空间几何体的体积_课件

答案：12π
5．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则 圆柱的高为________。
解析：设圆柱高为 h，则 πR2h＝3×(43πR3)， ∴h＝4R.
答案：4R
6．棱长为2的正方体的外接球的表 面积是________。
解析：正方体的体对角线长为 2 3，即 2R＝2 3. ∴R＝ 3，S＝4πR2＝12π.
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π ∴S 球＝4πR2＝100π.
∴R3＝125，R＝5.
[一点通] 已知球半径可以利用公式求它的 表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可 以求其半径。
4．若一个球的体积为 4 3π，则它的表面积为________． 解析：设球的半径为 r，则 4 3π＝43πr3，解得 r＝ 3. ∴S 球＝4πr2＝12π.
这里，S，h分别表示长方体的底面积和高。
学生活动
（１）取一摞书放在桌面上，并改变它们的位 置，观察改变前后的体积是否发生变化？
祖暅原理：（相关原理可参见书上阅读材料。）
两等高的几何体若在所有等高处的水平截 面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。 （２）问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱 （圆柱）的体积如何？
答案：12π
1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图， 然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问 题变得直观易求。
2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条 侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图。
3．球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂 直，且满足 d＝ R2－r2(d 为球心到截面圆的距离)．
(1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
[思路点拨] 利用条件确定半径 R 代入相关公式可求． [精解详析] (1)∵直径为 6 cm，∴半径 R＝3 cm， ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)． (2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4. ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2536π.
V＝π3·(23)2· 12－49＝43π3 · 59＝4815 π. 答案：4815π
2．三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面到对棱的距离 为d，则三棱柱体积为________。 解析：如图，把三棱柱放倒，补上一个相同的三棱柱就是四 棱柱，这个四棱柱体积为 Sd，故原三棱柱体积 V＝S2d.
答案：S2d
空间几何体的体积
复习回顾
类似于用单位正方形的面积度量平面 图形的面积，我们可以用单位正方体（棱 长为1个长度单位的正方体）的体积来度 量几何体的体积。
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那 么这个几何体的体积的数值就是多少。
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体=abc 或 V长方体=Sh
解:因为正方体内接于球内，所以正方体的8 个定点均在球面上，又正方体和球体都 是中心对称图形，所以它们的对称中心 必重合，即球心就是正方体的中心，
设正方体的棱长为 a,
则2R 3a, a 2 3 R
R
3 所以,正方体的体积为:
V a3 (2 3 R)3 8 3 R3
3
9
(1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条 对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求 此三棱柱的体积。
S 侧＝4×12×(10＋20)·E1E，即 780＝60E1E，解得 E1E＝13 cm. 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5 cm，OE＝12AB＝10 cm，所以 O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝ 132－52＝12(cm)． 所以 V＝13×12×(102＋202＋ 102×202) ＝2 800(cm3).
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆锥
1 R 3
3
V半 球 ?
V圆柱
3 R3
3
猜测 :V半球
2 R 3 , 从而V
3
4 R 3 .
3
（二）球的表面积 探究
S1
R
4 R3
3
V球
1
1
1
3 RS1 3 RS2 3 RS3
1 3 RS球面
S球面 4R2
数学运用
例2.一个正方体内接于半径为R的球内,求正方体的 体积。
解. V正六棱柱= 3 122 6 10 3.74 103(mm3)
V圆柱=
4
52 10
0.785
103
(mm3
)
一个毛坯的体积为
V=3.74×103-0.785×103
≈2.96×103（mm3）=2.96cm3
约有毛坯 5.8×103÷（2.96×7.8)≈251(个)
答．这堆毛坯约有251个。
[一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计 算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台 往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过 旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形。
3．正四棱台两底面边长为20 cm和10 cm，侧面积为 780 cm2，求其体积。
解：如图所示，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取 A1B1 的 中点 E1，AB 的中点 E，连结 E1E，则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高．设 O1，O 分别是上， 下底面的中心，则四边形 EOO1E1 是直角梯形．
[一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高， 对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成 直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂 直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂 线，垂线段的长度。
1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，则该 圆锥的体积为________。 解析：设圆锥侧面展开图的弧长为 l， 则 l＝240°1×80π°×1＝43π. 设圆锥的底面半径为 r，则43π＝2πr，r＝23.
∵正三棱柱的面对角线 AB1＝2. ∠B1AB＝45°. ∴AB＝2×sin 45°＝ 2＝BB1.
∴V 三棱柱＝S△ABC·BB1＝ 43×(
2)2×
2＝
6 2.
(2)在△PAD 中，PA＝AD＝1，PD＝ 2， ∴PA2＋AD2＝PD2. ∴PA⊥AD，又 PA⊥CD，且 AD∩CD＝D， ∴PA⊥平面 ABCD，从而 PA 是底面 ABCD 上的高， ∴V 四棱锥＝13S 正方形 ABCD·PA＝13×12×1＝13.
(2)如图，四棱锥PABCD的底面 是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1， PD＝ 2 .求此四棱锥的体积。
[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用 公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明 PA⊥底面ABCD，再利用公式求体积。
[精解详析] (1)如图，由条件知此
三棱柱为正三棱柱．
V锥体=
1 3
sh
S/=0 s
数学运用
例1.有一堆相同Hale Waihona Puke 格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已
知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直 径是10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为
7.8g/cm3)
分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱 的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的质量即可．
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
想 上一节中，我们知道正棱柱、正棱
一锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。
想那么，这里柱体、锥体、台体的体积公
？式之间有没有类似的关系？
s
V柱体=sh
s
S/=S
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
s/ s
圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm， 母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？
[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形， 为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用 它们方便地解决问题。
[精解详析] 如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为 4 cm， 于是 S 圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)． 圆台的高 h＝BC ＝ BD2－OD－AB2 ＝ 102－6－42＝4 6(cm)， V 圆台＝13h(S＋ SS′＋S′)＝13×4 6×(16π＋ 16π×36π＋36π) ＝3043 6π(cm3)．
一.柱体的体积
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，
因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应
该具有相等的体积。
V柱体=sh
h
h
S
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。
二.锥体的体积
类似的,底面积相等,高也相等的两个锥
体的体积也相等。
V锥体=
1 sh 3
S为底面积,h为高。
s
s
三.台体的体积