结构力学 位移计算分解
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
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结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
结构力学 位移计算
MK
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
结构力学 第4章 静定结构的位移计算
YA = − b / a
1 ⋅ ∆ + YA ⋅ c = 0
∆ = b⋅c / a
这是单位荷载法 这是单位荷载法 。
求多跨静定梁在C点的支座反力F 例2. 求多跨静定梁在C点的支座反力 C。
F E F D C B A (a)
a
2a
a
2a
a
F E
F D C FC B A (b)
E δ2
δ1
D
δC=1 C
一、公式的进一步推导
∆ KH N P N KQP Q M P M = ∑ ∫ ( N dλ + Qdη + M dϕ ) = ∑ ∫ EA + GA + EI
dϕ
ds
ds
dλ
dη
dλ σ NP ε= ⇒ dλ = εds = ds = ds ds E EA QP dη = γds = k ds GA MP 1 dϕ = ds = ds ρ EI
3.虚功原理的应用 3.虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设单位位移法:已知一个力状态， 虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时， 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原 理也称为虚位移原理。 理也称为虚位移原理。 2）虚设力系求位移（虚力原理） 虚设力系求位移（虚力原理） 虚设单位荷载法:已知一个位移状态， 虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时， 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚 功原理也称为虚力原理。 功原理也称为虚力原理。
钢筋混凝土结构G≈0.4E 钢筋混凝土结构 矩形截面, 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
结构力学5-3结构位移计算的一般公式
FQP FNP MP , 0 k , 按照材料力学有： EA GA EI A S2 截面系数： k 2 A 2 dA I b
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。
结构位移计算(第四章)
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
2 A1 lh 3
1 A2 lh 3
二次抛物线
2 A lh 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
B
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
)
用单位荷载法计算支座移动引起的位移计算 步骤如下：
（1）沿拟求△方向虚设相应的单位荷载； （2）求RK,根据静力平衡条件求单位荷载作用下 相应于支座移动cK的支座反力RK； （3）求△
ic Ri Ci
注意：当R与c方向一致时，乘积为正；反之为负。
§4-7 线弹性结构的互等定理
1. 功的互等定理: 方法一
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
结构位移的计算
AB A B
A
A
p A
A
B
p B
AB
AB A B
4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义 位移相对应的力称为“广义力”。 二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600. 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力 与反作用力， 虚功相互抵消，即W内=0，故：
全结构：W W外 (a)
18
A
B
力状态：静力平衡 位移状态：其它原因引起
ds
ds
(2) 按刚体虚功与变形虚功计算: 将ds虚位移分解为： 刚体虚位移: 变形虚位移: ABCD A'B'C'D' A'B'C'D' A''B''C''D''
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
A
A
p A
A
B
p B
AB
AB A B
4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义 位移相对应的力称为“广义力”。 二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600. 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力 与反作用力， 虚功相互抵消，即W内=0，故：
全结构：W W外 (a)
18
A
B
力状态：静力平衡 位移状态：其它原因引起
ds
ds
(2) 按刚体虚功与变形虚功计算: 将ds虚位移分解为： 刚体虚位移: 变形虚位移: ABCD A'B'C'D' A'B'C'D' A''B''C''D''
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
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轴向 剪切 弯曲
式中： E 弹性模量； G A 横截面积； I
剪切模量； 截面惯性矩；
K
截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5; 圆形截面k=10/9。
内力的正负号规定如下：
轴力
N, NP
以拉力为正；
剪力 Q , Q 者为正；
P
使微段顺时针转动
弯矩 M P , M 只规定乘积的正负 号。使杆件同侧纤维受拉时， 其乘积取为正。
3. 对组合结构： kP
求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP 须分段写
M ( x) x l (0 x l )
A
EI x1 l/2 x2
P
B
l/2
B
l
0lΒιβλιοθήκη MPM dx EI2
Px l M P ( x) (0 x ) 2 2 P(l x) l M P ( x) ( x l) 2 2
N , M,Q , R
d , d , d , C
由单位载荷Pk=1引起的内力和反力 实际状态中的微段变形、支座位移 实际状态中拟求的位移
k
单位载荷法——马克斯威尔-莫尔 （Maxwell-Mohr）法
k 计算结果为正，所求的位移与单位力指向一致，
否则相反
K Nd Md Q d R C
§4.3 静定结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures
结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移
FP
相对线位移
A
A
y
C
C
C D
FP
D
D
x
相对角位移
线位移
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
二、静定结构的位移计算
K Nd Md Q d R C
1.、载荷作用下的位移计算
kP Nd Q d Md
对于由线弹性直杆组成的结构，由材料力学有：
N P ds KQP ds M P ds d , d , d EA GA EI
N P , QP , M P
结构在载荷作用下实际状态中微段的内力
KP
NN P KQ QP MM P ds EA GA EI
m=1
0
Px x 1 ( ) dx 2 l EI
l l 2
P(l x) x 1 ( ) dx 2 l EI
Pl 2 16 EI
例 ：求刚架A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态） （虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图）
1 2 ql 2 1 2 qx 2
ql
虚设的力状态
B
K Bx ?
