全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师5(理)
【试卷】2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(包括答案、教师评分标准)
2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.3522.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍 B ．2倍 C ．2.5倍D ．3.5倍9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点， 则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ）A ．23B ．12 C ．25D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．14．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）新高考取消文理科，实行“3+3”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表： 年龄（岁） [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考 不了解新高考 总计中青年 中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 18．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQ MN的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知()211f x x x =++-． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）参考答案1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x x x x=--=-+=-≤≤≤≤，{|21}B x x=-<≤，所以{|22}A B x x=-<≤．2．答案：C 解析：2i2i2i,1i1i1iz z=∴====---，公式：11121222,zzz z z zz z⋅=⋅=．3．答案：D 解析：因为70412212π≈，故选D．4．答案：B 解析：当0a≤时，1()f x axx=+在(2,)+∞上单调递减，当0a>时，1()f x axx=+在⎛⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a≥．5．答案：A 解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误．当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．答案：A 解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．答案：B 解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM并延长，交BC 于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则23BP BF GM FG ==， 12,233BP AQ BP ∴===，连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．13．答案：160- 解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭． 14 解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．答案：2或43 解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，由余弦定理得222244(22)788c c x a c +--=，整理得23840e e -+=，解得2e =或23e =（舍去）．250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分（2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅BF则cos sin ,n BF θ== ，所以直线BF 与平面AEF ………………………………………………12分 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =，当x⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x f x '>单调递增，故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立； 所以若要不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e---><<-<-<，32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分（2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±， 由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-， 则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQk k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-，则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦．若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQ MN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=；由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分 （2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12≤x x g x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（五）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|21}A x x x B x x =--=-<≤≤，则A B = （ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{|22}x x -<≤C ．{|21}x x -<≤D ．{|22}x x -≤≤1．答案：B解析：2{|20}{|(2)(1)0}{|12},{|21}A x x x x x x x x B x x =--=-+=-=-<≤≤≤≤≤， 所以{|22}A B x x =-< ≤． 2．i 是虚数单位，2i1iz =-，则z =（ ）A ．1B ．2CD ．2．答案：C解析：2i 2i 2i ,1i 1i 1i z z =∴====--- ，公式：11121222,z z z z z z z z ⋅=⋅=． 3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放．事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚．根据这次统计数据，若客人随机投放一根这样的针到白纸上，则落地后与直线相交的概率为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π3．答案：D解析：因为70412212π≈，故选D ． 4．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．答案：B解析：当0a ≤时，1()f x axx =+在(2,)+∞上单调递减，当0a >时，1()f x ax x =+在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭2，即14a ≥．5．下列命题中是真命题的是（ ）①“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件 ；②命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”；③数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x --- 的平均数是6；④当3a =-时，方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解．A ．①②④B ．③④C ．②③D ．①③④5．答案：A解析：①正确；②正确；③由()6E X =，可得(25)2()52657E X E X -=-=⨯-=，故错误． 当3a =-时，26a x y a -=即为963x y -=-，即3210x y -+=，所以方程组232106x y a x y a-+=⎧⎨-=⎩有无穷多解，④正确．6．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．答案：A解析：105445511551,1log log 2,log 2log 22a b c =>=>=>==<=，故a b c >>．7．在ABC △中，sin 1,2C BC AB ===ABC △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．4D7．答案：A解析：234cos 12sin ,sin 255C C C =-=-∴=；1,a c ==由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+- 即263105b b +-=，31(5)05b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，5b =，114sin 152225ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△． 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升．如图是一个这种商鞅铜方升的三视图，若x 是方程 1.352 2.35x x -=-的根，则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（ ） A ．1.5倍B ．2倍C ．2.5倍D ．3.5倍8．答案：C 解析：由 1.3522.35x x -=-，设 1.35t x =-，得21t t =-，作出函数2t y =和1y t =-的图象，可知0t =，即 1.35x =．俯视图的面积为1.3513(5.4 1.35)13.5⨯+⨯-=，正视图面积为5.4，所以俯视图的面积是正视图面积的2.5倍． 9．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为 （ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．答案：A解析：因为当[0,2]x ∈π时，2555x πππω+ωπ+≤≤，由()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点． 则265x ππω+<π5≤，解得1229510ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，． 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．10．答案：C解析：设221122(2,),(2,)A t t B t t ，12t t ≠，由24x y =，得2xy '=，所以切线12,l l 的斜率分别为11k t =，22k t =， 所以21111:(2)l y t t x t -=-，即211y t x t =-，同理2222:l y t x t =-，联立2112223y t x t y t x t y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，得12123x t t y t t =+⎧⎨==-⎩，22121212222ABt t t tk t t -+==-，21211:(2)2AB t t l y t x t +-=-，即12122t t y x t t +=-，即1232t t y x +=+，即直线AB 恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4． 解法二：不妨设(0,3)P -，设切线方程为3y kx =-，将其代入24x y =，得24120x kx -+=， 则216480k ∆=-=，解得k =，当k =2120x -+=，解得x =故A ,同理可得(B -，所以直线AB 的方程为3y =，直线AB 过圆心(0,3)， 则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4．11．对于函数()f x ，若12,x x 满足1212()()()f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点” ．若实数a 与b 和a b +与c 为函数()3x f x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-11．答案：D解析：a 与b 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以333a ba b +=+=≥，故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．又a b +与c 为函数()3x f x =的“线性对称点”，所以3333abca b c++++=，所以33314313131313a b a b ca b a b a b +++++===+---≤，从而c 的最大值为334log log 413=-．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形11,ABCD BCC B 的中心．平面1D MN 将正方体分割为两个多面体，则点C 所在的多面体与点1A 所在的多面体的体积之比是（ ） A ．23B ．12C ．25D ．1312．答案：B解析：设正方体的棱长为1，延长1D N ，与AB 的延长线交于点F ，则1BF =，连接FM 并延长，交BC于点P ，交AD 于点Q ，取AB 中点G ，连接MG ，则212,,2333BP BF BP AQ BP GM FG ==∴===， 连接PN ，并延长交11B C 于点H ，连接1D H ，则113HC =，平面1HD QP 即为截面，取PC 中点E ，连接1,C E QE ，则点C 所在的多面体的体积1111111111111123233D DQ C CE C D H EQP V V V --⎛⎫⎛⎫=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点1A 所在的多面体的体积1221211,332V V V =-=∴=．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．13．答案：160-解析：612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为33361(2)160C x x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．14．已知平面向量a 与b的夹角为3π，1),1a b =-= ，则2a b -= ．14解析：2,1a b == ，cos 13a b a bπ⋅=⋅=，所以222244164113a b a a b b -=-⋅+=-+= ，所以2a b -=．15．已知函数()ln 2f x x x a =-在点(1,(1))f 处的切线经过原点，函数()()f x g x x=的最小值为m ，则 2m a += ．15．答案：0解析：()1ln ,(1)1,(1)2f x x f f a ''=+==-，切线1l 的方程：21y a x +=-，又1l 过原点，所以21a =-，221111()ln 1,()ln ,()x f x x x g x x g x x x x x-'=+=+=-=，当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增， 故()()f x g x x=的最小值为(1)1g =，所以1,20m m a =+=． 16．设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1FC在第一象限相交于一点P ，若12F PF △是等腰三角形，则C 的离心率e = ． 16．答案：2或43解析：设直线倾斜角为α，则7tan cos 8αα==．P 在第一象限， 12F PF △是等腰三角形，所以112F P F F =或212F P F F =．若112F P F F =，则11212,22F P F F c F P c a ===-，222频数 5 15 10 10 5 5 了解4126521（1）把年龄在[15, 45)称为中青年，年龄在[45, 75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计 中青年中老年 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828（2）若从年龄在[55, 65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及E (X ) ． 17．解析：（1）2×2列联表如图所示，了解新高考不了解新高考总计 中青年 22 8 30 中老年 8 12 20 总计302050…………………………………………………………3分250(221288)5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关联．…………………………………………………………………………………………………6分 （2）年龄在[55, 65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则31121323233335551633(0),(1),(2)1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========．………………………9分 所以X 的分布列为13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差40,14d S ≠=且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．解析：（1）由题意可得4121114614(2)(6)S a d a d a a d =+=⎧⎨+=+⎩ ，即1212372a d d a d +=⎧⎨=⎩，…………………………3分 又因为0d ≠，所以12,1a d ==，所以1n a n =+．……………………………………………………6分 （2）因为111(2)(1)11(1)(2)(1)(2)12n n n n a a n n n n n n ++-+===-++++++，………………………………9分 所以11111111233412222(2)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．…………………………12分 19．（本小题满分12分） 如图，在菱形ABCD 中，,32BAD EDC ππ∠=∠=，平面CDE ⊥平面,//,ABCD EF DB M 是线段AE的中点，112DE EF BD ===． （1）证明：//DM 平面CEF ．（2）求直线BF 与平面AEF 所成角的余弦值．AE19．解析：（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接MO ．因为//OD EF ，OD ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ， 所以//OD 平面CEF ．……………………………………………………………………………………2分 又OM 是ACE △的中位线，所以//OM CE ，又OM ⊄平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以//OM 平面CEF ．……………………………………………………………………………………………………4分 又OM OD O = ，所以平面//OMD 平面CEF ．又MD ⊂平面OMD ，故//MD 平面CEF ．…5分 （2）因为DE DC ⊥，平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE 平面,ABCD CD DE =⊂平面CDE ，所以ED ⊥平面ABCD ．连接OF ，则EF OD ，故四边形ODEF 是平行四边形，故//ED OF ， 从而OF ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………………………6分 以O 为坐标原点，,,OA OB OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1)A B F E -，则(0,1,0),((0,1,1)EF AF BF ===-，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n EF y n AF z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取n = ，…………8分则cos ,n BF n BF n BF⋅==⋅ 所以直线BF 与平面AEF12分20．（本小题满分12分）已知函数21()(1)ln ()2f x m x x m =--∈R ． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由． 20．解析：（1）由题知，2110,()mx x f x mx x x-'>=-+=，…………………………………………1分 ①当0≤m 时，21()0mx f x x-'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；………………3分 ②当0m >时，令21()0mx f x x -'==，得x =， 当x ⎛∈ ⎝时，()0,()f x f x '<单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0,()f x fx '>单调递增， 故()f x在x =处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值．…………………………5分 （2）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，不难证明10≥x e x --，当且仅当1x =时取等号， 所以当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（1）知，当0,1≤m x >时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以若要不等式111()x f x x e ->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >． 当01m <<1>，由（1）知，()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意．……………………………………………………………………8分 当1≥m 时，设21111()(1)ln 2x F x m x x x e-=---+， 因为1,1≥m x >，所以11111,1,01,10≥x x x mx x e e e ---><<-<-<， 32221222111111(1)(1)()10x x x x x x F x mx x x x e x x x x---+-+'=-++->-++-==>， 所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以当(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，即()()0f x h x ->恒成立，故存在1≥m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立．此时m 的最小值是1．…………12分 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为，离心率12e =，其右焦点为F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求PQMN 的取值范围．21．解析：（1）由2b =b =，又由22222214c a b e a a -===，得2234a b =， 则224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分 （2）由（1）知(1,0)F ，①当直线12,l l 的斜率都存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为(1)y k x =-，1k ≠±，由222222(1)(43)8412034120y k x k x k x k x y =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩，……………………………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2221212228412,,144(1)04343k k x x x x k k k -+==∆=+>++，…………6分则2212(1)34k PQ k +==+，由椭圆的对称性可设直线2l 的斜率为11k k +-，则22221121224(1)17(1)21341k k k MN k k k k +⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭==+++⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，……………………………………………………8分 222222212(1)7(1)27(1)27873424(1)6882432PQ k k k k k k MN k k k k ++++++=⋅==+++++， 令87t k =+，则78t k -=，当0t =时，78k =-，78PQ MN =， 当0t ≠时，22724322432197878722t k t k t t-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+-+， 若0t >，则1977722t t +--，若0t <，则1977722≤t t+-2872432≤k k ++，即2872432k k ++，≤PQ MN ，且87PQ MN ≠．………………………………………………10分 ②当直线12,l l 的斜率其中一条不存在时，由对称性不妨设直线1l 的方程为1y x =-， 则2242,37b PQ MN a ===，此时87PQ MN =∈⎣⎦． 若设2l 的方程为1y x =-，则78PQMN =∈⎣⎦， 综上可知，PQMN的取值范围是⎣⎦．……………………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:sin 13C πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．22．解析：（1）由122cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=； 由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 12ρθρθ=cos sin 20θρθ-+=， 又由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线220C y -+=．…………………………………………5分（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(22cos ,2sin )αα+，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()2cos 16d παα⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．………………………………8分 当且仅当52,6Z k k παπ=+∈时，()d α1-， 此时P的直角坐标为(2．…………………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()211f x x x =++-．（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）设()9124g x x x =-+--，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，并根据图象写出不等式()()f x g x ≤的解集．23．解析：（1）3,11()2112,1213,2≥≤x x f x x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=++-=+-<<⎨⎪⎪--⎪⎩，…………………………………………1分 当1≥x 时，39≤x ，得13≤≤x ；………………………………………………………………………2分 当112x -<<时，29≤x +，解得7≤x ，故112x -<<；…………………………………………3分 当12≤x -时，39≤x -，解得3≥x -，故132≤≤x --．……………………………………………4分 综上，原不等式的解集为{|33}≤≤x x -．………………………………………………………………5分（2）36,1()91244,12312,2≤≥x x g x x x x x x x +-⎧⎪=-+--=+-<<⎨⎪-+⎩，在同一坐标系内画出函数()f x 和()g x 的图象，10分。
2020年全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学(理)(五)试题解析(含答案)
则该商鞅铜方升的俯视图的面积是正视图面积的（
）
A． 1.5 倍 答案： C
B． 2 倍
C． 2.5 倍
D． 3.5 倍
令 f (x) 2x 1.35 x 2.35, f (1.35) 0 ，再结合 f ( x) 在 R 的单调性，可求出 x ，根据
三视图的对应长度关系，即可求解 . 解：
2x 1.35 2.35 x 化为 2x 1.35 x 2.35 0 ，
即可求解 .
