简单几何体的表面积与体积 PPT
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简单几何体的面积和体积课件
下底面周长．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽
然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用 “割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或 化离散为集中，给解题提供便利． (1)几何体的“分割”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易
答案：
4 3 cm 3
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第七章
立体几何
栏目导引
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面 展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2 将圆心角为 π， 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面， 则圆锥的表面积 3 等于________．
解析： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 1 12 2 rl＝ ·π·r ＝3π， 2 23 ∴r＝3，l＝2π. ∴圆锥的母线长为 3，底面半径为 1， 故圆锥的表面积为 S＝π·1·3＋π·r2＝4π.
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第七章
立体几何
栏目导引
1．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几 何体的体积为( A．12π C．9π ) B．16π D．24π
答案： B
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( A. 3 C．4 B．3 D．5
)
4 解析： 设球半径为 R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3. 3
求体积的几何体，进而求之．
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第七章
立体几何
栏目导引
(2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何
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第七章
立体几何
栏目导引
2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽
然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用 “割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或 化离散为集中，给解题提供便利． (1)几何体的“分割”
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易
答案：
4 3 cm 3
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圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面 展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
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立体几何
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2 将圆心角为 π， 面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面， 则圆锥的表面积 3 等于________．
解析： 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 1 12 2 rl＝ ·π·r ＝3π， 2 23 ∴r＝3，l＝2π. ∴圆锥的母线长为 3，底面半径为 1， 故圆锥的表面积为 S＝π·1·3＋π·r2＝4π.
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1．直角三角形两直角边AB＝3，AC＝4，以AB为轴旋转所得的几 何体的体积为( A．12π C．9π ) B．16π D．24π
答案： B
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2．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( A. 3 C．4 B．3 D．5
)
4 解析： 设球半径为 R，则 πR3＝4πR2，∴R＝3. 3
求体积的几何体，进而求之．
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立体几何
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(2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何
2022年秋高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积第2课时球的表面积和体积课件新人
S球＝4πR2＝73πa2.
(1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半 径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图1.
(2)长方体的外据球的
定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条
()
A．1倍
B．2倍
C．95倍
D．74倍
【答案】C
【解析】设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r，3r， 其表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，故最大球的表面积是其余两个 球的表面积之和的4πr326＋π1r62πr2＝95倍．
4．(题型2)一个距离球心为 3 的平面截球所得的圆面面积为π，则 球的体积为________．
错解：2 如图1，设球的大圆为圆O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经 过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt △COE中，OC＝ 102－62 ＝8.在Rt△DOF中，OD＝ 102－82 ＝6.所以 CD＝OC－OD＝8－6＝2，故这两个截面圆间的距离为2.
易错防范：错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导 致错误．事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的 两侧．
的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________． 【答案】14π
【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝ 12＋22＋32＝ 14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.
方向3 球的内接正四面体问题 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求
球的表面积．
解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝ 2 x，由 题意2R＝ 3x＝ 3× 22a＝ 26a，所以S球＝4πR2＝32πa2.
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
长方体正方体表面积和体积ppt(共21张PPT)
