推理与证明(优生培训)

高二数学培训资料—推理与证明1．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为________． 解析：q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p ∴q≥p2．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为_______ _．解析：∵M<1210＋1210＋1210＋…＋1210(共210项)，∴M<1210×210＝1. 3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为___43_____．4．已知定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2 011)＝132.5．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为__1＋12＋13＋…＋12－1>n2____． 6．设A(0,0)，B(4,0)，C(t ＋4,3)，D(t,3) (t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝___6_____；N(t)的所有可能取值为___6,7,8_____．7．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有____ S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30___也成等差数列，该等差数列的公差为____300____． 8．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f(n)＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝____n ＋2n ＋1____.9．设函数f(x)＝x x ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝xx ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝_x(2n－1)x ＋2n .10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t ＝6at(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝____41____.11．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是________．解析：由1＋2＋3＋…＋12＝78(个)白圈，78＋12＝90.依规律再出现13个白圈，∴前100个圈中“●”的个数为12.12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1,4,9,16…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 . ①289 ②1024 ③1225 ④1378 解析：根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝n(n ＋1)2，第n 个正方形数为b n ＝n 2.答案：③13．若数列{a n }(n∈N *)是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列，类比上述性质，若数列{c n }是等比数列，且c n >0(n∈N *)，则有d n ＝________ 也是等比数列． 解析：n c 1c 2c 3…c n ＝ncn1q 1＋2＋3＋…＋(n －1)＝ncn1q n(n －1)2＝c 1q (n －1)2，是等比数列．答案：nc 1c 2c 3…c n14．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中最小的数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.解析：由题意可得：a ＝21，b ＝9，则a ＋b ＝30.15．对于等差数列{a n }，有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：“__________________________________________________________________________”． 答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有bs －1t ＝bt －1s. 16．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝________.解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×(1－14)＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×(1－14)×(1－19)＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×(1－14)×(1－19)×(1－116)＝54，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1.17．观察下列等式：∑i ＝1ni ＝12n 2＋12n ，∑i ＝1n i 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，∑i ＝1ni 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，∑i ＝1n i 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， ∑i ＝1ni 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4－112n 2，∑i ＝1n i 6＝17n 7＋12n 6＋12n 5－16n 3＋142n ，… ∑i ＝1ni k ＝a k ＋1n k ＋1＋a k n k ＋a k －1n k －1＋a k －2n k －2＋…＋a 1n ＋a 0，可以推测，当k≥2(k∈N *)时，a k ＋1＝1k ＋1，a k ＝12，a k －1＝________，a k －2＝________.解析：法一：特殊值找规律，再对其验证．当k ＝5时，a k －1＝a 4＝512＝k12，a k －2＝a 3＝0.又当k ＝6时，a k －1＝k 12＝612＝12，a k －2＝0均符合．法二：∵k＝2时，a 1＝16＝212，a 0＝0，k ＝3时，a 2＝14＝312，a 1＝0，k ＝4时，a 3＝13＝412，a 2＝0，k ＝5时，a 4＝512，a 3＝0，k ＝6时，a 5＝12＝612，a 4＝0.∴可猜想a k －1＝k12，a k －2＝0.18．已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式并证明．解 (1)a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n. 当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3.∵a 4＝28，∴a 3＝15；当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2.∵a 3＝15，∴a 2＝6；当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1.∵a 2＝6，∴a 1＝1.(2)猜想a n ＝n(2n －1)． ①当n ＝1时，a 1＝1，而a 1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即a k ＝k(2k －1)．则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k ，a k ＋1＋k(2k －1)－1a k ＋1－k(2k －1)＋1＝k ，整理，得(1－k)a k ＋1＝－2k 3－k 2＋2k ＋1＝(2k ＋1)(1－k 2)，a k ＋1＝(1＋k)(2k ＋1)＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]，等式也成立．综合①②可知，n∈N *时，等式成立． 19．在△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2.那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 证明：如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD·DC，AB 2＝BD·BC，AC 2＝BC·DC，∴1AD 2＝1BD·DC＝BC 2BD·BC·DC·BC ＝BC2AB 2·AC2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD ＝AB 2＋AC 2AB ·AC ＝1AB ＋1AC.所以1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 如图(2)，连结BE 交CD 于F ，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD ，而AF ⊂面ACD ， ∴AB⊥AF.在Rt△ABF 中，AE⊥BF，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt△ACD 中，AF⊥CD，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 20．设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值。

解：由f(x)·f(x＋2)＝13知f(x ＋2)f(x ＋4)＝13，所以f(x ＋4)＝f(x)， 即函数f(x)是以T ＝4为周期的函数，故f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝13f(1)＝132.21．已知函数f(x)＝x 3，g(x)＝x ＋x.(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由； (2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a(a>0)，f(a n ＋1)＝g(a n ) 证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M.解：(1)由h(x)＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1<0，h(2)＝6－2>0，则x ＝0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点．因此，h(x)至少有两个零点． 解法一：h′(x)＝3x 2－1－12x －12，记φ(x)＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x)＝6x ＋14x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x)<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x)>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h(x)单调递减．而h(0)＝0，则h(x)在(0，x 1]内无零点； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点．解法二：由h(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x)＝x 2－1－x －12，则φ′(x)＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x)在(0，＋∞)上有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h(x)有且只有两个零点． (2)记h(x)的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0.(i)当a<x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0. 由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立． ②假设当n ＝k(k≥1)时，a k <x 0成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0. 因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立．故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a≥x 0时，由(1)知，h(x)在(x 0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x 0)＝0，即a3≥a＋ a.从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1≤a显然成立．②假设当n＝k(k≥1)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a≤a3知，a k＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.高二数学培训资料—推理与证明1．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为________．2．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为_______．3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为_______．4．已知定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(2 011)＝ .5．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为 ．6．设A(0,0)，B(4,0)，C(t ＋4,3)，D(t,3) (t∈R )．记N(t)为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)＝________；N(t)的所有可能取值为________ ．7．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有____ S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30___ 也成等差数列，该等差数列的公差为________．8．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f(n)＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.9．设函数f(x)＝x x ＋2(x>0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x 7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝ . 10．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t＝6a t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.11 ．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是________．12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1,4,9,16…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 . ①289 ②1024 ③1225 ④137813．若数列{a n }(n∈N *)是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列，类比上述性质，若数列{c n }是等比数列，且c n >0(n∈N *)，则有d n ＝________ 也是等比数列．14．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中最小的数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.15．对于等差数列{a n }，有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题：“__________________________________________________________________________”．16．观察下列等式：∑i ＝1ni ＝12n 2＋12n ，∑i ＝1n i 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，∑i ＝1ni 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，∑i ＝1n i 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， ∑i ＝1ni 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4－112n 2，∑i ＝1n i 6＝17n 7＋12n 6＋12n 5－16n 3＋142n ，… ∑i ＝1ni k ＝a k ＋1n k ＋1＋a k n k ＋a k －1n k －1＋a k －2n k －2＋…＋a 1n ＋a 0，可以推测，当k≥2(k∈N *)时，a k ＋1＝1k ＋1，a k ＝12，a k －1＝________，a k －2＝________.17．已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式并证明．18．在△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2.那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．19．设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，求f(99)的值。