解：
不等量关系，
当 x? [0,2 ] 时， x
,2
55
，
5
∵ f x 在 0,2 上有且仅有 5 个零点，
∴5 2
6
12
，∴
29
.
5
5
10
故选 :A.
点评：
本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题
.
10．已知曲线 x2 4 y ，动点 P 在直线 y 3 上，过点 P 作曲线的两条切线 l1,l2 ，切
的一对“线性对称点” ．若实数 a 与 b 和 a b 与 c 为函数 f (x) 3x 的两对“线性对称
点”，则 c 的最大值为（
）
A． log 3 4
B． log 3 4 1
答案： D
4
C．
3
D． log3 4 1
根据已知有 3a b
3c
3a
b
c
，可得
3c
1
1 3a b
，只需求出 3a b 的最小值，根据 1
1
由题知 a
55
50
1,1 b
log 4 5
log 4 2
1
，
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师4(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(四)第四单元导数及其应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知f(x)=cos x,则f'()等于A. B.- C. D.-解析:f'()=-sin=-.答案:D2.已知点A是曲线y=ln x(x≥1)上的动点,在点A处的切线倾斜角为θ,则θ的取值范围是A.[0,]B.[0,]C.(0,]D.[,)解析:y'=,∵x≥1,∴y'∈(0,],由导数的几何意义及直线倾斜角的定义知0<tanθ≤,∴0<θ≤.答案:C3.已知函数f(x)=x3-的导函数为f'(x),则f'(x)的最小值为A.1B.2C.4D.8解析:f'(x)=4x2+≥4.答案:C4.若函数f(x)=x3-3x+m恰有2个不同的零点,则实数m的值为A.±2B.±1C.-2或1D.-1或2解析:f'(x)=3(x2-1),所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上都递增,在[-1,1]上递减,因此要使f(x)恰有2个零点,则只需f(-1)=0或f(1)=0,由此得m=±2.答案:A5.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时,x的值为A.0B.C.D.解析:f(x)=(x+2cos x)'=1-2sin x,令1-2sin x=0,且x∈[0,]时,x=,当x∈[0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈[,]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减.∴f(x)max=f().答案:B6.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析:令f(x)=x3-ax2+1,则f'(x)=3x2-2ax=3x(x-a).由f'(x)=0,得x=0或x=a(∵a>3,∴a>2),∴当0<x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)=8-4a+1=9-4a<0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.答案:B7.如图是二次函数f(x)=x2-bx+c的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是A.(,)B.(,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:由图可知,0<b<1,0<c<1,b-c=,∴<b<1,g(x)=ln x+x-b为增函数,g(1)=1-b>0,g()=-ln2+-b<0,故零点所在的区间为(,1).答案:B8.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)<0的解集为A.(-∞,0)∪(,2)B.(-∞,)∪(,2)C.(-∞,)∪(,+∞)D.(-∞,)∪(2,+∞)解析:由f(x)图象的单调性可得f'(x)在(-∞,)和(2,+∞)上大于0,在(,2)上小于0,∴xf'(x)<0的解集为(-∞,0)∪(,2).答案:A9.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象在点x=1处的切线l为直线3x-y-1=0,T n=f(n)为等差数列{a n}的前n项和,若数列{}的前n项和为S n,则S2013的值为A. B. C. D.解析:∵T n=f(n)=an2+bn+c为等差数列{a n}的前n项和,∴c=0,f(x)=ax2+bx,由题意可得∴a=1,b=1,==-,S n=(1-)+(-)+…+(-)=,∴S2013=.答案:D10.已知f(x)=-x3-ax在(-∞,-1]上递减,且g(x)=2x-在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a的取值范围是A.a>-2B.a≥-3C.-3≤a<-2D.-3≤a≤-2解析:由f'(x)=-3x2-a≤0对于一切x∈(-∞,-1]恒成立,得-3x2≤a,∴a≥-3.又由g(x)在(1,2]上有最大最小值知-4≤a<-2,∴-3≤a<-2.答案:C11.偶函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,对任意x都有f(x)=-f(-x+2),且函数f(x)在x=1处的切线与抛物线y2=4x在点(4,4)处的切线恰好垂直,则曲线y=f(x)在点(-9,f(-9))处切线的斜率为A.2B.-2C.D.-解析:由f(x)为偶函数及f(x)=-f(-x+2)知,f(x)是一个周期为4的周期函数.所以y=f(x)在x=-9处的切线与x=-1处的切线斜率相等,又根据图象对称性知x=-1处的切线斜率与x=1处的切线斜率互为相反数,求得y2=4x在点(4,4)处的切线斜率为,所以y=f(x)在x=1处的切线斜率为-2,即在x=-9处的切线斜率为2.答案:A12.为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,当a、b各为()米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?A.a=2,b=9B.a=9,b=2C.a=3,b=6D.a=6,b=3解析:经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y=(k>0为比例系数),要求y的最小值,只需求ab的最大值.-.其中a、b满足2a+4b+2ab=60,b=-(0<a<30).记u=ab=-,令u'=0得a=6.由u'=且当0<a<6时,u'>0,当6<a<30时u'<0,∴u=-在a=6时取最大值,此时b=3.从而当且仅当a=6,b=3时,y=取最小值.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=(x>0)的单调增区间为.->0得x>1,解析:由f'(x)=即函数f(x)的单调增区间为(1,+∞).答案:(1,+∞)14.已知二次函数f(x)=af'(1)x2+2f'(0)x,则a=.解析:因为f'(x)=2af'(1)x+2f'(0),由f'(0)=2f'(0),知f'(0)=0,所以f'(1)=2af'(1),且f(x)为二次函数知f'(1)≠0,所以a=.答案:15.已知函数f(x)=x3-3x+1,则过点(1,-1)的切线方程为.解析:设切点为(a,a3-3a+1),则斜率k=3a2-3,切线方程为y-(a3-3a+1)=(3a2-3)(x-a).又切线过点(1,-1),所以有2a3-3a2+1=0,解得a=1或a=-,所以切线方程为y=-1或9x+4y-5=0.答案:y=-1或9x+4y-5=016.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=0,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立(其中f'(x)是f(x)的导函数),则不等式xf(x)>0的解集是.解析:当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,即(xf(x))'<0,令y=xf(x),则函数y=xf(x)在区间(-∞,0)上为减函数,又f(x)在定义域上是偶函数,∴函数y=xf(x)在定义域上是奇函数,且2f(-2)=2f(2)=0,则xf(x)>0在(-∞,0)上的解集是(-∞,-2),∴xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).答案:(-∞,-2)∪(0,2)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知a>0,函数f(x)=ln x-a2x2-ax,1≤x≤e,f'(2)=0,求函数f(x)的最小值.-,∴f'(2)=--=0,又∵a>0,解析:∵f'(x)=-∴4a-1=0,a=,∴f(x)=ln x-x2-x,f'(x)=--,1≤x≤e,4分∴1≤x≤2时,f'(x)>0;2≤x≤e时,f'(x)<0,f(x)在区间[1,2]上是增函数,在区间(2,e]上是减函数,∴f(x)min={f(1),f(e)}min.8分∵f(1)-f(e)=-+-=-<-=0,∴f(x)min=f(1)=-.10分18.(本小题满分12分)设f(x)=e x(ax2+3),其中a为实数.(1)当a=-1时,求f(x)的极值;(2)若f(x)为[1,2]上的单调函数,求a的取值范围.解析:(1)当a=-1时,有f(x)=e x(-x2+3),f'(x)=e x(-x2-2x+3)=-e x(x+3)(x-1),由f'(x)>0知f(x)在(-3,1)上递增,由f'(x)<0知f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上都递减,所以f(x)极小值=f(-3)=-6e-3,f(x)极大值=f(1)=2e.5分(2)要使f(x)在[1,2]上递增,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≥0恒成立,即ax2+2ax+3≥0恒成立,a≥(-)max=-;要使f(x)在[1,2]上递减,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≤0恒成立,即ax2+2ax+3≤0恒成立,a≤(-)min=-1.综上,f(x)在[1,2]上单调,则a≤-1或a≥-.12分19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点P(x0,y0)(其中x0在x1与x2之间),使得点P处的切线l平行于直线AB,则称AB存在“伴随切线”,当x0=时,又称AB存在“中值伴随切线”.试判断函数f(x)的图象上是否存在“中值伴随切线”,若存在,请求出“中值伴随切线”.解析:(1)f'(x)=-,由f'(x)>0知递增区间为(1,+∞),由f'(x)<0知递减区间为(0,1].3分(2)假设存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨设0<x1<x2),使得AB存在“中值伴随切线”,则--=f'(),化简得:=--,即·-=ln.设函数g(x)=ln x--,则g'(x)=-=-,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1]上是增函数.又0<<1,所以g()<g(1)=0,即·->ln,与上面结论矛盾,所以在函数f的图象上是不存在不同两点A,B,使得AB存在“中值伴随切线”.12分20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).(1)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;(2)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=x2-2ax+a2-1.∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,∵(1,2)在y=f(x)的图象上,∴2=-a+a2-1+b,又f'(1)=-1,∴1-2a+a2-1=-1,∴a2-2a+1=0,解得a=1,b=,∴f(x)=x3-x2+,f'(x)=x2-2x.5分由f'(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点.∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8,∴f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8.7分(2)因为函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以函数f'(x)在(-1,1)上存在零点.而f'(x)=0的两根为a-1,a+1,a+1-(a-1)=2,∴在区间(-1,1)上不可能有2个零点.∴f'(-1)f'(1)<0,即a2(a+2)(a-2)<0.10分∵a2>0,∴(a+2)(a-2)<0,∴-2<a<2.又∵a≠0,∴a∈(-2,0)∪(0,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)当a>0时,若f(x)满足y极小值=1,y极大值=,试求f(x)的解析式;(2)若x∈[0,1]时,y=f(x)图象上的任意一点处的切线斜率k满足|k|≤1,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=-3x2+2ax=0,得x=0或x=a.2分a>0时,x所以f(0)=b=1,f(a)=-a3+a·a2+1=,4分即a=1,b=1.故f(x)=-x3+x2+1.6分(2)由题设x∈[0,1]时,恒有|k|=|f'(x)|≤1,即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0,1]上恒成立.8分当x=0时,a∈R;当x∈(0,1]时,由-3x2+2ax≥-1恒成立,即2ax≥3x2-1,a≥(3x-),所以a≥1(函数(3x-)在(0,1]上为增函数).10分另一方面,由-3x2+2ax≤1恒成立,得a≤(3x+),所以a≤(当且仅当x=时,取最值).综上所述:1≤a≤.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-ln x.(1)求函数的单调区间与最值;(2)当a=1时,函数g(x)=1-,求证:++…+<.(其中e为自然对数的底数)-(x>0),解析:(1)因为f'(x)=所以①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,故递减区间为(0,+∞),无最值;②当a>0时,递增区间为[,+∞),递减区间为(0,),所以有最小值f()=[1+ln(2a)].5分(2)当a=1时,函数g(x)=(x>0),g'(x)=-,函数g(x)在(,+∞)上单调递减,在(0,)上单调递增,所以有g(x)=≤g()=,≤·,且有<·<·(--),取x=2,3,…,则++…+<·[(1-)+(-)+…+(--)],所以++…+<·(1-)<.12分。
