函数绝对值

辅导讲义

( 2.+∞对任意两个不相等的正数a、b

[3,)

+∞……………………………………………………时，在区间[12]

，上，

23a =-；21,2

a =当且仅当时，函数y =

的图象如图，图象画出，-------------------3分

高中数学含绝对值的函数图象的画法及其应用素材

含绝对值的函数图象的画法及其应用一、三点作图法三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。例1. 作出下列各函数的图象。（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0），（1，0）。其图象如图1所示。图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0），（0，0）。其图象如图2所示。图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。二、翻转作图法翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。例2. 作出下列各函数的图象。（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。图3 图4

高三数学复习绝对值函数及函数与方程

1 精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘剑授课类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） C （专题方法主题）授课日期时段教学内容绝对值类型（2）专题二：局部绝对值例1：若不等式a ＋21 x x ≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为．例2：关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．例3：设实数1a ，使得不等式a a x x 23，对任意的实数2,1x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 .

2 例4：设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f(x)为偶函数，求实数 a 的值；(2)a=2时，讨论函数)(x f 的单调性； (3)设a>2，求函数f(x)的最小值．例习1：已知函数f(x)＝|x －m|和函数g(x)＝x|x －m|＋m 2 －7m. (1)若方程f(x)＝|m|在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；[来源学#科#网Z#X#X#K](2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f(x 1)>g(x 2)成立，求实数m 的取值范围．练习2：设 a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a . （1）若 (0)1f ，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值；（3）设函数 ()(),(,)h x f x x a ，求不等式()1h x 的解集.

3 专题三：整体绝对值 3 例1.已知函数f(x)＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f(a)＝f (b)，则ab ＋a ＋b 的取值范围是．例2.设函数d cx bx ax x f 23)(是奇函数，且当33x 时，)(x f 取得最小值932设函数)1,1()13()()(x x t x f x g ，求)(x g 的最大值)(t F 练习3：21 0x 时，21 |2|3x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为．练习4：设函数3221() 23(01,)3 f x x ax a x b a b R . （Ⅰ）求函数f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的 ],2,1[a a x 不等式f x a 成立，求a 的取值范围。

函数的性质与带有绝对值的函数(教师)

函数的性质与带有绝对值的函数一、复习要点基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法. 二、基础训练 1．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3 x ，则f (x ) ＝．（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则f (x )＜0的x 的取值范围是．【答案】（1）?????－1＋3x ，x ＜0 0， x ＝0 1＋3 x ， x ＞0 ；（2）(－2，2). 2.已知函数()log 1(01)a f x x a a =+>≠且，若当(0,1)x ∈时恒有()0f x <,则函数 23 ()log () 2a g x x ax =-+ 的递减区间是 . 【答案】(0,)3 a . 3．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ．（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝．【答案】（1）log 2(4－x )；（2）－3或0． 4.已知函数()lg f x x =，若0a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】()3,+∞. 5.()||f x x a =-在()2+∞，上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤. 6.关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 . 【答案】1个. 7.2 3x m b --=有4个根，则实数b 的取值范围是 . 【答案】02b <<. 8.若不等式a ＋21x x -≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为．【答案】1a ≥. （2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围；（3）若0b =，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()2 3 2-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，

分段函数与绝对值函数练习

分段函数与绝对值函数练习一、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=?????≥--<+, 114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=?-

7. 已知函数13 2 (0)()(01)log (1)x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数221(0)()(0)x x f x x x ?+≥?=?-≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000， ∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上. 【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ?-≥?=?-+0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)；当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。

分段函数与绝对值函数

2．11分段函数与绝对值函数 ——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二．建构知识网络 1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究. 三、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=???? ?≥--<+, 11 4,1) 1(2 x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=? -

4.（2006全国Ⅱ）函数19 1 ()n f x x n == -∑的最小值为 ( ) （A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3） =___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________. 6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}? ??≥=b a b b a a b a ＜,,,max 则函数 (){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 . 7. 已知函数1 3 2 (0)()(01)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数2 21(0) ()(0) x x f x x x ?+≥?=?-

