理论力学-动静法
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《理论力学》第十四章达朗伯原理(动静法)
F
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
D d
C
mg FN
货物不滑的条件：F≤ f FN ， a ≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2 ， a ≤ bg/h
为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。
例 题7
已知：AB杆质量为m ,长为l=2r ,
r O
A
l
B
圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 求：A 端的约束反力。
FR
MIC
C
aC
FR maC M C J C
例 题5
已知：m , h , , l。
B
D
h
求：A、D处约束反力。
a
解： 取 AB 杆为研究对象
A
Fx 0 FAx F FN sin 0 Fy 0 FAy mg FN cos 0
C
n FR maC m(aC aC )
O
MIC
FR
M C J C
3、刚体作平面运动
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对 称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质 量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对 平面惯性力系作进一步简化。
R
O
n FR
MIO
F R
（2）将惯性力系向质心C简化。
FR maC 2mr
n n FR maC 2mr 2
MA
A
FAy
MIC
C B
FAx
M C
1 2 J C mr 3
n FR
mg
FR
n Fx 0 FAx ( FR F ) cos 45 0 R n Fy 0 FAy mg ( FR FR ) cos 45 0 n M A( F ) 0 M A mgr ( FR F ) cos 45 r M C 0 R
理论力学25(重要知识)
故有
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
重点辅导
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
10.1 质点的动静法
将牛顿第二定律应用于非自由质点有
F +FN = ma
重点辅导
3
F +FN = ma
若引入 FI =－ma, 称为质点的达朗贝尔惯性力 (d’Alembert inertial force),则上式可写成
F +FN +FI = 0 即作用于质点的主动力、约束力和质点的达朗 贝尔惯性力(如果也把它看成一个力的话)在形 式上构成一个平衡力系,这一结果称为质点的达 朗贝尔原理(d’Alembert principle of a particle)。
习题: P.333 15-1,6,7,9,
重点辅导
22
谢谢!
重点辅导
23
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
重点辅导
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
质量对称平面
MIC
C FIR
aC S
重点辅导
14
1. 均质杆OA绕O轴在 铅垂平面内作定轴转动
其角速度为,角加速度 为,如图所示。在下面
MIC=∑MC(FIit) = – JC
式中JC是刚体对于通过质心C 且⊥质量对称平面S的轴的转 动惯量,负号表示主矩MIC与角
加速度的转向相反。
重点辅导
aC
C
FIit FIiC
ainC
mi
aC
aitC
S
FIin
12
12.3.3 刚体惯性力系的简化结果
■ 平动
FIR=－maC
作用于质心C
■ 定轴转动
10.1 质点的动静法
将牛顿第二定律应用于非自由质点有
F +FN = ma
重点辅导
3
F +FN = ma
若引入 FI =－ma, 称为质点的达朗贝尔惯性力 (d’Alembert inertial force),则上式可写成
F +FN +FI = 0 即作用于质点的主动力、约束力和质点的达朗 贝尔惯性力(如果也把它看成一个力的话)在形 式上构成一个平衡力系,这一结果称为质点的达 朗贝尔原理(d’Alembert principle of a particle)。
习题: P.333 15-1,6,7,9,
重点辅导
22
谢谢!
