点线面的投影答案.解析
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空间几何中的点线面的投影
空间几何中的点线面的投影在空间几何中，投影是一种常见的几何现象。
当我们将一个三维物体投影到一个平面上时，就形成了物体在平面上的投影。
投影可以用来描述物体的形状、大小和位置，并在设计、建筑、绘画等领域有着广泛的应用。
本文将探讨空间几何中的点线面的投影。
一、点的投影在空间几何中，点的投影是最简单的形式。
当我们将一个点投影到一个平面上时，投影点与原点和平面上的投影点连线构成一条垂线。
投影点表示了点在平面上的位置。
投影点的坐标可以通过相似三角形关系来求解。
设点的坐标为P(x, y, z)，平面的方程为ax + by + cz + d = 0。
过点P作平面的垂线，与平面的交点为Q(x', y', z')。
根据相似三角形关系，我们可以得到以下的投影坐标公式：x' = x - (ad+bc)/(a^2+b^2+c^2)y' = y - (bd+ac)/(a^2+b^2+c^2)z' = z - (cd+ab)/(a^2+b^2+c^2)通过这些公式，我们可以求得点P在平面上的投影坐标。
二、线的投影线的投影是点的投影的延伸。
当一条直线在空间中移动时，其投影在平面上会呈现出不同的形态。
我们可以通过线的投影来观察直线在平面上的位置关系以及交点的情况。
对于一条直线，我们可以通过将直线上的点进行投影，形成一系列位于平面上的点，连接这些点就可以得到直线的投影。
直线在平面上的投影也可以用参数方程表示，该参数方程描述了直线上每个点在平面上的投影坐标。
三、面的投影面的投影是最复杂的形式。
当一个三维面体在空间中移动时，其投影在平面上会形成一个多边形。
投影多边形可以用来描述面体在平面上的形状和大小。
对于一个面体，我们可以将其每个点进行投影，从而形成一个多边形的顶点集合。
连接这些顶点，即可得到面的投影多边形。
投影多边形可以通过面体的参数方程和平面的方程来求解。
总结：在空间几何中，点线面的投影是一种常见的几何现象。
点线面的投影分析
一、点的投影分析
点的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线
垂直于OX 轴。即ss’⊥ OX
(2)点的正面投影和侧面投影的连线
垂直于OZ 轴。即s’s” ⊥ OZ (3)点的水平投影到OX轴的距离等于
侧面投影到OZ 的距离。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
一、点的投影分析
影面。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
三、平面的投影分析
1.一般位置平面 投影特性：
(1)三个投影都不 反映平面实形。 (2)三个投影均对 投影轴倾斜。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于侧面的平面称为侧平面
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性：
(1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
平行于侧面的直线称为侧平线
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性：
（1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。
（2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
点的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线
垂直于OX 轴。即ss’⊥ OX
(2)点的正面投影和侧面投影的连线
垂直于OZ 轴。即s’s” ⊥ OZ (3)点的水平投影到OX轴的距离等于
侧面投影到OZ 的距离。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
一、点的投影分析
影面。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
三、平面的投影分析
1.一般位置平面 投影特性：
(1)三个投影都不 反映平面实形。 (2)三个投影均对 投影轴倾斜。
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
2.投影面平行面 投影特性：
（1）在所平行 的投影面上投 影反映实形。 （2）其他两个 投影面上的投 影积聚为直线， 且分别平行于 相应的投影轴。
平行于侧面的平面称为侧平面
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析 三、平面的投影分析
3.投影面垂直面 投影特性：
(1)在所垂直的投 影面内投影积聚 为一段斜线。 (2)其他两个投影 面上的投影均为 缩小的类似形。
平行于侧面的直线称为侧平线
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§2－3 立体表面上点、线、面的投影分析
二、直线的投影分析
3.投影面垂直线 投影特性：
（1）在所垂直的 投影面上投影积 聚为一点。
（2）其他两个投 影面上的投影反 映实长，且分别 垂直于相应的投 影轴。
垂直于水平面的直线称为铅垂线
模块二任务2点线面的投影
1.点的正投影
1.2 点的投影与坐标的关系
例：已知点的两个投影，求第三投影。 解法一:
a ● ax
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二:
用圆规直接量取 aaz=aax
a ● ax
a●
az
a
●
1.点的正投影
1.2 点的投影与坐标的关系