PK B
C
N ,Q, M
A
A
又设与内力 N , Q , M 对应的微段实际 变形分别为dλ、dη和dθ。 若结构有已知支座位移为ci ，与其对应 的由广义力 PK 引起的支座反力为R
实际位移状态
B
K ?
P C
虚设的力状态
PK B C
N ,Q, M
A
dλ、dη和dθ c
一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位 移计算的一般公式。
设待求的实际广义位移为ΔK ，与ΔK对应 的广义力为P。 设仅在水平力PK作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为 N , Q , M
实际位移状态
P C
支座移动 c、
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
A PK=1
A ?
PK=1 B
(a)
A PK=1
AB ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
Pk 1 d
C d A B
PK 1 d
(c)
BC ?
1 d1 1 d1
C
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
AB AC ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
几点讨论（只有荷载作用）：
KP
NN P KQ QP MM P EA GA EI ds
MM P ds EI
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架： KP
2. 对桁架：
kP
NN P ds NN P l EA EA MM P ds NN P l EI EA
引起结构位移的原因
载荷、 温度改变 T、 制造误差 等 计算位移的目的 (1) 刚度要求 如： 在工程上， 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
公式的普遍性表现在： 1. 位移原因：载荷、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；
静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲、拉(压) 、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
R
外力虚功 内力虚功
W外虚 =ΣRi Ci+PKΔK
W内虚 Nd Md Q d
由虚功方程
W外虚 = W内虚
则结构虚功方程改写为 位移计算的一般公式
令PK=1
K Nd Md Q d R C
K Nd Md Q d R C
式中： E 弹性模量； G A 横截面积； I
剪切模量； 截面惯性矩；
K
截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5; 圆形截面k=10/9。
内力的正负号规定如下：
轴力
N, NP
以拉力为正；
剪力 Q , Q 者为正；
P
使微段顺时针转动
弯矩 M P , M 只规定乘积的正负 号。使杆件同侧纤维受拉时， 其乘积取为正。
3. 对组合结构： kP
求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP 须分段写
M ( x) x l (0 x l )
A
EI x1 l/2 x2
P
B
l/2
B
l
0lΒιβλιοθήκη MPM dx EI2
Px l M P ( x) (0 x ) 2 2 P(l x) l M P ( x) ( x l) 2 2
N , M,Q , R
d , d , d , C
由单位载荷Pk=1引起的内力和反力 实际状态中的微段变形、支座位移 实际状态中拟求的位移
k
单位载荷法——马克斯威尔-莫尔 （Maxwell-Mohr）法
k 计算结果为正，所求的位移与单位力指向一致，
否则相反
K Nd Md Q d R C
§4.3 静定结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures
结构的位移 (Displacement of Structures)
角位移
FP
相对线位移
A
A
y
C
C
C D
FP
D
D
x
相对角位移
线位移
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
二、静定结构的位移计算
K Nd Md Q d R C
1.、载荷作用下的位移计算
kP Nd Q d Md
对于由线弹性直杆组成的结构，由材料力学有：
N P ds KQP ds M P ds d , d , d EA GA EI
N P , QP , M P
结构在载荷作用下实际状态中微段的内力
KP
NN P KQ QP MM P ds EA GA EI
m=1
0
Px x 1 ( ) dx 2 l EI
l l 2
P(l x) x 1 ( ) dx 2 l EI
Pl 2 16 EI
例 ：求刚架A点的竖向位移。
解：构造虚设状态
（实际状态） （虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图）
1 2 ql 2 1 2 qx 2
ql
虚设的力状态
B
K Bx ?
PK B
C
N ,Q, M
A
A
又设与内力 N , Q , M 对应的微段实际 变形分别为dλ、dη和dθ。 若结构有已知支座位移为ci ，与其对应 的由广义力 PK 引起的支座反力为R
实际位移状态
B
K ?
P C
虚设的力状态
PK B C
N ,Q, M
A
dλ、dη和dθ c
一、位移计算的一般公式
(General Formula of Displacements)
下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位 移计算的一般公式。
设待求的实际广义位移为ΔK ，与ΔK对应 的广义力为P。 设仅在水平力PK作用下，与之平衡的轴 力、剪力和弯矩分别为 N , Q , M
实际位移状态
P C
支座移动 c、
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
A PK=1
A ?
PK=1 B
(a)
A PK=1
AB ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
Pk 1 d
C d A B
PK 1 d
(c)
BC ?
1 d1 1 d1
C
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
AB AC ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
几点讨论（只有荷载作用）：
KP
NN P KQ QP MM P EA GA EI ds
MM P ds EI
一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。
1. 对梁和刚架： KP
2. 对桁架：
kP
NN P ds NN P l EA EA MM P ds NN P l EI EA
引起结构位移的原因
载荷、 温度改变 T、 制造误差 等 计算位移的目的 (1) 刚度要求 如： 在工程上， 吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
公式的普遍性表现在： 1. 位移原因：载荷、温度改变、支座移动等； 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；
静定和超静定结构；
3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲、拉(压) 、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移
和相对角位移。
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A
R
外力虚功 内力虚功
W外虚 =ΣRi Ci+PKΔK
W内虚 Nd Md Q d
由虚功方程
W外虚 = W内虚
则结构虚功方程改写为 位移计算的一般公式
令PK=1
K Nd Md Q d R C
K Nd Md Q d R C