第四讲绝对值函数和绝对值不等式.docx

标准实用绝对值函数和绝对值不等式【知识点】一、绝对值的性质 a，a≥0， 1.| a|= －a， a<0 推论①： |ab |≥ab ( 当且仅当ab ≥0时，“=”成立)；推论②： |ab |≥－ab (当且仅当ab ≤0时，“=”成立). 2.| a| 2= a2；二、绝对值不等式 3.若 a2≥b 2，则| a|≥|b |；证明：由性质 2， a 2≥ 2a2≥2 a ≥ b |. b| ||b || | | 4.| a| ≥a， ( 当且仅当a≥0时等号成立 )；推论③： |ab |≥ab . 推论④： || a| － |b || ≤| a±b| ≤|a|+| b |. 证明： (1) || a|－| b||≤|a－b |：因为 |ab |≥ab，所以：－ 2| ab |≤－2 ab，所以：a2 + b2－ 2| ab|≤a2+ b2－ 2ab，由性质 2 ，则： (|a|－| b|)2≤(a－b)2，由性质 3即证 . 此时，当且仅当ab ≥0时等号成立. (2) || a|－ |b||≤|a+ b |. 证明：由推论②：|ab |≥－ab，所以：－ 2| ab |≤2 ab，从而： (|a|－| b |)2≤(a+b )2，由性质2即证 .此时，“ = ”成立的条件为ab ≤0. (3)由 2 ab ≤2| ab |=2||| b |，则( +)2≤(||+| b |) 2，由性质 2 即证 .等号成立的条件为 ab ≥0. a a b a

同理可： |a－b |≤|a|+| b |.等号成立的条件ab ≤0. 推⑤： |a1 + a2 + ?+ a n |≤| a1 |+| a2 |+ ?+| a n|. 明：当 n=2，然成立；当 n = k ，有：|a1+ a2+?+ a k|≤|a1|+| a2|+?+| a k|；当 n = k+1，|a1+a2+?+a k+a k+1|=|(a1+a2+?+a k)+a k+1|≤|a1+a2+?+a k|+|a k+1|≤|a1 |+| a2|+ ?+| a k |+| a k+1 |. | a+ b |，ab≥0 ，推⑥： |a|+| b|=|a|+| b|=max{|a+ b |，|a－ b |}. | a－b | ，ab <0 ，明：若 ab ≥0，然有|a|+| b |=| a+ b|，且此： |a+ b| ≥|a－b|，所以： |a|+| b |=max{| a+ b |， |a－b |}； ab <，同理可. 5. 任意a，b∈ R，a+ b +| a－b |=2max{a， b }. 明：由于称性，不妨≥ ，： a + b +| a － b |= a + b + a － b =2 a =2max{ a ， b }. a b 6. 任意a，b∈ R，a+ b－ | a－b |=2min{a， b }. 明： a+ b =max{ a， b }+min{ a， b}，由性 5 ， |a－b |=2max{a， b }－(a+ b)，从而： a+ b －|a－ b |= a+ b －[2max{ a，b }－(a+ b )]=2(a+ b )－2max{ a，b}=2max{ a，b }+2min{a， b }－2max{ a， b}=2min{a， b}. 7. 任意数a，b， |a+ b |+| a－b |=2max{|a|，| b |}. 明①：不妨 a≥b ，|a－ b|+| a+ b |= a－ b+| a－(－ b )|=2max{a，－ b }；若 b≤a≤0，2max{ a，－ b }=2(－ b)=2max{| a|，| b|}；若 b≤0≤a，2max{ a，－ b }=2max{| a|，|b |}；若 0 ≤b≤a， 2max{ a，－b }=2 a=2max{| a|， |b |}.