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长方体的体积=长×宽×高
=底面积×高
V=Sh
正方体的体积=长×宽×高 =棱长×棱长×棱长
V=a3
长=a
高=h 宽=b
第三节 长方体正方体的体积
习题：
1、求下列图形的体积。
3
第长二方节 体上面（长或方下体面正）方的体面的积表＝面长积×宽
长做方一体 个或如正图方所体示6的个长面方的体总纸面盒积，，长叫6厘做米它，的宽表5面厘积米。，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
4面第5×积三24、是 节=2_0光_(_平_明方_长_厘纸_3方_米_体盒_)正__厂方__体生__的_产_体_；积一1 种正方形1纸2 板箱，棱长是8分米，体积是多少立方分米？
=棱上长面是积1d+m下的面正积方+前体面，积体+积后是面1积d+m左3 面；积+右面积=30 ×2 +24 ×2 +20 ×2 =148（平方厘米）
第三节
长方体正方体的体积
需要引入的概念
计算体积，常用到的体积单位：立方厘米，立方分米，立方米，也可以写成：cm3，dm3，m3
棱长是1cm的正方体，体积是1 cm3 ；
棱长是1m的正方体，体积是1m3
一个手指尖的体积大约是1 cm3
可以用3根1m的木条做成一个互 成直角的架子，放到墙角，看看 体积为1 m3 是多大哦！
4cm 5 第棱二长节 是1dm的长正方方体体正，方体体积的是表1面d积m3 ；
dm
8cm 第5×一4节=20(平方回厘米顾)
第做三一节 个如图所长示方的体长正方方体体纸的盒体，积长6厘米，宽5厘米，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
长方体的体积=长×宽×高
=底面积×高
V=Sh
正方体的体积=长×宽×高 =棱长×棱长×棱长
V=a3
长=a
高=h 宽=b
第三节 长方体正方体的体积
习题：
1、求下列图形的体积。
3
第长二方节 体上面（长或方下体面正）方的体面的积表＝面长积×宽
长做方一体 个或如正图方所体示6的个长面方的体总纸面盒积，，长叫6厘做米它，的宽表5面厘积米。，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
4面第5×积三24、是 节=2_0光_(_平_明方_长_厘纸_3方_米_体盒_)正__厂方__体生__的_产_体_；积一1 种正方形1纸2 板箱，棱长是8分米，体积是多少立方分米？
=棱上长面是积1d+m下的面正积方+前体面，积体+积后是面1积d+m左3 面；积+右面积=30 ×2 +24 ×2 +20 ×2 =148（平方厘米）
第三节
长方体正方体的体积
需要引入的概念
计算体积，常用到的体积单位：立方厘米，立方分米，立方米，也可以写成：cm3，dm3，m3
棱长是1cm的正方体，体积是1 cm3 ；
棱长是1m的正方体，体积是1m3
一个手指尖的体积大约是1 cm3
可以用3根1m的木条做成一个互 成直角的架子，放到墙角，看看 体积为1 m3 是多大哦！
4cm 5 第棱二长节 是1dm的长正方方体体正，方体体积的是表1面d积m3 ；
dm
8cm 第5×一4节=20(平方回厘米顾)
第做三一节 个如图所长示方的体长正方方体体纸的盒体，积长6厘米，宽5厘米，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
最新人教A版高一数学必修二课件：8.3 简单几何体的表面积与体积-第1课时
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第六章第八平章面向立量体及几其何应初用步
方向 3 补形法 如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几
何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，则该几何体的体积为________．
素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养．
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第六章第八平章面向立量体及几其何应初用步
柱体、锥体与台体的体积公式
几何体
体积
说明
柱体 锥体 台体
V 柱体＝Sh
S 为柱体的_底__面__积___，h 为柱体的 _高___
V 锥体＝13Sh
S 为锥体的_底__面__积___，h 为锥体的 _高___
AH＝A1A·cos 60°＝4(cm)． 设 O1A1＝r1，OA＝r2，则 r2－r1＝AH＝4.①
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第六章第八平章面向立量体及几其何应初用步
设 A1B 与 AB1 的交点为 M，则 A1M＝B1M. 又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°. ∴O1M＝O1A1＝r1. 同理 OM＝OA＝r2. ∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4 3，② 由①②可得 r1＝2( 3－1)，r2＝2( 3＋1)． ∴S 表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋ 3)π(cm2)．
【答案】6＋2 2 【解析】V 台体＝13(2＋4＋ 2×4)×3＝31×3×(6＋2 2)＝6＋2 2.
课件2：简单几何体的表面积和体积
高
自
考
主 落
1．(人教 A 版教材习题改编)已知圆锥的表面积为 a m2， 体 验
实 且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是 ·
·
明
固( )
考
基
础
a
3πa
2 3πa
情
2 3a
A.2
B. 3π
C. 3π
D. 3π
【解析】 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意
知 2πr＝πl，∴l＝2r，
明 考
基
情
础 某一个面上．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转
化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方
典 例
法．
课
探 究
3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
后 作
·
业
提 知
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利
能 用“等积法”可求“点到面的距离”．
菜单
典
例 探 究
则圆锥的表面积 S 表＝πr2＋2πr2＝a，∴r2＝3aπ，∴2r＝
课 后
作
· 提 知
2 3πa 3π .
业
能
【答案】 C
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自
主 落
(
实
·
固
基
础
2．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的全面积为
高 考
)
体
A．48(3＋ 3)
B．48(3＋2 3)
验 ·
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【尝试解答】 (1)由三视图知，该几何体的上面是一个 高
高考数学一轮专项复习ppt课件-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积(北师大版)
(50 mm－100 mm)；小明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一个圆锥形容器(如图)接了
24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级
A.小雨
√B.中雨
C.大雨
D.暴雨
由题意，一个半径为2200＝100(mm)的圆面内的降 雨充满一个底面半径为2200×135000＝50(mm)，高为 150(mm)的圆锥， 所以积水的厚度为13π×π×50120×02150＝12.5(mm)，
√D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行 关系不变，正方形的直观图是平行四边形.
自主诊断
4.若一个圆锥的底面半径和高都是1，则它的母线长等于___2__，它的体积 π
等于___3__. 由轴截面可得圆锥的母线长为 12＋12＝ 2，体积为13×π×12×1＝π3.
