抽象函数高考类型
高考复习中抽象函数常见题型及处理方法
２ ）如 果 当 Ｉ ｚ∈ （ １ ０ 一 ， ）时 ， 有 （ ）＞ ｏ ‘ ｚ ，
求证 ： － 厂（ ）在 （ １ １ ｚ 一 ， ）上是 单 调递 减 的函数 ；
任 意 ，， ７ Ｙ∈ Ｒ 厂（ ２ ， ｚ ）＝ 厂 Ｉ （ ）＋ 厂 ） ｚ （ ． １ ）求证 ： Ｉ Ｒ 时 ， ）： 一 厂（ ） ｚ∈ 厂（ ： ＝ Ｉ； ｚ ２ 若 ＞ １ ， 有 厂（ ） ０ 求证 ： － ） 时 恒 － ＜ ， ｚ 厂（ ） ｚ
２ 考查 函数 的 性质 例 ２ 定 义 在 Ｒ 上 的偶 函 数 厂（ ）满 足 ：
０又 厂ｚ ， （ ）为奇 函数 ， 以 ｆ（ ）在 ［ ３ ３ 所 ｘ 一 ，］上 单 调 递 减 ， ｚ 一 厂（ ３ 厂（ ） 一 ）一 一 厂 ３ （ ）一 一
厂（ １＋ ２ ）一 一 厂（ ）一 厂（ １ １＋ １ ）一 一 ３ １ ｆ（ ）一 ６，厂（ 一 厂（ ）一 一 厂（ ３ ｚ） ｉ ３ 一 ）一 一 ６ ．
必有 ＋ ）厂 ） ０ ） 等 ：ｚ 丢＋ ＞ 解 （ ｒ
（ Ａ）０个 ． （ Ｂ）１ ． （ 个 Ｃ）０个 或 １个 ．
（ Ｄ）１个或 ２个．
足如 下两 个条 件 ： 对任 意 的 ｚ， ① Ｙ∈ Ｒ， ｘ＋ ｆ（ ）一 厂 ｚ （ ）＋ 厂（ ； 当 ｚ＞ ０时 ， ） ０ ） ② 厂（ ＜ ，
且 厂 １ 一一 ２ 求 函数 厂（ ） ［ ３ ３ 上 的最 （） ． ｚ 在 一 ，］ 大值 和最 小 值．
以 ｆ（ ＋ １ ｘ ）一 ｆ（ 一 １ ｘ ）一 厂（ １一 ｚ） 所 以 ，
使 用 具 体 函 数 的约 占三 分 之 一 ， 用 抽象 函数 使
高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)(全国通用)(学生专用)(新高考专用)
重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
抽象函数常见题型解法
高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。
解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。
解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
高三数学总复习——抽象函数
高三数学总复习——抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。
抽象来源于具体。
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数()(0)f x kx k =≠()()()f x y f x f y ±=±一次函数()(0)f x kx b k =+≠()()()f x y b f x f y ++=+幂函数()nf x x=()()()()()()x f x f xy f x f y f y f y ==或二次函数2()f x ax bx c =++（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数()(01)xf x a a a =>≠且()()()()()()f x f x y f x f y f x y f y +=-=或对数函数()log (01)a f x x a a =>≠且()()()()()()xf xy f x f y f f x f y y=+=-或或f(x m )=mf(x)余弦函数()cos f x x=()()2()()22x y x yf x f y f f +-+=()()2()()f x y f x y f x f y ++-=正切函数()tan f x x=()()()1()()f x f y f x y f x f y ±±=下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。
（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。
高考数学5类常见抽象函数真题讲解!.doc
高考数学5类常见抽象函数真题讲解！题型一：正比例例题．已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)．求证:f(x)是奇函数(2)．若f(-3)=a,用a表示f(24)①令y=-x，f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(x)+f(-x)=f(0)令x=y=0,则f(0)=2f(0)=0∴f(x)+f(-x)=0,∴f(x)=-f(-x)∴f(x)是奇函数②∵f(24)=f(3)+f(21)=2f(3)+f(18)=.....=8f(3)又∵f(-3)=a,∴f(3)=-a，∴f(24)=-8a题型二：对数函数型例题：函数f(x)对于x0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是减函数（1）证明：f(1)=0;（2）若f(x)+f(x-3)≥2成立，求x的取值范围。
①证明：令x=y=1，则f(1×1)=f(1)+f(1),故f(1)=0②∵f(2)=1,令x=y=2∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2,f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]∴f[x(x-3)]≥f(4)∵f(x)是减函数∴x(x-3)≤4,∴x²-3x-4≤0成立的x的取值范围是-1≤x≤4题型三:指数函数型例题. 已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)f(n),且当x0时,0f(x)1.(1) 证明:f(0)=1,且x0时,f(x)1;(2) 证明: f(x)在R上单调递减;解：(1)令m=0,n=1,f(0+1)=f(0)f(1)∵当x0时,0f(x)1∴f(1)0,f(0)=1∵x0,∴-x0∵f(-x+x)=f(-x)f(x)f(0)=1,x0时,0f(x)1∴f(-x)1∴x0时,f(x)1(2)任取x1,x2∈R,且x1x2则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]·f(x1)∵x2-x10,∴0f(x2-x1)1,故f(x2-x1)-10,∵f(x1)0∴[f(x2-x1)-1]·f(x1)0∴f(x2)-f(x1)0,∴f(x1)f(x2)∴函数f(x)是R上的单调减函数. 题型四：幂函数型题型五：三角函数型。
