代数_函数概念及其图像
初等代数研究( 第3章 函数 )2011.9
2014-7-3
初等代数研究
2
§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
最早提出函数（function）概念的是 17 世纪德国数学家莱布尼茨． 1718 年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家约翰· 贝努利把函数定义为：“由 某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．” 1755 年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，我 们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用 公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线 也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”当时有些数学家对于不用 公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公 式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．
2014-7-3 初等代数研究 4
§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
19 世纪末，自从德国数学家康托创立了集合论，人们把函数的概念提升到了 更抽象的层次，这个抽象的定义，提炼出了函数概念的精髓，使它去除了各种形 式的束缚，从而有了更广泛的应用． 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。 我国清代数学家李善兰在翻译 《代 数学》 （1895 年）一书时，把“funcion”译成“函数”，中国古代“函”字与“含”字通用， 都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国 古代用天、地、人、物 4 个字来表示 4 个不同的未知数或变量。这个定义的含义 是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数。”所以“函数”是指公式里 含有变量的意思。
3.伸缩变换
2014-7-3
y f ( x) y f (kx) y f ( x) y kf ( x)
小学数学知识归纳认识简单的代数函数和函数的像
小学数学知识归纳认识简单的代数函数和函数的像在小学数学的学习中，学生们会接触到各种各样的概念和知识。
其中一项重要的内容就是代数函数和函数的像。
在本文中，我将为大家做一个简单的归纳和认识。
一、代数函数的基本概念和性质代数函数是数学中一个非常重要的概念，它是指输入和输出之间存在某种关系的规则。
一般情况下，代数函数可以用一个公式来表示，例如y = f(x)。
其中，x表示输入的自变量，y表示输出的因变量。
函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。
在代数函数中，我们可以通过代入x值，求出对应的y值，从而得到一系列的输入和输出对。
这些输入和输出对也被称为函数的解，即函数上的点。
通过绘制这些点，我们可以得到函数的图像。
代数函数具有一些性质，例如函数的唯一性、奇偶性、对称性等。
通过研究这些性质，我们可以更好地理解和应用代数函数。
二、函数的像及其意义在函数的学习中，我们还需要了解函数的像。
函数的像是指函数的输入经过某种规则变换后得到的输出。
换句话说，函数的像就是函数的值域。
函数的像对于理解函数的性质和应用非常重要。
通过观察函数的像，我们可以发现函数的取值范围，从而便于我们做进一步的数学推理和计算。
举个例子来说明，假设我们有一个函数f(x) = x^2。
如果我们想知道函数在自变量x取2时的值，我们只需要将x代入函数中进行计算即可，即f(2) = 2^2 = 4。
这里的4就是函数在x=2时的像。
三、简单代数函数的实例分析为了更好地理解代数函数和函数的像，让我们来看几个简单的函数实例。
1. 线性函数：y = kx + b，其中k和b为常数。
这是一条直线函数，通过调整k和b的值，我们可以得到不同斜率和截距的直线。
例如，当k=2，b=1时，函数y = 2x + 1可以表示为一条斜率为2、截距为1的直线。
通过计算，我们可以得到这条直线在不同x值下的函数的像。
2. 平方函数：y = x^2。
这是一个简单的二次函数，通过计算不同的x值，我们可以得到对应的函数的像。
代数知识点总结图
代数知识点总结图一、代数的基本概念1. 代数表达式代数表达式是用字母、数字和运算符号等符号表示数与数关系的式子。
代数表达式的一般形式为a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an-1x + an，其中a1，a2，...，an-1，an为系数，x为未知数，n为非负整数。
2. 代数方程代数方程是含有未知数的等式，一般是将代数表达式的两个部分用等号连接起来。
代数方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为实数且a≠0。
3. 代数不等式代数不等式是含有不等号的式子，表示两个代数表达式之间的大小关系。
代数不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
4. 代数函数代数函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
代数函数的一般形式为y = f(x)。
二、代数运算1. 代数运算的基本法则代数运算的基本法则包括加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则及分配律等。
2. 代数运算的性质代数运算的性质包括结合律、交换律、分配律、零律、乘法逆元等。
3. 代数运算中的优先级代数运算中，乘法和除法的优先级高于加法和减法，括号内的运算优先级最高。
4. 代数运算的逆运算代数运算的逆运算指的是对一种运算进行相反的操作。
例如，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。
三、代数方程和代数不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a，b为已知数且a≠0。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
3. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为已知数且a≠0。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指未知数的最高次数为2的不等式。
代数第05章 函数及其图像
平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 各象限点的坐标的符号： 3. 坐标轴上的点的坐标特征： 4. 坐标对称，如P （x ，y ）：5. 两点之间的距离，如A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）：6. 两点的中点坐标，如A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）： 二、函数的概念1.概念：2.自变量的取值范围：（1） （2）3.函数的表示方法：（1） （2） （3）【例题精讲】例1. 函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ; 函数23y x =-中自变量x 的取值范围是 ．例2. 已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ．例3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10，0)，点B 的坐标为(8，0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．例4. 阅读以下材料：对于三个数a,b,c 用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如：{}123412333M -++-==，，； min{-1,2,3}=-1；{}(1)min 121(1).a a a a -⎧-=⎨->-⎩≤；，， 解决下列问题：（1）填空：min{sin30o ,sin45o ,tan30o }= ；B CAy xOMD 例3图（2）①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，则x= ；②根据①，你发现了结论“如果M{a,b,c}= min{a,b,c}，那么 ”． ③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}， 则x + y= ．（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1， y=(x-1)2，y=2-x 的图象（不需列表描点）． 通过观察图象，填空：min{x+1, (x-1)2,2-x}的最大值为 ．【当堂检测】1.点P 在第二象限内，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为（ ）A ．(-4,3)B ．(-3,-4)C ．(-3,4)D ．(3,-4) 2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y 为整数，写出一个．．符合上述条件的点P 的坐标： ．3.点P(2m-1,3)在第二象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m>0.5B ．m≥0.5C ．m<0.5D ．m≤0.5 4.如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． ⑴由图观察易知A （0，2）关于直线l 的 对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分 别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对 称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、C ' ； ⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会 发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、 三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；⑶已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距 离之和最小，并求出Q 点坐标．xyO例4图123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-61234567O xylABA'D'E'C(第22题图）第4题图一次函数图象和性质【知识梳理】1．正比例函数的一般形式是 ，一次函数的一般形式是 。
二次函数的图像和轨迹
二次函数的图像和轨迹二次函数是高中数学中的重要概念，它在代数、几何以及实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的图像和轨迹，通过图形和数学方程来帮助读者更好地理解这个概念。
1. 二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
这个函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 抛物线的顶点和对称轴对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过求解方程-f(x) = ax² + bx + c的最值来得到。
顶点的横坐标是x = -b/(2a)，纵坐标是f(-b/(2a))。
这个顶点处于抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的中心。
抛物线的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
它的方程为x = -b/(2a)。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3. 抛物线的开口方向和轨迹根据二次函数的系数a可以确定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
开口方向对应了二次函数的正负性质。
根据抛物线的开口方向，可以推测二次函数的图像在坐标系中的轨迹。
当a>0时，抛物线的轨迹在y轴的正半轴上方；当a<0时，抛物线的轨迹在y轴的负半轴上方。
4. 抛物线的焦点和直线的切线对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a≠0，那么抛物线将与y轴交于点(0, c)。
这个点称为抛物线的焦点。
