指数函数公式
数知识:
作为实数变量x的函数,
有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如
的
指数函数
指数函数的一般形式为
(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过
指数函数
程中(不等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
(7)函数总是通过(0,1)这点,(若
,则函数定过点(0,1+b))
(8)指数函数无界。
(9)指数函数是非奇非偶函数
(10)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。
2公式推导
e的定义:
(
)'
指数函数
=
=
=
=
=
=
特殊地,当a=e时,(
)'=(ln x)'=1/x。
方法二:
设
,两边取对数ln y=xln a
两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a
特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
eo=1
3函数图像
指数函数
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y 轴左边“底大图低”。(如右图)。
(4)
与
的图像关于y轴对称。
4幂的比较
比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要
比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来
判断。
例如:
,
因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以
大于
。
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可
指数函数
以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如:
,
,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义
域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而
y2上升,在x等于4时,y2大于y1.
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:
<1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。
<2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或
0〈 a〈 1且 x〈 0)时,
大于1,异向时
小于1.
〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.
⑴
因为4>1,所以
在R上是增函数;
⑵
因为0<1/4<1,所以
在R上是减函数
5定义域
指代一切实数
对于一切指数函数
来讲。他的a满足a>0且a≠1,即说明y>0。所以值域为(0, (3)把其中适当的几个分式先化简,重点突破.
指数函数
(4)可考虑整体思想,用换元法使分式简化
8对应关系
(1)曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为
(2)曲线在x轴上方,而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠
指数函数
近X轴(x轴是曲线的渐近线)〈=〉函数的值域为(0,+∞)
(3)曲线过定点(0,1)〈=〉x=0时,函数
(零次方)=1(a>0且a≠1)
(4)当a>1时,曲线由左向右逐渐上升,即a>1时,函数在
上是单调递增函数;