关于几类特殊矩阵特征值的讨论
矩阵行变换特征值-概述说明以及解释
矩阵行变换特征值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵行变换是线性代数中一个重要的概念，它描述了通过对矩阵的行进行一系列操作来得到新的矩阵的过程。
矩阵行变换能够改变矩阵的形式和性质，对于解决一些实际问题和理论研究都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨矩阵行变换与矩阵的特征值之间的关系。
特征值是矩阵的一个重要特性，它表示了矩阵在线性变换下的不变性。
通过研究矩阵行变换对特征值的影响，我们可以更深入地理解和应用矩阵的特征值。
本文将分为以下几个部分进行讨论。
首先，在第二部分中，我们将介绍矩阵行变换的定义和基本概念，包括行变换的种类和基本操作。
接着，在第三部分中，我们将探讨矩阵行变换的作用和应用，包括在解线性方程组、求逆矩阵和矩阵相似性等方面的应用。
然后，在第四部分中，我们将重点研究矩阵行变换与特征值之间的关系。
我们将讨论如何通过矩阵行变换来求解特征值和特征向量，并解释矩阵行变换对特征值的影响。
特别是，我们将探讨矩阵行变换如何改变矩阵的特征值的大小和数量。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵行变换的特征值，并讨论矩阵行变换对特征值的具体影响。
同时，我们还将展望矩阵行变换在未来的研究方向，包括如何利用矩阵行变换来最大化或最小化特征值等问题。
通过本文的研究，我们可以更加深入地了解矩阵行变换和特征值之间的关系，进而对矩阵的性质和应用有更全面和深入的认识。
通过对矩阵行变换的研究和应用，我们能够更好地解决实际问题，并为理论研究提供更多有益的思路和方法。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。
每个部分都涵盖了一些重要的子主题，以确保文章的完整性和连贯性。
在引言部分，首先会对矩阵行变换特征值这一主题进行概述，介绍其基本概念和重要性。
接着，会明确本文的目的，即探讨矩阵行变换与特征值的关系。
引言部分的主要目标是为读者提供背景知识和理解本文研究的动机。
正文部分将会详细介绍矩阵行变换的定义和基本概念。
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文
本科毕业论文（ 2010 届）题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学摘要矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.关键词特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵AbstractThe problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.Keywordscharacteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices目录1.引言 (5)1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
矩阵特征值、特征向量的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。
矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。
矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。
本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。
那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。
此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。
首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。
例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。
A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。
[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。
关于Hamilton矩阵的特征值及值域特点的研究
关于Hamilton 矩阵的特征值及数值域特点的研究摘要:该论文主要沿着一般矩阵的研究思路,发现了一些特殊类型矩阵具有的特殊性质,并且希望这些性质得到一些实际的应用.本文主要分为三部分,第一部分主要研究一类形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A kBB k AM 1的特殊分块矩阵,证明了)()()(B A B A M -⋃+=σσσ,任取M 的特征值0λ,0λ关于M 的代数重数等于0λ关于B A +的代数重数与0λ关于B A -的代数重数之和,0λ关于M 的几何重数等于0λ关于B A +的几何重数与0λ关于B A -的几何重数之和,及其它一些结论.第二部分主要研究哈密顿矩阵,通过等价传递变换,最终证明了哈密顿矩阵关于虚轴对称特征值的代数重数(几何重数)相等.第三部分主要研究一般矩阵的代数指标,通过矩阵代数指标和矩阵秩的关系,最终得出了矩阵代数指标和矩阵初等因子之间的某种关系及一些相应的推论.为了去验证结论的准确性与有效性,文中每部分都给出了一些具体的例子.