高中一轮复习__含绝对值的函数

学案17 含绝对值的函数一、课前准备：【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0”之一）．（2）函数2ln -=x y 的图像与函数1=y 的图像的所有交点的横坐标之和为________．（3）函数x y 21log =的定义域为],[b a ，值域为[0,2]，则b -a 的最小值为_______．

10.15指数型函数的对称、平移与绝对值函数图像)

哈哈哈哈对称的图像关于与____ )()(y x f y x f -== 对称。的图像关于与____)()(y x f y x f --== 对称。的图像关于与函数、函数)( 33y B x x y --== 别、自对称与他对称的区C （1）轴对称。于是偶函数，本身图像关函数y y 2 x = （2）轴对称。的图像关于与函数函数y 212y x x y ?? ? ??== 二、函数图像的平移图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,)1(,2)(A =-=x f x f x 发现：函数y =)1(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。类似：函数y =)1(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。图像。分别画出这两个函数的则函数、已知____,1)(,2)(B =-=x f x f x 发现：函数y =1)(-x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。那么：函数y =1)(+x f 的图像相当于把函数y =)(x f 的图像向____移动____个单位。 C 、。）的对称轴为则函数为偶函数已知________2(,)(-x f x f 。）的对称中心为则函数为奇函数已知________(,)2(x f x f + 系？）的图像是什么样的关与函数思考题：函数x f x f -+3()1( 二、指数类绝对值函数图像

的图像变换得来。的图像，思考如何通过、画出函数x x y 22y A == 的图像。的图像变换得到思考：如何通过12 y 2+==x x y B 、图像变换得来。的图像，思考如何通过画出函数1212-=-=x x y y 的图像变换出函数思考：如何通过122-==x x y y C 、）个的实根的个数是（方程22 =+x x

含绝对值的函数问题

含绝对值的函数问题【问题提出】问题1：函数m x y -=在区间(]1,-∞-上是减函数，那么m 的取值范围是______. 问题2：解方程：521=-++x x （1）方程a x x =-++21有两解，则实数a 的取值范围是_____________；（2）方程a x x =-++21有无穷多个解，则实数a 的取值范围是 _____________；思考：如何解方程)(21R a a x x ∈=-++ 问题3：解不等式：（1）521>-++x x ；（2）521≤-++x x （1）不等式a x x >-++21解集为R ，则实数a 的取值范围是_____________；（2）不等式a x x <-++21解集为?，则实数a 的取值范围是_____________；（3）不等式a x x <-++21有解，则实数a 的取值范围是_____________；思考：如何解不等式)(21R a a x x ∈>-++ 问题3：设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则函数()f x 的递增区间为．【探究拓展】探究1：设方程|1|ax x -=的解集为A ，若A ?≠[0，2]，则实数a 的取值范围是．（-∞，-1]∪[-12 ，1]∪[32 ，+∞）代数几何两个角度探究2：已知R a ∈，函数a x x x f -=)(.

（1）判断函数)(x f 的奇偶性，请说明理由；（2）当2a =时，求使()1f x =成立的x 的集合；（3）若函数)(x f 在[)+∞,3上单调递增，求实数a 的取值范围；（4）若函数12)()(++= x x f x g 在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围；（5）求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值()g a 的表达式；（6）求函数在[)+∞,3上的最小值()g a 的表达式；（7）求函数在[)+∞-,1上的最小值()g a 的表达式（8）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m ,的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）（9）试讨论a x f x g -= )()(的零点个数. 解：（1）当0=a 时，x x x f =)(，)()(x f x x x f -=-=-∴，则)(x f 为奇函数；当0≠a 时，a x x x f -=)(，a a a f a f 2)(,0)(-=-=，∵0≠a )()(a f a f ≠-，且)()(a f a f -≠-，则)(x f 既不是奇函数又不是偶函数．（2）①当21≤≤a 时，,0)(≥x f 且当a x =时，有,0)(=a f ∴0)(min =x f ； ②当1a 时， []2,1,4 )2()()(2 22 ∈+--=+-=-=x a a x ax x x a x x f 对称轴2 a x =，若42)2()(,32min -==≤a f x f a ，综上所述：?????? ?>-≤<-≤≤<-=3 , 132,4221,01 , 1)(min a a a a a a a x f ；