2020届全国100所名校高考模拟金典卷(五)数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校高考模拟金典卷（五）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若(12)a i ti i +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t ai +等于（） A ．12i - B ．12i + C ．2i + D ．2i -答案：A根据复数乘法的运算法则，结合复数相等的定义进行求解即可. 解：因为(12)2a i ti i ti t +=⋅+=-，所以1,22t a a t =⎧⇒=-⎨=-⎩．所以12t ai i +=-．故选：A 点评：本题考查复数的乘法运算，考查了复数相等的定义，考查了数学运算能力． 2．已知集合{}{}22|log (32),|4A x y x B x x ==-=>，则RA B ⋃=（）A ．3|22x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}x x <C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|2}x x 答案：D根据对数型函数的定义域化简集合A 的表示，解一元二次不等式化简集合B 的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可. 解： 因为{}{242B x xx x ==>或}2x <-，所以R {|22}B x x =-又因为{}23|log (32){|320}|,2A x y x x x x x ⎧⎫==-=->=<⎨⎬⎩⎭所以RA B ⋃={|2}x x .故选：D 点评：本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.3．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若(2)(6)0.15P P ξξ<=>=，则(24)P ξ≤<等于（）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 答案：B根据正态分布密度曲线的对称性可知，若(2)(6)P P ξξ<=>，函数的对称轴是4ξ=，所以(24)0.50.150.35P ξ≤<=-=，故选B.4．已知函数()f x 在R 上可导，则“0'()0f x =”是“0()f x 为函数()f x 的极值”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C若()00f x '=，但0x 两侧没有变号，也不是极值点，()0f x 也不是函数()f x 的极值，反过来，若()0f x 是函数()f x 的极值，那0x 就是函数的极值点，即()00f x '=，所以()00f x '=是()0f x 是函数()f x 的极值的必要不充分条件，故选C.5．执行下面的程序框图，输出的S 为（）A ．17B ．27C ．47D ．67答案：A 解：考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当i=1时，进入第一次循环，有2S 7=； 当i=2时，进入第二次循环，有4S 7=； 当i=3时，进入第三次循环，有1S 7=； 当i=4时，进入第四次循环，有2S 7=； 当i=5时，进入第五次循环，有4S 7=； 当i=6时，进入第六次循环，有1S 7=； 结束循环，输出1S 7=. 故选A ．6．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为78,26n S a a +=，则11S 为（） A ．66 B ．55C ．66-D ．55-答案：C根据等差数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 解：()()781116226756a a a d a d a d a -=+-+=+==-， 1111161111662a a S a +=⨯==-． 故选：C 点评：本题考查等差数列的下标性质，考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力．7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为（）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)，1,1,02⎛⎫⎪⎝⎭，按照如下图所示的方向绘制该四面体的三视图，则得到的正（主）视图可以为A ．B ．C ．D ．答案：D根据点的坐标在空间直角坐标系内画出满足条件的四面体，然后选出正（主）视图即可. 解：满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz 平面为正投影，所以正（主）视方向如图所示，所以得到正（主）视图效果如右图. 故选：D点评：本题考查三视图及空间点的坐标,考查了空间想象能力． 8．数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,0,||2A πωϕ><）的图象如图所示，为了得到()3sin 3g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象上所有的点（）A ．向左平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变 C ．向右平移6π个单位长度，纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变 D ．向右平移3π个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 答案：D根据函数()f x 的最小值、对称中心、对称轴以及函数()f x 过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可以求出()f x 的解析式，最后根据正弦型函数图象变换的性质进行求解即可.解：因为()f x 的最小值为1-，所以1A =，再由对称中心与对称轴的距离可得周期74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+．因为()f x 过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2,3k k πϕπ=+∈Z ．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以()sin 2,()3sin 233f x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则需将()f x 向右平移3π个单位，即sin 2sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后再将sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到()3sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：D 点评：本题考查了通过正弦型三角函数的图象求解析式问题，考查了正弦型函数的图象变换性质，考查了数学运算能力．9．《九章算术》卷第五《商功》中，提到这样一种立体图形：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．”对于这个立体图形，如果将上棱长缩短至1丈，那么它的体积为（）A ．92立方丈 B ．5立方丈 C ．4立方丈 D ．6立方丈答案：A根据题意可知该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，运用棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可. 解：将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥，即119311(123)1232V =⨯⨯⨯+⨯-⨯=． 故选：A 点评：本题考查数学文化及空间几何体的体积，考查了空间想象能力和数学运算能力． 10．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（）A ．83B 83C ．163D ．33答案：B 解：设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12121211222MFN S p y y y y y y ∆=⨯⨯-=⨯⨯-=-，直线方程是()31y x =-与抛物线方程联立，2314y y ⎛⎫=- ⎪⎭，整理为：234430y y --=，1212,43y y y y +==-，所以()2121212164163y y y y y y -=+-=+=833，故选B. 11．函数()222sin 33,144x x f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：B()222sin 1x xf x x =+，它是33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的奇函数，故D 错；又当30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥，故C 错；又()()()()223222sin cos 12sin '21x x x x x x xf x x++-=+，故'02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，选B. 点睛：判断函数的图像，不仅要从函数的奇偶性，还要看函数的一些局部性质，如局部点的切线的斜率的正负等.12．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是() A ．4a ≤ B ．46a -≤≤ C ．4a ≤或6a ≥ D ．6a ≥答案：D根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围 解：依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.点评：本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题13．已知()3,4a →=，(),1b x →=，若a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则实数x 等于________．答案：7 解：∵()3,4a →=，(),1b x →=，∴()3,3a b x →→-=-又a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭∴()33120x ⨯-+= ∴7x = 故答案为714．设2521001210(32)x x a a x a x a x -+=++++，则1a 等于_________．答案：240-()()()55523212xx x x -+=--，所以含x项的系数是()()()()455411551212240C x C x x ⋅⋅-⋅-+-⋅⋅⋅-=-，所以1240a =-，故填：-240.15．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，24AB CD ==，60BAD ∠=，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段CD （包括端点C 、D ）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.答案：)1,+∞过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，作出示意图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意只需E C y y ≥即可. 解：过C 作垂线与x 轴、双曲线分别相交于F 、E ，如图，设双曲线方程为22221,(02)4x y a a a-=<<-，由题意，只需E C y y ≥，即可，又由已知，4,2AB CD ==，所以1,BF CF ==C y ，当1x =时，222114y a a-=-，所以2221(4)(1)y a a =--，E y =，≥1a ≤-或1a ≥（舍），所以离心率12c e a a ==≥=+.故答案为：)1,+∞点评：本题考查求双曲线的离心率，考查学生的基本计算能力与逻辑推理能力，是一道中档题. 16．已知首项为4的数列{}n a 满足1141n n n n a a a a +++=+，若1234910S a a a a a a =+++，则S 的值为__________.答案：4由1141n n n n a a a a +++=+可得()()11113n n n n a a a a ++--=，令1nn na d a -=，则13n n d d +=-，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，进一步可得数列{}n a 是周期为2的周期数列，从而使问题得到解决. 解： 由1141n n n n a a a a +++=+，整理得()()11113n n n n a a a a ++--=，即()()11113n n n n a a a a ++--=，令1n n n a d a -=，则13n n d d +=-，所以13n n d d +=-，213n n n d d d ++=-=，所以数列{}n d 是周期为2的周期数列，所以221n n a a ++-=1nna a -，化简得2n n a a +=，即数列{}n a 是周期为2的周期数列，由14a =得215a =，所以12349104545S a a a a a a =+++=⨯=. 故答案为：4 点评：本题主要考查数列的周期性，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的压轴填空题.三、解答题17．已知锐角ABC 的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且32sin sin 32A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A ；（2）若角A 的平分线交BC 于点D ，且2AD ==，求a ．答案：（1）3A π=；（2（1）根据两角和的正弦公式，结合辅助角公式、特殊角的正弦值和正弦函数的图象进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合等腰三角形的性质、锐角的三角函数定义进行求解即可. 解： （1）因为212sin sin 2sin sin cos sin 322A A A A A A A A π⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11132cos 2sin 2222622A A A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 所以22,623A k A k k πππππ-=+⇒=+∈Z ，又02A π<<，得3A π=．（2）6BAD π∠=，由正弦定理得sin sin sin BD AD B BAD B =⇒=∠ 所以555,,4341261212B C CDA πππππππππ==--=∠=--=，所以52,2cos12AC AD DC AD π===⋅=所以a BD DC =+=点评：本题考查了正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.18．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从80后和90后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：（1）根据调查的数据，是否有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（2）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的80后、90后员工参加.80后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x ；90后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y ，求x y <的概率. 参考数据：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）.答案：（1）没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由见解析（2）12（1）直接利用卡方公式计算即可；（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件，分别计算出6个互斥事件的概率，相加即可得到答案. 解：（1）2K 的观测值为()()()()()()221002020402060406040n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯4004001002.778 6.6355760000⨯⨯=≈<.所以没有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”.（2）“x y <”包含：“0x =，1y =”、“0x =，2y =”、“0x =，3y =”、“1x =，2y =”、“1x =，3y =”、“2x =，3y =”六个互斥事件.