2010自适应信号处理第04章最陡下降方法
最速下降法课件
当 Q 为正定阵时，称 f (X) 为正定二次函数。
结论：正定二次函数 全局极小点：
有唯一
无约束问题4-4
一 . 最速下降法
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
无约束问题4-4
2 . 迭代原理
梯度的性质：函数f (X)在X(k)处的负梯度方向
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
10 停机准则： 设
连续( 即 f(X)连续可微) (一阶必要条件)
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
20 结论：一维搜索最优解的梯度
证明：
与搜索方向 正交
无约束问题4-4
3 . 迭代步骤
注释：
30 结论： 最速下降法的任何两个相邻搜索方向正交(垂直)
齿现象,函数值下降速度显著变慢.
优点： 计算简单,存储量小. 缺点：由于锯齿现象,迭代后期收敛速度变慢.
无约束问题4-4
一 . 最速下降法
收敛性问题的基本概念 最速下降法的迭代原理 最速下降法的迭代步骤 最速下降法的举例 最速下降法的收敛结论
无约束问题4-4
5 . 最速下降法的收敛结论
定义4-10
若
收敛于 ，且满足
则p称为
收敛于 的阶。
当 p = 1 时，称为一阶收敛； 当 p = 2 时，称为二阶收敛；
最速下降法 Newton法
当
时，称为超线性收敛；拟Newton法
无约束问题4-4
1.收敛性问题的基本概念
定义4-12
若某算法对于任意正定二次目标函数,从任意初始点 出发,都能经过有限次迭代达到其极小点,则该算法称 为具有二次终止性的算法或二次收敛算法.
最速下降法解题步骤
最速下降法（Steepest Descent Method）是一种数值优化算法，用于求解无约束优化问题的最小值。
下面是最速下降法的一般解题步骤：
1.定义目标函数：首先，需要明确要优化的目标函数。
这个函数通常表示为f(x)，其中
x 是优化变量。
2.初始化起始点：选择一个合适的起始点x0，作为最速下降法的初始点。
3.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度，即∇f(x)。
这可以通过对目标函数进行偏
导数计算得到。
4.确定搜索方向：将梯度反向取负作为搜索方向d，即d = -∇f(x)。
5.确定步长：确定沿着搜索方向移动的步长，也称为学习率或步长因子。
常见的选择
方法有固定步长、线性搜索和精确线搜索等。
6.更新当前点：根据步长和搜索方向，更新当前点x，即x = x + αd，其中α 表示步
长。
7.判断终止条件：判断是否满足终止条件，可以是达到预定的迭代次数、目标函数值
变化很小或梯度变化很小等。
8.若不满足终止条件，则返回第3步，重新计算梯度，并重复3-7步骤，直到满足终
止条件。
最速下降法的关键在于选择合适的步长和搜索方向。
步长过大可能导致无法收敛，步长过小可能导致收敛速度慢。
搜索方向的选择应该保证在当前点能够使目标函数值下降最快。
需要注意的是，最速下降法可能会陷入局部最小值，而无法达到全局最小值。
为了克服这个问题，可以考虑使用其他优化算法，如共轭梯度法、牛顿法等。
第四部分自适应信号处理教学课件
❖ 算法原理
• 基本方程
4)最小代价函数
对于前向预测：
Emf
(n)
u(n)
a Tm
(n)u
* m
(n)
对于后向预测：
E
b m
(n)
v(n)
b
T m
(n)
v
* m
(n)
自适应格-梯型滤波器
❖ 算法原理
• 基本方程
5)W-H方程与Wiener解 a)对于前向预测：
Rm (n 1)am (n) um (n)
(11)
k
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型自适应算法(续)
利用
Em (n) 0
* m
可得n时刻发射系数
w(n
k)
f m1 (k )g
* m1
(k
1)
m (n)
k
w(n k ) f m1 (k ) 2 (1 ) g m1 (k 1) 2
且有
k
m (n) 1
步骤6 令m m 1 ,重做步骤2-5, 直到预测误差功率很小为止.
