2018年第35届全国物理竞赛决赛理论试题与解答
高中物理全国物理竞赛复赛试题解答2018年09月
2GMRh R v Rh 将物体的运动用极坐标 t 、 r t 描写，角动量守恒和能量守恒可分别表为
2 2 0
arccos
v arccos v
R h v0
⑩
r2
和
d R h v0 dt
2 2
⑪
1 dr 1 2 d Mm 1 2 Mm m r mv0 G G 2 dt 2 dt r 2 Rh
守恒定律
mv0min R h mv R ，即 v v0min
Rh R
②
由能量守恒定律有
1 2 Mm 1 2 Mm mv0min G mv G 2 Rh 2 R
将②式代入③式得
③
v0min
2GMR R h 2 R h
1 2GM 1 1 2GM 2 2 2 2 v12 2 r2 r1 v1 r2 r1 v1 r1
将 r1 和 v1 视为已知，上式是
0
1 1 满足的一个一元二次方程。 r2 r1 显然满足方程①②，因而 r2 r1 是一元二次方程的解。利用韦达定理，另一解是 1 1 2GM 1 ③ 2 r2 r1 r1 v1
④
当物体初速度 v0 低于 v0min 时，其轨道都将与地球表面相交，因此会坠落到地面上。所 以物体绕地球作椭圆或圆形轨道运动，但不会坠落到地球表面的条件是
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第 35 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2018 年 9 月 22 日 一、 （40 分） 假设地球是一个质量分布各向同性的球体， 地球自转及地球大气的影响可忽略。 从地球上空离地面高度为 h 的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速度运 动，初速度方向与其到地心的连线垂直。已知地球半径为 R ，质量为 M ，引力常量为 G 。 （1）若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？ （2）若该物体的初速度大小为 v0 ，且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即 速度与其水平分量之间的夹角） 、以及它从开始发射直至落地所需的时间。 已知：对于 c 0 ， b 2 4ac 0 ，有
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第01套-解答v1
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第01套解答【第一题】40分如图所示，一均匀杆AB ，质量为m ，长为2b ，中点记为C . 初始时刻，杆静止，其两端点,A B 分别用一轻绳系在其竖直上方的固定悬点,P Q 上，=1AP l 、=2BQ l . 现突然给杆一绕C 的角速度ω（角速度矢量沿竖直方向），求两绳中的张力12,T T ， （1）（15分）若==12l l l ；（2）（25分）若>12l l .解答：（1） 杆两端的线速度：v b ω= [1] 杆两端在竖直方向加速度为向心加速度：222A B v b a a l l ω=== [2]22C A B b a a a lω===[3]由对称性和竖直方向受力平衡：12T T = [4] 12C T T mg ma +-= [5]解得：22121()2b T T m g lω==+ [6][1][2][4][5]各2分 [3]3分 [6]4分（2） 同（1）的第一步：22211A v b a l l ω== [7]22222B v b a l l ω== [8]设：A C a a b β=- [9]BC a a b β=+[10]可解得：2212122C l l a b l l ω+=[11]212122l l b l l βω-=[12]平衡和牛顿第二定律：21T b T b I β-=[13] 2211(2)123I m b mb ==[14] 12C T T mg ma +-=[15]解得：221211221(b )23l l T m g l l ω+=+[16]221221221(b )23l l T m g l l ω+=+[17][7][8][11][12][13][15]各2分[9][10][14]各1分 [16][17]各5分【第二题】40分如图，这时是一种三角打孔机的结构。
其中持钻架A被限制平行运动，A中间有一个正三角形的内孔，边长为l。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第07套-解答v2
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第07套解答【第一题】40分如图所示，有一长为2l的轻质细杆，两端各固连一个质量为m的小球（A和B），中点处有一原长为0，劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧一端与杆的中点相连，另一端与一个套在杆上质量也是m的小球C相连，这个小球可以沿杆无摩擦滑动. 初始时系统静止在光滑水平桌面上，一个质量也是m的小球D以速度v0与小球B发生弹性正碰，v0垂直于杆.(1)求碰后瞬间四个小球的速度.(2)在碰后的运动中，如果小球C稍稍偏离杆的中点，为了在中点附近相对于杆做简谐振动，弹簧的劲度系数k至少多大？(3)在(2)的条件下，求出振动的周期.答案(1)选择杆中点为转轴，ABC系统的转动惯量I0=2ml2[1]设碰后ABC系统质心速度（即C的速度）为v C，角速度为ω0，小球D的速度为v D，则有动量守恒mv0=3mv C+mv D[2]角动量守恒mv0l=mv D l+I0ω0[3]机械能守恒1 2mv02=123mv C2+12mv D2+12I0ω02[4]联立解得v C=4v011v D=−v011ω0=6v011l[5] 则有v A=v C−ω0l=−2v011v B=v C+ω0l=10v011[6] (18分，每式2分)(2)在ABC系统质心系研究此问题. 假设杆中点到质心的距离为x，则小球C到质心的距离为2x，C偏离杆中点共3x. 