且()03123342336640,1400C C C C P x y C C ===⨯=，()032133423366120,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()03303342336640,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()1221334233661081,2400C C C C P x y C C ===⨯=， ()123033423366361,3400C C C C P x y C C ===⨯=，()213033423366362,3400C C C C P x y C C ===⨯=， 所以()4124108363620014004002P x y +++++<===.点评：本题考查独立性检验与独立事件、互斥事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.19．已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5SA SD ==，7SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=，SA ∥平面BEF .（1）求实数λ的值；（2）求二面角S BE F --的正切值.答案：（1）13；（2）12（1）连接AC ，设AC BE G =，由线面平行的性质定理可得SA ∥FG ，再利用GEA GBC △∽△即可得到答案；（2）以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，再求出平面EFB 的法向量n ，利用公式cos ,m n m n m n⋅=计算即可. 解：（1）连接AC ，设ACBE G =，则平面SAC 平面EFB FG =，∵SA ∥平面BEF .，SA ∴∥FG ，GEA GBC ∽△△，12AG AE GC BC =∴=， 1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=. （2）5SA SD ==，SE AD ∴⊥，2SE =，又2AB AD ==，BE AD ⊥，60BAD ∠=︒，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，又AD BE E =，SE ∴⊥平面ABCD ，以EA ，EB ，ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A ，()0,3,0B，()0,0,2S ，易知EA 为平面SEB 的一个法向量，设()1,0,0m EA ==， 设平面EFB 的法向量(),,n x y z =，则()(),,0,3,000n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=，()(),,1,0,202n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1z =，则2,0x y ==，所以()2,0,1n =，25cos ,m n m n m n⋅∴==， 设二面角S BE F --的大小为θ， 则25cos θ=，5sin θ=，所以1tan 2θ=，即所求二面角的正切值是12.点评：本题考查空间几何体及空间向量的应用，涉及到线面平行的性质定理，向量法求二面角的大小，考查学生的计算能力，是一道中档题.20．如图，椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的右顶点为(2,0)A，左、右焦点分别为1F、2F，过点A且斜率为12的直线与y轴交于点P，与椭圆C交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点1F．（1）求点B的坐标；（2）过点P且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N两点(||||)PM PN>，若:PAM PBNS Sλ=△△，求实数λ的取值范围．答案：（1）31,2⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）(4,423)+（1）根据题意设出点B的坐标，代入椭圆方程中，再根据斜率公式，结合222a b c=+，进行求解即可；（2）根据已知面积之比，通过三角形面积公式可以得到2PM PNλ=-，设直线MN方程，与椭圆方程联立，根据MN斜率大于12，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量共线坐标表示公式进行求解即可.解：（1）因为1BF x⊥轴，得到点2,bB ca⎛⎫--⎪⎝⎭，所以22222,21,3()21aabba a cca b c=⎧=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩B的坐标为31,2⎛⎫--⎪⎝⎭．（2）因为1sin22(2)12sin2PAMPBNPA PM APMS PM PMS PN PNPB PN BPNλλλ⋅⋅∠===⇒=>⋅⋅∠△△，所以2PM PN λ=-．由（1）可知(0,1)P -，椭圆C 的方程是22143x y+=．设MN 方程为()()11221,,,,y kx M x y N x y =-，联立方程221,1,43y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=，即得122122843(*)843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩又()()1122,1,,1PM x y PN x y =+=+，有122x x λ=-，将122x x λ=-代入（）可得222(2)1643k k λλ-=+． 因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++， 则2(2)14λλ-<<且24423λλ>⇒<<+．综上所述，实数λ的取值范围为(4,423)+．点评：本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了数学运算能力.21．已知函数()()()ln 1f x x x x ax b =---，（,a b ∈R ，a ，b 为常数，e 为自然对数的底数）.（1）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12xf x ke <成立，求正实数k的取值范围.答案：（1）证明见解析；（2）()2,+∞ （1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-，利用导数研究()g x 在11,1e e ⎛⎫++⎪⎝⎭函数值的情况，将()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上极值点的个数转化为()g x b =-根的个数问题，分类讨论即可得到；（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e<⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke--++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅，记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，利用导数分别研究(),()h x x ϕ的最值，即可得到答案. 解：（1）当1a =-时，()()'ln 121xfx x x b x =-+++-，记()()'g x f x b =-， 则()()()()''223211322,01211x x g x g x x x x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+==⇒=---， 当131,2x e ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()'0g x <，3,12x e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0g x >， 所以当32x =时，()g x 取得极小值6ln 2-，又1212g e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()1124g e e e+=++，()()'0f x g x b =⇔=-，当6ln 2b -≤-，即ln 26b ≥-时，()'0f x ≥，函数()f x 在区间11,1e e⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点；当26ln 22b e e -<-<++即22ln 26e b e---<<-时，'0f x 有两不同解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有两个极值点； 当21224e b e e e ++≤-<++即12242e b e e e---<≤---时，'0f x 有一解，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上有一个极值点；当124b e e -≥++即124b e e ≤---时，()'0f x ≤，函数()f x 在区间11,1e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭上无极值点.（2）当1a =，2b e =+时，对任意的()1,x ∈+∞都有()12x f x k e <⋅，即()()22ln 12x x x x e x ke --++<，即()2ln 12x e x x e k x--++<⋅记()()ln 12h x x x e =--++，()2x e x k xϕ=⋅，由()'12111x h x x x -=-=--，当12x <<时()'0h x >，当2x >时，()'0h x <， 所以当2x =时，()h x 取得最大值，最大值为()2h e =，又()()222'221222x x xk e x e e x x k x x ϕ⋅--=⨯=，当12x <<时，()'0x ϕ<，当2x >时，()'0x ϕ>，所以当2x =时，()x ϕ取得最小值2ke ，所以只需要22kee k <⇒>，即正实数k 的取值范围是()2,+∞. 点评：本题考查函数与导数综合及不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论的思想以及逻辑推理能力，是一道有一定难度的压轴题.22．已知直线l的参数方程为1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB ⋅.答案：（1）直线l 的普通方程是y =，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+-=；（2）4 （1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决； （2）将3πθ=代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，利用A B OA OB ρρ⋅=计算即可. 解：（1）由1x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得直线l的普通方程)1y x =-，即y =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入24cos sin 40ρρθθ--+=中，得22440x y x +--+=，即()(2223x y -+=，曲线C 的直角坐标方程是()(2223x y -+=（2）直线l 的极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程得2540ρρ-+=，故可得4A B ρρ⋅= 所以4A B OA OB ρρ⋅==.点评：本题考查直角坐标、极坐标、参数方程互化，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 23．已知()|23|,()|21|f x x g x x =+=-． （1）求不等式()()2f x g x <+的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()(1)|32|f x g x a >++-成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）(,0)-∞；（2）40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）根据绝对值的性质分类讨论求解不等式的解集； （2）利用绝对值的性质进行求解即可. 解：（1）不等式()()2f x g x <+等价于3,2(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或31,22(23)(21)2x x x ⎧-≤⎪⎨⎪++-<⎩或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -<， 所以不等式()()2f x g x <+的解集是(,0)-∞． （2）()(1)|23||21||2321|2f x g x x x x x -+=+-++--=，|32|2a ∴-<，故实数a 的取值范围是40,3⎛⎫⎪⎝⎭．点评：本题考查了用分类讨论法求解绝对值不等式，考查了用绝对值的性质求解不等式能成立问题，考查了数学运算能力.。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师8(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(八)第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列向量中与向量a=(2,3)垂直的是A.b=(-2,3)B.c=(2,-3)C.d=(3,-2)D.e=(-3,-2)解析:因为a·d=0,所以a⊥d.答案:C2.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若b=7,c=3,cos C=,则B等于A.B. C. D.解析:∵cos C=,∴sin C=,又∵=,∴sin B===,又∵锐角△ABC,∴B=.答案:B3.已知两个平向量a、b的夹角为π,且|a|=|b|=1,则|a-b|等于A. B.1 C.2 D.2解析:|a-b|=-=-=.答案:A4.在△ABC中,边BC上的高AD=4,则(-)·的值等于A.0B.4C.8D.12解析:因为(-)·=·=0.答案:A5.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),若向量k a+b与向量c=(2,1)共线,则k等于A.-1B.1C.-2D.2解析:因为k a+b=(k-1,k),又因为向量k a+b与向量c=(2,1)共线,所以(k-1)×1=k×2,所以k=-1.答案:A6.以3、4、5为边长的直角三角形,各边分别增加x(x>0)个单位,得到的三角形一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解析:各边分别增加x个单位后的三边分别为x+3,x+4,x+5,其最长边所对角的余弦值为-=>0,所以得到的三角形的最大内角为锐角,所以得到的三角形为锐角三角形.答案:A7.某人向正东方向走了x km后,再向右转150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好km,那么x的值为A. B.或2C.或4D.2或4解析:设AB=x,BC=3,∠ABC=30°,AC=,则()2=x2+32-6xcos30°,∴x2-3x+6=0,∴x=或x=2.答案:B8.已知点A(1,5),B(3,9),O为坐标原点,若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为A.2x+y-7=0B.2x-y+3=0C.x-2y+9=0D.x+2y-11=0解析:因为点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,所以点C的轨迹是直线AB,又因为直线AB的方程为2x-y+3=0.答案:B9.在△ABC中,若cos C=2sin Asin B-1,sin2A+sin2B=1,则此三角形为A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵C=π-(A+B),∴-cos(A+B)=2sin Asin B-1,∴-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B-1,∴sin Asin B+cos Acos B=1,∴cos(A-B)=1,又∵A,B∈(0,π),∴A-B=0,∴A=B.