（2）两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上 下、前后、左右位置关系。
a″ b″W
B
aβ
γ
Hb
X
O
Y
a βγ
实长 b Y
2.直线的投影
（2） 投影面平行线
实长
正平线
a
a
γ
b
b
侧平线
a
b
a
β
实长
b
a
b
a
b
的角:β 与W面的夹角:γ
2.直线的投影
（3） 投影面垂直线
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性； ② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。
（2）和点一样，直线和平面是构成立体的几何元素 ，不同位置直线和平面的投影特性是作立体的投影和读 投影图的基础，不同位置直线和平面的投影特性分析及 作图应熟练掌握。
2.直线的投影
2.1 直线的投影
将直线两端点的同面投影用直线连接， 就得到直线的投影。
2.2直线对一个投影面的投影特性
A● M● B●
●
a≡b≡m
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
B
●
A●
●b a●
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
点线面投影
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
1.3 重影点
a'
b'
被挡住的 投影加( )
(c')d' A B
被挡住的 投影加( )
C
D
A、B和C、D 分别为哪个投 影面的重影点 呢？
a(b)
c
d
1.3 重影点
被挡住的 投影加( )
b″
d″ c"
被挡住的 投影加( )
① 在与其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直于相应 的投影轴。
判断线的空间位置 特殊位置直线的投影特征
X
O
3、从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线
返回
从属于V面的直线
返回
从属于V投影面的铅垂线
返回
从属于OX轴的直线
返回
Y
3 、 a b 与OX、OZ 的夹角反映α、 角的真实大小
返回
3 、侧垂面 b’
z
c’
b’’
β c’’ α
x
a’ b
c
o
a’’ Y
a
投影特性：1、 a’’b’’c’’积聚为一条线 2 、 a’b’c’、 a’b’c’为 ABC的类似形
Y
3 、 a’’b’’c’’与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小 返回
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax
az
●a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二: 用分规直接量 取aaz=aax
a●
ax az
北京工业大学工程图学习题集答案_图文
返回
P12-5
5. 过点K作直线KC与AB线段垂直相交。
P12-6
6. 过点K作直线KC与AB线段垂直相交。
P12-7
7. 求点K到直线AB的距离。
P12-8
判断两直线的相对位置
相交
平行
交叉
交叉
返回
P13-1
完成平面和点的投影
并判断平面与投影面的位置
一般位置平面
返回
P13-1
完成平面和点的投影
求作A（20，30，15），B（10，20，0） C（30，0，30）三点的三面投影
返回
P6-4
求作各点的三面投影
返回
P7-5 已知B点在A点左方15，且X=Y=Z，点C比点B低10， 且X坐标比点B大5，X=Y，求作B，C两点的三面投影，并比较A
和B，C和D，E和F的相对位置
P26-4 4. 求两三角形ABC、DEF平面的交线，并判断可见性。
P26-5 求点D到三角形ABC的距离，并求垂足K的投影 返回
P26-6 6. 求直线MN与三角形ABC平面的交点，并判断可见性。
P27-7
试用一段管路 KF将GH和EF 连接起来。 （1）求KL最短距
离实长 （2）求KL的投影
返回
P7-7
已知A，B，C，D四点的投影图，求作
它们的轴侧图。并写出各点的空间位置
点 象限
返回
已知点A的两面投影，点B与点A对称于V面
P7-8
点C与点A对称于X面，求作B点与C点的
两面投影图，并画出A，B，C三点的轴侧图
返回
求作侧平线AB（距W面20，与H面
P8-1
夹角30，实长为25）的三面投影
分析曲面立体的相贯线，补全褚投影
习题-第二章点线面的投影
2-8 已知直线AB∥W面，其实长为20mm，α=45°，求 作直线AB的投影。
20mm
2-9 已知水平线AB距H面20mm，其实长为25mm，γ=60°， 求AB的三面投影。
13/2012 习题
20mm
25mm
14/2012 习题
2-10 求出直线AB的实长及对两投影面的倾角α和β。
△Z
ab
实长
21/2012 习题
2-17 在直线AB上取一点K，使AK线实长为20mm。
20mm TAB
22/2012 习题
Δy
Δy
23/2012 习题
2-18 在直线EF上取一点K，使点K到V面距离为20mm。
20mm
2-19 判断下列两直线的相对位置。
24/2012 习题
2-20 判断两交叉直线重影点的可见性。
9/2012 习题
2-6 过点A作直线AB的第三面投影，并使AB的实长为 15mm。说明有几解？要求只作出一解即可。
15mm
15mm
10/2012 习题
15mm
15mm
11/2012 习题
2-7 已知侧垂线AB上B点距W面15mm，其实长为20mm， 求作直线AB的投影。
习题
41/2012 习题
42/2012 习题
2-36 过直线作特殊位置平面（均用迹线表示）。
（1）作正平面 作水平面 （2） 作正垂面 （3） 作铅垂面 （4）