此时系统绕质心的转动惯量I=m(l+x)2+m(l−x)2+m(2x)2=2ml2+6mx2[7] 角动量守恒，有Iω=I0ω0[8] 所以转动动能为T1=12Iω2=L22I=L24m(l2+3x2)[9]其中L=I0ω0=12mv0l/11表示系统的角动量. 研究径向运动时，转动动能化为有效势能的一部分. 有效势能V eff=12k(3x)2+T1=12k(3x)2+L24m(l2+3x2)[10]利用小量展开1/(1+α)≈1−α，有V eff≈92kx2−3L24ml4x2+L24ml2[11]要形成简谐振动，x=0处V eff应极小，即要求9 2k−3L24ml4>0[12]所以k min=L26ml4=24mv02121l2[13](14分，每式2分)(3)由(14)式，等效劲度系数K=9k−3L22ml4=9k−216mv02121l2[14]径向运动的动能T2=12(2m)ẋ2+12(2ẋ)2=3mẋ2[15]等效质量M=6m[16] 所以周期T=2π√MK =2π√2m3k−72mv02121l2[17](8分，每式2分)【第二题】40分如图所示，在水平地面上放着一个物体，其由两个全同的刚体在O点光滑铰接组成。
第35届全国部分地区大学生物理竞赛考题和答案
夹角为
。
9.设想将地球挤压成半径为 ������0 的小球体，光子在小球体的万有引力作用下，恰好能沿着球 体表面作匀速圆周运动，地球便成为一个“黑洞”。已知地球真实半径 ������ = 6.4 × 106 m ，地
面重力加速度 ������ = 9.8 m/s2，真空光速 ������ = 3.0 × 108 m⁄s 。地球成为“黑洞”的半径 ������0 =
线，其中 ������ 的单位取为 ������������������ 。
（2）计算循环效率 ������ 。
������
������ ������
������
������
������
4 / 10
*****************************密******************封*******************线*********************************
������
������0
=
√3 4
������0
������(������) = ������������0√1���6������20���2 + 5
������
其中 ������0 为 ������ = ������0 处介质的折射率，试 求 ������ 值和在 ������ > 0 区域内的光线方程 ������~������ 。
������
摩擦。假设 ������ 端可以沿地面朝右滑动，但因受约束，不
会离开地面；������ 端可以沿着墙面朝下滑动，但不受相应
������
的约束，故可以离开墙面。试问在 ������ 端未达墙的底端 ������
������
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版).docx
第 35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大）1、（ 35 分）如图，半径为R、质量为 M的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r 的匀质小球。
某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。
在运动过程中，小球相对半球的位置由角位置描述，为两球心连线与竖直线的夹角。
己知小球绕其对称轴的转动惯量为2mr 2，小球与半球5间的动摩擦因数为，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度大小为 g。
（1）（ 15 分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为的速度大小 V M ( 1) 和加速度大小a M ( 1) ；1 时，半球运动（2）（ 15分）当小球纯滚动到角位置2 时开始相对于半球滑动，求 2 所满足的方程（用半球速度大小V M ( 2 )和加速度大小a M ( 2 ) 以及题给条件表示）；（3）（ 5 分）当小球刚好运动到角位置3时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小v m ( 3 ) 2、（ 35 分）平行板电容器极板 1 和 2 的面积均为S，水平固定放置，它们之间的距离为d，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U。
不带电的导体薄平板3（厚度忽略不计）的质量为m、尺寸与电容器极板相同。
平板 3 平放在极板 2 的正上方，且与极板 2 有良好的电接触。
整个系统置于真空室内，真空的介电常量为0 。
合电键K 后，平板 3 与极板 1 和2 相继碰撞，上下往复运动。
假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板 3 与极板 1 或2 碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。
重力加速度大小为g。
（1）（ 17 分）电源电动势 U至少为多大？（2）（ 18 分）求平板 3 运动的周期（用 U 和题给条件表示）。
已知积分公式dx1ln 2ax b 2 a ax2bx C ，其中a>0，C为积分常数。
2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2018年9月22日说明:所有解答必须写在答题纸上,写在试题纸上的无效（35届复赛）一、(40分)假设地球是一个质量分布各向同性的球体。
地球自转及地球大气的影响可忽略。
从地球上空离地面高度为h 的空间站发射一个小物体,该物体相对于地球以某一初速度运动,初速度方向与其到地心的连线垂直。
已知地球半径为R,质量为M,引力常量为G 。
(1)、若该物体能绕地球做周期运动,其初速度的大小应满足什么条件?(2)、若该物体的初速度大小为0v ,且能落到地面,求其落地时速度的大小和方向(速度与其水平分量之间的夹角)、以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知:对于0c <,240b ac ∆=->,有23/222arcsin 2()xdxa bx cxb cx b Cc c a bx cx +++=-+-∆++⎰式中C 为积分常数。