又sin2A+sin2B=1,∴A=B=,∴C=,所以△ABC是等腰直角三角形.答案:D10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若sin(A+)=1且=,则∠C等于A. B. C.或 D.或解析:因为sin(A+)=1,所以A+=,所以A=,又因为=,所以=,所以sin B=,所以B=或,所以C=或.答案:D11.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a2,b2,c2成等差数列,则角B的范围为A.(0,)B.(0,]C.[,)D.(,π)解析:若a2,b2,c2成等差,则b2=,∴cos B=-=-=≥=,当且仅当a=c时,“=”成立,又∵B∈(0,π),∴B∈(0,].答案:B12.已知O为坐标原点,平面向量=(1,3),=(3,5),=(1,2),且=k(k为实数).当·取得最小值时,点X的坐标是A.(4,2)B.(2,4)C.(6,3)D.(3,6)解析:设=(x,y),∵=k,∴=(k,2k),又=-,=(1,3),∴=(1-k,3-2k),同样=(3-k,5-2k).于是·=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5k2-20k+18=5(k-2)2-2,由二次函数得知识可知:当k=2时,·有最小值-2,此时点X的坐标是(2,4).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.海上有A、B、C三个小岛,在C岛上观测得A、B两岛相距2n mile,且∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B、C间的距离是n mile.解析:由正弦定理知=--,解得BC=.答案:14.在△ABC中,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积等于.解析:∵cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=bcsin A=6.答案:615.设两个平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算“☉”为:a☉b=(x1x2+y1y2,x1y2-y1x2).若m=(1,2),m☉n=(11,-6),则n=.解析:设n=(x,y),则m☉n=(x+2y,y-2x)=(11,-6),,).所以--解得即n=(答案:(,)16.已知向量=α,=β,α、β的夹角为,|α+β|=1,则△AOB面积的最大值是.解析:∵|α+β|=1,∴|α|2+|β|2+2|α||β|cos=1,∴|α|2+|β|2-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|,∴|α||β|≤1,∴S△AOB=|α||β|sin≤,∴当且仅当|α|=|β|时,△AOB取得最大面积.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知平面向量a,b,c,其中a=(3,4).(1)若c为单位向量,且a∥c,求c的坐标;(2)若|b|=且a-2b与2a-b垂直,求向量a,b夹角的余弦值.解析:(1)设c=(x,y),由a∥c和|c|=1可得:-∴或--∴c=(,)或c=(-,-).5分(2)∵(a-2b)·(2a-b)=0,即2|a|2-5a·b+2|b|2=0,又|a|=5,|b|=,∴a·b=12,∴向量a,b夹角的余弦值cos<a,b>=·=.10分18.(本小题满分12分)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,-sin),且x∈[0,].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|(0≤λ≤1)的最小值是-,求λ的值.解析:(1)a·b=cos cos+sin(-sin)=cos2x,|a+b|=-==2|cos x|.∵x∈[0,],∴|a+b|=2cos x.6分(2)f(x)=cos2x-4λcos x=2cos2x-4λcos x-1=2(cos x-λ)2-2λ2-1,∵x∈[0,],∴cos x∈[0,1].9分∵λ∈[0,1],cos x=λ,f(x)min=-2λ2-1,∴-2λ2-1=-,∴λ=;∴λ=.12分19.(本小题满分12分)有一道题目由于纸张破损,有一条件看不清楚,具体如下:“在△ABC中,已知a=,,2cos2()=(-1)cos B,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,该题的答案A=60°是唯一确定的,试将条件补充完整,并说明理由.解析:因为2cos2()=(-1)cos B,所以1+cos(A+C)=(-1)cos B,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.3分对正弦值分以下两种情况对论.情况1:因为A=60°,且=,所以b=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且a>b,所以A=60°或者A=120°,这与已知角A的解为唯一解矛盾.8分情况2:因为B=,又A=60°,所以C=75°,=,所以c=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且c>a,所以A=60°.11分综上所述,破损处应填c=.12分20.(本小题满分12分)已知向量a=(sin,cos),b=(cos,cos),函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及函数f(x)的值域.解析:(1)f(x)=a·b=sin cos+cos cos=sin+(1+cos)=sin+cos+=sin(+)+.3分令2kπ-≤+≤2kπ+,解得3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z).故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ-,3kπ+](k∈Z).6分(2)∵b2=ac,cos x=-=-≥-=,8分∴≤cos x<1,0<x≤,∴<+≤,∴<sin(+)≤1,∴<sin(+)+≤1+即f(x)的值域为(,1+).综上所述,x∈(0,],f(x)的值域为(,1+].12分21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若∠C=π,a、b、c依次成等差数列,且公差为2.(1)求c;(2)如图,A',B'分别在射线CA,CB上运动,设∠A'B'C=θ,试用θ表示线段B'C的长,并求其范围.解析:(1)∵a、b、c成等差,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2.1分又∵cos C=-,∴-=-,∴-----=-,4分∴c2-9c+14=0,解得c=7或c=2,又∵c>4,∴c=7.6分(2)△A'B'C中,∠=∠=∠,∴=-=,∴B'C=sin(-θ),7分又∵θ∈(0,),∴0<-θ<,0<sin(-θ)<,∴0<sin(-θ)<7,∴线段B'C的范围为(0,7).12分22.(本小题满分12分)如图,为测量某巨型雕像AB的高度及取景点C与F之间的距离(B、C、D、F在同一水平面上,雕像垂直该水平面于点B,且B、C、D三点共线),某校研究性学习小组同学在C、D、F三点处测得顶点A的仰角分别为45°、30°、30°.若∠FCB=60°,CD=16(-1)米.(1)求雕像AB的高度;(2)求取景点C与F之间的距离.解析:(1)(法一)设AB=x米,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x米,,在Rt△ADB中,∵∠ADB=30°,∴tan30°=-∴x=16.6分(法二)设AB=x,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x,∴AC=x,在△ADC中,=-,∴=-,-∴x=16.6分(2)(法一)由(1)知BC=16米.在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,tan30°=,∴FB=16米.在△BCF中,设CF=y米,∵∠BCF=60°,∴由余弦定理BF2=BC2+FC2-2BC·FCcos60°,(16)2=162+y2-2×16·ycos60°,∴y2-16y-512=0.(y+16)(y-32)=0,∴y1=32,y2=-16(负数舍去).12分(法二)在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,∴tan30°=,∴FB=16米,在△BCF中,∠=∠,∴∠BFC=30°或150°(150°舍去),∴在△CBF中,CF2=CB2+FB2=162+(16)2,∴CF=32(米).12分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师11(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十一)第十一单元数列综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{a n}为等比数列,且a3a9=2a52,a2=2,则a1等于A.±√2B.√2C.-√2D.2解析:a3a9=a62=2a52,q=a6a5=±√2,故a1=a2q=±√2.答案:A2.在等差数列{a n}中,a1=0,公差d≠0,若a n=a2+a3+a6+a8,则n等于A.15B.16C.17D.18解析:a n=a2+a3+a6+a8=4a1+15d=a1+15d,故a n为等差数列{a n}的第16项,∴n=16.故选B.答案:B3.若等差数列{a n}满足递推关系a n+1=-a n+n,则a5等于A.92B.94C.114D.134解析:令n=4,则a5+a4=4,令n=5,则a6+a5=5,两式相加2a5+a4+a6=9,∴a5=9 4 .答案:B4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012,则公比q等于A.4B.3C.2D.8解析:由3S2013=a2014-2012,3S2012=a2013-2012得3a2013=a2014-a2013,∴q=a2014a2013=4.答案:A5.已知数列{a n}的通项公式是a n=-n2+bn+c,若a n+1<a n对n∈N+恒成立,则实数b的取值范围是A.b>0B.b≥-1C.b≤3D.b<3解析:∵a n+1<a n恒成立,∴a n+1-a n=b-(2n+1)<0,即b<2n+1恒成立,∴b<3.答案:D6.已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数,数列{a n }是等差数列,a 11>0,则f(a 9)+f(a 11)+f(a 13)的值A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负解析:因为f(a 11)>f(0)=0,a 9+a 13=2a 11>0,a 9>-a 13, 所以有f(a 9)>f(-a 13)=-f(a 13),f(a 9)+f(a 13)>0,故选A. 答案:A 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m>1,2a m-1+2a m+1-a m 2-4=0,S 2m-1=38,则m等于A.7B.8C.9D.10解析:∵a m-1+a m+1=2a m ,∴2a m-1+2a m+1-a m 2-4=4a m -a m 2-4=0,∴a m =2.故S 2m-1=(a 1+a 2m -1)(2m -1)2=2a m (2m -1)2=2(2m-1)=38.∴m=10. 答案:D8.若数列{a n }满足a 1=12,a n+1=1+an 1-a n(n ∈N +),则该数列的前2014项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2014等于A.3B.1C.32D.23解析:易求得a 1=12,a 2=3,a 3=-2,a 4=-13,a 5=12,…,这是一个周期为4的周期数列, 且每相邻四项a 1·a 2·a 3·a 4=1,故原式=12×3=32. 答案:C9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2+n,若数列{1a n}的前n 项和为S n ,则S n 的取值范围为A.[0,1]B.(2,1)C.[12,1) D.[12,1]解析:依题意1a n =1n(n+1)=1n -1n+1,∴S n =1a 1+1a 2+…+1a n =1-12+12-13+…+1n -1n+1=1-1n+1<1,∴当n=1时,S n 取最小值12,∴S n 值范围为[12,1).答案:C10.在数列{a n }中,对于任意的n ∈N +,都有a n+2-a n+1a n+1-a n=k(k为常数),则称{a n }为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断:①等差数列一定是“等差比数列”;②等比数列一定是“等差比数列”;③通项公式为a n =a ·b n +c(a ≠0,b ≠0,1)的数列一定是“等差比数列”.其中正确的个数是A.0B.1C.2D.3解析:①②错误,对于①②只要举常数列即可验证它是错的;③正确,对于③,其中k=b.答案:B11.已知数列{a n }满足a 1=1,na n =(n+1)a n-1(n ≥2,且n ∈N +),则a n 2+14n取最小值的n 值为A.2B.3C.4D.5解析:∵na n =(n+1)a n-1,∴a n a n -1=n+1n ,∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1=21·32·…·n+1n=n+1,即a n =n+1(n ≥2),∴a n 2+14n =n+15n +2,令f(x)=x+15x+2,∵f(x)在(0,√15)上单调递减,在(√15,+∞)上单调递增.故当n=3或4时,a n 2+14n取最小值, ∵a 32+143=3+153+2=10,a 42+144=4+154+2=394,故当n=4时取最小值,故选C. 答案:C12.对任意x ∈R ,函数f(x)满足f(x+1)=√2f(x)-[f(x)]2+1,设a n =[f(n)]2-2f(n),数列{a n }的前2013项的和为-1003,则f(2013)等于A.4B.3C.2D.1解析:因为[f(x+1)-1]2=[f(x+1)]2-2f(x+1)+1=2f(x)-[f(x)]2,所以有a n+1+a n =-1. 前2013项和S 2013=1006·(-1)+a 2013=-1003,由此可得a 2013=3,a 2012=-4. 因而f(2013)=√-a 2012+1=3,故选B. 答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d= . 解析:由题意知{a 1+2d =4,3a 1+3×22×d =6,解得d=2. 答案:214.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 3+a 9=17S 7,且a 4,a 6为等比数列{b n }相邻的两项,则等比数列{b n }的公比q= .解析:∵a 3+a 9=17S 7,∴2a 6=17×7(a 1+a 7)2=a 4,∴q=12或2. 答案:12或215.数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +1,则通项a n = .解析:由题可得a n+1+1=2(a n +1),∴a n+1+1a n +1=2,数列{a n +1}为等比数列,∴a n +1=2n-1(a 1+1)=2n ,故a n =2n -1.答案:2n -116.数列{a n }中,对任意的m,n,p ∈N +,当m+n=p 时,都有a m ·a n =a p ,若a 1=12,则a 10的值为 .解析:∵a m ·a n =a p ,∴a 12=a 2,a 1·a 2=a 3, a 1·a 3=a 4, …… a 1·a 9=a 10,累乘得a 110=a 10=(12)10=11024. 答案:11024三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110且a 1,a 2,a 4成等比数列,求数列{a n }的通项公式.