43/2012 习题
33/2012 习题
34/2012 习题
重点、难点：
1、平面的各种表示方法； 2、各种位置平面的投影特性； 3、用迹线表示特殊位置平面；
4、点在平面上的投影特性。
点线面的投影
b
x
c
b
yW
a b
yH
Z
C c c
a A
a
O
b c
b
a
X
bB
A位于 空间
B位于 H面
C位于 V面
Y 11
第二节 直线的投影
直线的投影 直线上的点 各种位置直线的投影特性 线段的实长及倾角
一 直线的投影
直线的投影特性
1.直线平行于投影面，其投影反映实长。 2.直线垂直于投影面，其投影积聚成点。 3.直线倾斜于投影面，其投影长度缩短。
2、ab =AB 反映实长,倾斜于OZ轴，反映 、 角
投影面垂直线
垂直于一个投影面 平行于另外两个投影面。 垂直线分三种：
铅垂线⊥Ｈ面
正垂线⊥Ｖ面
侧垂线⊥Ｗ面
铅垂线（ Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）
Z a
Z
a
a
b X
A
O B a(b)
a
b
X
O
b
Y
a(b)
YH
b YW
投影特性：1、水平投影 a b 积聚 成一点 2、 a b // OZ ; a b // OZ； a bOX ; 3、 a b = a b = AB 反映实长
y 点B的Z坐标为0，故点B为H面上的
w 点。
b
yH
点C的x、y坐标为0，故点C为z轴 上的点。
例题7 已知点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm，
求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。
解： 由已知条件知：XC=XD
Z
ZC=ZD YC-YD=15mm
c' (d')
因为点C、D在V面上的投 影重影。
点线面的投影
例题5
已知点的坐标值为：A（20，10，15）和 B（0，15，20）求它们的三面投影图。
Z
b' 解：（1）量取坐标值； （2）作点的投影。
X O
b"
a'
a"
YW
a
b
YH
例题6
已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判 断点对投影面的相对位置。
z
a' x
b'
c' c" o b" c
a
a"
点A的三个坐标值均不为0， A为一般位置。
b
A O B
X
b
b
b
a
Y
a
YH
两点中X 值大的点 ——在左 两点中Y 值大的点 ——在前 两点中Z 值大的点 ——在上
[二] 重影点的概念
H a b
A B X X O O
a b
由V投影 判断高低
a(b) 不可见投影点 的标记加括号
a(b) A与B 对H面重影
14
2、若两点的正面投影重合，可从 水平投影判别其可见性，y坐标值 大的点为可见（点C在前）。
O
YW
YH YH
规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影a，
在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。
例题1
已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。 Z a a
X
O
YW
a YH
例题2 已知点 A的正面投影和侧面投影, 求其水平投影。
z a x a
O
y W
a
y H
注: 这是二求三问题的基础。
Z a Z a
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2-1-2-7
过点C作AB的平行线CD，实长为20（先作出AB的水平投影，后作CD的三面投影）。
2-1-2-8
作水平线与两已知直线 AB 和 CD 相交并与Ｈ面相距 25。
2-1-2-9
作一直线MN与已知直线CD、EF相交，同时与AB平行（点M在CD上，点N在EF上）。
2-1-2-10
过点C作一直线MN与直线 AB 和 OX 轴都相交。
在线段AB上取一点Ｃ，使Ａ、Ｃ两点之间的距离为20。
2-1-2-4
在线段AB上取一点Ｃ，使Ａ、Ｃ两点之间的距离为20。
*2-1-2-5
在线段AB上取一点Ｃ，使它与Ｈ面和Ｖ面的距离相等；再取一点Ｄ，使 Zd:Yd = 2:1 。
2-1-2-6
已知直线 CD = DE ，试求直线 DE 的水平投影。
点的投影
2-1-1-1
已知A、B、C、D四点的投影图，画出它们的直观图，并说明其空间位置。
此处错误， 应为虚线。
2-1-1-2
已知A、B、C各点对投影面的距离，画出它们的三面投影图和直观图。
2-1-1-3 已知点Ａ的坐标（40，15，0），画出其三面投影并作出点Ｂ和点Ｃ的三面投影。 ⑴ 点B ——在点Ａ右面20，前面15，上面20； ⑵ 点C ——在点Ａ左面10，后面15，上面15
已知平面上一点Ｋ的一个投影，作出此平面的第三投影及点Ｋ的其他两个投影。
2-1-3-7
在已知平面内作一点D,使其距H面30，距W面20。
2-1-3-8
已知平面 ABCDE 的一个投影，求作另一个投影。
2-1-3-9
完成平面图形 ABCDEFGH 的另一个投影。
2-1-3-10
三角形 EFG 位于平面 ABCD 内，求作 ABCD 及 EFG 水平投影。
平面的投影
2-1-3-1
已知平面的两个投影，求作第三投影。
2-1-3-2
已知平面的两个投影，求作第三投影。
2-1-3-3
已知平面的两个投影，求作第三投影。
2-1-3-4
已知平面的两个投影，求作第三投影。
2-1-3-5
已知平面上一点Ｋ的一个投影，作出此平面的第三投影及点Ｋ的其他点Ａ的两投影，点Ａ、Ｂ对称于Ｖ、Ｗ两面角的分角面，求 a″和点Ｂ的三面投影。
直线的投影
2-1-2-1 影。
已知三脚架的两个投影，试判断S1S2、S2A、S2B各为何种位置直线，并作出它们的侧面投
2-1-2-2
已知线段AB的实长Ｌ及其一个投影，求作其另一投影。
2-1-2-3