关键词:矩阵,特征值,特征向量,代数重数,几何重数,代数指标Abstract:The paper mainly found some special matrix with special properties along thethought for studying the general matrix, and hope that these properties can have some practical applications. This paper is divided into three parts, the first part mainly studies aspecial block matrix ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A kB B k AM 1. It is proved that )()()(B A B A M -⋃+=σσσ , for any eigenvalues 0λof M , the algebraic multiplicity of M equal to the sum of the algebraic multiplicity of B A -and the algebraic multiplicity of B A +, the geometric multiplicity ofM equal to the sum of the geometric multiplicity of B A + and the geometric multiplicity of B A - , and some other conclusions. The second part mainly studies the Hamiltonian matrix using the equivalent transformation. For two eigenvalues, which are symmetrical about the imaginary axis, of Hamiltonian matrix ，it is proved that its algebraic multiplicities ( or geometric multiplicities) are equal. The third part mainly studies the algebraic index of general matrix using relation between matrix algebraic index and matrix rank, it is concluded that some relation between algebraic index and primary factors of matrices, and some corresponding results are given. In order to verify the correctness and effectiveness of our results, some concrete examples are given in this paper.Keywords: matrix , eigenvalues, eigenvectors, algebraic multiplicity, geometric multiplicity, algebraic index目录关于某类特殊矩阵的性质............................................................................................ 错误！未定义书签。
9矩阵特征值的几个重要定理
i 1 i 1 n n
（12）
令 直接计算可得
设 J diag(J1 , J 2 ,
2
Q( A B)Q 1 ，
2
（6）
, J r ), 其中 J i 是以 A 的特征值 i 为对角元素的 ki 阶 Jordan 块，
i 1, 2,
, r ，则由引理 1 可得
1 1 2
( I J )
| i |ki ， min ( I J ) min min ( I J i ) min 1i r 1i r (1 | |) ki 1 i
G2 ( A) z C | z 10 | 5 ，
图1
如图 1 所示，G3 中含 A 的一个特征值，而 G1 与 G2 相交，适当放大 G3 ，可 G1 与 G2 使缩小， 从而使其 G1 与 G2 分离。对 A 取 D diag(1,1, 2) ，则
20 5 0.4 B DAD 4 10 0.5 。 2 4 10i
图1 下面我们给出一个一般方阵的特征值的扰动定理 定理 2（Bauer-Fike 定理）设 A, B C
nn
图2
，其中 A 可对角化，即 A Q ΛQ ， Λ 为对
1
角矩阵， Q 为非奇异矩阵. 则对于任意的 ( B) ，必存在 ( A) ，使得
| | Q 1
其中 U ,V 是酉矩阵， Λ diag(1 , 2 ,
2
B VΩV H ， , n ) ， Ω diag(1 , 2 , , n ) . 于是
（11）
半正定对称矩阵的特征值_概述说明
半正定对称矩阵的特征值概述说明1. 引言1.1 概述在数学和统计学领域中，半正定对称矩阵是一种重要的数学结构。
它们具有许多有趣的特性和性质，其中之一就是它们的特征值。
特征值是半正定对称矩阵所拥有的重要属性之一，能够提供对矩阵本身以及相关问题进行深入了解。
1.2 文章结构本文将围绕半正定对称矩阵的特征值展开论述。
首先，在第2节中我们将介绍半正定对称矩阵以及其特征值的定义与性质。
然后，在第3节中我们将探讨半正定对称矩阵特征值与矩阵本身之间的关系，包括矩阵可逆性、半正定性以及数量积与特征值之间的联系。
接着，在第4节中，我们将探讨实际应用场景中半正定对称矩阵特征值问题在机器学习、图论和经济学领域中的应用和分析。
最后，第5节总结全文并给出未来研究的展望。
1.3 目的本文旨在系统概述半正定对称矩阵的特征值，并分析其与矩阵本身及相关问题之间的关系。
通过深入探讨半正定对称矩阵特征值的定义、计算方法以及在不同领域中的实际应用，我们希望读者能够更好地理解半正定对称矩阵特征值的重要性和应用价值。
此外，我们也将提供未来研究方向的展望，以期激发更多学者对于该领域问题的兴趣，并进一步推动相关领域的发展和创新。
2. 半正定对称矩阵的特征值2.1 定义与性质半正定对称矩阵是指其所有特征值均大于等于零的对称矩阵。
特征值是指矩阵所具有的可以通过线性变换后，向量保持在同一方向上并且仅进行缩放的特性。
半正定对称矩阵的定义和性质对于许多数学和应用领域具有重要意义。
2.2 特征值的计算方法计算半正定对称矩阵的特征值可以采用多种方法，其中常见的方法包括使用特征值分解、奇异值分解和数值迭代等。
特征值分解是将一个矩阵分解为由其特征向量组成的正交矩阵和一个对角线上元素为相应特征值的对角矩阵。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个子矩阵之积，其中两个子矩阵都是正交或酉矩阵，而第三个子矩阵则是一个非负奇异值构成了一个奇异值对角矩形。