(2)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
√C.长方体是直平行六面体 √D.存在每个面都是直角三角形的四面体
当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确； 当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则 为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确； 长方体是直平行六面体，故C正确； 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC， 四个面都是直角三角形，故D正确.
侧面形状 _平__行__四__边__形__
_三__角__形__
_梯__形__
知识梳理
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线 互相平行且相等， 相交于_一__点__ 延长线交于_一__点__ 垂直 于底面
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A. 2
B. 3 2
C. 6
D. 6
5. (教材改编题)将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是
() A. 3 R 3 B.
24
3C.R 3
8
D. 5 R 3
24
5 R3 8
答案：
1. C 解析：由球的体积V= 4/3πR3，知应扩大到原来的8倍．
2. D 解析：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三
A. 372 C. 292
B. 360 D. 280
解：该几何体由两个长方体组合而成，其表 面积等于下面长方体的全面积加上上面长方体 的4个侧面积之和．
S=2*(10*8+10*2+8*2)+2*(6*8+8*2)=36
0，故选B.
变式1－1
(2011·珠海模拟)已知几何体的三视图如图所示，它的表面积
A. 2倍
B. 4倍
C. 8倍
D. 16倍
2. (2010·福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所
示，则其侧面积等于
()
A. 3B. 2 C. 2 D. 6 3 3. 若一个球的体积为4 π3 ，则它的表面积为 ．
4. (教材改编题)一个长方体有共顶点的三个面的面积分别
是 2，3， .则6这个长方体外接球的直径是( )
4. 柱、锥、台体的体积 V长方体＝________，V正方体＝________，V柱＝Sh，V锥＝1/3Sh， V台＝1/3(S′＋S＋ )S hS ' . 这是柱体、锥体、台体统一计算公式，特别地，圆柱、圆锥、圆 台还可以分别写成： V圆柱＝______，V圆锥＝________，V圆台＝________. 5. 球的体积及球的表面积 设球的半径为R，V球＝________，S球＝________.
()
A. 3 5 2 cm3
3
B. C3m2 0 3
3
C. 2 2 4 cm3 3
D. Cm1 63 30
解：解此几何体为正四棱柱与正四棱台的组合体，
因为V正四棱柱=4*4*2=32(cm3)，
V正四棱台13（82+42+
8242）2=224， 3
所以V32224320（cm3）.故选B. 33
变式2－1
5. A 解析：如图，设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h. ∵πR=2πr，∴r=R/2,又∵l=R，
h
l2 r2
R2
R2
3R,
42
圆锥的体积V1R2 3R 3R3.
3 4 2 24
经典例题
题型一 几何体的表面积问题
【例1】 (2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的
表面积是
()
链接高考
(2010·陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
的体积是
()
A. 2
B.
知识准备：1.
1会把立体C图. 形23 的三D视. 图13 转化为直观图；
2. 知道体积公式．
答案：B 解析：该立体图形为倒放着的直三棱柱，所以其体积为
11 2 21， 故 选 B. 2
棱柱，所以侧面积为3*2*1=6.
3. 12π 解析：V= 4/3πR3=4 3 ，∴R= 3，
S=4πR2=4π×3=12π.
4. D 解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意
不妨
ab 2，
b
c
3 ， 解得
a
c
6，
a 2，
b
1，为 a 2 b 2 c 2 2 1 3 6 ， 故 2 R 6 .
(2010·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
体积为
．
答案:10/3 解析：由三视图可知，该几何体为一个底面 边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边 长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体． 因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积 为 1/3*4*1=4/3,所以该几何体的体积 V=2+ 4/3=10/3.
答案：1. 各侧面面积之和 各个面的面积之和 2. 展开图 展开图
3. 2πrl 2πr(r+l) πrl πr(r+l) π (r′+r)l π (r′2+r2+r′l+rl)
4. abc a3 πr2h 1/3πr2h 1/3πh(r′2+r′r+r2) 5.4/3πR3 4πR2
基础达标
1. 将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的 ( )
第二节 简单几何体的表面积与体积
基础梳理
1. 柱体、锥体、台体的侧面积，就是____________；表面积 是____________，即侧面积与底面积之和．
2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的 ________，它的表面积就是________的面积．
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积 S圆柱侧＝______________，S柱表＝____________； S圆锥侧＝______________，S锥表＝____________； S圆台侧＝______________，S台表＝____________.
是
()
A. 4＋ 2 C. 3＋ 2
B. 2＋ 2 D. 6
答案：C
解析：由已知，该几何体是一个正方
体截去一半剩余的部分(截面为
BDD′B′)．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
题型二 几何体的体积问题
【例2】 (2010·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，
则此几何体的体积是