2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(十七) 空间向量的正交分解及其坐标表示 Word版含解析
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示高效测评 新人教A版选修21
2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示高效测评 新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分) 1．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底解析： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.答案： B2．在空间中平移△ABC 到△A 1B 1C 1，连接对应顶点，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，E 是BC 1的中点，则AE →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b ＋12cD.23a ＋23b －12c 解析： 如图所示，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12(BB 1→＋BC →)＝AB →＋12(BB 1→＋AC →－AB →)＝12AB →＋12BB 1→＋12AC →＝12a ＋12b ＋12c . 答案： C3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析： 对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →，MB →，MC →共面，故只有选项C 中MA →，MB →，MC →不共面．答案： C4．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 解析： 因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AB →＋AC →＝34OA →＋14(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14，故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO →＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝________.解析： AO →＝12AC 1→＝12(AB →＋BC →＋CC 1→)．故x ＝y ＝z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝32.答案： 326．在长方体OADB －CA ′D ′B ′中，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝2，点E ，F 分别是DB ，D ′B ′的中点，建立如图所示空间直角坐标系，则OE →＝________，OF →＝________.解析： D (3,4,0)，B (0,4,0)，E 为BD 中点，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，0，∴OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，0，B ′(0,4,2)，D ′(3,4,2)，F 为B ′D ′中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，2，∴OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，2.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，2三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，设四面体OABC 的三条棱OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 为△ABC 的重心，以{a ，b ，c }为空间基底表示向量BE →，OG →.解析： 由G 为△ABC 的重心易知E 为AC 的中点， ∴BE →＝12(BA →＋BC →)＝12[(OA →－OB →)＋(OC →－OB →)]＝12[(a －b )＋(c －b )]＝12(a ＋c －2b )， OG →＝OB →＋BG →＝b ＋23BE →＝b ＋13(a ＋c －2b )＝13(a ＋b ＋c )． 8．如图所示，在直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，且AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5.(1)写出向量AC 1→关于i ，j ，k 的分解式，写出C 1点的坐标和向量AC 1→的坐标；(2)写出向量CA 1→的坐标．解析： (1)如题图所示：AC 1→＝3i ＋4j ＋5k ，所以C 1点的坐标为(3,4,5)，向量AC 1→的坐标为(3,4,5)；(2)因为CA 1→＝AA 1→－AC →，又AC →＝3i ＋4j ，AA 1→＝5k ， 所以CA 1→＝AA 1→－AC →＝5k －(3i ＋4j )＝－3i －4j ＋5k ， ∴CA 1→＝(－3，－4,5)．9．(10分)已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解析： 由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c .由向量分解的唯一性，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1.∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).。
高中数学人教版选修2-1课堂练习3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示 Word版含解析
课堂效果落实
.设命题：，，是三个非零向量；命题：{，，}为空间的一个基底，则命题是命题的( )
．充分不必要条件
．必要不充分条件
．充要条件
．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量，，不共面时，{，，}可以当基底，否则不能当基底．当{，，}为基底时，一定有，，为非零向量．
答案：
．若向量、、
的起点与终点、、、互不重合且无三点共线，且满足下列关系(是空间任一点)，则能使向量、、成为空间一个基底的关系是( ) . ＝＋＋
. ≠＋
. ＝＋＋
. ＝－
解析：若、、为空间一组基底向量，则、、、四点不共面．中、、、共面，因为－＝＋－＝(－)＋(－)⇒＝＋；中可能共面，≠＋，但可能＝λ＋μ；四点显然共面．
答案：
．已知空间四边形中，＝，＝，
＝，点在上，且＝，为的中点，则等于( )
－＋．－＋＋
＋－＋－
解析：显然＝－＝(＋)－＝－＋＋.