数值迭代通常用于较大规模的稀疏或非对称半正定矩阵，它通过迭代计算逼近矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域均有广泛的应用。
在研究矩阵的性质时，特征值与特征向量是一个不可或缺的概念。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，探讨它们在矩阵理论和实际问题中的应用。
1. 特征值与特征向量的定义对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个非零向量 X 和一个实数λ，使得Ax = λX 成立，则称λ 为矩阵 A 的特征值，X 称为特征值λ 对应的特征向量。
2. 计算特征值与特征向量为了计算特征值与特征向量，我们可以使用特征值方程 det(A-λI) = 0。
其中，det() 表示矩阵的行列式，A 是待求特征值与特征向量的矩阵，I 是单位矩阵，λ 是未知数。
解特征值方程得到的λ 值即为矩阵的特征值。
3. 求解特征向量在得到特征值λ 后，我们可以通过代入特征值到方程 (A-λI)X = 0 中，求解出对应的特征向量 X。
需要注意的是，特征向量并不唯一，可以乘以一个非零常数得到不同的特征向量。
4. 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有以下重要性质：- 矩阵 A 的特征值的个数等于矩阵的阶数 n，包括重复的特征值。
- 所有特征值的和等于矩阵的迹（主对角线元素的和）。
- 矩阵 A 的特征向量构成的集合是线性无关的。
5. 矩阵的对角化与相似矩阵如果能找到一个可逆矩阵 P，使得 P^-1AP = D，其中 D 是对角矩阵，则称矩阵 A 是可对角化的。
对角矩阵 D 的对角线上的元素就是矩阵 A的特征值。
P 的列向量组成的矩阵就是 A 的特征向量矩阵。
6. 特征值与矩阵的性质关系矩阵的特征值与矩阵的性质之间存在一定的联系：- 如果矩阵 A 是奇异矩阵，则它的特征值中至少有一个为零。
- 如果矩阵 A 是对称矩阵，则它的特征值都为实数，并且相应的特征向量可以取为正交向量。
- 如果矩阵 A 是正定矩阵，则它的特征值都大于零。
7. 应用举例：主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的统计学方法，用于数据降维和特征提取。
对称矩阵特征值的性质
对称矩阵特征值的性质对称矩阵是一个非常重要的矩阵类别，具有很多特殊的性质。
在线性代数中，矩阵特征值是一个非常基本的概念，它在对称矩阵中也有一些特殊的性质。
在本文中，我们将讨论对称矩阵特征值的性质。
首先，让我们回顾一下对称矩阵的定义。
一个n阶方阵A被称为对称矩阵，如果它满足A=A^T。
对于一个任意的矩阵A，特征值是矩阵A满足方程Av=λv的数λ。
其中v是一个非零向量，λ是一个实数。
对于对称矩阵来说，它的特征值具有以下几个特点：1.对称矩阵的特征值是实数。
由于对称矩阵是实数域上的矩阵，所以其特征值也一定是实数。
这是因为特征值是由特征方程确定的，而特征方程的根是实数。
证明：设A是一个n阶实对称矩阵，假设λ是A的一个特征值，v 是相应的特征向量，即Av=λv。
因为A是对称矩阵，所以有(Av)^T=(λv)^T，即v^TA^T=v^Tλ，即λ是实数。
因此，对称矩阵的特征值是实数。
2.对称矩阵的特征向量是正交的。
如果λ和μ是对称矩阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为v和u，那么v和u是正交的，即v·u=0。
证明：由特征方程Av=λv和Au=μu，我们有(Av)·u=(λv)·u，即v·A^Tu=λv·u。
同样地，我们也有v·A^Tu=μv·u。
将这两个方程相减，我们得到(λ-μ)v·u=0。
由于λ和μ是不同的特征值，所以(λ-μ)不等于0，因此v·u=0。
所以v和u是正交的。
3.对称矩阵的特征值是可对角化的。
对于任意的对称矩阵A，都存在一个正交矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D。
证明：设A是一个n阶对称矩阵，λ1, λ2, ..., λn是A的n个特征值，v1, v2, ..., vn是相应的特征向量。
由于特征向量是正交的，我们可以构造一个正交矩阵P，其中P的每一列是一个特征向量。
即P = [v1, v2, ..., vn]。
三对角矩阵的特征值
三对角矩阵的特征值一、引言矩阵在数学中有着广泛的应用，其中三对角矩阵是一类特殊的矩阵。
三对角矩阵是指除了主对角线和两条相邻的对角线之外，其余元素均为零的矩阵。
三对角矩阵在科学计算中有着广泛的应用，如求解常微分方程、偏微分方程、线性方程组等问题。
本文将详细介绍三对角矩阵的特征值及其求解方法。
二、三对角矩阵的特征值1. 定义设A是一个n×n实数或复数矩阵，则如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，则称λ是A的特征值，x是A与λ相应的特征向量。
2. 三对角矩阵的特征值性质（1）三对角矩阵A只有n个特征值。
（2）若λ为A的一个特征值，则其代数重数等于几何重数。
（3）若λ为A的一个特征值，则它所属行列式|A-λE|中至少有一个元素不为零。
3. 三对角矩阵特征值求解方法（1）Jacobi法：Jacobi法是一种迭代求解特征值和特征向量的方法。
其基本思想是通过相似变换将矩阵对角化，使得对角线上的元素即为矩阵的特征值。
（2）QR方法：QR方法是一种迭代求解特征值和特征向量的方法。
其基本思想是通过正交相似变换将矩阵对称三对角化，然后通过反复施加Householder变换或Givens旋转来逐步将矩阵转化为上Hessenberg矩阵或上三角矩阵，最终得到矩阵的特征值。
（3）Lanczos算法：Lanczos算法是一种迭代求解特征值和特征向量的方法。
其基本思想是通过Krylov空间来逼近原始问题的最小或最大特征值，从而得到相应的特征向量。
三、Jacobi法求解三对角矩阵的特征值1. 算法流程（1）选取初始正交变换Q0=I。
（2）计算A1=QTAQ，其中Q为正交变换。
（3）寻找A1中非对角线元素中绝对值最大的元素aij，并确定旋转角度θ。
（4）构造Givens旋转矩阵G(i,j,θ)，使得G(i,j,θ)A1G(i,j,θ)T中元素a′ij=0。
（5）计算Q1=G(i,j,θ)Q0。
（6）将A2=Q1TA1Q1，重复步骤（3）至（5）直到A2为对角矩阵或满足一定的精度要求为止。