解析:因a 1,a 2,a 4成等比数列,故a 22=a 1a 4,而{a n }是等差数列,有a 2=a 1+d,a 4=a 1+3d,于是(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+3a 1d,化简得a 1=d.5分∵S 10=10a 1+10×92d=110,∴10a 1+45d=110. 又∵a 1=d,∴55d=110,∴d=2,∴a n =a 1+(n-1)d=2n.10分18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)图象过点(-12,-2),数列{a n },{b n }满足a 1=1,b 1=1,且对任意n ∈N +,均有a n+1=a nf(a n )f(an )+3,b n+1-b n =1a n .(1)求函数f(x)的解析式; (2)试求数列{a n },{b n }的通项公式.解析:(1)由题意可知(-12)a =-2,所以a=-1,故f(x)=1x(x ≠0).4分 (2)由(1)可得a n+1=11a n +3=a n 3a n +1,所以有1a n+1=1a n +3,故a n =13n -2. b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1=3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1=3·n -1+12(n-1)-2n+2+1=3n 2-7n+62.12分19.(本小题满分12分)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且S n =13a n 2+12a n .(1)求a n ; (2)设√b n =34an +3(n ∈N +),且数列{b n }的前n 项和为T n ,试比较T n 与14的大小.解析:(1)由已知可得a 1=13a 12+12a 1,a 1>0,所以a 1=32. 当n ≥2时,有a n =S n -S n-1=13a n 2+12a n -(13a n -12+12a n-1) =13(a n 2-a n -12)+12(a n -a n-1),∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-32)=0, 又a n >0,所以有a n -a n-1=32,数列{a n }为等差数列. 所以a n =32n.6分 (2)由(1)可知b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1<14n 2+4n <14(1n -1n+1), 所以有T n =b 1+b 2+…+b n <14[(11-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=14(1-1n+1)<14.12分 20.(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(1a 1+1a 2),a 3+a 4+a 5=64(1a 3+1a 4+1a 5).(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1a n)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析:(1)设公比为q,则a n =a 1q n-1,易知q ≠1.由已知得{a 1+a 1q =2(1a 1+1a 1q ),a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4=64(1a 1q 2+1a 1q3+1a 1q4), 化简得{a 12q =2,a 12q 6=64.又a 1>0,故q=2,a 1=1,∴a n =2n-1.6分(2)由(1)知b n =(a n +1a n )2=a n 2+1a n2+2=4n-1+14n -1+2,∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =(1+4+…+4n-1)+(1+14+…+14n -1)+2n=4n -14-1+1-14n 1-14+2n=13(4n -41-n )+2n+1.12分21.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数,对于任意的x,y ∈R ,都有f(x ·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{a n }满足a n =f(2n )(n ∈N +),且a 1=2. (1) 试求数列{a n }的通项公式a n . (2)若b n =a nn(n+1)2,求数列{b n }的最小项.解析: (1)因为a 1=f(2)=2,令x=2n-1,y=2,则有f(2n )=2n-1f(2)+2f(2n-1) =2n +2[2n-2f(2)+2f(2n-2)]=2·2n +22f(2n-2)=2·2n +22[2n-3f(2)+2f(2n-3)]=3·2n +23f(2n-3)=…=(n-2)·2n +2n-2[2n-(n-1)f(2)+2f(2n-(n-1))]=n ·2n ,7分 即a n =n ·2n . (2)由(1)可知b n =2n (n+1)2,令b n+1b n =2·[n+1n+2]2>1得n 2>2,n>√2, 即当n ≥2,n ∈N ,都有b 2<b 3<…<b n ,而b 1=12>b 2=49,故(b n )min =b 2=49.12分22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n(n ∈N +)项和为S n ,a 1=t,a 2=-1,点P n (a n ,S n ),若点P n (n=2,3,4,…)都在斜率为13的同一条直线上.(1)当t 为何值时,数列{a n }是等比数列?(2)在满足(1)的条件下,设b n =λa n -n 2,若数列{b n }中,有b 1>b 2,b 3>b 4,…,b 2n-1>b 2n ,…成立,求实数λ的取值范围.解析:(1)∵点P n ,P n+1(n=2,3,4,…)都在斜率为13的直线上, ∴S n+1-S n a n+1-a n =13. 又∵S n+1-S n =a n+1, ∴a n+1=13(a n+1-a n ),整理得a n+1a n =-12(n ≥2). 又∵当n ∈N +时,数列{a n }是等比数列, ∴只需要a 2a 1=-1t=-12, ∴t=2.6分(2)由(1)得a n =2·(-12)n-1, ∵b n =λa n -n 2, ∴b n =2λ(-12)n-1-n 2,由b 2n-1>b 2n 得,2λ(-12)2n-2-(2n-1)2>b 2n =2λ(-12)2n-1-(2n)2, 即2λ(-12)2n-2[1-(-12)]>(2n-1)2-(2n)2,∴λ>-(4n -1)·4n12, ∵-(4n -1)·4n 12单调递减, ∴当n=1时,-(4n -1)·4n12取最大值为-1, ∴λ>-1.12分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师13(理)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十三)第十三单元立体几何初步(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.答案:A2.如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径,则圆柱与球的表面积之比为A.3∶2B.3∶1C.2∶1D.2∶1解析:设球的半径为r,则S圆柱∶S球=(2πr2+(2r)·2πr)∶4πr2=3∶2.答案:A3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α⊥β的是A.a⊥α,a⊥βB.a⊂α,a⊥βC.a⊂α,b⊂β,a⊥bD.a⊂α,b⊥α,b∥β解析:根据面面垂直的判定可知,B项可以推出α⊥β.答案:B4.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在α、β内运动时,那么所有的动点CA.不共面B.当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A、B如何移动都共面解析:根据平行平面的性质,不论A、B如何运动,动点C均在过C且与α,β都平行的平面上.答案:D5.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是解析:依次还原几何体,可以得出A,B,C中的三视图是同一个三棱锥,摆放的位置不同而已,而D和它们表示的不是同一个三棱锥.答案:D6.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体积为A.B.1C.2D.4解析:连结A1C,∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C,∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1,即四边形AA1C1C是正方形,∴AA1=AC=1,则该三棱柱的体积V=×1×2×1=1.答案:B7.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F是AB的三等分点,G、H是CD的三等分点,M、N分别是BC、EH的中点,则四棱锥A1—FMGN的侧视图为解析:侧视图即为光线自物体的左侧向右侧投影所得的投影图,点A1、F、M、N的投影分别为点D1、G、C、H,故该物体的侧视图为选项C所示.答案:C8.在直二面角α—l—β中,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则A.a不和b垂直,但可能a∥bB.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不和b平行,但可能a⊥bD.a不和b垂直,也不和b平行解析:若a∥b,则a∥β,于是a∥l与已知矛盾;若a⊥b,在β内做直线m⊥l,则m⊥α,于是a⊥m,b,m不平行,所以a⊥β,则a⊥l与已知矛盾,故a不平行b也不垂直b.答案:D9.设有一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.4+B.4+C.4+D.4+π解析:该三视图的实物图有三部分组成,上半部分为底面半径为1高为2的圆柱,下半部分由底面半径为1高为1的圆柱的一半及边长为2、2、1的长方体组合而成,故其体积为4+.答案:C10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.πa2B.πa2C.πa2D.5πa2解析:由题设条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,根据对称性可知,外接球的球心为上、下两底中心O1、O2连线的中点O,如图所示.在Rt△AO1O中,AO1=×=,OO1=,OA2=R2=()2+()2=,S球=4πR2=4π×=.答案:B11.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.若BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ.则a的取值范围是A.(1,+∞)B.[1,2)C.(2,+∞)D.[2,4]解析:如图所示,若PQ⊥DQ,则有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,则“BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”就转化为“BC边上存在两个点Q使得AQ⊥DQ”,即以AD为直径的圆与边BC有两个交点,所以>1,即a>2.答案:C12.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中,下列说法中错误的是A.AC∥平面BEFB.B、C、E、F四点不可能共面C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE与平面BEF可能垂直解析:在图2中取AC的中点为O,取BE的中点为M,连结MO,易证得四边形AOMF为平行四边形,即AC∥FM,∴AC∥平面BEF,故A正确;∵直线BF与CE为异面直线,∴B、C、E、F四点不可能共面,故B正确;在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,∴EF⊥平面CDF,即有CD⊥EF,∴CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,故C正确;延长AF至G使得AF=FG,连结BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE.若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾,故D错误.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.一个棱台被平行于底面的平面所截,若上底底面面积、截面面积与下底底面面积之比为4∶9∶16,则此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为.解析:根据还台于锥的办法可得,此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为1∶1.答案:1∶114.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β,则其中能使m∥α成立的充分条件有(填序号).解析:①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内.答案:③15.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心,给出下列四个结论:①PR与BQ是异面直线;②RQ⊥平面BCC1B1;③平面PQR∥平面D1AC;④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为的等边三角形.以上结论中正确的是.(写出所有正确结论的序号)解析:据图可知③④正确.答案:③④16.如图所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB且AB=7,AD=3,CD=4,DE=3,若沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,则四棱锥D—ABCE的外接球的体积为.解析:因为平面ADE⊥平面ABCE且△ADE为直角三角形,所以四边形ABCE的外接圆的圆心即为四棱锥D—ABCE的外接球的球心,在△ABC中,AB=7,BC=3,AC=5,∠ABC=,由正弦定理得四边形ABCE的外接圆的直径为∠=∠=5,即得四棱锥D—ABCE的外接球的半径为,其体积为π.答案:π三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,AB=2,点D1、D分别是棱B1C1、BC的中点.(1)求证:A1D1⊥平面BB1C1C;(2)求证:AB1∥平面CA1D1.解析:(1)由已知得AA1⊥平面A1B1C1,∴侧面BCC1B1⊥平面A1B1C1,又A1B1=A1C1,∴A1D1⊥B1C1,∴A1D1⊥平面BB1C1C,5分(2)∵D1、D分别是棱B1C1、BC的中点,∴B1D∥CD1,∴CD1∥平面AB1D.又ADD1A1为矩形,∴A1D1∥AD,∴A1D1∥平面AB1D.∵AD∩DB1=D,∴平面CA1D1∥平面ADB1.又AB1⊂平面AB1D,∴AB1∥平面CA1D1.10分18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥P—EFG的体积.解析:(1)∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵ABCD为正方形,∴CD∥AB,∴EF∥AB,∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG∥PB,∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB,∴PA∥平面EFG.6分(2)∵PD⊥平面ABCD,GC⊂平面ABCD,∴GC⊥PD.∵ABCD为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,∴GC⊥平面PCD.∵PF=PD=1,EF=CD=1,∴S△PEF=EF×PF=.∵GC=BC=1,∴V P—EFG=V G—PEF=S△PEF·GC=××1=.12分19.