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 自适应格-梯型滤波器 ❖ 无限脉冲响应自适应滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
i0
m
m
gm (n) bm (i)x(n i) am* (m i)x(n i)
i0
i0
(8a) (8b)
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型滤波器设计准则
定义前、后向滤波器的残差能量
自适应信号处理最速下降法实验
自适应信号处理最速下降法实验一 实验目的考察最速下降法应用于预测器的瞬态特性。
通过保持特征值扩散度不变，而改变步长参数，观察过阻尼和欠阻尼两种情况下()1v n 和()2v n 以及)(1n ω和)(2n ω随n 改变而改变的过程。
二 实验要求固定特征值扩散度()10R χ=，令步长参数μ分别为0.3和1.0，1 1.1955a =-，20.95a =，1 1.818λ=，20.182λ=，2m in 0.0322J σ==，观察()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的情况。
三 实验过程首先让步长参数为0.3，得到过阻尼情况下()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的曲线。
如下图所示：图 1：步长参数0.3μ=过阻尼情况图中曲线中的同心椭圆从内到外依次对应n=0，1，2，3……的情况，下同。
图 2：步长参数0.3μ=过阻尼情况再让步长参数为1.0，得到欠阻尼情况下()1v n 和()2v n 以及()1n ω和()2n ω随n 改变而变化的曲线。
如下图所示：图 3：步长参数 1.0μ=欠阻尼情况图 4：步长参数 1.0μ=欠阻尼情况四 实验结果和分析通过观察上述曲线，可得到如下结论：1 最速下降法的瞬态特性对步长参数的变化是高度敏感的。
而且当步长μ较小时，最速下降法的瞬态特性是过阻尼的，即连接点V (0),V (1),V (2)…所组成的轨迹沿着一条连续的路径；当步长μ达到或接近最大值max2max λμ=时，最速下降法的瞬态特性是欠阻尼的，即轨迹显现振荡现象。
2上面的实验验证了当max20λμ<<时，根据式kmse k μλτ21,≈可得步长参数μ越小，最速下降法中每一个自然模式的衰减速率越慢。
且当max2max λμ=时，出现欠阻尼现象，如果μ再大，则算法发散。
3 对于固定的()J n ，()()12,v n v n ⎡⎤⎣⎦随n 变动的轨迹正交于()J n 固定时()()12,v n v n ⎡⎤⎣⎦的轨迹，这也适用于()J n 固定时()()12,n n ωω⎡⎤⎣⎦的轨迹。
最速下降法
0 为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
0 0 f x1 min f x f x
min 2 4 25 2 100 min
2 2
0 8 2 4 5000 2 100 0
(k ) (k ) d x 3.若 ,则停止计算;否则,从 出发,沿 d ( k ) 进行
,使
f ( x ( k ) k d ( k ) ) min f ( x ( k ) d ( k ) )
0
4.令 x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) ,置 k : k 1,转步2..
从而算出一维搜索最佳步长
626 0 0.02003072 31252 及第一次迭代设计点位置和函数值
1.919877 2 4 0 x 2 2 100 0 0.3071785 10
1
f x1 3.686164
经过10次迭代，得到最优值
4 计算框图
x(1), ε >0, k=1
k=k+1
|| ▽f(x(k) ) ||< ε? No d(k)= －▽f(x(k) )
Yes stop. x(k) –解
min f(x(k)+λ d(k)) s.t. λ >0 得 x(k+1)=x(k)+λkd(k) 解
P37 例 3-1
2 例：求目标函数 f x x12 25x2 的极小点。
f ( x ( k ) k d ( k ) ) min f ( x ( k ) d ( k ) )
0
f ( x( k ) )T f ( x( k ) ) 最优步长法： k f ( x( k ) )T H ( x( k ) )f ( x( k ) )
自适应信号处理
1.自适应信号处理基本概念，解决的问题，适用条件下（平稳、短时平稳），结构分类。
自适应信号处理:是研究一类结构可变或可以调整的系统，它通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。
通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传送变化的环境和要求。
自适应系统和一般系统类似，可以分为开环系统（闭环：计算量小，收敛慢；开环：计算量大，收敛快）和闭环系统两种类型。
开环系统仅由输入确定，而闭环不仅取决于输入，还依赖于系统输出的结果。
自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信号，也可以是局部平稳随机信号，也可以是窄带或者是宽带信号。
2、信号相关矩阵与其性质，梯度运算:输入信号的相关矩阵：R E[X*X T]=，相关矩阵R是厄米特矩阵，即满足R* = R T。
作为厄米特矩阵，它具有以下性质：①对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。
②R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数，且大于或等于零。
③所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。
[定义一个幺向量：1=[1 1 … 1]T，于是，R的特征值之和为1T∧1=1T Q H RQ1= = 上式等号右边的求和即为矩阵R的迹（矩阵主对角线所有元素之和），亦即系统输入信号的功率。