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编号2012110243 研究类型理论研究分类号O151．21学士学位论文（设计）Bachelor’s Thesis论文题目关于几类特殊矩阵特征值的讨论作者姓名学号2008111010243所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称傅朝金教授论文答辩时间2012年5月5日学士学位论文（设计）诚信承诺书目录1．引言 (1)2．矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质 (1)3．特值与特征征向量的求法 (2)3．1求数字方阵的特征值与特征向量 (2)3．2已知矩阵A，求与之相关的矩阵的特征值 (2)4．与矩阵A相关矩阵的特征值 (2)5．矩阵AB与BA的特征值的关系 (5)6．矩阵的KRONECKER积的特征值 (7)7．行（列）转置矩阵的特征值 (8)7．1定义和命题 (8)7．2主要结果 (9)8．矩阵A的特征值与矩阵A的共轭转置矩阵A¢的特征值之间的关系 (10)¢=时，矩阵A的特征值的特点 (10)8．1当()A A f B8．1．1 酉矩阵的特征值 (11)8．1．2 正交矩阵的特征值 (11)¢=时，矩阵A的特征值的特点 (13)8．2当()A f A关于几类特殊矩阵特征值的讨论汤（指导教师：傅朝金教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石 435002）摘要：物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题．矩阵的特征值概念以及求矩阵的特征值是高等代数的重要内容之一，这个知识点也是考研的热点．本文将与几类特殊矩阵的特征值有关的结论总结出来并加以证明，使得某些在平时学习中零散的结论综合在一起，发现这些结论的内在规律，有效地利用这些规律，就可以方便的求出矩阵的特征值．关键词：矩阵；特征值；特征向量中图分类号：O151．21Discussion on some special classes of matrix eigenvalueTANG Yuting （Tutor：FU Chaojin）(College of Mathematics and Statistics,Hubei NormalUniversity,Huangshi ,Hubei,435002)Abstract : Many problems in the physics, mechanics, engineering mathematics, are attributed to the matrix, the eigenvalues and eigenvectors. The concept of theeigenvalue of matrix and how to calculate the matrix eigenvalue is animportant part of Higher Algebra, and this knowledge is also the hot spots of .Entrance Examination. This article summes up and proves the conclusions ofsome special classes of matrix characteristics, making some conclusions that arescattered in the normal learning integrated and finding the inherent law of theseconclusions. If you can use these laws effectively, you can easily calculate theeigenvalues of the matrix.Keywords:matrix; eigenvalue; eigenvectorsCLC number:O151.21关于几类特殊矩阵的特征值的结论1．引言在学习高等代数的过程中，矩阵与特征值是学习的重点与难点，而这个知识点也是考研的热点，所以本文将与几类特殊矩阵的特征值有关的结论总结出来并加以证明，使得某些在平时学习中零散的结论综合在一起，发现这些结论的内在规律，有效地利用这些规律，就可以方便的求出矩阵的特征值．为了方便讨论，规定：1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A ¢表示矩阵A 的转置矩阵，A 表示矩阵A 的行列式，A ¢表示矩阵A 的共轭转置矩阵，E 表示n 阶单位矩阵．2．矩阵的特征值与特征向量的定义及其性质定义1 设A 是n 阶方阵，如果对于数域P 中的一个数l ，存在一个n 维非零向量X ，使得AX X l =，那么称l 为A 的一个特征值，X 为矩阵A 的属于特征值l 的一个特征向量．性质1 若12,X X 为矩阵A 属于特征值l 的特征向量，当12,k k 不全为零时，1122k X k X +仍是矩阵A 的属于特征值l 的特征向量．性质2 若12,,,m l l l 是矩阵A 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,X X ,m X ，则12,,,m X X X 线性无关，即属于不同特征值的特征向量线性无关．性质 3 若矩阵()ij n n A a ´=的n 个特征值为12,,,n l l l ，则112212nn n a a a l l l +++=+++ ，12n A l l l = ．3．特征值与特征向量的求法3．1 求数字方阵的特征值与特征向量对于一般的数字方阵可以按以下步骤求矩阵的特征值与特征向量． （1）计算特征多项式()f A E A l l =-．（2）计算特征方程0E A l -=在数域P 中的全部根12,,,m l l l ，它们就是矩阵A 的特征值．（3）对于每一个特征值i l ，求出齐次方程组()0i E A X l -=的一个基础解系12,,,t i i ir X X X ，则12,,,t i i ir X X X 是矩阵A 的属于特征值i l 的一组线性无关的特征向量，则矩阵A 的属于特征值i l 的所有特征向量是1122t t i i i i ir ir k X k X k X +++ ，其中12,,,t i i ir k k k 是数域P 中任意常数，且12,,,t i i ir k k k 不全为零()1,2,,i m = ．