答案：
．设{，，}是空间向量的一个单位正交基底，则向量＝＋－，
＝－＋＋的坐标分别是．
解析：∵，，是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知＝(，－)，＝(－)．
答案：(，－)，(－)
．在直三棱柱—中，∠＝，＝，＝,
＝，为的中点，则在如右图所示的空间直角坐标系中，求，
的坐标．
解：根据已建立的空间直角坐标系，知
()，()，()，()，()，则
＝()－()＝(－，－，－)，
＝()－()＝(－，－)．。
【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(十八) 空间向量运算的坐标表示 含解析
课时跟踪检测（十八） 空间向量运算的坐标表示层级一 学业水平达标1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：选C 因为a 与b 共线，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.2．已知A (3,3,3)，B (6,6,6)，O 为原点，则OA 与BO的夹角是( )A ．0B ．π C.π2 D.2π3解析：选B ∵OA ·OB＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且|OA |＝33，|OB|＝63，∴cos 〈OA ，OB 〉＝5433×63＝1，∵〈OA ，OB 〉∈[0，π]，∴〈OA ，OB 〉＝0.∴〈OA ，BO〉＝π.3．若非零向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2是a 与b 同向或反向的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2，则a 与b 同向或反向，反之不成立．4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C AB＝(3,4，－8)，AC ＝(5,1，－7)， BC＝(2，－3,1)， ∴|AB|＝32＋42＋82＝89， |AC|＝52＋12＋72＝75， |BC|＝22＋32＋1＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝75＋14＝89＝|AB |2.∴△ABC 为直角三角形．5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA ＋λOB 与OB的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66D ．±6解析：选C ∵OA ＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)， ∴OA ＋λOB＝(1，－λ，λ)，∴(OA ＋λOB )·OB ＝λ＋λ＝2λ， |OA ＋λOB |＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB |＝ 2.∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16.又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66.6．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：37．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________． 解析：由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)． ∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02 ＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.答案：3559．空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)，试求： (1)△ABC 的面积；(2)△ABC 的AB 边上的高．解：(1)因为AB＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)， AC＝(2,0，－8)， AB ·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且|AB|＝14，|AC |＝217，所以cos 〈AB ，AC 〉＝－1414×217＝－7238，sin 〈AB ，AC 〉＝2734， S △ABC ＝12|AB |·|AC|sin 〈AB ，AC 〉＝1214×217×2734＝321. (2)| AB|＝14，设AB 边上的高为h ，则12|AB |·h ＝S △ABC ＝321，∴h ＝3 6.10.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，P 为A 1B 上的点，A P 1 ＝λA B 1，且PC ⊥AB .求：(1)λ的值；(2)异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0，1,2)，于是AB ＝(3，1,0)，CA 1 ＝(0，－2,2)，A B 1＝(3，1，－2)．因为PC ⊥AB ，所以CP ·AB＝0，即(CA 1 ＋A P 1 )·AB＝0，也即(CA 1 ＋λA B 1 )·AB ＝0.故λ＝－CA 1 ·AB A B 1·AB ＝12. (2)由(1)知CP ＝⎝⎛⎭⎫32，－32，1，AC 1 ＝(0,2,2)，cos 〈CP ，AC 1 〉＝CP ·AC 1| CP ||AC 1 |＝－3＋22×22＝－28，所以异面直线PC 与AC 1所成角的余弦值是28. 层级二 应试能力达标1．已知两个非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是( ) A.1|a |a ＝1|b |b B ．a 1·b 1＝a 2·b 2＝a 3·b 3 C ．a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 D ．存在非零实数k ，使a ＝kb解析：选D 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.2．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．(0,5)解析：选B 由题意知，|AB|＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2＋(1－1)2＝13－12cos (α－θ)，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB|≤5.3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657解析：选D ∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝xa ＋yb ，即(7,5，λ)＝x (2，－1,3)＋y (－1,4，－2)＝(2x －y ，－x ＋4y,3x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎨⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657. 4．已知a ＝(3,2－x ，x )，b ＝(x,2,0)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4,0) C ．(0,4)D ．(4，＋∞)解析：选A ∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b <0，即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0，∴x <－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0，此方程组无解，故选A.5．若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎫－32，12，2，C (－1,0，2)，则角A 的大小为________．解析：由题意，知AB ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，AC ＝(－1,0,0)，所以|AB |＝1，|AC |＝1.则cos A ＝AB ·AC| AB ||AC |＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.答案：30°6．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M M 12＝4MM 2，则向量OM 的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M M 12＝(1，－7，－2)， MM 2＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M M 12 ＝4MM 2 ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝4(3－x )，－7＝4(－2－y )，－2＝4(－5－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎫114，－14，－92 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 1是A 1B 1C 1D 1的中心，E 1在B 1C 1上，并且B 1E 1＝13B 1C 1，求BE 1与CO 1所成的角的余弦值． 解：不妨设AB ＝1，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴建立直角坐标系，则B (1,0，0)，E 1⎝⎛⎭⎫1，13，1，C (1,1,0)，O 1⎝⎛⎭⎫12，12，1，BE 1＝⎝⎛⎭⎫0，13，1，CO 1 ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，BE 1·CO 1 ＝⎝⎛⎭⎫0，13，1·⎝⎛⎭⎫－12，－12，1＝56， | BE 1|＝ 103，|CO 1 |＝ 62.∴cos 〈BE 1，CO 1〉＝56103× 62＝156.即BE 1与CO 1所成角的余弦值为156.8．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且向量a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)，c ＝a ＋tb .(1)当|c |取最小值时，求t 的值；(2)在(1)的情况下，求b 和c 夹角的余弦值．解：(1)∵关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根， ∴Δ＝(t －2)2－4(t 2＋3t ＋5)≥0，即－4≤t ≤－43.又c ＝a ＋tb ＝(－1＋t,1,3－2t )， ∴|c |＝(－1＋t )2＋12＋(3－2t )2＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. ∵当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，关于t 的函数y ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减的， ∴当t ＝－43时，|c |取最小值3473.(2)由(1)，知当t ＝－43时，c ＝⎝⎛⎭⎫－73，1，173， |b |＝12＋02＋(－2)2＝5，|c |＝3473， ∴cos b ，c ＝b·c |b |·|c |＝－41 1 7351 735.。