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.解析:(1)∵多面体ABCD—A1B1C1D1为正方体,∴B1C1⊥平面ABB1A1;∵A1B⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥A1B.又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴A1B⊥平面ADC1B1,∵A1B⊂平面A1BE,∴平面ADC1B1⊥平面A1BE.5分(2)当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.以下证明之:易知EF∥C1,且EF=C1D,设AB1∩A1B=O,则B1O∥C1D且B1O=C1D,所以EF∥B1O且EF=B1O,所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄平面A1BE,OE⊂平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.12分20.(本小题满分12分)一个多面体的三视图和直观图分别如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF 上的一动点.(1)求证:GN⊥AC;(2)当FG=GD时,在边AD上是否存在一点P,使得GP∥平面FMC?解析:(1)如图所示,由三视图可得直观图为一个横放的侧棱垂直于底面的三棱柱,且在底面ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC,连接DB.可知B,N,D共线,且AC⊥DN,又FD⊥AD,FD⊥CD,且AD∩CD=D,所以FD⊥平面ABCD,所以FD⊥AC.又FD∩DN=D,所以AC⊥平面FDN.所以GN⊥AC.6分(2)当FG=GD时,在边AD上存在一点P,使得GP∥平面FMC,此时A,P重合.证明如下:取DC中点S,连接AS,GS,GA.因为G是DF的中点,所以GS∥FC,AS∥CM.又GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面GSA∥平面FMC.又GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC,即GP∥平面FMC.12分21.(本小题满分12分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥A'—BCDE.(1)在棱A'B上找一点F,使EF∥平面A'CD;(2)求四棱锥A'—BCDE体积的最大值.解析:(1)F为棱A'B的中点.证明如下:取A'C的中点G,连结DG,EF,GF,则由中位线定理得DE∥BC,DE=BC,且GF∥BC,GF=BC,所以DE∥GF,DE=GF,从而四边形DEFG是平行四边形,EF∥DG.又EF⊄平面A'CD,DG⊂平面A'CD,故F为棱A'B的中点时,EF∥平面A'CD.6分(2)在平面A'CD内作A'H⊥CD于点H,⇒DE⊥平面A'CD⇒A'H⊥DE.又DE∩CD=D,∴A'H⊥底面BCDE,即A'H就是四棱锥A'—BCDE的高.由A'H≤AD知,点H和D重合时,四棱锥A'—BCDE的体积取最大值.此时V四棱锥A'—BCDE=S梯形BCDE·AD=×(a+2a)a·a=a3,故四棱锥A'—BCDE体积的最大值为a3.12分22.(本小题满分12分)一个多面体如图,ABCD是边长为a的正方形,AB=FB,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,G,H分别为AE,CE中点.(1)求证:GH∥平面ACF;(2)当平面ACE⊥平面ACF时,求DE的长.解析:(1)如图,连结AC.在△ACE中,∵G,H分别为AE,CE中点,∴GH∥AC,又AC⊂平面ACF,且GH⊄平面ACF.所以GH∥平面ACF.5分(2)如图,连结DB,交AC于O,连结EO,FO,∵ABCD是正方形,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,∴Rt△ADE≌Rt△CDE,得AE=CE,EO⊥AC,∵EO⊂平面ACE,AC⊂平面ACF,AC∩OF=O,∴只要EO⊥FO,就有平面ACE⊥平面ACF,设DE的长为x,在Rt△ODE中,OE2=x2+a2,在Rt△OBF中,OF2=a2+a2=a2,EF2=2a2+(a-x)2,EF2=OE2+OF2,解得x=a,即平面ACE⊥平面ACF时,DE的长为a.12分。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师16（文）
全国100所名校单元测试⽰范卷（⾼三）：数学14数学全国教师16（⽂）全国100所名校单元测试⽰范卷·⾼三·数学卷(⼗六)第⼗六单元圆锥曲线⽅程(120分钟150分)第Ⅰ卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p的值为A.1B.2C.3D.4解析:圆的⽅程可化为(x-3)2+y2=16,由条件可得+3=4,所以p=2.答案:B2.若椭圆+y2=1(a>1)的离⼼率为,则该椭圆的长轴长为A. B. C. D.或解析:由题意可得-=,解之得a=,则椭圆的长轴长为.答案:A3.已知直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4,则|AB|等于A.4B.6C.8D.10解析:由条件易知直线过抛物线的焦点F(1,0),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6.答案:B4.已知P是椭圆+=1(a>b>0)上⼀点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离⼼率为,则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为A.B.1 C. D.2解析:设椭圆的焦距为2c,由条件可得则则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为a-c=2-1=1.答案:B5.已知抛物线x2=ay(a≠0)在x=1处的切线的倾斜⾓为45°,则该抛物线的焦点坐标为A.(0,1)B.(0,)C.(0,-1)D.(0,-)解析:由x2=ay可得y=x2,求导可得y'=x,故切线斜率为=1,故a=2,抛物线⽅程为x2=2y,焦点坐标为(0,).答案:B6.已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线上⼀点,F是双曲线的右焦点,若|PF|的最⼩值为a,则该双曲线的离⼼率为A. B. C. D.解析:双曲线的渐近线⽅程为y=±x,即bx±ay=0,|PF|的最⼩值即为焦点F(c,0)到渐近线的距离,故=a,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2-a2),e==.答案:C7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线AB垂直于x轴,与抛物线交于点A、B,O是坐标原点,若·=-,则△AOB的⾯积为A.4B.2C.1D.解析:直线AB的⽅程为x=,代⼊抛物线⽅程可得y=±p,则A(,p),B(,-p),则·=-p2=-,故p=1,则△AOB的⾯积为··2p==.答案:D8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)左⽀上⼀点P到左焦点的距离为4,到右焦点的距离为8,且双曲线⼀条渐近线的倾斜⾓为60°,则该双曲线的⽅程为A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析:由条件可得2a=8-4=4,故a=2,再由渐近线的倾斜⾓为60°可知⼀条渐近线的斜率为=,故b=2,双曲线的⽅程为-=1.答案:D9.在直⾓坐标系中,把双曲线C1:-y2=1绕原点逆时针旋转90°得到双曲线C2,给出下列说法:①C1与C2的离⼼率相同;②C1与C2的焦点坐标相同;③C1与C2的渐近线⽅程相同;④C1与C2的实轴长相等.其中正确的说法有A.①②B.②③C.①④D.③④解析:旋转后,双曲线C2的的实轴在y轴上,焦点也在y轴上,⽅程为-x2=1,渐近线⽅程为y=±x,与C1的渐近线⽅程不同,显然正确的选项只有①④.答案:C10.如图,已知椭圆+=1内有⼀点B(2,2),F1、F2是其左、右焦点,M为椭圆上的动点,则||+||的最⼩值为A.4B.6C.4D.6解析:||+||=2a-(||-||)≥2a-||=8-2=6,当且仅当M,F2,B共线时取得最⼩值6.答案:B11.已知F1,F2分别是双曲线-y2=1(a>0)的两个焦点,点P是双曲线上的⼀点,且满⾜∠F1PF2=90°,则△PF1F2的⾯积为A.4B.3C.2D.1解析:由条件可得-=2a,由题意可知△F1PF2为直⾓三⾓形,设双曲线的焦距为2c,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,b2=1,故(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,即4a2+2|PF1|·|PF2|=4c2,故|PF1|·|PF2|=2c2-2a2=2b2=2,故△PF1F2的⾯积为|PF1|·|PF2|=b2=1.答案:D12.已知抛物线y2=2px(p>0)上⼀点P到焦点F的距离为p,到x轴的距离为1,过F作倾斜⾓为45°的直线l与抛物线的准线交于点A,则·等于A.-B.-C.D.解析:不妨设点P(x0,1),根据定义可知点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离,故x0+=p,故x0=,把点P坐标代⼊抛物线⽅程可得1=2p·,故p=1,焦点坐标(,0),故直线l的⽅程为y=x-,则直线l与抛物线的准线x=-的交点为A(-,-1),则·=(-,-1)·(,0)=-.答案:A第Ⅱ卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.若直线l的⽅程为kx-y+1-k=0(k∈R),则直线l与椭圆+=1的交点个数为.解析:由题意得直线l的⽅程为k(x-1)=y-1,恒过定点(1,1),⼜+<1,∴点(1,1)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.答案:214.2013年国家加⼤了对环境污染监测⼒度,为此某市环保部门在市⾥的⼀条污⽔河的桥孔处进⾏了隔离封闭改造,桥孔的横断⾯为抛物线形(如下图所⽰),已知⽔⾯在l时,拱顶离⽔⾯2⽶,⽔⾯宽4⽶,则⽔上升0.5⽶后,⽔⾯宽变为⽶.解析:建⽴如图所⽰的直⾓坐标系,则抛物线⽅程为x2=-2y,当y=-1.5时,x=±,所以⽔⾯宽度为2⽶.答案:215.已知双曲线C的两个焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),且⼀个焦点到其中⼀条渐近线的距离为,则双曲线C的离⼼率为.解析:由条件可得双曲线的焦距2c=6,故c=3,设双曲线⽅程为-=1(a>0,b>0),则渐近线⽅程为y=±x,即ax±by=0,则=,故a2=b2,⽽a2+b2=c2=9,故c=3,a=,双曲线的离⼼率为.答案:16.已知直线x=2与椭圆C:+=1交于两点E1,E2,任取椭圆C上的点P,若=a+b(a,b∈R),则ab的最⼤值是.解析:联⽴x=2与+=1,解得E1(2,),E2(2,-),∴=a+b=(2a+2b,a-b),∴P(2a+2b,a-b),∵点P在椭圆C上,∴+-=1,∴a2+b2-ab=1,∴a2+b2=ab+1≥2ab,∴ab≤1,即ab的最⼤值是1.答案:1三、解答题:本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.17.(本⼩题满分10分)椭圆的中⼼在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,以椭圆的短轴的⼀个端点B与两个焦点F1、F2为顶点的三⾓形的周长是8+4,且∠BF1F2=.(1)求椭圆的标准⽅程;(2)若直线y=x+1与椭圆交于点M、N,求线段|MN|的长.解析:(1)设椭圆+=1(a>b>0),焦距为2c,由条件可得2a+2c=8+4,所以a+c=4+2.⼜∠BF1F2=,所以=,故所以b=2,所以椭圆⽅程为+=1.5分(2)由可得5x2+8x-12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,|MN|=|x1-x2|=·-=.10分18.(本⼩题满分12分)为了研究探照灯的结构特征,在坐标轴中画出了探照灯的轴截⾯,如图.已知探照灯的轴截⾯图是抛物线y2=2px(p>0)的⼀部分,若该抛物线的焦点恰好在直线x+y-1=0上.(1)求该抛物线的⽅程;(2)若⼀束平⾏于x轴的直线⼊射到抛物线的P点,经过抛物线焦点F后,由点Q反射出平⾏光线,试确定点P的位置使得从⼊射点P到反射点Q的路程最短.解析:(1)直线x+y-1=0与x轴的交点为(1,0),故抛物线焦点F(1,0),抛物线⽅程为y2=4x.5分(x-1).(2)设点P坐标为(,a)(a≠0),⼜PQ过焦点可得PQ的⽅程为y=解得y=a或y=-,故点Q(,-),则|PQ|=|PF|+|QF|=++2≥2+2=4,当且仅当a=±2时,取等号,故当点P的坐标为(1,2)或(1,-2)时,从⼊射点P到反射点Q的路程最短为4.12分19.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离⼼率为,椭圆上的点到焦点的最近距离为,其左、右焦点分别为F1、F2,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与F2重合.(1)求椭圆及抛物线的⽅程;(2)过F1作抛物线的两条切线,求切线⽅程.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由椭圆的离⼼率可得=-=,故a=2c,b2=a2.⼜由条件可知a-c=,故a=2,c=,b2=×12=9,故椭圆的⽅程为+=1.则F1(-,0),F2(,0),由条件可知抛物线的焦点坐标为F2(,0),即=,故抛物线的⽅程为y2=4x.6分(2)设过F1的切线⽅程为y=k(x+),由可得k2x2+(2k2-4)x+3k2=0,则Δ=(2k2-4)2-12k4=0,解得k=1或-1,故抛物线的两条切线的⽅程分别为y=x+与y=-x-.12分20.(本⼩题满分12分)平⾯直⾓坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满⾜=α+β,其中α、β∈R,且α-2β=1.(1)求点C的轨迹⽅程;(2)设点C的轨迹与双曲线-=1(a>0,b>0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求-的值.解析:(1)设C(x,y),因为=α+β,则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),∴-∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹⽅程是x+y=1.6分(2)由-得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由题意得b2-a2≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=--,x1x2=--.∵以MN为直径的圆过原点,∴·=0,即x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+--∴b2-a2-2a2b2=0,∴-=2.12分21.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意⼀点,|PF1|·|PF2|的最⼤值为4,且椭圆C的离⼼率是双曲线-=1的离⼼率的倒数.(1)求椭圆C的标准⽅程;(2)若O为坐标原点,B为椭圆C的右顶点,A,M为椭圆C上任意两点,且四边形OABM 为菱形,求此菱形⾯积.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则|PF1|·|PF2|≤()2=()2=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取得最⼤值a2,故a2=4,则a=2.⽽双曲线-=1的离⼼率为=,故椭圆的离⼼率为,即=,故c=,所以b=1,所以椭圆的标准⽅程为+y2=1.6分(2)椭圆C的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABM为菱形,所以AM与OB相互垂直且平分,所以可设A(1,m),代⼊椭圆⽅程得+m2=1,即m=±,所以菱形OABM⾯积为|OB||AM|=×2×=.12分22.