重点辅导
23
FIR=－maC 作用线通过转轴O。
MIz=－Jz
重点辅导
质量对称平面
aC C MIz
O
FIR
13
■ 平面运动
FIR=－maC 作用线通过质心C。
MIC =－JC
质量对称平面
MIC
C FIR
aC S
重点辅导
14
1. 均质杆OA绕O轴在 铅垂平面内作定轴转动
其角速度为,角加速度 为,如图所示。在下面
理论力学动静法
静反力 动反力 附加动反力
使附加动反力为零，须有
35
MQx MQy 0
RQx ' RQy ' 0
I zx I yz 2 0 I zx 2 I yz 0
I xz I zx I yz 0
( 2 2 4 0) 2
MaCx 0 MaCy 0
10
§14-2 质点系的动静法
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi Ni Qi 0 ( i1,2,...... ,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的动静法。可用方程表示为：
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
xC yC 0
对z 轴惯性积为零，z 轴为 刚体在O点的惯性主轴；
过质心
当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。
36
二、静平衡与动平衡的概念 静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它
主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性22
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
绕通过质心轴的转动：MQC IC
RQ MaC
M QC IC
作用于质心
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
[法律资料]理论力学 第10章 动静法
![[法律资料]理论力学 第10章 动静法](https://img.taocdn.com/s3/m/c863420e1eb91a37f1115c86.png)
m1 πR12l m2 π R22l
Jz
1 2
π l(R14
R24 )
1 2
π l(R12
R22 )(R12
R22 )
由 π l(R12 ，R22得) m
Jz
1 2
m(
R12
R22 )
h
21
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
1.平移
ai aC
rC
miri M
F g,F 1 g, 2,F g nF R g
,
F R gF g im ia i M a C
M g o m 0 ( F g ) i r i m i a i (m i r i ) a C
M r C a C r C ( M a C ) r C F Rg
力系平衡条件
Fi(e) Fi(i) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fi(i) ) mo (Fgi ) 0
注意内力力系自相平衡
Fi(i) 0 mo (Fi(i) ) 0
推得
Fi(e) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fgi ) 0
h
12
解：1. 研究重物H
Fy 0
Fg1m1a12m1a
P1TFg10
2. 研究三角板BCK
Fy 0
Tsi4 n5P 2Fg20
3. 运动学补充方程
vBco2s vH 0
aB t co2sv4B 2 lsin2aH0
h
13
2.定轴转动（平面）
F g1,F g2, ,F gn 向转轴O简化
质点系统动力学方程
F x ( e ) F gx 0
F y ( ) F gy 0
理论力学第13章动静法
5
用动静法求解动力学问题时，
FixA FixN FixI 0 对平面任意力系： FiyA FiyN FiyI 0 N I A M O ( F i ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
对于空间任意力系：
N I F F F 0 , M x ( F ) M x ( Fi ) M x ( Fi ) 0 N I A A N I Fiy Fiy Fiy 0 , M y ( F i ) M y ( Fi ) M y ( Fi ) 0 N I A A N I Fiz Fiz Fiz 0 , M z ( F i ) M z ( Fi ) M z ( Fi ) 0
12
向O点简化：（转轴） n FI MaC M (aC aC )
n FI
O
FI
M IO
C
aC n aC
M IO J O
作用在O点。
向质点C点简化： n FI MaC M (aC aC )
M IC J C
求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
17
解:
F F M
x
0,
0, 0,
Fx FI sin 0
FI me
2
y
Fy (m1 m2 ) g F1 cos 0 M m2 ge sin F1h sin 0
A
因
t , 得
作用在C点。
FI
O
aCn
C
aC
M IC
n FI
用动静法求解动力学问题时，
FixA FixN FixI 0 对平面任意力系： FiyA FiyN FiyI 0 N I A M O ( F i ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
对于空间任意力系：
N I F F F 0 , M x ( F ) M x ( Fi ) M x ( Fi ) 0 N I A A N I Fiy Fiy Fiy 0 , M y ( F i ) M y ( Fi ) M y ( Fi ) 0 N I A A N I Fiz Fiz Fiz 0 , M z ( F i ) M z ( Fi ) M z ( Fi ) 0
12
向O点简化：（转轴） n FI MaC M (aC aC )
n FI
O
FI
M IO
C
aC n aC
M IO J O
作用在O点。
向质点C点简化： n FI MaC M (aC aC )
M IC J C
求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
17
解:
F F M
x
0,
0, 0,
Fx FI sin 0
FI me
2
y
Fy (m1 m2 ) g F1 cos 0 M m2 ge sin F1h sin 0
A
因
t , 得
作用在C点。
FI
O
aCn
C
aC
M IC
n FI
理论力学08_5动力学建模的动静法
mF NF IFm a图8-7 质点的惯性力§8.2 动力学建模的动静法1 惯性力 • 达朗贝尔原理设一质量为m ，加速度为a 的非自由质点在一固定的曲线上运动，作用于质点的主动力为F ，约束力为F N ，如图8-7所示。