2017-2018学年高中数学选修2-1课时达标检测十七 空间
课时达标检测（十七） 空间向量的正交分解及其坐标表示一、选择题1．已知点A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( )A ．(－3，－2,3)B ．(－3,2，－3)C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知选项C 正确．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量，q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底；当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB ―→的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB ―→的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB ―→与向量OB ―→的坐标相同D ．向量AB ―→与向量OB ―→－OA ―→的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；B ，C 都不正确；由于AB ―→＝OB ―→－OA ―→，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→) D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：选B 如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→) ＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 5．若向量MA ―→，MB ―→，MC ―→的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间一个基底的关系是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→≠MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→解析：选C 若MA ―→，MB ―→，MC ―→为空间一组基底向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中点M ，A ，B ，C 共面，因为OM ―→－OA ―→＝13OB ―→＋13OC ―→－23OA ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＋13(OC ―→－OA ―→)⇒AM ―→＝13AB ―→＋13AC ―→；选项B 中可能共面，MA ―→≠MB ―→＋MC ―→，但可能MA ―→＝λMB ―→＋μMC ―→；选项D 中的四点显然共面．二、填空题6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为______________________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．答案：(4，－8,3)，(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝______，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1.答案：1 －18．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF ―→＋λA 1D―→＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D . ∴EF ―→＝12A 1D ―→， 即EF ―→－12A 1D ―→＝0. ∴λ＝－12. 答案：－12三、解答题9．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }为空间的另一个基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，试求向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标．解：设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c .又∵p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，即p ＝a ＋2b ＋3c ，∴(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ＝a ＋2b ＋3c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2，z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝－12，z ＝3.∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是32，－12，3.10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.证明：设AB ―→＝a ，AA 1―→＝b ，AD ―→＝c ，则EF ―→＝EB 1―→＋B 1F ―→＝12(BB 1―→＋B 1D 1―→)＝12(AA 1―→＋BD ―→)＝12(AA 1―→＋AD ―→－AB ―→)＝12(－a ＋b ＋c )， AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→＝AB ―→＋AA 1―→＝a ＋b . ∴EF ―→·AB 1―→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝12(|b |2－|a |2)＝0.∴EF ―→⊥AB 1―→，即EF ⊥AB 1.。
2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1习题：第三章3-1-3-1-4空间向量的正交分角及其坐标表示 含答案 精品
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分角及其坐标表示A 级 基础巩固一、选择题1．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{a ＋b ，b －a ，a } B ．{a ＋b ，b －a ，b } C ．{a ＋b ，b －a ，c }D ．{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }解析：由已知及向量共面定理，易知a ＋b ，b －a ，c 不共面，故可作为空间的一个基底． 答案：C2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(8，6，4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ， c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12，14，10)B ．(10，12，14)C ．(14，12，10)D ．(4，3，2)解析：OA →＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k . 答案：A3．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，但是当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量，因此p ⇒/ q ，而q ⇒p ，故命题p是命题q 的必要不充分条件．答案：B3．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，但是当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量，因此p ⇒/ q ，而q ⇒p ，故命题p是命题q 的必要不充分条件．答案：B4.如图，在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 解析：连接ON ，MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B 二、填空题6．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，a ＝2i －4j ＋5k ，b ＝i ＋2j －3k ，则向量a ，b 的坐标分别为________．解析：a ，b 的坐标即为i ，j ，k 前面的系数，故a 的坐标为(2，－4，5)，b 的坐标为(1，2，－3)．答案：(2，－4，5)，(1，2，－3)7．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间五点，若AB →，AC →，AD →与AB →，AC →，AE →均不能构成空间的一个基底，则有下列结论：①AB →，AD →，AE →不能构成空间的一个基底； ②AC →，AD →，AE →不能构成空间的一个基底；③BC →，CD →，DE →不能构成空间的一个基底； ④AB →，CD →，EA →能构成空间的一个基底． 