《算法设计与分析》递归算法典型例题

算法递归典型例题实验一：递归策略运用练习三、实验项目1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。

题目列表如下：（1）运动会开了N天，一共发出金牌M枚。

第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚，第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚，第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此办理。

到了第N天刚好还有金牌N枚，到此金牌全部发完。

编程求N和M。

（2）国王分财产。

某国王临终前给儿子们分财产。

他把财产分为若干份，然后给第一个儿子一份，再加上剩余财产的1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的1/10；……；给第i 个儿子i份，再加上剩余财产的1/10。

每个儿子都窃窃自喜。

以为得到了父王的偏爱，孰不知国王是“一碗水端平”的。

请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？源程序：（3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下11条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。

问这鱼缸里原有多少条金鱼？（4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有n位乘客，到了第二站先下一半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人，问发车时车上的乘客有多少？（5）猴子吃桃。

有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？（6）小华读书。

第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？（7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将2520个桔子分给六个儿子。

分完后父亲说：“老大将分给你的桔子的1/8给老二；老二拿到后连同原先的桔子分1/7给老三；老三拿到后连同原先的桔子分1/6给老四；老四拿到后连同原先的桔子分1/5给老五；老五拿到后连同原先的桔子分1/4给老六；老六拿到后连同原先的桔子分1/3给老大”。

结果大家手中的桔子正好一样多。

问六兄弟原来手中各有多少桔子？四、实验过程（一）题目一：……1.题目分析由已知可得，运动会最后一天剩余的金牌数gold等于运动会举行的天数由此可倒推每一天的金牌剩余数，且每天的金牌数应为6的倍数。

2.算法构造设运动会举行了N天，If(i==N)Gold[i]=N;Else gold[i]=gold[i+1]*7/6+i;3.算法实现#include <iostream> // 预编译命令using namespace std;void main() //主函数{int i=0,count=0; //count表示运动会举办的天数int gold[100]; //定义储存数组do{count=count+6; // 运动会天数加六gold[count]=count;for (i=count-1; i>=1; i--){if (gold[i+1]%6!=0 )break; // 跳出for循环elsegold[i]=gold[i+1]*7/6+i; //计算第i天剩余的金牌数}} while( i>=1 ); // 当i>=1 继续做do循环cout <<"运动会开了"<<count<<"天"<< endl; //返回天数cout<<"总共发了"<<gold[1]<<"枚金牌"<<endl; //返回金牌数}4.运行结果（二）题目二：……1.题目分析由已知可得，最后一个儿子得到的遗产份数即为王子数目，由此可得到每个儿子得到的遗产份数，在对遗产数目进行合理性判断可得到符合要求的结果。

2.算法构造设皇帝有count个王子，property[count]=count;for (i=count-1; i>=1; i--){if (property[i+1]%9!=0 )break; // 数目不符跳出for循环elseproperty[i]=property[i+1]*10/9+i; //计算到第i个王子时剩余份数}3.算法实现#include <iostream> // 预编译命令using namespace std;void main() //主函数{int i=0,count=0; //count表示国王的儿子数int property[100]; //定义储存数组，表示分配到每个王子时剩余份数do{count=count+9; //王子数目为9的倍数property[count]=count;for (i=count-1; i>=1; i--){if (property[i+1]%9!=0 )break; // 数目不符跳出for循环elseproperty[i]=property[i+1]*10/9+i; //计算到第i个王子时剩余份数}} while( i>=1 ); // 当i>=1 继续做do循环cout <<"皇帝有"<<count<<"个儿子"<< endl; //返回王子数cout<<"遗产被分成"<<property[1]<<"份"<<endl; //返回遗产份数}4.运行结果（三）题目三：……1.题目分析由最后一天的金鱼数目，可递推得到每天的金鱼数目，第一天的数目即为金鱼总数。