3．2 已知矩阵A ，求与之相关的矩阵的特征值已知矩阵A ，求与之相关的矩阵的特征值，可以运用后面要叙述的结论进行方便的求解，而特征向量可直接按3．1中的（3）求解．4．与矩阵A 相关矩阵的特征值命题1 设l 是n 阶方阵A 的特征值, X 是属于特征值l 的特征向量，则有 （1）k l 是kA (k 是常数)的特征值,且X 是kA 的属于k l 的特征向量． （2）2l 是2A 的特征值，且X 是2A 的属于2l 的特征向量． （3）k l 是k A 的特征值，且X 是k A 的属于k l 的特征向量． （4）l 是A ¢的特征值． （5）当A 可逆时，1l-是1A -的特征值，且X 是1A -的属于1l-的特征向量．（6）当A 可逆时，1A l -是*A 的特征值，且X 是*A 的属于1A l-的特征向量．（7）设()1110m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，则()f l 是()f A 的特征值，且X 是()f A 的属于()f l 的特征向量．证明 （1）因为AX X l =，所以()()()kA X k AX k X k X l l ===，故k l 是kA (k 是常数)的特征值,且X 是kA 的属于k l 的特征向量．（2）因为AX X l =，所以()22A X A AX A X AX X l l l ====,故2l 是2A 的特征值，且X 是2A 的属于2l 的特征向量．（3）用第一数学归纳法证明，对k 进行归纳证明， 方法同（2）． （4）因为()E A E A E A l l l ¢¢-=-=-,所以A 与A ¢的特征值相同．（5）因为A 可逆，所以0l ¹，而()111X A AX A A X A X l ---===,即11A X X l--=,所以1l-是1A -的特征值，且X 是1A -的属于1l-的特征向量．（6）因为*1A A A -=,所以由（1）可知，1A l -是*A 的特征值,且X 是*A 的属于1A l-的特征向量．（7）因为A X X l=，所以()()1110--=++++m m m m f A X a A a A a A a E X ,()()11110110m m mm m m m m f A X a A X a A X a AX a EX a a a a X lll ----=++++=++++故()()f A X f X l =，即()f l 是()f A 的特征值，且X 是()f A 的属于()f l 的特征向量．命题2 设12,,,n l l l 是n 阶方阵A 的n 个特征值，设()1110m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，则()()()12,,,n f f f l l l 是()f A 的所有特征值．证明 用数学归纳法对的阶数n 进行归纳证明：存在可逆矩阵T ,使得121***n T AT l l l -骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫． 当1n =时，()1A l =，则存在可逆矩阵()1E =及()11E -=，使()11E AE l -=． 假设当阶数为1n -时，结论成立．那么当阶数为n 时，取A 的特征值1l 及1l 的一个特征向量1X ，将1X 扩充为n P 的一组基12,n X X X ，令()112,n T X X X = ,则1T 可逆，且1T 使得11111*0T AT A l -骣÷ç÷=ç÷÷ç桫，此处1A 为()()11n n -?阶矩阵．由归纳假设知，存在可逆矩阵2T ，使得231212***n T AT l l l -骣¢÷ç÷ç÷ç÷¢ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç¢桫， 其中23,,,n l l l ⅱ 是1A 的1n -个特征值． 令32100T T 骣÷ç÷ç=÷ç÷ç÷桫，则--骣÷ç÷ç=÷ç÷ç÷桫1132100T T ，那么 ()l l ----骣骣骣骣鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑==鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑鼢麋琪桫桫桫桫111111311312221210**100000TTAT T A T T T A T ()()()()l l l ---骣÷ç÷ç÷ç÷¢ç÷ç÷===ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷纰÷ç桫1121131131313***nT T A T T T T A T T L L O M 由上可知，l l l 骣÷ç÷ç÷ç÷¢ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷纰÷ç桫12***nL L O M 与A 相似，则l l l ⅱ12,,,n L 是A 的n 个特征值，记为12,,,n l l l ．令=13T T T ，则121***n T AT l l l -骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫 ，结论得证． 由结论可知，对n 阶方阵A ，存在可逆矩阵T ，使得121***n A T T l l l -骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫． 则()()()()121***n f f f A T T f l l l -骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫，且()()()12,,,n f f f l l l 是()f A 的所有特征值．5．矩阵AB 与BA 的特征值的关系命题3 设A 是m n ´矩阵，B 是n m ´矩阵，则AB 的特征多项式()AB f l 与BA 的特征多项式()BA f l 有如下关系()()n mAB BA f f l l ll =． （1）证明 先把要证明的（1）式改写为nmm n E AB E BA ll ll -=- （2）用构造法，设0l ¹，令1n m E BH AE l=．