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)短轴端点和两个焦点的连线构成正⽅形,且该正⽅形的内切圆⽅程为x2+y2=2.(1)求椭圆C的⽅程;(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的⼀个焦点F重合,直线l:y=x+m与抛物线E交于两点A,B,且0≤m≤1,求△FAB的⾯积的最⼤值.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由条件可得b=c.连接⼀个短轴端点与⼀个焦点的直线⽅程可以是+=1,即x+y-b=0.由直线与圆相切可得=,故b=2,则c=2,a2=b2+c2=8,故椭圆C的⽅程为+=1.6分(2)抛物线E的焦点在x轴的正半轴上,故F(2,0),故p=4,抛物线E的⽅程为y2=8x.由可得x2+(2m-8)x+m2=0,由直线l与抛物线E有两个不同交点可得Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0在0≤m≤1时恒成⽴.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2.则|AB|=-=--=8-.⼜点F(2,0)到直线l:y=x+m的距离为d=,故△FAB的⾯积为S=d·|AB|=2--.令f(m)=-m3-2m2+4m+8,则f'(m)=-3m2-4m+4.令f'(m)=0可得m=-2或,故f(m)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,故m=时,f(m)取最⼤值,则△FAB的⾯积的最⼤值为.12分。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(五)第五单元函数的综合应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→2x表示把集合M中的元素x,映射到集合N 中为2x,则a+b等于A.-2B.0C.2D.±2解析:由于M中元素1能对应a,能对应0,所以=0,a=2,所以b=0,a=2,因此a+b=2.答案:C2.已知函数f(x)=--则f[f(-1)]等于A.B.2 C.1 D.-1解析:f[f(-1)]=f(1)=2.答案:B3.函数y=(a>1)的图象大致形状是解析:当x>0时,y=a x,因为a>1,所以是增函数,排除C、D,当x<0时,y=-a x,是减函数,所以排除A.答案:B4.设函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m(m为常数),则f(-2)等于A.-B.-1C.1D.3解析:因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,所以当x≥0时,函数f(x)=2x-2x-1,所以f(-2)=-f(2)=-(4-4-1)=1.答案:C5.记min{a,b}为a,b两个数的较小者,max{a,b}为a,b两个数的较大者,f(x)=-则--·-的值为A.min{a,b}B.max{a,b}C.bD.a--=b.解析:(1)若a>b,则a-b>0,∴f(a-b)=1.∴原式=(2)若a<b,a-b<0,∴f(a-b)=-1.∴原式==a.--·-=min{a,b}.所以答案:A6.已知f(x+199)=4x2+4x+3(x∈R),那么函数f(x)的最小值为A.1B.2C.3D.5解析:求f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x+199)与y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们取得的最大值和最小值是相同的,由y=4x2+4x+3=4(x+)2+2,所以f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.答案:B7.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数.若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析:∵f(x)为[-1,0]上的减函数,且f(x)为R上的偶函数,∴f(x)在[0,1]上是增函数,又f(x)是以2为周期的函数,∴f(x)在[2,3]上的单调性与[0,1]上相同,即递增.答案:A8.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式<0的解集为A.(-,)B.(,π)C.(-,)∪(,π)D.(-,0)∪(,π)解析:<0⇒f(x)与g(x)在同一区间内符号相反,由图可知当x∈(0,π)时,两者异号的区间为(,π),又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴它们在[-π,0]上的图象大致为如图所示,可知其异号的区间为(-,0),∴<0的解集为(-,0)∪(,π).答案:D9.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是A.[-2,-1]B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-1,1)解析:由题可知---即---得∴f'(x)=3x2+6x,令f'(x)≤0,得-2≤x≤0,∵f(x)在区间[t,t+1]上递减,∴-得-2≤t≤-1.答案:A10.已知函数f(x)满足:①定义域为R;②对任意x∈R,有f(x+2)=2f(x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1.则方程f(x)=log4|x|在区间[-4,4]内的解的个数是A.9B.6C.5D.4解析:∵f(x+2)=2f(x),∴f(4)=2f(2)=4f(0)=4,又log44<2,∴当0≤x≤4时,作出草图可知f(x)=log4|x|有3个解,又f(-2)=f(0)==log4|-2|,∴作出草图可知当-4≤x<0时,f(x)=log4|x|有2个解,∴在[-4,4]内解的个数是5个.答案:C11.2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了,但它对日本的核电站的破坏却是持续的,其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中,假设近似满足:其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0-,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)等于A.5太贝克B.72ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克解析:因为铯137含量的变化率为M'(t)=-M0-ln2,所以当t=30时,M'(30)=-M0-ln2=-ln2=-10ln2,所以M0=600,可解得M(60)=150.答案:D12.已知函数f(x)=ln x++ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是A.(-∞,-]B.(-∞,-]∪[0,+∞)C.(-∞,0)∪[,+∞]D.(-∞,0)∪(,+∞)-,解析:f'(x)=-+a=当a≥0时,ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零,即f'(x)>0,符合要求.当a<0时,令g(x)=ax2+x-1,g(x)在[2,+∞)上只能恒小于零,解得a≤-,故Δ=1+4a≤0或-∴a的取值范围是(-∞,-]∪[0,+∞).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=log0.1|x-1|的定义域是.解析:∵|x-1|>0,∴x∈R且x≠1.答案:{x|x∈R且x≠1}14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=1且对任意x∈R都有f(x+3)=f(x),则f(2014)=.解析:由f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为3的周期函数.所以f(2014)=f(671×3+1)=f(1)=f(3-2)=f(-2)=f(2)=1.答案:115.若lg x+lg y=0,则2x·2y的最小值是.解析:lg xy=0,xy=1,x+y≥2=2,2x·2y=2x+y≥22=4.答案:416.抛物线y2=3x与圆x2+y2=4围成的封闭图形的面积是.解析:得或-如图,则抛物线y2=3x与AB围成的图形面积是S=2dx=2×=因为A的坐标是A(1,),所以∠AOx=,劣弧AB与弦AB围成的面积是π·22-×2=π-,所以抛物线与圆围成的封闭图形面积是+π-=π+.答案:π+三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知f(+1)=x+2,求f(x),f(x+1),f(x2);(2)已知2f(x)+f()=10x,求f(x).解析:(1)设t=+1≥1,则=t-1(t≥1),x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1),∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0),∴f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1).5分(2)由2f(x)+f()=10x,用代换x,则2f()+f(x)=1,两式联立消去f()得f(x)=×10x-×1.10分18.(本小题满分12分)某段高速公路全长240公里,两端收费站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口,经预算,修建一个安全出口的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间道路费用为x2+x万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个安全出口才能使y最小,其最小值为多少万元?解析:(1)设需要修建k个安全出口,则(k+1)x=240,即k=-1.所以y=400k+(k+1)(x2+x)=400×(-1)+(x2+x)=+240x-160.因为x表示相邻两安全出口之间的距离,则0<x≤240.故y与x的函数关系是y=+240x-160(0<x≤240).6分(2)y=+240x-160≥2-160=9440.当且仅当=240x即x=20时取等号,此时k=-1=-1=11.故需要修建11个安全出口才能使y最小,最小值为9440万元.12分19.(本小题满分12分)设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f()=1,且当x>0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断函数的奇偶性;(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.解析:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.3分(2)令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.6分(3)任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0f(x1)<f(x2).故f(x)是R上的增函数.∵f()=1,∴f()=f(+)=f()+f()=2,∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f(),又由y=f(x)是定义在R上的增函数,得2x+2<,解之得x<-.故x∈(-∞,-).12分20.(本小题满分12分)函数f(x)的图象是[-2,2]上连续不断的曲线,且满足2014f(-x)=,且在[0,2]上是增函数,若f(log2m)<f[log4(m+2)]成立,求实数m的取值范围.解析:∵2014f(-x)=,即201-=2014-f(x),可得f(-x)=-f(x).又因为函数的定义域[-2,2]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数.由奇函数的性质可知,函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的,而已知函数f(x)在[0,2]上是单调递增的,所以函数f(x)在[-2,0]上也是单调递增的.故由f(log2m)<f[log4(m+2)],可得--6分由-2≤log2m≤2,解得≤m≤4.由-2≤log4(m+2)≤2,解得≤m+2≤16,即-≤m≤14.由log2m<log4(m+2),得log4m2<log4(m+2),故有解得0<m<2.综上所述,m的取值范围为[,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a+)ln x+-x(a>1).(1)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)当a∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)总存在相异两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,求证x1+x2>.解析:(1)由已知x>0,f'(x)=--1=--=---.由f'(x)=0,得x1=,x2=a.因为a>1,所以0<<1,且a>.所以在区间(0,)上,f'(x)<0;在区间(,1)上,f'(x)>0.故f(x)在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增.6分(2)由题意可得,当a∈[3,+∞)时,f'(x1)=f'(x2)(x1,x2>0且x1≠x2).即--1=--1,所以a+=+=,a∈[3,+∞).因为x1,x2>0且x1≠x2,所以x1x2<()2恒成立,所以>,又x1+x2>0,所以a+=>,整理得x1+x2>.令g(a)=,因为a∈[3,+∞),所以g(a)在[3,+∞)上单调递减,所以g(a)=在[3,+∞)上的最大值为g(3)=,所以x1+x2>.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-ax(a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若f(x)≥x+b恒成立,求(a+1)b的最大值.解析:(1)f'(x)=e x-a,显然,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)不存在极值.当a>0时,由f'(x)>0,得x>ln a,当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=ln a时,函数f(x)取得极小值,f(ln a)=a-aln a.4分(2)f(x)≥x+b恒成立,即e x-ax≥x+b,得e x-(a+1)x≥b.(i)若a+1<0,对任意实数b,x<0时,因为e x<1,-,所以e x-(a+1)x<1-(a+1)x,令1-(a+1)x<b,得x<因此,a+1<0,f(x)≥x+b不恒成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x,则g'(x)=e x-(a+1),当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0,当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0,从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增,故g(x)有最小值,g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1),所以f(x)≥x+b恒成立等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1),因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),10分设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)),所以h(a)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值h(-1)=,从而h(a)≤,即(a+1)b≤,所以(a+1)b的最大值是.12分。