其中正确的有________个．解析：由题意，知空间五点A ，B ，C ，D ，E 共面，故①②③正确，④错误． 答案：38.三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M 为PC 的中点，N 为AC 中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系．BA →＝(1，0，0)，BP →＝(0，0，1)， BC →＝(0，1，0)．MN →＝BN →－BM →＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →)＝12BA →－12BP →，即MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12三、解答题9．在空间直角坐标系中，给定点M (1，－2， 3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．解：M (1，－2，3)关于坐标平面xOy ，xOz ，yOz 对称的点的坐标分别为(1，－2，－3)，(1，2，3)，(－1，－2，3)；M (1，－2，3)关于x 轴、y 轴、z 轴对称的点的坐标分别为(1，2，－3)，(－1，－2，－3)，(－1，2，3)；M (1，－2，3)关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，2，－3)．10．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，用基底{a ，b ， c }表示以下向量：(1)AP →； (2)AM →； (3)AN →.解：连接AC ，AD ′.(1) AP →＝12(AC →＋AA →′)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(a ＋b ＋c .)(2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′)＝12(a ＋2b ＋c )．(3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c .B 级 能力提升1．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC → 答案：C2．设a ，b ，c 是三个不共面的向量，现在从①a ＋b ；②a －b ；③a ＋c ；④b ＋c ；⑤a ＋b ＋c 中选出使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填序号)．解析：构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c 即可，故③④⑤都是可以选择的．答案：③④⑤ (不唯一，也可以有其他的选择)3.如图所示，在三棱锥O -ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA →，OB →，OC →方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系O -xyz ，求EF 中点P 的坐标．解：令Ox ，Oy ，Oz 轴方向上的单位向量分别为i ，j ，k .因为OP →＝OE →＋EP →＝12(OA →＋OC →)＋12EF →＝12(OA →＋OC →)＋12×12AB →＝12(OA →＋OC →)＋14(OB →－OA →)＝14OA →＋14OB →＋12OC →＝14i ＋14×2j ＋12×3k ＝14i＋12j ＋32k . 所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，32.。
高中数学选修2-1课时作业：空间向量的正交分解及其坐标表示附解析
1.下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等2.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是() A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2)3.在空间直角坐标系Oxy 中,下列说法正确的是()A.向量与点B的坐标相同B.向量与点A的坐标相同C.向量与向量的坐标相同D.向量与向量的坐标相同4.点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为, .6.已知{a,b,c}是空间的一个基底,下列向量可以与p=2a-b,q=a+b构成空间的另一个基底的是(填序号).①2a②-b③c④a+c7.如下图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取点D为原点建立空间直角坐标系,已知O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标.=,=.7题8题9题8.如上图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为.9如上图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.10已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设=e1,=e2,=e3,以{e1,e2,e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axy ,求向量的坐标.1.下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C2.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k3.在空间直角坐标系Oxy 中,下列说法正确的是()A.向量与点B的坐标相同B.向量与点A的坐标相同C.向量与向量的坐标相同D.向量与向量的坐标相同4.点A(-1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为()A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)A在x轴投影知y=0, =0,由点A在xOy平面投影知=0.故选B.5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b的坐标分别为, .-4,5)(1,2,-3)6.已知{a,b,c}是空间的一个基底,下列向量可以与p=2a-b,q=a+b构成空间的另一个基底的是(填序号).①2a②-b③c④a+c7.如下图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取点D为原点建立空间直角坐标系,已知O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标.=,=.-2,0,1)(1,1,2)7题8题9题8.如上图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为.-b+c9.如上图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.=-.以为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则=-=-=(-1,1,1).10.已知P A垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且P A=AD=1,如图所示,设=e1,=e2,=e3,以{e1,e2,e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axy ,求向量的坐标.=e2.∵=e2-e1-e3,∴=-=-e2+e3+(e2-e1-e3)=-e1+e3.∴-=(0,1,0).。
最新整理高二数学人教版选修2-1(测试题第3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示) Word版含解析.doc
绝密★启用前3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示一、选择题1.【题文】以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则,,a b c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底2．【题文】正方体ABCD A B C D -''''中，1O ，2O ，3O 分别是AC ，AB '，AD '的中点，以{}123,,AO AO AO 为基底，123AC xAO yAO zAO '=++，则，y ，的值是( )A ．1x y z ===B ．12x y z ===C ．22x y z ===D ．2x y z === 3．【题文】已知点A 在基底{},,a b c 下的坐标为()8,6,4，其中=+a i j ，=+b j k ，=+c k i ，则点A 在基底{},,i j k 下的坐标是( )A ．()12,14,10 B ．()10,12,14 C ．()14,12,10 D ．()4,3,24.【题文】设O ABC -是四面体，1G 是△ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =.若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为 ( ) A.111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭5.【题文】若向量MA ，MB ，MC 的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA ，MB ，MC 成为空间一个基底的关系是( ) A.111333OM OA OB OC =++B.MA MB MC =+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-6.【题文】已知空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于( )A.121232-+a b c B ．211322-++a b c C.111222+-a b c D.221332+-a b c 7.【题文】已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量OA OB OC =++a ，向量OA OB OC =+-b ，则与、不能构成空间基底的是( )A. OA B ．OB C.OC D.OA 或OB8.