2.算法构造fish[5]=11;for (i=4; i>=1; i--)fish[i]=(fish[i+1]*(i+1)+1)/i; //计算到第i天剩余金鱼条数3.算法实现#include <iostream> // 预编译命令using namespace std;void main() //主函数{int i=0;int fish[6]; //定义储存数组各天剩余金鱼数fish[5]=11;for (i=4; i>=1; i--)fish[i]=(fish[i+1]*(i+1)+1)/i; //计算到第i天剩余金鱼条数c out<<"浴缸里原有金鱼"<<fish[1]<<"条"<<endl; //返总金鱼数}4.运行结果（四）题目四：……1.题目分析有到终点站时车上的乘客数可求得到任意一站的乘客人数，到第二站时车上的乘客数目即为发车时车上的乘客数。

2.算法构造n um[8]=6; //到终点站车上还有六人f or(i=7; i>=2; i--)num[i]=2*(num[i+1]-8+i); //计算到第i站车上的人数3.算法实现#include <iostream> // 预编译命令using namespace std;void main() //主函数{int i=0;i nt num[9]; //定义储存数组n um[8]=6; //到终点站车上还有六人f or(i=7; i>=2; i--)num[i]=2*(num[i+1]-8+i); //计算到第i站车上的人数c out<<"发车时车上有"<<num[2]<<"位乘客"<<endl; //返总发站人数，即为到第二站时车上人数}4.运行结果（五）题目五：……1.题目分析可假设有第十天，则第十天剩余的桃子数目为0，由此递推可得每一天剩余的桃子数目。

第一天的桃子数目即为猴子摘桃子的总数。

2.算法构造n um[10]=0; //第n天吃前的桃子数f or(i=9; i>=1; i--)3.算法实现num[i]=2*(num[i+1]+1); //计算到第i天剩余的桃子数算法实现#include <iostream> // 预编译命令using namespace std;void main() //主函数{int i=0;i nt num[11]; //定义储存数组n um[10]=0; //第n天吃前的桃子数f or(i=9; i>=1; i--)num[i]=2*(num[i+1]+1); //计算到第i天剩余的桃子数c out<<"猴子共摘来了"<<num[1]<<"个桃子"<<endl; //输出总的桃子数，即第一天吃前的数目}4.运行结果（六）题目六：……1.题目分析由第六天剩余的页数可递推得到每天的剩余页数，第一天的页数即为全书的页数2.算法构造num[6]=3; //到第n天时剩余的页数f or(i=5; i>=1; i--)num[i]=2*(num[i+1]+2); //计算到第i天剩余的页数3.算法实现#include <iostream> // 预编译命令using namespace std;void main() //主函数{int i=0;i nt num[7]; //定义储存数组n um[6]=3; //到第n天时剩余的页数f or(i=5; i>=1; i--)num[i]=2*(num[i+1]+2); //计算到第i天剩余的页数c out<<"全书共有"<<num[1]<<"页"<<endl; //输出总页数，即第一天吃前的数目}4.运行结果（七）题目七：……1.题目分析由已知可得，第一个儿子得到的橘子数目为平均数的一半，由此可得到第一个儿子原先的橘子数目，而第i个儿子原先的橘子数目可由递推公式得到；2.算法构造if(i==0){a[i]=(ave-ave/2)*(8-i)/(8-i-1); //第一个儿子的数目left=a[i]-ave/2;}else{a[i]=ave*(8-i)/(8-i-1)-left; //由left求第i+1个儿子的橘子数目left=ave/(8-i-1); //第i+1个儿子得到的橘子数目}3.算法实现#include<iostream>using namespace std;void main(){i nt a[6]; //存放六个儿子原先手中的橘子数目i nt left=0; //存放下一个儿子得到的橘子数目i nt ave=420;f or(int i=0;i<6;i++){if(i==0){a[i]=(ave-ave/2)*(8-i)/(8-i-1); //第一个儿子的数目left=a[i]-ave/2;}else{a[i]=ave*(8-i)/(8-i-1)-left; //由left求第i+1个儿子的橘子数目left=ave/(8-i-1); //第i+1个儿子得到的橘子数目}}f or(i=0;i<6;i++)cout<<"第"<<i+1<<"个儿子原先手中的的橘子数为"<<a[i]<<endl; //输出每个儿子原先手中的橘子数目}4.运行结果。