抛物线上的每个点都有一条切线。
切线与抛物线在该点处相切，并且切线斜率等于抛物线在那点的导数。
对于二次函数，可以根据导数的定义来求解切线的斜率，并再结合该点的坐标得到切线的方程。
5. 抛物线在坐标系中的平移通过修改二次函数的系数b和c，可以使得抛物线在坐标系中进行平移。
当b≠0时，抛物线将在x轴方向上平移；当c≠0时，抛物线将在y轴方向上平移。
二次函数的图象课件
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍 二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二 次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点 和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。 图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可 以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解 析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况， 进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达 方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。
理解初中数学中的代数概念
理解初中数学中的代数概念初中数学中的代数概念代数是数学中的一个分支，它研究数量关系以及代数连接与变化的数学结构。
在初中数学中，代数是一个重要的概念，通过学习代数，学生们能够更好地理解数学规律和解决实际问题。
在本文中，我们将探讨初中数学中的代数概念，包括代数表达式、方程、函数以及代数运算。
一、代数表达式代数表达式是由数字、变量和运算符组成的数学表达式。
在初中数学中，代数表达式通常用字母表示变量。
我们可以通过代数表达式来推导和解决各种数学问题。
例如，下面是一个代数表达式：2x + 3其中，2x代表一个数字与变量x的乘积，加上3。
变量x可以是任意数字，因此这个代数表达式可以表示一系列不同的数。
代数表达式的使用使得我们能够描述和分析数量关系，进而解决实际问题。
通过代数表达式，我们可以将抽象的数学概念与实际情境相联系。
二、方程方程是数学中的一种等式，它使用代数表达式将两个数量相等关联起来。
在初中数学中，我们学习如何解决和应用各种类型的方程。
一元一次方程是最常见的方程类型，它的形式为ax + b = c，其中a、b、c是已知的数字，x是未知数。
我们可以通过如下的步骤解决一元一次方程：1. 将方程转化为ax = c - b的形式；2. 计算x的值，得出方程的解；3. 检验解是否满足原方程。
方程的应用广泛，可以用来解决各种实际问题，例如购物优惠、时间计算等。
通过学习方程，学生们能够培养解决问题的能力，并且将数学知识应用于日常生活中。
三、函数函数是代数的基本概念，它描述了一个或多个变量之间的数学关系。
在初中数学中，我们学习了线性函数和二次函数。
线性函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b是已知数字，x和y是变量。
线性函数的图像是一条直线，斜率为k，截距为b。
二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是已知数字，x和y是变量。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
通过研究函数，我们可以了解变量之间的数量关系，并通过绘制图像来帮助我们理解和解决问题。
初中代数知识点归纳
初中代数知识点归纳初中代数是数学的一个重要分支，是数学中的一门基础学科，也是高中数学的基础。
初中代数主要包括函数与方程、比例与变量、代数运算、代数式的加减乘除及其运算性质等内容。
下面将对初中代数的一些重要知识点进行总结。
一、函数与方程1.函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
函数可以用函数符号f(x)来表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 一次函数：一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a、b为常数。
一次函数的图像为一条直线，其斜率为a，截距为b。
3. 二次函数：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 为常数且a不等于0。
二次函数的图像为一条抛物线，开口方向由a的正负决定。
4.方程与方程的解：方程是含有未知数的等式，方程的解是使方程成立的未知数的值。
5. 一元一次方程：一元一次方程是形如ax+b=0的方程，其中a、b 为已知数且a不等于0。
一元一次方程的解可以用等式x=-b/a表示。
6. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知数且a不等于0。
一元二次方程的解可以用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a表示。
二、比例与变量1.比例的概念：比例是指两个量之间的相对大小关系。
比例可以用等式a:b=c:d表示，其中a、b、c、d为已知数。
2.变量的概念：变量是表示数值大小不确定的量。
变量一般用字母表示，如x、y、z等。
3.等比例变换：等比例变换是指在比例关系不变的前提下，对比例中的一个量进行改变，使得新的比例关系成立。
4.代数式的加减乘除：代数式的加法是指将两个或多个代数式相加得到一个新的代数式。
代数式的减法、乘法、除法的定义与加法类似。
5.代数式的运算性质：代数式的运算性质包括交换律、结合律、分配律等。
三、代数运算1.正数与负数：正数是指大于0的数，负数是指小于0的数。
在数轴上，正数位于原点右侧，负数位于原点左侧。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
［文件］sxtbc3d0017.doc ［科目］数学 ［年级］初三 ［类型］同步 ［关键词］函数概念
［标题］代数•函数概念及其图像 ［内容］
代数•函数概念及其图像
班级 ___________ 姓名 ________ 学号 _____________ 一、填空题
1. 圆的面积用S 表示，半径用 R 表示，则S= R 2，其中 _______________ 是常量, _________
是自变量, ________ 是 _______ 的函数，自变量的取值范围是 ___________ . 2.