【题文】在三棱锥S ABC -中，G 为△ABC 的重心，则有( ) A.()12SG SA SB SC =++ B.()13SG SA SB SC =++ C.()14SG SA SB SC =++ D.SG SA SB SC =++ 二、填空题9.【题文】设{},,i j k 是空间向量的一个单位正交基底，245=-+a i j k ，2=+-b i j 3k ，则向量，的坐标分别是______________.10.【题文】如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点，若记AB =a ，AC =b ，1AA =c ，则DE =___________(用，，表示).11.【题文】已知空间四边形ABCD 中，2AB =-a c ，568CD =+-a b c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_________.三、解答题12.【题文】若{},,a b c 是空间的一个基底，判断{},,+++a b b c c a 能否作为该空间的一个基底．13.【题文】在直三棱柱111ABO A B O -中，π2AOB ∠=，4AO =，2BO =，14AA =，D 为11A B 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．14. 【题文】空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，用向量,,a b c 表示向量OM ，ON ，MN .3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示参考答案与解析一、选择题1.【答案】B【解析】使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定有0AB AC ⋅=，可能是0BA BC ⋅=，也可能是0CA CB ⋅=，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.考点：空间向量的基底表示.【题型】选择题【难度】一般2．【答案】A【解析】()1122AC AB BC AB BB BC AB AA AD AB AD ''''=+=++=++=++⋅ ()()1231111=2222AB AA AA AD AC AB AD AO AO AO ''''+++=++++，对比 123AC xAO yAO zAO '=++，得1x y z ===.考点：空间向量基本定理.【题型】选择题【难度】一般3．【答案】A【解析】()()()864864121410OA =++=+++++=++a b c i j j k k i i j k .考点：空间向量的基底表示.【题型】选择题【难度】较易4.【答案】A 【解析】因为()()11333321444432OG OG OA AG OA AB AC ⎡⎤==+=+⨯+⎢⎥⎣⎦ ()()3111144444OA OB OA OC OA OA OB OC ⎡⎤=+-+-=++⎣⎦, 而OG xOA yOB zOC =++，所以14x =，14y =，14z =.故选A. 考点：空间向量基本定理.【题型】选择题【难度】一般5.【答案】C 【解析】对于A ，由()1,,,OM xOA yOB zOC x y z M A B C =++++=⇔四点共面知，MA ，MB ，MC 共面；对于B ，D ，易知MA ，MB ，MC 共面，故只有C 中MA ，MB ，MC 不共面.考点：空间向量基本定理.【题型】选择题【难度】一般6.【答案】B 【解析】()1221123322MN ON OM OB OC OA =-=+-=-++a b c . 考点：向量的线性表达式表示向量.【题型】选择题【难度】一般7.【答案】C 【解析】∵()12OC =-a b ，∴OC 与、共面，∴OC ,,a b 不能构成空间基底． 考点：空间向量的基底.【题型】选择题【难度】一般8.【答案】B 【解析】()()()111333SG SA AG SA AB AC SA SB SA SC SA =+=++=+-+- ()13SA SB SC =++. 考点：利用向量的线性表达式表示向量.【题型】选择题【难度】一般二、填空题9.【答案】()2,4,5-，()1,2,3-【解析】的坐标为()2,4,5-，的坐标为()1,2,3-.考点：空间向量的基底表示.【题型】填空题【难度】较易10. 【答案】1122+a b 【解析】()()1111111111112222DE DA A E AA A B AC AA AB AC AA =+=++=++- ()11112222=++-=+c a b c a b . 考点：空间向量的基底表示.【题型】填空题【难度】一般11.【答案】335+-a b c【解析】∵EF EA AB BF =++，EF EC CD DF =++，∴()()2EF EA EC AB CD BF DF =+++++．∵E 为AC 的中点，故EA EC +=0，同理，BF DF +=0， ∴()()225686610EF AB CD =+=-++-=+-a c a b c a b c ， ∴335EF =+-a b c .考点：空间向量的基底表示.【题型】填空题【难度】一般三、解答题12.【答案】详见解析【解析】假设,,+++a b b c c a 共面，则存在实数,λμ使得()()λμ+=+++a b b c c a ，∴()λμλμ+=+++a b b a c . ∵{},,a b c 为基底，∴,,a b c 不共面， ∴1,1,0,μλλμ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩此方程组无解．∴,,+++a b b c c a 不共面．∴{},,+++a b b c c a 可以作为空间一个基底．考点：空间向量的基底.【题型】解答题【难度】一般13.【答案】()2,1,4DO =---，()14,2,4A B =--【解析】(1)()()11111122DO OD OO O D OO OA OB OO OA ⎡⎤=-=-+=-++=---⎢⎥⎣⎦12OB .又14OO =，4OA =，2OB =，∴()2,1,4DO =---.(2)()1111A B OB OA OB OA AA OB OA AA =-=-+=--. 又2OB =，4OA =，14AA =，∴()14,2,4A B =--.考点：空间向量的坐标表示.【题型】解答题【难度】一般14.【答案】详见解析【解析】如图，取BC 的中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连接AP ，OP .()221332OM OA AM AP AB AC =+=+=+⨯+a a ()()111111111333333333OB OA OC OA =+-+-=+-+-=++a a b a c a a b c . ()2211133233ON OP OB OC ==⨯+=+b c . 111111333333MN ON OM =-=+---=-b c b c a a .考点：用向量的线性表达式表示向量.【题型】解答题【难度】一般。
人教版高中数学选修2-1 空间向量的正交分解及其坐标表示课后习题
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时演练·促提升A组1.下列说法中正确的是()A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C.单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底解析:单位正交基底中的三个向量必须是模等于1,且两两垂直,因此只有选项C正确.答案:C2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:如图,令a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b+c=.由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.答案:C3.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为()A.a+b+cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c解析:如图,b+c-a=-a+b+c.答案:C4.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)解析:=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A5.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()A. B.C. D.解析:如图,由已知=)=)]=[()+()]=,从而x=y=z=.答案:A6.设命题p:{a,b,c}为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则命题p是q的条件.解析:若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面.故a,b,c中一定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底.答案:充分不必要7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=.解析:如图,)=)=-a+b+c.答案:-a+b+c8.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且=-i+j-k,=3i-2j-4k,那么的坐标为. 解析:因为=(-i+j-k)-(3i-2j-4k)=-4i+3j+3k,所以=(-4,3,3).答案:(-4,3,3)9.如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,用a,b,c表示.解:)=)=-a-b+c.=-=-)=-a-b+c.10.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别是BB1和DC的中点,试找出空间的一个基底,并写出向量在此基底下的坐标.解:易知{}为空间的一个基底.=-,所以的坐标为.=-,所以的坐标为.,所以的坐标为.B组1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量对应坐标正确的是()A.=(0,0,-2)B.C.=(0,1,2)D.解析:设与方向相同的单位向量为i,j,k,则i,j,=2k,故=2k,从而=(0,0,2),故A不正确.i-j,即,故B不正确.j+2k,即,故C不正确.=-=-i-j+2k,即,故D正确.答案:D2.三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以{}为基底,则的坐标为.解析:如图,)-)=,故.答案:3.如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立适当的坐标系,并写出的坐标.解:∵PA=AD=AB,PA⊥平面AC,AD⊥AB,∴可设=e1,=e2,=e3.以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系,如图.∵=)=-e2+e3+(-e3-e1+e2)=-e1+e3,∴=(0,1,0).4.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.(1)判断P,A,B,C四点是否共面;(2)能否以{}作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.解:(1)假设四点共面,则存在实数x,y,z使=x+y+z,且x+y+z=1,即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得与x+y+z=1矛盾,故四点不共面.(2)若向量共面,则存在实数m,n使=m+n,同(1)可证,这不可能,因此{}可以作为空间的一个基底.令=a,=b,=c.由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,联立得到方程组,从而解得所以=17-5-30.。
