实用高等数学-第3章 极限与连续

（1）lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)
（2）lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x)
特别地 lim[ kg(x)] k lim g(x) （k为常数）
（3） lim f (x) lim f (x) (lim g(x) 0) g(x) lim g(x)
（1）
1
lim x sin
x
x
sin 1 lim x
x 1
x
sin 1 lim x
10 1
x
x
1
3.4 两个重要极限公式
习题：
（1）
lim
x0
sin 3x tan 5x
（2）
lim 1 cos x x0 x 2
3.4 两个重要极限公式
例7. 求下列函数的极限
（1）
lim (1 3) x
x
定理 3.2
当 x x0时，函数f(x)的极限存
在的充要条件是当 x x0时与 x x0
时，函数f(x)的极限都存在而且相等。
即
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
开放讨论题
在体育竞赛中，各项目的世界纪录会否 有极限？如跳高、跳远、100米短跑等哪个变 量为自变量？若有极限，是哪种类型的极限？ 你认为人的极限身高是多少？
定义3.3 设函数f(x)在点x0的附近（邻域）内
有定义（x0可以除外），当自变量x从 x0 的
左右两侧无限接近x0时，相应地因变量的取
值无限接近于某个常数A，则称常数A为函数
在点x0处的极限。记为
lim f (x) A 或者 f (x) A
xx0
(x x0 )
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
3.4 两个重要极限公式
案例 3.2 危险气体报警装置设计模型
假设现有瓦斯含量为8%的空气，通过厚度 为10厘米的吸收层后，其瓦斯的含量为2%，问
（1）若通过的吸收层厚度为30厘米，出口 处空气中的瓦斯含量是多少？
（2）若要使出口处空气中瓦斯的含量为1%， 其吸收层的厚度应为多少？
3.4 两个重要极限公式
P0 (1
r )nt n
第t年末，该笔本金的本利和Pt为
rt
Pt
lim
n
P0
(1
r )nt n
P0
lim [1
n r
1
]
n r
n
r
P0ert
3.4 两个重要极限公式
思考题
某人现年35岁，有一笔数额为10万元的 闲置资金，如果他将这笔资金投入到某项目， 该项目年收益率为12%，那么，这笔投资到 他65岁退休时本利和将是多少？请分别按单 利、按年复利、按连续复利方式计算本利和。
定理 3.1
当 x 时，函数的极限存在的
充要条件是当 x 时与 x
时，函数f(x)的极限都存在而且相等。即
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
(Ⅱ) x 时x函0 数的极限
x 1
x2
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
当自变量只满足从x0的左侧或者右侧无限 接近x0时，相应地因变量y的取值无限接近于 某个常数A，则称常数A为函数f(x)在x0点处的 单侧极限。
左极限
lim f (x) A 或者
x x0
f (x) A
(x x0 )
右极限
lim f (x) A 或者
xx0
f (x) A
(x x0 )
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
3.1 从“截丈问题”谈起
极限的思想是由于求某些实际问题的精确解 而产生的。
十七世纪主要的科学问题： 1. 研究物体运动状态；
2. 求曲线的切线；
3. 求函数的最大值与最小值；
4. 求曲线长；曲线围成的面积；曲面围成 的体积；物体的重心；物体间的引力
第三章 极限与连续
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
x
lim(1
1 x(3) )3
x
x
3
3
lim (1
x 3
1 x
x
)3
3
e3
3.4 两个重要极限公式
（2）
lim
(2
x
)
2 1
x
x0 2
lim(1
x
2
)x
(1
x )1
x0
2
2
lxim0[1
(
1
x
)]
x 2
2
1
e1
e1
3.4 两个重要极限公式