根据牛顿第二定律，有N F F a +=m (8.2.1) 将上式移项后写为 0=−+a F F m N (8.2.2)令 a F m −=I (8.2.3)F 1具有力的量纲，称为质点的惯性力，于是可将方程(8.2.2)写成 0=++I N F F F (8.2.4) 惯性力的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。
式(8.2.4)表明 质点运动的每一瞬时，作用在质点的主动力、约束力和惯性力在形式上构成一平衡力系。
这就是质点的达朗贝尔原理。
实际上，方程(8.2.4)是牛顿定律的另一种表达形式。
引进虚拟的惯性力之后，就可以将动力学问题在形式上转化为静力学问题来处理，因此这种方法称为动静法。
惯性力是力学中的重要概念之一。
在达朗贝尔原理中，惯性力是体现运动惯性的力学量，是人为地将二阶运动量表示成力的形式，虚拟地施加在运动的物体上。
在§8.3中非惯性系中研究动力学问题时，为了将非惯性系中的动力学运动定律在形式上化成与惯性系中的动力学运动定律一致，也引入了虚拟的惯性力。
这两种惯性力有共同点，都是假想惯性力作用在运动物体上。
但是，在运动物体上并不真实存在这样的作用力。
因为真实的力是物体之间的机械作用，能使物体的运动状态发生改变。
惯性力不能改变物体自身的运动状态，不符合作用与反作用定律(牛顿第三定律)，所以惯性力不是真实的力，是假想的力。
但是，这两种惯性力又有概念上的差别．在达朗贝尔原理中，我们讨论的是物体的绝对运动，即讨论物体相对于某个取定的惯性系的运动。
作用在运动物体上的惯性力，只取决于物体的绝对加速度。
在非惯性系中，我们讨论的是物体的相对运动，存在着定坐标系(惯性系)和动坐标系(非惯性系)。
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质点运动的每一瞬 时，作用于质点上的主 动力、约束反力，以及 虚加于该质点上的惯性力在形式上组成一个平衡力系。
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
的简单情况。
直线 i : 平动， 过Mi点， Qi miai
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： 主矩：
RQ MaC
M QO mO (Qi )mO (Qi n ) ri miri 0 miri2 IO
(负号表示与反向)
向O点简化：
RQ MaC
计的原理。
§15-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Ni Qi 0 ( i1,2,......,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到 Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
Qi
mi
ai
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
mC (F )0 , mC (F (e) ) M QC 0
实质上：
M
d 2 xC dt 2
X
(e)
,
M
d 2 yC dt 2Y(),IC
d 2
dt 2
mC
(
F
(e
)
)
[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： ① 选杆AB为研究对象 ② 受力分析如图；
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的
反抗力。称为小车的惯性力。
⒈ 质点惯性力定义
Q ma
当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由 于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗 力称为该质点的惯性力。
⒉ 注意 质点惯性力不是作用在质点上的力，它是质点作用在施 力物体上的反作用力的合力。
本章重点、难点
⒈重点
惯性力的概念，平动、 定轴转动和平面运动刚 体惯性力系的简化。
质点系的达朗伯原理。 用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。
⒉难点
惯性力系的简化。 惯性积和惯性主轴的概念。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。因而，这种解答动力学 问题的方法，也称动静法。
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
RQ Mac
二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面
⒊ 惯性力的投影
Qx
max
m
d2x dt 2
Qy
may
m
d2y dt 2
Qz
maz
m
d2z dt 2
Q
ma
m
d 2s dt 2
Qn
man
m
v2
Qb mab 0
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
— 质点的达朗伯原理
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
§15-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力RQ 和一个 惯性力偶 MQO 。
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
MQO IO
作用在O点
向质点C点简化：
RQ MaC
M QC IC
作用在C点
讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me 2
讨论：
②转轴过质点C，但0，惯性力偶 MQ IC （与反向）
讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 RQ 0 , MQC 0
（主矢、主矩均为零）
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
ddt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
绕通过质心轴的转动：MQC IC
RQ MaC
MQC IC
作用于质心
对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
X 0 ,
X (e) RQx 0
Y 0 ,
Y (e) RQy 0
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
解：
① 选单摆的摆锤为研究对象； ② 受力分析如图；
③ 虚加惯性力 Q ma
④ 取投影轴x如图； ⑤ 根据达朗伯原理求解：
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