人教A版高中数学选修2-1课后习题 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课后篇巩固提升1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b,b-a,a}B.{a+b,b-a,b}C.{a+b,b-a,c}D.{a+b+c,a+b,c},易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.2.已知向量{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(3,2,1),则它在{a+b,a-b,c}下的坐标为( )A.(12,52,1) B.(52,1,12)C.(52,12,1) D.(1,12,52)p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=3a+2b+c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以{x +y =3,x -y =2,z =1,解得{x =52,y =12,z =1.故p 在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(52,12,1).故选C. 3.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x,y,z)为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23),连接AG 1交BC 于点E,则E 为BC 中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG=34OG 1. 则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=1,AA 1=3,已知向量a 在基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }下的坐标为(2,1,-3).若分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,则a 的空间直角坐标为( ) A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -3AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ -3DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8j-i-9k=(-1,8,-9).5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,A 1C 1与B 1D 1的交点为E,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a+12b+c.-12a+12b+c6.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB=2CD,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗ 用a,b,c 表示为 . a-12b+c7.下列关于空间向量的说法中,正确的有 . ①若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底,则a ∥b; ②若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c,则有a ∥c;③若{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ }是空间的一个基底,且OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C,D 四点共面;④若向量{a+b,b+c,c+a}是空间的一个基底,则{a,b,c}也是空间的一个基底.,若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底,则a,b 为共线向量,即a ∥b,故①正确;对于②,若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c,则a 与c 不一定共线,故②错误;对于③,若{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ }是空间的一个基底,且OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得到A,B,C,D 四点共面,故③正确;对于④,若向量{a+b,b+c,c+a}是空间的一个基底,则空间任意一个向量d,存在唯一实数组(x,y,z),使得d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,由x,y,z 的唯一性,得x+z,x+y,y+z 也是唯一的.故{a,b,c}也是空间的一个基底,故④正确.8.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,试用a,b,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ .由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b, MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a+b), 又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-c,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-13(b-c),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).9.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M,N 分别是AB,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2.∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0).。
人教A版高中数学选修2-1新课改地区版课时跟踪检测(十七) 空间向量与空间角
课时跟踪检测（十七） 空间向量与空间角一、题组对点训练对点练一 异面直线所成的角1．已知直线l 1的一个方向向量为a ＝(1，－2,1)，直线l 2的一个方向向量为b ＝(2， －2,0)，则两直线所成角的余弦值为( ) A ．1 B.63 C.33D.32解析：选D cos 〈a ，b 〉＝|a ·b ||a ||b | ＝|(1，－2，1)·(2，－2，0)|12＋22＋12·22＋(－2)2＝|2＋4|6×8＝32.2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为 ( )A.55B.53C.255D.35解析：选A 设CB ＝1，则A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，C 1(0,2,0)，B (0,0,1)，BC ―→1＝(0,2，－1)，AB ―→1＝(－2,2,1)．cos 〈BC ―→1，AB ―→1〉＝BC ―→1·AB ―→1| BC ―→1||AB ―→1|＝35×3＝55.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32 B.155 C.105D.33解析：选C 以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)， 则BC 1―→＝(1,0，－1)，AB 1―→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝AB 1―→·BC 1―→|AB 1―→|·|BC 1―→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. 对点练二 直线与平面所成的角4．若直线l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：选C ∵l 的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，∴它们所在直线的夹角为60°，则直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：选D 建系如图，设正方体棱长为1，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，则BB ―→1＝(0,0,1)． ∵B 1D ⊥平面ACD 1，∴DB ―→1＝(1,1,1)为平面ACD 1的法向量． 设BB 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|BB ―→1·DB ―→1||BB ―→1||B 1D ―→|＝13＝33，∴cos θ＝63. 