设轮子每分钟转
100转，那么轮子的转数 n 与时间t （分
钟）的函数关系的解析式为 3. 设长方形的周长为 30,宽为x,那么它的长 y 与宽x 的函数关系式的
解析式为
4. ________________________________________________________________ 已知x 如一把它写成y 是x 的函数式（其中x 是自变量）是 ___________________________________ ,其中x 的
2y 1
取值范围是 _________ .
. 3x 2 t , t r~ ,
5. 已知 y ----------- ，当 x=3 时,y= ______ ,当 x=T 2 时,y=___________
x 1
、解答题
6. 求下列函数中自变量 x 的取值范围:
1 1
x 2 2x 3；
(6)y 2x 2 5x 3
2x 1
7.
已知函数y ，求当函数值分别为 3, -7, 0时，自变量x 的值.
x 2
&已知水池的容量为 100立方米，每小时的注水量为 5立方米：
（1） 求水池中的水量 V （立方米）与注水时间 t （小时）之间函数关系；
(1)
y=3-2x ； (2) y= . 2 x ; (3) y=
x 2x 5
(4) y
4 ;
(5) y
2x
J
1
(7) y 3x t "~2;
'J
(8) y
3 2x
3x 5
一 4x 5
9.已知函数y=5x+2，不画图像，判断点
2 “ 2、 /
3 、/
5 21 ,0 , (0,
_ ), 5),(
—
5 5 5
2
2
在不
（2）求t的取值范围；
（3）求当t=5, 8, 16时，对应的注水量.在这个函数的图象上
三、选择题
10.在下面等式中，y 是x 的函数有( ).
(A ) y .. x (x > 0) ( B ) 2x-3y=0
(C ) y= ± 凶 (D ) 4x-3y
11•下列各组函数中，两个函数相同的是( ) (A ) y=x 与 y= (、X ) 2
( B ) y=x 与 y= . X
(A )全体实数
(B ) x > 0
(C ) X V 0
(D ) X M 0
13.已知点P 在函数y=-的图像上，点P 坐标为(..7
. 5,b )，则b=()
x
(A ) .7 ...5 (B ) 7 .5
(C ) 2( , 7 ,5)
( D )——-
2
14•下列各组函数中，图像完全相同的是().
(A ) y=x 与—1
( B ) y=x 与 y=|x|
x
(B)y=x 与 y=引x 3 (D ) y=x 与 y=( J x )2
四、填空题
15. ___________________________________________________________________________ 已知点A 在函数y=-2x 的图像上，如果点A 的横坐标为2,那么点A 的纵坐标为 _________________
x
16. 已知点 N 在函数y
的图像上，如果点 N 的纵坐标为-2,那以点 N 的横坐标为
x 1
17. _____________________________________ 已知函数 y=T 25 4x ，当 x=6 时,y= ;当 x=-6 时,y= ___________________________________ , 18•若三角形的底边长为 8,高为x,面积为y,则面积与高之间的函数关系是 ______________ ，自变量
取值范围是 ____________ . 五、解答题 19.
已知等腰三角形周长为 20cm , (1)写出底边长y (cm )与腰长x
(C ) y= x 与
3
x y=r
x (D ) y -与 y
x
12.函数y
的自变量x 的取值范围是(
|x| x
(cm )的函数关系式；
(2 )求自变量x的取值范围；(3)作出函数的图像.
20. 在半径为1的半圆内有一个内接等腰梯形，它以直径为下底，求( 1)若腰为1时，等
腰梯形的周长；(2)等腰梯形周长y与x腰长之间的函数关系式.。