初一数学培优之数的整除性

初一数学培优之数的整除性
阅读与思考
设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整
除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：
①若整数a的个位数是偶数，则2|a；
②若整数a的个位数是0或5，则5|a；
③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；
④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；
⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；
⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．
2．整除的基本性质
设a，b，c都是整数，有：
①若a|b，b|c，则a|c；
②若c|a，c|b，则c|(a±b)；
③若b|a，c|a，则[b，c]|a；
④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；
⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．
例题与求解
【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．
(“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．
【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：
①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；
②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( )
A．只有①正确B．只有②正确
C．①，②都正确D．①，②都不正确
(江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数13456ab 能被198整除，求a ，b 的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数13456ab 能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a ，b 的等式，求出a ，b 的值．
【例4】已知a ，b ，c 都是整数，当代数式7a ＋2b ＋3c 的值能被13整除时，那么代数式5a ＋7b －22c 的值是否一定能被13整除，为什么？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
解题思想：先把5a ＋7b －22c 构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例5】如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数1a ，2a ，…，n a ，满足对任意一个正整数m ，在1a ，2a ，…，n a 中都至少有一个为m 的“魔术数”．
(2013年全国初中数学竞赛试题)
解题思想：不妨设7i i a k t =+(i =1，2，3，…，n ；t =0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m 的
“魔术数”．根据题中条件，利用10k i a m +g
(k 是m 的位数)被7除所得余数，分析i 的取值．
【例6】一只青蛙，位于数轴上的点k a ，跳动一次后到达1k a +，已知k a ，1k a +满足|1k a +－k a |=1，我们把青蛙从1a 开始，经n －1次跳动的位置依次记作n A ：1a ，2a ，3a ，…，n a ．
⑴ 写出一个5A ，使其150a a ==，且1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0；
⑵ 若1a =13，2000a =2 012，求1000a 的值；
⑶ 对于整数n (n ≥2)，如果存在一个n A 能同时满足如下两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．求整数n (n ≥2)被4除的余数，并说理理由．
(2013年“创新杯”邀请赛试题)
解题思想：⑴150a a ==．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证1a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a >0．只需将“向右”安排在前即可．
⑵若1a =13，2000a =2 012，从1a 经过1 999步到2000a ．不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则1999132012x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得19990
x y =⎧⎨=⎩可见，它一直向右跳，没有向左跳． ⑶设n A 同时满足两个条件：①1a =0；②1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0．由于1a =0，故从原点出发，经过(k －1)步到达k a ，假定这(k －1)步中，向右跳了k x 步，向左跳了k y 步，于是k a =k x －k y ，k x ＋k y =k －1，则1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0＋(22x y -)＋(33x y -)＋…(n n x y -)=2(1x ＋2x ＋…＋n x )－[(22x y +)＋(33x y +)＋…＋(n n x y +)]=2(2x ＋3x ＋…＋n x )－()12
n n -．由于1a ＋2a ＋3a ＋…＋n a =0，所以n (n －1)=4(2x ＋3x ＋…＋n x )．即4|n (n －1)．
能力训练
A级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有1
7
的学生得优，
1
3
的学生得良，
1
2
的学生得及格，则
有________人不及格．
2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
(上海市竞赛试题) 3．一个五位数398
ab能被11与9整除，这个五位数是________．
4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( )
A．532 B．665 C．133 D．798
5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )
A．1 B．2 C．3 D．6
(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( ) A．12个B．18个C．20个D．30个
(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？
(黄冈市竞赛试题)
8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
(上海市竞赛试题)
9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
B级
1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，a的一般表达式为____________．
(“希望杯”邀请赛试题) 2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)共有___________个．
(天津市竞赛试题) 3．一个六位数1989
x y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．
4．有以下两个数串
1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,1999
1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999
⎧
⎨
⎩
L
L同时出现在这两个数串中的数的个
数共有( )个．
A．333 B．334 C．335 D．336
5．一个六位数1991
a b能被12整除，这样的六位数共有( )个．
A．4 B．6 C．8 D．12
6．若1 059，1 417，2 312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为( )．A．15 B．1 C．164 D．174
7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么．如果N=3 194，请你确定abc．
(美国数学邀请赛试题)
8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．
(武汉市竞赛试题)
9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．
(“五羊杯”竞赛试题)
10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．
(重庆市竞赛试题) 11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们
的和能被10整除，求n的最小值．
(2013年全国初中数学竞赛试题)。