对11100nn nm m m E BE E B E AB A E A E lll骣骣骣÷÷÷ççç÷÷÷=ççç÷÷÷ççç÷÷÷--桫桫桫两边取行列式得()11mm m H E AB E AB ll l =-=- （3）再对11100n nn m m mE E B E BA BA E A E E ll l骣骣骣-鼢÷珑ç鼢÷=珑ç鼢÷珑ç÷鼢-桫桫桫两边取行列式得()11nn n H E BA E BA ll l =-=- （4）故由（3），（4）得()()11m nn m m n m n E AB E BA E AB E BA l l l l l l l l -=-?=- （5）上述等式是假设了0l ¹，但（5）式两边均为l 的n m +次多项式，有无穷多个值使它们成立（0l ¹），从而（5）式一定是恒等式，故命题3得证．由命题3可以得到以下几个推论推论1 当A ,B 均为n 阶方阵时，AB 与BA 有相同的特征值． 证明一 由命题3可知：n n E AB E BA l l l l -=- 当0l ¹时：E AB E BA l l -=-．当0l =时：()()11nnE AB AB A B B A BA E BA l l -=-=-=-=-=-． 故AB 与BA 有相同的特征值．证明二 当AB 有零特征值，即0l =，因为()()01100nnE BA BA B A A B E AB -=-=-=-=-=, 所以，0l =也是BA 的特征值．当AB 有非零的特征值，设l 是AB 任意非零的特征值，则存在特征向量()0X X ¹,使得()0ABX X X l =用B 同时左乘上式两边得()()()0BA BX BX X l = ．令Y BX =,则可得BAY Y l =，其中0Y ¹，否则由假设得0X ABX AY l ===，这与0,0Xl 构矛盾． 所以Y 是BA属于特征值l 的特征向量，而l 是AB 的任意非零特征值，所以AB 的任意非零特征值都是BA 的特征值．综上所述AB 的任意特征值都是BA 的特征值． 同理可证BA 的任意特征值都是AB 的特征值． 所以AB 与BA 有相同的特征值．推论2 设A 是m n ´矩阵，B 是n m ´矩阵，且m n ¹，则AB 与BA 有相同的非零特征值．证明 不妨设m n £，由命题3的证明的（5）式知nmn mm n m n E AB E BA E AB E BA ll ll ll l --=-?=-上述等式是假设了0l ¹，但上式两边均为l 的n 次多项式，有无穷多个值使它成立（0l ¹），从而上式一定是恒等式．所以AB 与BA 有相同的非零特征值，且阶数较高的BA 还有n m -个零特征值．6．矩阵的Kronecker 积的特征值命题4 设,m m n n A C B C 创挝，,l m 分别为,A B 的特征值，则l m 为A B Ä的特征值． 证明 设,0,,0m n X C X Y C Y喂喂，故0X Y墓，()()()()()()()()A B X Y AX BY X Y X Y l m l m 哪=?? ．所以l m 为A B Ä的特征值．由命题4可得以下推论推论1 设,m m n n A C B C 创挝，12,,,m l l l 及12,,,n m m m 分别为矩阵,A B 的特征值，则s t l m 为A B Ä的特征值，其中1,2,s m = ，1,2,,t n = ．推论2 设,,m m n n s s A C B C P C 创 挝 ，12,,,m l l l ，12,,,n m m m 及12,,,s r r r 分别为矩阵,,A B P 的特征值，则i j k l m r 为A BP 哪的特征值，其中1,2,,i m = ，1,2,,j n = ，1,2,,k s = ．命题5 设,m mn nA CB C创挝，,r s l m 分别为,A B 的特征值，设(),0,li j ij i j f x y c x y ==å为复数形式，(),0,li j ij i j f A B c A B ==å，则m n ´个数(),r s f l m 是(),f A B 的特征值，其中1,2,,r m = ，1,2,,s n = ．证明 设r X 为A 的特征值r l 的特征向量，s Y 为A 的特征值s m 的特征向量，则有i i r r r rr r AX X A X X l l =?，j j s s s ss s BY Y B Y Y m m =?，其中0r X ¹ ，0s Y ¹，则()()()(),0, li j r s ij r s i j f A B X Y c A B X Y =轾犏?哪犏犏臌å()(),0lijij rs i j c A B X Y ==哪å(),0li j ij r s i j c A X B Y ==å(),0li j ij r s r s i j c X Y l m ==å()(),r s r s f X Y l m =即(),r s f l m 是(),f A B 的特征值，其中1,2,,r m = ，1,2,,s n = ．由命题5可以得以下推论推论 设,m m n n A C B C 创挝，,r s l m 分别为,A B 的特征值，则r s l m +是矩阵,A B 的Kronecker 积nm A E B E ? 的特征值，其中1,2,,r m = ，1,2,,s n = ．7．行（列）转置矩阵的特征值在本节中，为了方便讨论，规定T A 表示矩阵A 的转置，n J J =表示次对角线上的元素全为1，其余元素全为0的n 阶方阵，即001010100J 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫． 7．1 定义和命题行（列）转置矩阵是一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论体系中具有十分重要的作用．高等代数主要讨论了矩阵的转置，对矩阵的行（列）转置很少涉及，所以下面给出矩阵行（列）转置的定义以及一些相关的结论．定义2 设()m n ij A a R ´= ，则矩阵A 的行转置矩阵与列转置矩阵分别记为,R C A A ， 即121,12,21,2122211121m m mn m m m n R n n a a a a a a A a a a a a a ---骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫，11,11122,1211,1,11,1,11n n n n Cm n m n m mn m n m a a a a a a A a a a a a a -------骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫． 