]④信号相关矩阵R可以被分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵，即：R=R a+jR b ，其中，实矩阵R a、R b分别满足条件：R a T=R a和R b T=-R b⑤若W为L+1维的权向量，则对相关矩阵R，存在关于W的一个瑞利商，且对于所有W的瑞利商均为实数。
瑞利商Ray(W)=⑥R可分解为R=Q Q T where Q [q0,q1,… q l],信号子空间：R s非零特征值对应的特征向量成的子空间。
Span{q0,q1,… q s}噪声子空间：信号子空间的正交补空间零特征值→特征向量。
Span{ q s+1,q s+2,… q l+1}梯度运算：=[]T式中分别是向量W的第l个元素的实部和虚部，即；ε即为。
信号与系统 最速下降法 梯度下降法
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无约束优化方法(最速下降法_牛顿法)
第四章 无约束优化方法——最速下降法，牛顿型方法概述在求解目标函数的极小值的过程中，假如对设计变量的取值X 围不加限制，如此称这种最优化问题为无约束优化问题。
尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的，无约束最优化方法仍然是最优化设计的根本组成局部。
因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。
为什么要研究无约束优化问题?〔1〕有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。
〔2〕通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的根底。
〔3〕约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。
所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的根本组成局部，也是优化方法的根底。
根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。
一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、〔阻尼〕牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。
二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。
无约束优化问题的一般形式可描述为：求n 维设计变量 []12Tn n X x x x R =∈ 使目标函数()min f X ⇒目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差异。
无约束优化问题的求解：1、解析法可以利用无约束优化问题的极值条件求得。
即将求目标函数的极值问题变成求方程0)(min *=X f的解。
也就是求Ｘ＊使其满足解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值点。
但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。
由第二章的讲述我们知道，优化问题的一般解法是数值迭代的方法。
因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。
2、数值方法 数值迭代法的根本思想是从一个初始点)0(X 出发，按照一个可行的搜索方向)0(d 搜索，确定最优的步长0α使函数值沿)0(d 方向下降最大，得到)1(X 点。
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J (wo ) ≤ J (w)
非限制优化
对于所有w
解决自适应滤波非限制优化问题的方法――局部迭代下降 （local iterative descent）
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
一、最陡下降方法
自适应信号处理
第二部分：最小均方自适应算法
最陡下降方法
邹斌
哈尔滨工业大学 信息工程系
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
引言
经典的基于梯度适应的优化技术――最陡下降方法 （Method of Steepest descent） 是其它基于梯度的算法的基础。 特点：递归的。采用反馈系统，逐步迭代计算。 当用于Wiener滤波器时，可以跟踪系统统计特性 的变化，而不用求解Wiener-Hopf方程。在一定合 适的条件下，获得的阶逼近Wiener最优解。 自适应过程——动态的过程
n 表示迭代次数， μ 为一个正常数，称为步长尺寸参数 1 （step-size parameter） 使计算方便。 ， 2
从迭代 n 到 n + 1，算法对加权向量的调整为
1 δ w(n) = w(n + 1) − w(n) = − μ g(n) 2
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
c(n + 1) = (I − μ R)c(n)
基于加权误差向量 的最陡下降算法
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
三、最陡下降方法性能分析
自相关函数矩阵可以表示为 R = QΛQ H
Λ 为由 R 的特征值 λ1 , λ2 ,… , λM 构成的对角阵，
2 J ( n) = σ d − w H ( n)p − p H w ( n) + w H ( n)Rw ( n)
σ d2 为理想响应为 d ( n) 的方差， 表示滤波器输入 u( n) 与理想输出 p
d ( n) 的互相关向量， R 为抽头输入序列 u ( n) 的自相关矩阵
2 J (w ) = σ d − w H p − p H w + w H Rw
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器
Adaptive Signal Processing