6．如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 与AD 的交点，AC ⊥BC ，且AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求直线AB 与平面EBC 所成角的大小． 解：∵四边形ACDE 是正方形， ∴EA ⊥AC ，AM ⊥EC . ∵平面ACDE ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥平面ABC .∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以AC 和AE 所在直线为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .设EA ＝AC ＝BC ＝2，则A (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)．∵M 是正方形ACDE 的对角线的交点，∴M (0,1,1)．(1)证明：∵AM ―→＝(0,1,1)， EC ―→＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，CB ―→＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)，∴AM ―→·EC ―→＝0，AM ―→·CB ―→＝0. ∴AM ⊥EC ，AM ⊥CB .又∵EC ∩CB ＝C ，∴AM ⊥平面EBC .(2)∵AM ⊥平面EBC ，∴AM ―→为平面EBC 的一个法向量． ∵AM ―→＝(0,1,1)，AB ―→＝(2,2,0)，∴cos 〈AB ―→，AM ―→〉＝AB ―→·AM ―→| AB ―→|·|AM ―→|＝12.∴〈AB ―→，AM ―→〉＝60°.∴直线AB 与平面EBC所成的角为30°.对点练三 二面角7．如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA ＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：选B 以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1，0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n ＝(1,0,1)．又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)， 所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22， 故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．解析：设u ＝(1,0，－1)，v ＝(0，－1,1)． α与β所成二面角的大小为θ.则cos θ＝±|cos 〈u ，v 〉|＝±⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×2＝±12. ∴θ＝π3或2π3.答案：π3或2π39.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M ，N 分别为AD ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAB; (2)求二面角A -PB -D 的余弦值．解：(1)证明：如图，取BC 的中点Q ，连接MQ ，NQ . 在△PBC 中 ，由N 为PC 的中点，知NQ ∥PB ， 而NQ ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以NQ ∥平面PAB . 在梯形ABCD 中，由M 为AD 的中点，知MQ ∥AB ， 而MQ ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以MQ ∥平面PAB .又MQ ，NQ 为平面MNQ 内的两条相交直线， 所以平面MNQ ∥平面PAB .又MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面PAB .(2)在△ABD 中，因为AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，故AD ⊥BD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，于是建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则D (0,0,0)，A (4,0,0)，P (2,0,23)，B (0,8,0)，BP ―→＝(2，－8,23)，AB ―→＝(－4,8,0)，DB ―→＝(0,8,0)．设平面PAB 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB ―→＝0，n ·BP ―→＝0，得⎩⎨⎧－4x 1＋8y 1＝0，2x 1－8y 1＋23z 1＝0.令y 1＝1，则x 1＝2，z 1＝233， 所以n ＝⎝⎛⎭⎫2，1，233为平面PAB 的一个法向量． 设平面PBD 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DB ―→＝0m ·BP ―→＝0得⎩⎨⎧8y 2＝0，2x 2－8y 2＋23z 2＝0.令x 2＝－3，则y 2＝0，z 2＝1，所以m ＝(－3，0,1)为平面PBD 的一个法向量． 又cos n ，m ＝n ·m|n |·|m |＝－21919，由题图可知二面角A -PB -D 为锐角，所以二面角A -PB -D 的余弦值为21919.二、综合过关训练1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.104 C.32D.34解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1.∴C 1D 1＝3，则有B 1(3，0,0)，C (3，1，3)，C 1(3，1,0)，D (0,1，3)．∴B 1C ―→＝(0,1，3)，C 1D ―→＝(－3，0，3)．∴cos 〈B 1C ―→， C 1D ―→〉＝B 1C ―→·C 1D ―→|B 1C ―→||C 1D ―→|＝326＝64.2．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A -CD -B 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C 取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13.且〈EA ―→，FB ―→〉为二面角的平面角，由AB ―→2＝(AE ―→＋EF ―→＋FB ―→)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE ―→，FB ―→〉，∴cos 〈EA ―→，FB ―→〉＝－12.∴〈EA ―→，FB ―→〉＝120°.即所求的二面角为120°.3.如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 到平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．解析：建立坐标系如图，则B (1,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，DA ―→1＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量． 又OB ―→＝⎝⎛⎭⎫12，12，－1，∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为 |OB ―→DA ―→1||OB ―→|·|DA ―→1|＝1262×2＝36. 答案：364．(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 解：(1)证明：连接A 1E .因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， 所以A 1E ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，分别以射线EC ，EA 1为y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系E -xyz .不妨设AC ＝4，则A 1(0,0,23)，B (3，1,0)，B 1(3，3，23)，F⎝⎛⎭⎫32，32，23，C (0,2,0)． 因此，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，23，BC ―→＝(－3，1,0)．由EF ―→·BC ―→＝0，得EF ⊥BC .(2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可得BC ―→＝(－3，1,0)，A 1C ―→＝(0,2，－23)． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．取n ＝(1，3，1)，故sin θ＝|cos 〈EF ―→，n 〉|＝|EF ―→·n ||EF ―→|·|n |＝45，所以cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.5.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E -AG -C 的大小． 解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ， 所以BE ⊥平面ABP . 又BP ⊂平面ABP ， 所以BE ⊥BP .又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE ―→＝(2,0，－3)，AG ―→＝(1，3，0)，CG ―→＝(2,0,3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE ―→＝0，m ·AG ―→＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝9＋3－44×4＝12.由图知二面角E -AG -C 为锐角， 故所求二面角E -AG -C 的大小为60°.6．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B -CG -A 的大小．解：(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ， 所以AD ∥CG ，所以AD ，CG 确定一个平面， 从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BCGE .又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°， 可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点， HC ―→的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz ，则A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)，CG ―→＝(1,0，3)，AC ―→＝(2，－1,0)．设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CG ―→·n ＝0， AC ―→·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0.所以可取n ＝(3,6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝32.因此二面角B -CG -A 的大小为30°.由Ruize收集整理。
