时，结合题意进行审题后确定函数的类型是最关键的，已知量和未知量之间的关系式一次函数，反比例函数还是二次函数，往往题目中有所题型，这样我们就可以直接利用待定系数法写出解析式并根据相关条件解答，这一问题是基础也是关键，再根据后续的问题进行最值解答或者取值范围内的要求得到相应的答案.类型二：方程、不等式与函数综合应用问题例题2：（2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元．（1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解答】解：（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元，35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，57x y =⎧⎨=⎩， 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；（2）设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯（200﹣a ）只，费用为w 元，w ＝5a ＋7（200﹣a ）＝﹣2a ＋1400，∵a≤3（200﹣a），∴a≤150，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．技法归纳：(1)方程、不等式与函数实际应用问题需要掌握以下几个类型的问题：一、一次函数与方程或不等式的综合应用，这类属于高频命题形式，考查内容可以涉及多个，如一次函数图象信息题，一次函数方案选择类型问题等，结合二元一次方程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式；二、二次函数与方程或不等式的综合应用，包括销售利润类，与一次函数结合等类型．(2)命题中常常以方程或方程组，根据已知条件确定某个量，利用不等式或不等式组确定变量的取值范围，再根据函数的性质解答问题．(3)利用表格、图例、函数图象等手段，利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础，关于运用转化为方程、不等式或函数模型是解决问题的关键，把握数量间的内在联系，从整体着眼探索方法，从细微处思考争满分．【变式训练】1. （2019•浙江绍兴•8分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：1506035＝6千米；（2）设y＝kx＋b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得，∴，∴y＝﹣0.5x＋110，当x ＝180时，y ＝﹣0.5×180＋110＝20，答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝﹣0.5x ＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．2. (2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y (升)与行驶路程x (千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【解析】：(1)设该一次函数表达式为y ＝kx ＋b ，将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数表达式为y ＝－110x ＋60. (2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520， 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．3. (2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x ，y .①求y 关于x 的函数表达式；②当y ≥3时，求x 的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【解析】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3x. ②当y ≥3时，3x≥3，解得x ≤1，∴x 的取值范围是0＜x ≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x ＋y ＝3，∴x ＋3x＝3，整理得x 2－3x ＋3＝0. ∵b 2－4ac ＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x ＋y ＝5，∴x ＋3x＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0. ∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，∴方方的说法对．4. (2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天(1≤x ≤15，且x 为整数)每件产品的成本是p 元，p 与x 之间符合一次函数关系，部分数据如表：任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y (件)与x (天)满足如下关系：设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元．(1)直接写出p 与x ，W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？【解析】：(1)设p 与x 之间的函数关系式为p ＝kx ＋b ，代入(1，7.5)，(3，8.5)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7， 即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x ≤15，x 为整数)．当1≤x ＜10时，W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2＋16x ＋260.当10≤x ≤15时，W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x ＜10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x ≤15，x 为整数）. (2)当1≤x ＜10时，W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2＋324，∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324.当10≤x ≤15时，W ＝－20x ＋520，∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．(3)当1≤x ＜10时，令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13，当W ＞299时，3＜x ＜13.∵1≤x ＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x ≤15时，令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x ≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得160元奖金．5. (原创题)环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg /L .环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y (mg /L )与时间x (天)的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．(1)求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg /L ？为什么？【解析】：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10小时(2)∵点B (12，18)在双曲线y ＝k x上， ∴18＝k 12，∴k ＝216(3)当x ＝16时，y ＝21616＝13.5， 所以当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃6. （2019·贵州安顺·10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千元）与每千元降价x （元）（0＜x ＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y ＝kx ＋b当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140；∴， 解得：，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100；（2）由题意得：（60﹣40﹣x ）（10 x ＋100）＝2090，整理得：x 2﹣10x ＋9＝0，解得：x 1＝1．x 2＝9，∵让顾客得到更大的实惠，∴x ＝9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．7. （2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y ＝（x ≥1）交于点A ，且AB ＝1米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t ＝1时h ＝5，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．【解答】（1）由题意，点A（1，18）带入y＝得：18＝∴k＝18设h＝at2，把t＝1，h＝5代入∴a＝5∴h＝5t2（2）∵v＝5，AB＝1∴x＝5t＋1∵h＝5t2，OB＝18∴y＝﹣5t2＋18由x＝5t＋1则t＝∴y＝﹣当y＝13时，13＝﹣解得x＝6或﹣4∵x≥1∴x＝6把x＝6代入y＝y＝3∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3＝10（米）（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2＋18得t2＝解得t＝1.8或﹣1.8（负值舍去）∴x＝10∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y＝上此时，乙的坐标为（1＋1.8v乙，1.8）由题意：1＋1.8v乙﹣（1＋5×1.8）＞4.5∴v乙＞7.58. （2019▪贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx＋b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x＋40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x＋40）＝﹣x2＋50x＋400整理得w＝﹣（x﹣25）2＋225∵﹣1＜0∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．9. （2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．【解析】：（1）由题意得：，解得：．故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x＋700，（2）由题意，得﹣10x＋700≥240，解得x≤46，设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x＋700），w＝﹣10x2＋1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2＋4000，∵﹣10＜0，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w大＝﹣10（46﹣50）2＋4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w﹣150＝﹣10x2＋1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，x﹣50＝±5，x1＝55，x2＝45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．10. （2018•衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【解答】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2＋5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2＋5，得：25a＋5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2＋5（0＜x＜8）．（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2＋5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x＝0时，y＝﹣（x﹣3）2＋5＝．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2＋bx＋，∵该函数图象过点（16，0），∴0＝﹣×162＋16b＋，解得：b＝3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2＋3x＋＝﹣（x﹣）2＋．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．。