最小均方算法自适应滤波器
引言
求解Wiener-Hopf方程要求：设计时已知输入的统计特性 需要研究处理未知输入的滤波器 参数可变
自适应
FIR自适应滤波器 已知一可变参数FIR滤波器，其输出为
* y ( n) = ∑ wk (n)u (n − k ) = w H ( n)u(n − k ), n = 1, 2, … , ∞ k =0 M
Q 由相应特征值所对应的特征向量 q1 , q 2 ,… , q M 构成
从而有
c(n + 1) = (I − μQΛQH )c(n)
QH c(n + 1) = (I − μ Λ)QH c(n)
等式两端左乘 QH
定义新的坐标集 v(n) = QH c(n) = QH (wo − w(n))
Wiener解 适用于平稳过程
解确定
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器
Adaptive Signal Processing
最小均方算法自适应滤波器
引言
线性预测及联合过 程估计 基于Wiener解
解确定
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
算法的过程，算法的稳定性以及收敛特性。
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
一、最陡下降方法
定义某一加权向量 w 的代价函数 J ( w ) 。
连续可微分方程。这个函数将w的元素映射为实数。 希望找到最优解wo，满足以下条件
抽头加权 w0 (n), w1 (n),… wM −1 (n)
理 想 响 应 d (n)
参数可变横向滤波器
2010年3月23日 哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
二、利用最陡下降方法求解Wiener滤波器
T 令在时间n的抽头输入向量为 u(n) = [u (n), u (n − 1),… u (n − M + 1)]
δ w (n + 1) = μ E ⎡u(n)e* (n) ⎤ ⎣ ⎦
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
三、最陡下降方法性能分析
最陡下降方法存在反馈，因此可能不稳定。 其稳定性取决于两个因素： 步长尺寸参数μ 相关矩阵R （一）最陡下降方法稳定性 定义时间n的加权误差向量（weight-error vector）
寻找一个适应过程 w ( n + 1) = w ( n ) + δ w ( n ) ，使得这个过程 收敛到 Wiener 滤波器最优解，即 w ( n + 1) → w o 。
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最小均方算法自适应滤波器
引言 可变抽头加权向量
w ( n) = [ w0 ( n), w1 (n),… wM −1 ( n) ]
T
可以在每一个时间上进行更新
自适应滤波器设计要求
给定 w ( n ) = [ w0 ( n ), w1 ( n ), … wM −1 ( n ) ] ，在任意初始条件下，
T
c(n) = wo − w(n)
wo是由Wiener-Hopf方程确定的最优解
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
三、最陡下降方法性能分析
利用Wiener-Hopf方程 Rw o = p 可以得到
在 μ 取较小值时成立
1 2
将 δ w(n) = w(n + 1) − w(n) = − μ g(n) 代入，从而得到
1 J (w(n + 1)) ≈ J (w(n)) − μ g(n) 2
2
当 μ 为正数时，J (w(n + 1)) ≤ J (w(n)) 成立。 n 随 增大， J (n) 递减，在 n = ∞ 时逼近最小值 J min 。
∇k J = ∂J ∂J +j ∂ak ∂bk
M −1 i =0
= −2 p (− k ) + 2 ∑ wi r (i − k )
∂J (n) / ∂ak (n) ，∂J (n) / ∂bk (n) 分别表示代价函数 J (n) 对第 k 个抽头
wk (n) 的实部 ak (n) 和虚部 bk (n) 的偏微分， k = 0,1, 2… , M − 1
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
一、最陡下降方法
令J (w) 变化梯度为 可以将最陡下降算法表示为
∂J ( w ) g = ∇J (w ) = ∂w
1 w(n + 1) = w(n) − μ g(n) 2
1 w(n + 1) = w(n) − μ g(n) 2
1 w(n + 1) = w(n) − μ g(n) = w(n) + μ [p − Rw(n)] n = 0,1, 2… 2
在时间 n + 1 时所作的加权向量的 修正 δ w(n) 等于 μ [p − Rw (n) ]
最陡下降算法的信号流图
与抽头加权向量 w (n) = [ w0 (n), w1 (n),… wM −1 (n) ] 的内积
T T
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最陡下降算法
Adaptive Signal Processing
最陡下降方法
二、利用最陡下降方法求解Wiener滤波器
如果抽头输入向量 u ( n ) 与理想响应为 d ( n ) 是联合平稳的， 则在时间 n 的均方误差或代价函数 J ( ( w ) ) ，或 J ( n ) ，是抽 头加权向量的二阶函数
u(n) = [u (n), u (n − 1),… u (n − M + 1)] 为输入信号 u (t ) 的样本
T
d (t ) 为理想输出并且 u (t ) 和 d (t ) 是联合平稳过程
2010年3月23日
哈尔滨工业大学信息工程系 邹斌
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器
Adaptive Signal Processing
自适应信号处理 第二部分 最小均方自适应算法
邹斌
哈尔滨工业大学 信息工程系
自适应信号处理
最小均方算法自适应滤波器