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课时跟踪检测（十七） 空间向量的正交分解及其坐标表示层级一 学业水平达标1．已知A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－3，－2,3) B ．(－3,2，－3) C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系O -xyz 中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB 的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB 的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB 与向量OB 的坐标相同 D ．向量AB 与向量OB －OA 的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；同理B ，C 都不正确；由于AB ＝OB －OA ，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG 等于( )A.16 OA ＋13OB ＋13OCB.14( OA ＋OB ＋OC ) C.13( OA ＋OB ＋OC ) D.16 OB ＋13OA ＋13OC 解析：选B 如图，OG ＝12(OM ＋ON )＝12OM ＋12×12(OB ＋OC ) ＝14OA ＋14OB ＋14OC ＝14(OA ＋OB ＋OC )．5．空间四边形OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN 为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 解析：选B MN ＝MA ＋AB ＋BN ＝13OA ＋OB －OA ＋12(OC －OB ) ＝－23OA ＋12OB ＋12OC＝－23a ＋12b ＋12c .6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底， 所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． 答案：a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋2c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋2λc ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.答案：2 －28．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF ＋λA D 1＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上， 易知EF 綊12A 1D ，∴EF ＝12A D 1，即EF －12A D 1＝0，∴λ＝－12.答案：－129．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D B 1，EF ；(2)若D F 1＝xa ＋yb ＋zc ，求实数x ，y ，z 的值．解：(1)如图，D B 1＝D D 1＋DB ＝－AA 1＋AB －AD ＝a －b －c ，EF ＝EA ＋AF ＝12D A 1＋12AC ＝－12(AA 1＋AD )＋12(AB ＋AD )＝12(a －c )．(2) D F 1＝12(D D 1＋D B 1)＝12(－AA 1＋D B 1) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.10．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1.证明：设AB ＝a ，AA 1＝b ，AD ＝c ，则EF＝EB1＋B F1＝12(BB1＋B D11)＝12(AA1＋BD)＝12(AA1＋AD－AB)＝12(－a＋b＋c)，AB1＝AB＋BB1＝AB＋AA1＝a＋b.∴EF·AB1＝12(－a＋b＋c)·(a＋b)＝12(|b|2－|a|2)＝0.∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1.层级二应试能力达标1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间的一个基底的关系是()A．OM＝13OA＋13OB＋13OCB．MA＝MB＋MCC．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MC解析：选C对于选项A，由OM＝x OA＋y OB＋z OC(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知MA，MB，MC共面；对于选项B，D，易知MA，MB，MC共面，故选C.2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由BA ，BM ，BN 不能构成空间的一个基底，知BA ，BM ，BN 共面．又BA ，BM ，BN 过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．下面证明①④正确：假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝kc .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝3i ，AD ＝2j ，AA 1＝5k ，则向量AC 1在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎫13，12，15 C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5)解析：选C AC 1＝AB ＋BC ＋CC 1＝AB ＋AD ＋AA 1＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)，故选C.4．已知向量OA 和OB 在基底{a ，b ，c }下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若OC ＝25AB ，则向量OC 在基底{a ，b ，c }下的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85解析：选A ∵AB ＝OB －OA ＝(2b ＋c )－(3a ＋4b ＋5c )＝－3a －2b －4c ，∴OC ＝25AB ＝－65a －45b －85c ，∴向量OC 在基底{a ，b ，c }下的坐标是⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85，故选A. 5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．解析：若x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间的一个基底知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.答案：x ＝y ＝z ＝06．若a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，当d ＝α a ＋β b ＋γ c 时，α＋β＋γ＝________.解析：由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3.答案：37．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，且M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．证明：依题意，有BA ＝2 NM ，A B 11＝2 NP .PQ ＝PB 1＋B C 11＋C Q 1＝12BB 1＋B C 11＋12C C 1＝12(BC ＋CC 1＋C B 11)＋B C 11＋12C C 1＝12(BC ＋B C 11)． (*)∵A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线，∴存在λ，ω∈R ，使得BC ＝λBA ＝2λNM ，B C 11＝ωA B 11＝2ωNP . 代入(*)式，得PQ ＝12(2λNM ＋2ωNP )＝λNM ＋ωNP ，∴PQ ，NM ，NP 共面． ∴M ，N ，P ，Q 四点共面．8．已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明：如图，取向量OA ，OB ，OC 为空间基底，则OM ＝12(OB ＋OC )，ON ＝12(OA ＋OC )．∴PM ＝OM －OP ＝12(OB ＋OC )－12OA ＝12(OB ＋OC －OA )， QN ＝ON －OQ ＝12(OA ＋OC )－12OB＝12(OA＋OC－OB)．又∵AB＝OB－OA，∴PM＝12(AB＋OC)，QN＝12(OC－AB)，∴PM·QN＝12(AB＋OC)·12(OC－AB)＝14(|OC|2－|AB|2)，又∵|AB|＝|OC|，∴PM·QN＝0，即PM⊥QN.。