若()R C A A A A ==，则称A 为行（列）对称矩阵． 若()R C A A A A =-=-，则称A 为行（列）反对称矩阵． 若R C A A =，则称A 为行列对称矩阵． 由定义2可以得到以下命题命题6 1T J J J -==, 2R C J J J E ===． 命题7 设,m n n k A R BR 创挝，则有以下结论（1）,R C m n A J A A AJ ==． （2）()(),R CR C A A A A ==．（3）()(),()RCR C kA kA kA kA k R == ． （4）()()()(),T C T RR T C T A A A A ==． （5）()(),RCR C AB A B AB AB ==．7．2 主要结果命题8 设n n A R ´Î为n 阶方阵，则R A 与C A 相似，则R A 与C A 有相同的特征值． 证明 由命题6与命题7知R C A JA JAJJ JA J ===． 又因为J 为n 阶可逆矩阵，且1J J -=，从而1R C C A JA J J A J -==． 所以R A 与C A 相似，则R A 与C A 有相同的特征值．推论 设n n A R ´Î为n 阶方阵，则有以下结论（1）当A 是行对称矩阵时，C A A ，则A 与C A 有相同的特征值． （2）当A 是列对称矩阵时，R A A ，则A 与C A 有相同的特征值．命题9 设n n A R ´Î为n 阶方阵，则R A 与C A 有相同的特征多项式和特征值． 证明 设l 是R A 的任意特征值，则R E A E JA EE JAE l l l -=-=- ()222J J JAJ J JJ AJ J l l =-=-2C J JJ AJ E A l l =-=-即R C E A E A l l -=-．所以R A 与C A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值．推论 设n n A R ´Î为n 阶方阵，则有以下结论（1）当A 是行对称矩阵时，则A 与R A 有相同的特征多项式和特征值． （2）当A 是列对称矩阵时，则A 与C A 有相同的特征多项式和特征值． 命题10 设n n A R ´Î为n 阶方阵，则,,R C A A A 有相同的可逆性． 证明 由命题6与命题7知R C A JA J A A J AJ A =====，即R C A A J A ==．所以当A 可逆时，0A ¹，又因0J ¹，从而0R C A A J A == ，,,R C A A A 均可逆．当A 不可逆时，0A =，从而0R C A A J A ===，则,,R C A A A 均不逆． 综上所述,,R C A A A 有相同的可逆性． 命题11 设n nA R ´Î为n 阶方阵，且A 可逆，则()1R A -与()1C A -相似，从而有相同的特征值．证明 由命题10知，当A 可逆时，,R C A A 均可逆，根据命题6和命题7可得()()()111R A JA JAE ---==()()11C JAJJ JA J --== ()()11111C C J A J J A J -----==所以()1R A -与()1C A -相似，从而有相同的特征值．8．矩阵A 的特征值与矩阵A 的共轭转置矩阵A ¢的特征值之间的关系 8．1 当()A A f B ¢=时，矩阵A 的特征值的特点命题12 设()1110m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，当()AA f B ¢=，l 为矩阵A 的特征值，h 为矩阵B 的特征值，且至少存在一个非零向量X ，X 是属于特征值l 的特征向量，也是属于特征值h 的 特征向量，则()f l l h =即()f l h =．证明 AX X l =，等式两边同时取共轭转置得()()AX X l ⅱ=，()()AX X l ⅱ=，X A X l ⅱ =． 将X A X l ⅱ =与AX X l =等式两边相乘得()()X A AX X X l l 骣骣ⅱ鼢珑=鼢珑鼢珑桫桫，即X A AX X X l l ⅱ =，因为矩阵A 满足()A A f B ¢=，故由命题1中（7）可知()()()X f B X X f X f X X X X h h l l ⅱⅱ===．又因为120n x x X x 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷= ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫，则12n X x x x （,,,）¢=，故 11220n n X X x x x x x x ¢=+++> ，将()f X X X X h l l ⅱ=两边同时消去X X ¢得()f l l h =，即()f l h =．推论 当A A kE ¢=（k R Î）时，l 为矩阵A 的特征值，则有k l l =,即k l =． 证明 设l 为矩阵A 的特征值，X 为属矩阵A 的特征值l 的特征向量，且X 为属矩阵E 的特征值1的特征向量．令()f x k =，由命题12知，()1f k l l ==，即k l =． 8．1．1 酉矩阵的特征值定义3 对n 阶复矩阵A ，如果A 满足A A AA E ⅱ==，则称A 为酉矩阵． 命题13 酉矩阵A 的特征值的模为1．证明 令命题12的推论中的1k =，有A A E ¢=，所以1l =． 8．1．2 正交矩阵的特征值定义4 如果n 阶实数矩阵A 满足A A AA E ⅱ==，则称A 为正交矩阵． 命题14 正交矩阵A 的特征值的模为1．证明 由定义知正交矩阵是酉矩阵，由命题13可得正交矩阵A 的特征值的模为1． 推论1 正交矩阵A 的实特征值只能为1或1-证明 l 为正交矩阵A 的特征值，由命题14知，1l =，由于l 为实数，故l 只能为1或1-．由上可知，由于正交矩阵A 的特征值的模为1，且1A = ，故正交矩阵A 的特征值可能为3种：1，1-,或cos sin i e i q q q =+，且复特征值是成对出现的，即,l l 同时为矩阵A 的特征值．推论2 n 阶正交矩阵A 的行列式与其特征值之间的关系如下 （1）若1A =-,则A 一定有特征值1-．（2）若1A =，且n 为奇数，则A 一定有特征值1． 证明一 运用命题12及其推论进行证明设n 阶正交矩阵A 在复数范围内的n 个特征值分别为12,,,n l l l ，由于12,n A l l l = ，则A 的特征值由两类构成：一类是模为1的共轭虚数，另一类是1或1-．