例 8 复利及连续复利公式 设有一笔本金为P0万元存入银行，年利率 为r。以复利计息，（1）每年计息一次，问到 第t年末，该笔本金的本利和Pt为多少？（2）若 每年计息n次，且n→∞，问到第t年末，该笔本 金的本利和Pt为多少？
x无限增大时，函数 f无(x限) 地接近于常数A，
则称当x趋于 时，以A为极限，记作
lim f (x) A 或者 f (x) A (x )
x
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
当只考虑自变量x在一个方向变化情形，如
当x 或 x 时，有 f (x) A，这时，
可以称常数A为函数f (x)的广义单侧极限，记作
解：
（1）
lim
n
xn
lim n n 3n 1
lim 1 n 3 1
1 3
n
（2）
lim
n
xn
lim 2n 3 n 3n 4
2 lim
n
3
3
n 4
2 3
n
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
2．函数的极限
（Ⅰ） x （包括x ）时函数的极限
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
定义3.2 设函数 在f (x) (内,有定) 义，如果自变量
x0
x0
故 lim f (x) 不存在 x0
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
x3 1, x 0
(2)
f
(x)
0, x 0
3x, x 0
解： lim f (x) lim (x3 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim 3x 1
x0
x0
lim f (x) lim f (x)
nn
8% (1 k d ) k 8%(1 k d ) d 8%(1 k d )2
…… n
nn
n
通过第n小段吸收后，吸收瓦斯的量为，
k 8%(1 k d )n1 d 空气中剩余瓦斯含量为
nn
8% (1 k d )n1 k 8%(1 k d )n1 d 8%(1 k d )n
lim
n
xn
A
或者 xn A (n )
当数列{xn}以A为极限时,称数列{xn}收敛 于A；如果通项xn不趋近于任何常数，即数列 {xn}没有极限，则称数列{xn}发散。
3.2 作为变量变化趋势的极限概念
例2．根据数列极限的定义，求下列数列的极限
（1）xn
n 3n 1
（2）
xn
2n 3 3n 4
x0
x0
故
lim f (x) 1
x0
第三章 极限与连续
3.3 极限的性质及运算法则
1．极限的性质
性质3.1 极限的唯一性
若lim f (x) A且 lim f (x) B，则A=B
xx0
xx0
性质3.2 局部有界性
设在某个变化过程中，如果 lim f (x) A，则 xx0
f(x)在x0“附近”必有界。
（4） lim f (x) g(x) [lim f (x)]limg(x)
3.3 极限的性质及运算法则
例4. 求下列函数的极限
（1）
lim x2 x 3 x 3(x 1)2
lim
x
x2 3( x 2
x 2
3 x 1)
lim
1
1 x
3 x2
x
3(1
2 x
1 x2
)
1 3
（ 型）
3.3 极限的性质及运算法则
P2 P1 P1r P1 (1 r)1 P0 (1 r)2
…………………………………… 依此类推，第t年末，该笔本金的本利和Pt为
Pt P0 (1 r)t
3.4 两个重要极限公式
（2）若每年计息n次，这时每期的利率可
以认为是r/n，t年共计息次数为nt次。用上述
同样方法可以推得
Pt
解：设吸收层厚度为d cm，现将吸收层分成n
小段，每小段吸收层的厚度为 d/n cm， 通过第一小段吸收后，吸收瓦斯的量为k 8%， d
n
空气中剩余的瓦斯含量为
8% k 8% d 8% (1 k d )
n
n
3.4 两个重要极限公式
通过第二小段吸收后，吸收瓦斯的量为，
k 8%(1 k空d气) d中剩余的瓦斯含量为
第三章 极限与连续
【学习目标】
1. 极限，左、右极限。 2. 无穷小量，无穷大量。 3. 极限的四则运算法则。
等价无穷小替换定理。 4. 两个重要极限。 5. 函数连续性，函数的连续区间。 6. 函数间断点，间断点的类型。 7. 连续的性质。
第三章 极限与连续
3.1 从“截丈问题”谈起
“一尺之棰，日截其半，万世不竭” ---《庄子.天下篇》
3.4 两个重要极限公式