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。
抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。
掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。
抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。
在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。
下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。
根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。
将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。
将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。
答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。
下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。
解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。
因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。
抽象函数-题型大全(例题-含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式：()211xf x x =++()f x 解：设1xux =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=-例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x xx x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()f x x x =++例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-, 不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x ,∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N=+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题 例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
高考数学专题复习抽象函数
高考数学专题复习抽象函数高考常考抽象函数模型：1. 正比率函数型： f (x) kx(k 0)f (x y)f ( x)f ( y)2. 一次函数型：fx kx b f xyf x f y b 幂函数型：f ( x)x 2f ( xy)f (x) f ( y) ，f ( x)f ( x)3. yf ( y) 4.指数函数型：5.对数函数型：6.三角函数型：f ( x f (x)f ( x) a xy)f ( x y)f ( x) f ( y) ， f ( y)f ( xf ( x) log a xf ( xy)f (x)) f (x) f ( y)f ( y) ，yf (x y)f ( x)f ( y)f ( x) tan x1 f ( x) f ( y)1、直线型抽象函数例1.已知函数 f (x) 对随意实数 x, y ，均有 f ( x y)f ( x) f ( y)，且当 x0 时，f ( x)0 ，f ( 1) 2 ，求 f ( x) 在2,1 的值域2、指数函数型抽象函数 f ( x)知足：对随意实数 m ， n ，总有f ( m n)f (m) f (n) ，且当 x例 2.定义在 R 上的函数时，0 f ( x) 1 ．(1) 试求f (0)的值(2) 判断f (x)的单一性并证明3、对数函数模型1; ②对随意实数 b ，f ( x b)例 3.定义在R上的函数 f ( x) 知足：① f (10)bf ( x) ，当 x 1 时，f x 0f (1), f ( 1), f ( 1)(1) 求24 x, y, f ( xy) f (x)f ( y)(2) 求证：对随意正实数(3) 求证：f (x)是R上的增函数4、幂函数模型例 4.已知函数f ( x)对随意实数 x, y 都有 f ( x y)f (x) f ( y) 且 f ( 1) 1, f (27)9.当 0x 1时，0 f (x) 1判断f ( x)的奇偶性判断 f ( x) 在 0, 上的单一性，并证明若 a 0 ，且f ( a1) 39，求 a 的取值范围5、正切函数模型1 f ( x)f ( x m)例 5.若对常数m和随意实数x，都有等式1f ( x)建立，求证: f ( x) 是周期函数14,2 . 2 f 01, nmnm. 3 f 10. f1lg 1, f 12 lg 1. f xyf 10 lg xy f m nf n22 42f 10 lg xf 10 lg yxyx2 lg xy右 4 y1fxf x ,0 xxy. f xx 3 .0 a 2f f x1f ( x m) 1 1 f ( x)15 f (x2m)f (xm) m1 f ( x)4m1 f ( x m)1 f ( x)T1 f ( x)1 f ( x)练习：1.若xR ，f ( x)知足f ( xy) f ( x)f ( y)，若 x 0 时， f x， 比较大小f2 , f 0 , f 12.若xR ， f ( x) 知足f x1x 2f x 1f x 21,，则以下说法正确的选项是（）A.fx为奇函数B.f x为偶函数C.f x1为奇函数D.f x1为偶函数3.f (x)的定义域为 R ,fxy()fx( )fy( )对一确实数x, y建立，若f (8) 4，f (2)4.f (x)定义域为 R ，对随意x, yf ( x) f ( x) f ( y)，x1 时，f (x)0 ，f ( 1) 1R，都有y2，2（ 1）求证f (x)为减函数（ 2）解不等式f ( x) f (5 x)2f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 图像对于 x 1对称， x 1 , x 2 [ 0, 1]，有 f ( x1 x2 ) f (x 1) f ( x 2 ), f x 05.2 (1) 设f (1)2，求f ( 1)f7， f 2f 20152 ，4，3(2) 求函数yf xm. m1,2 在区间0,8上各零点之和fx 6.