（1）由1A =-，可知A 的特征值中除了成对出现共轭虚数外，一定有实特征值1-，否则特征值会出现如下结构1122,,,,,,,,1,1,,1k k l l l l l l ，此时112211k k A l l l l l l == ，则矛盾，所以A 一定有特征值1-（2）由1A =，且n 为奇数，可知A 的特征值中除了成对出现的共轭虚根外，还应存在奇数个实特征根，为了保证1A =，这奇数个实特征根不能全为1-，至少有一个1，所以A 一定有特征值1．证明二 从正交矩阵的定义出发，可以证明如下 （1）用特征值的定义证明()A E A A A E A A E A A ⅱ +=+=+=+()E A A E A A E A ¢=+=+=-+故20E A +=，0E A +=，则A 一定有特征值1-． （2）用同样的方法可以证明()E A A A A A E A A E A ⅱ-=-=-=-()()1nA E A A E A E A ¢=-=-=--因为n 为奇数，故20E A -=，0E A -=，则A 一定有特征值1．8．2 当()A f A ¢=时，矩阵A 的特征值的特点命题15 设()1110m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，l 为矩阵A 的特征值，且()A f A ¢=，则有()f l l =．证明 X 为矩阵A 的属于特征值l 的特征向量，则有AX X l =，等式两边同时取共轭转置得()()AX X l ⅱ=，()()AX X l ⅱ=，X A X l ⅱ =． 因为l 为矩阵A 的特征值，由命题1中（7）可知()f l 是()f A 的特征值，且X 是()f A 的属于()f l 的特征向量，则有()()f A X f X l =，等式两边同时左乘X ¢得()()()X f A X X f X X A Xf X X l l ⅱⅱ =?，因为X A X l ⅱ =，所以()X X f X X l l ⅱ=．又因为120n x x X x 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷= ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫 ，则12n X x x x （,,,）¢=，故 11220n n X X x x x x x x ¢=+++>将()X X f X X l l ⅱ=两边同时消去X X ¢得()f l l =．定义5 对n 阶复矩阵A ，若A A ¢=，则称A 为埃尔米特（Hermite ）称阵． 推论1 A 为埃尔米特（Hermite ）称阵，则A 的特征值全为实数． 证明 因为A 为n 阶埃尔米特（Hermite ）称阵，则A A ¢=．令()f x x =，则()A f A ¢=，设l 为矩阵A 的特征值，由命题15知：()f l l l ==，故l 为实数，即A 的特征值全为实数．定义6 对n 阶实数矩阵A ，若A A ¢=，则称A 为实对称阵．推论2 A 为实对称阵，则A 的特征值全为实数．证明 由定义知，实对称阵是埃尔米特矩阵，由命题15的推论1知，A 的特征值为全实数．定义7 对n 阶实数矩阵A ，若A A ¢=-，则称A 为实反对称阵． 推论3 A 为实反对称阵，则A 的特征值为0或纯虚数． 证明 因为A 为n 阶实反对称矩阵，则A A ¢=-．令()f x x =-，则()A f A ¢=-，设l 为矩阵A 的特征值，由命题15知()f l l l ==-，因为l l =-，所以l 为0或纯虚数．参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数[M]．第3版．北京：高等教育出版社，2003：290～293,296～297,377～378．[2] 郭竹梅．关于几类特殊矩阵特征值的结论及应用[J]．宜春学院学报，2011,33（4）：31～32．[3] 钱吉林．高等代数解题精粹[M]．第2版．北京：中央民族大学出版社，2010：170～171．[4] 马菊侠，穆瑞金．关于矩阵特征值的有关结论[J]．陕西师范大学学报（自然科学版），2003,31（专辑）：34～35．[5] 毛纲源．线性代数解题方法归纳[M]．武汉：华中科技大学出版社，1993．[6] 陈阻明．矩阵论引论[M]．北京：北京航天航空大学出版社，2000．[7] 贾书伟，何源承．行（列）矩阵的性质[J]．内江师范学院学报，2011,26（2）：14～16．[8] 袁晖坪．行（列）对称矩阵的Schur分解和正规矩阵分解[J]．山东大学学报（理科版），2007,42（10）：123～126．[9] 袁晖坪，罗光耀，王文惠．行转置矩阵与列转置矩阵[J]．河北大学学报，2009,29（5）：460～462．[10] 郑艳琳，刘绍庆．关于正交矩阵特征值与行列式的两个定理[J]．大学数学，2011,25（1）：161～163．[11] 张德菊，张晓敏．正交矩阵的特征多项式及特征根[J]．大学数学，2007,23（1）：151～154．[12] 张红玉．矩阵特征值的理论及应用[J]．山西大同大学学报（自然科学版），2009,25（1）：15～16．致谢论文得以顺利完成，要感谢的人实在太多了．首先要衷心地感谢我的指导老师傅朝金老师，他严谨的治学态度，开阔的思维，循循善诱的指导一直给我很大的帮助．在论文的不断修改中，我也努力做到及时积极地跟傅老师交流，因为我觉得这样可以使得我的论文更加完善．论文的最终完成，也是一波三折．在不断完善和修改的过程中，也让我更加懂得“一分耕耘才有一分收获”的道理．再次对傅老师表示感谢，师恩伟大，无以回报．然后还要感谢所有在大学期间传授我知识的老师，每一位老师的悉心教导都是我完成这篇论文的基础．特别是班主任刘云芬老师，她一直以来对我的鼓励和支持，并在我陷入困境的时候给予我最中肯的指点，大学里有这两位恩师的存在让我少走了很多弯路．其次还要感谢我的同学，正因为有同学在生活上对我的照顾，在学习上对我的支持和鼓励，我才能一路走下来，正因为我们在求学的道路上相互扶持，我们一路走下来才并不孤单．最后要感谢的是我的父母，我永远都不会忘记他们的良苦用心和一如既往的支持与鼓励．四年来，快乐的事情因为有他们的分享而更快乐，失意的日子因为有他们的关怀能忘却伤痛，坚强前行，无论我成功与否，他们总以鼓励的言语告诉我很棒，谢谢他们，我会继续努力．感谢出现在我大学生活中的所有的人们，是他们的出现，使我的大学生活变得丰富多彩，真心的感谢他们．谢谢！。