解：（1）、E 0=时对应的0V 大 201G 02mMmV R h-=+大 解得 02GMV R h=+大 小球做椭圆运动，最近点和地球相切20(R h)mvR mV +=小22011G G 22RmM mMmV mV R h -=-+小 解得 02R()(2R h)GM V R h =++小（2）、如图，角动量守恒 0(R h)mRvcos mV α+=机械能守恒 22011G G22RmM mMmV mV R h -=-+解2：22011G G22mM mM mV mV R h r-=-+ 得 22022GM GMv v R h r=-++ 0(R h)r cos v v α+=得 22222222220sin 1cos cos ()rv rv r v r v r v R h v ααα=-=-=-+则有2222002()r 2(R h)rdr GM v GMr v dt R h=--+-++ 略（35届复赛）二、(40分)如图,一劲度系数为k 的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m 的小球;弹簧水平,它处于自然状态时小球位于坐标原点O;小球可在水平地面上滑动,它与地面之间的动摩擦因数为μ。
2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题(word版)
2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2018年9月22日一，（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。
从地球上空离地面高度为h 的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。
已知地球半径为R ，质量为M ，引力常量为G 。
地球自转及地球大气的影响可忽略。
（1）若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？（2）若该物体的初速度大小为v 0，且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即速度与其水平分量之间的夹角），以及它从开始发射直至落地所需的时间。
已知对于2040c b ac <∆=->， 有322()b C c =-+- ，式中C 为积分常数。
二，（40分）如图，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球，弹簧水平水平，它处于自然状态时小球位于坐标原点O；小球课在水平地面上滑动，它与地面之间的摩擦因数为 。
初始时小球速度为0，将此时弹簧相对于其原长的伸长记为-A0（A0>0但是它并不是已知量）。
重力加速度大小为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力（1）如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下A0应满足的条件；（2）如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下A0应满足的条件；（3）如果小球只能完成n次往返运动（向右经过原点，然后向左经过原点，算1 次往返）（4）如果小球只能完成n次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的总路程。
三、（40 分）如图，一质量为M 、长为l 的匀质细杆AB 自由悬挂于通过坐标原点O 点的水平光滑转轴上（此时，杆的上端A 未在图中标出，可视为与O 点重合），杆可绕通过O 点的轴在竖直平面（即 x -y 平面， x 轴正方向水平向右）内转动；O 点相对于地面足够高，初始时杆自然下垂；一质量为m 的弹丸以大小为v 0 的水平速度撞击杆的打击中心（打击过程中轴对杆的水平作用力为零）并很快嵌入杆中。
35届物理竞赛决赛试题
35届物理竞赛决赛试题一、选择题1. 关于光的干涉现象，以下哪项描述是错误的？A. 杨氏双缝实验是研究光干涉的经典实验B. 干涉现象说明光具有波动性C. 光的干涉图样总是由一系列亮暗条纹组成D. 干涉现象不能在金属表面观察到2. 一个质量为m的物体，从高度h自由落下，不考虑空气阻力，落地时速度为v。
如果空气阻力不可忽略，且与物体下落速度成正比，那么物体落地时的速度将：A. 大于vB. 小于vC. 等于vD. 无法确定3. 一个电子在电场中受到的力是F，如果电场强度加倍而电子的电荷减半，电子受到的力将：A. 保持不变B. 减少到原来的一半C. 增加到原来的两倍D. 增加到原来的四倍4. 一个弹簧振子的周期是T，当振幅减半时，周期将如何变化？A. 增加到原来的两倍B. 减少到原来的一半C. 保持不变D. 变为原来的三分之一5. 一块厚度为d的金属板，其热导率是k，当温度从T1升至T2时，通过金属板的热量Q与时间t的关系为：A. Q ∝ √tB. Q ∝ tC. Q ∝ t^2D. Q ∝ 1/√t二、填空题1. 一个质量为m的物体，以初速度v0沿水平面内投射，受到的摩擦力是其重力的0.1倍，求物体在水平面上滑行的距离L。
2. 一个电路中包含一个电阻R1和一个电容器C，电阻R1的阻值为10Ω，电容器C的电容值为200μF。
当电路接入一个电压为220V的交流电源时，求电路的阻抗Z。
3. 一束光从介质1（折射率为n1）射入介质2（折射率为n2），入射角为θ1，折射角为θ2，求斯涅尔折射定律的表达式，并计算当n1=1.5，θ1=30°时，光在介质2中的传播速度v。
三、计算题1. 一个质量为2kg的物体，以初速度10m/s沿水平面内投射，受到的摩擦力是其重力的0.2倍。
求物体在水平面上滑行的最大距离。
2. 一个RLC串联电路接入一个电压为220V，频率为50Hz的交流电源。
已知电阻R=100Ω，电感L=0.1H，电容C=200μF，求电路的总阻抗Z，并计算电路中电流的有效值I。