第十五章 达朗伯原理 §15–1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 §15–2 质点系的达朗伯原理 §15–3 刚体惯性力系的简化 §15–4 定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用
§15-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
的简单情况。
直线 i : 平动， 过Mi点， Qi miai
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： 主矩：
RQ MaC
M QO mO (Qi )mO (Qi n ) ri miri 0 miri2 IO
(负号表示与反向)
向O点简化：
RQ MaC
计的原理。
§15-2 质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 Fi Ni Qi 0 ( i1,2,......,n )
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到 Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
Qi
mi
ai
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
mC (F )0 , mC (F (e) ) M QC 0
实质上：
M
d 2 xC dt 2
X
(e)
,
M
d 2 yC dt 2Y(),IC
d 2
dt 2
mC
(
F
(e
)
)
[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： ① 选杆AB为研究对象 ② 受力分析如图；
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来
的运动状态，对于施力物体(人手)产生的
反抗力。称为小车的惯性力。
⒈ 质点惯性力定义
Q ma
当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由 于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗 力称为该质点的惯性力。
⒉ 注意 质点惯性力不是作用在质点上的力，它是质点作用在施 力物体上的反作用力的合力。
本章重点、难点
⒈重点
惯性力的概念，平动、 定轴转动和平面运动刚 体惯性力系的简化。
质点系的达朗伯原理。 用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。
⒉难点
惯性力系的简化。 惯性积和惯性主轴的概念。
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。因而，这种解答动力学 问题的方法，也称动静法。
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
一、刚体作平动
向质心C简化： RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (miaC )miri aC 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
RQ Mac
二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面
⒊ 惯性力的投影
Qx
max
m
d2x dt 2
Qy
may
m
d2y dt 2
Qz
maz
m
d2z dt 2
Q
ma
m
d 2s dt 2
Qn
man
m
v2
Qb mab 0
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，合力 R F N ma
F N ma 0
F N Q 0
— 质点的达朗伯原理
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
§15-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力RQ 和一个 惯性力偶 MQO 。
RQ Q ma MaC MQO mO (Q )
与简化中心无关 与简化中心有关
MQO IO
作用在O点
向质点C点简化：
RQ MaC
M QC IC
作用在C点
讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ me 2
讨论：
②转轴过质点C，但0，惯性力偶 MQ IC （与反向）
讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 RQ 0 , MQC 0
（主矢、主矩均为零）
三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
ddt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
X i(e) Qix 0 Yi(e) Qiy 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
对于空间任意力系：
X i(e) Qix 0 , mx (Fi(e) )mx (Qi )0 Yi(e) Qiy 0 , my (Fi(e) )my (Qi )0 Zi(e) Qiz 0 , mz (Fi(e) )mz (Qi )0
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。
刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC
绕通过质心轴的转动：MQC IC
RQ MaC
MQC IC
作用于质心
对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
X 0 ,
X (e) RQx 0
Y 0 ,
Y (e) RQy 0
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
解：
① 选单摆的摆锤为研究对象； ② 受力分析如图；
③ 虚加惯性力 Q ma
④ 取投影轴x如图； ⑤ 根据达朗伯原理求解：
X 0 , mgsin Qcos 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
第十五章 达朗伯原理 §15–1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 §15–2 质点系的达朗伯原理 §15–3 刚体惯性力系的简化 §15–4 定轴转动刚体的轴承动反力
静平衡与动平衡的概念 达朗伯原理的应用
§15-1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理
一、惯性力的概念
人用手推车 F ' F ma