若f ( x)是定义在0,f x f y上的增函数，且y（ 1）求 f1 的值（ 2）若f61，解不等式 f x 3 f x27.函数f x对随意的实数m, n有f m nf mf n，当 x 0 时，有f x 0（ 1）求证 :f 0 0（ 2）求证 :f x在 R 上为减函数．（ 3）若 f 32 ，解不等式 f x 2 6f x 48.f (x)定义在 R 上不恒为零的偶函数，且对随意实数 x 都有xf ( x 1)(1 x) f (x) f ( 5)，则 2=19.已知函数fx知足：f 14 f x f yf x y f x y . x, y R ，则 f 20154 ， _____f 2 1 f 2f 2 2f 4 f 2 3 f 610.函数f ( x)知足：f ( a b)f (a ) f (b) ， f (1)2 ，则f 1f3f 5f 2 1005f 2010 f200911.函数f ( x)对随意的m, nR，都有f (m n) f (m) f (n) 1，而且当 x 0 时，f ( x) 1（ 1）求证：f ( x)在 R 上是增函数 （2）若 f (3) 4 ，解不等式 f ( a 2a 5) 2x, y ( 1,1)有 f ( x) f ( y)x y12.f ( x)在f (),1,1上为奇函数1,1上有定义，知足1xy 求证： f (x) 在13.函数f x对随意的实数m, n，有f m n f mf n，当x 0 时，有f x（ 1）求证：f 0 0（ 2）求证：f x在 R上为增函数．（ 3）若 f 11 ，解不等式 f 4 x2 x214. f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数， f (xy)f ( x) f ( y) ， f (3) 1，解不等式 f ( x) f (x 8) 215.已知定义在, 1 (1, )上的奇函数，且知足：①f (3) 1②对随意的 x 2 ，均有f ( x) 0③对随意的 x, y R ，均有 f ( x 1) f ( y 1) f ( xy 1)（ 1）求f (2)的值（ 2）求证： f ( x) 在 (1,)上是单一递加16.设f ( x)是定义在 R 上的偶函数，且f x 31f ( x)，则f (7.5) 的值为 _____1 奇，f2f0 f 1.2 C.3 1,0 40，14，552, 42,1,3 2 ,32. 6 0,3,357, 16,. 8 0. 9 f 01, f 11 241111111f 2 x1 f x1f 2, f 34, f5, f67T6f2015y2x,24S40204, f44, f4. 10f x 2241 1 令 m x , n0 . f 3 3 f 12 f 12a3,2 . 12 x y0 f 00, x0 f y f y13 m n 0 f 0 0, x1m, x2x1n, n 0x2x1, 2x22x2 1 2x2x 1 f x2f x1f n014 f 9 2 f 3 2x808 x 9. 15 x y 1 f 2 0, x 0, y 1f y10f x 1 f xy 1 x x89x1xy116 f7.51f 1.5f 1.51 2。
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抽象函数高考类型
函数是高中数学的核心内容，一直是高考重要考查对象.其中没有明确给出函数解析式的函数即抽象函数就是一个很好的载体.近几年来，各地高考题中有加强考查力度的趋势，现结合例题谈谈抽象函数的解题策略.
一、求函数值
例1、已知偶函数()f x 对任意,x y 恒有()()()21f x y f x f y xy +=+++成立，求()()0,1f f 的值.
解：取0x y ==，得()()()00001f f f +=++，得()01f =-.
取1x y =-=，得()()()111121f f f -=+--+，
又()f x 为偶函数，则()()0211f f =-，故()10f =.
评注：利用抽象函数的条件，通过赋值是解决抽象函数问题的最常用的方法.
二、求函数的定义域
例2、若函数()1y f x =+的定义域为[]2,3-，求函数()1y f x =-的定义域. 解：由已知23x -≤≤，
∴ 114x -≤+≤ .
∴ ()y f x =的定义域为[]1,4-.
令114x -≤-≤，则05x ≤≤
∴ ()1y f x =-的定义域为[]0,5.
评注：⑴首先要证明定义域是仅指自变量x 的取值范围；
⑵求定义域的题型一般有以下两种：
①已知()f x 定义域为[],a b ，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域用整体代入法，即不等式()a g x b ≤≤；
②已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，求()f x 定义域，即求()g x 的值域.
三、求函数解析式
例3、若对于任意,x y R ∈，恒有()()()1f x y f x xy x y +=+++且()01f =-，求()f x 的解析式.
解：令x y =-，则有()()()201f f x x
x x =---.
又()01f =-，所以()21f x x =--.
评注：求解析式关键是构造出()f x ，这可以通过赋值解决，要注意一般跟特殊间的转换.
四、判断函数的奇偶性
例4、已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y x f y y f x +=+，试判断
()f x 的奇偶性，并说明理由. 解：令0x y ==，有()00f =；
再令x y =-，有()()()()()0f xf x xf x x f x f x =--=--⎡⎤⎣⎦.
由x 的任意性，有()()f x f x -=.
故()f x 为偶函数.
评注：判断函数的奇偶性，关键是构造出()f x 与()f x -的关系，这也可以通过赋值完成.
五、考查函数的周期性
例5、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数的图像关于直线2x =对称，证明()y f x =是周期函数.
证明： ()f x 关于直线2x =对称，
∴ ()()4f x f x -=--⎡⎤⎣⎦
又()f x 是定义域在R 上的奇函数，
∴ ()()f x f x =-.
∴ ()()4f x f x +=-
∴ ()()()()8444f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦
∴ ()f x 是以8为周期的周期函数.
评注:1.周期问题的背景应该是三角函数，这类问题有利于培养同学们由特殊到一般的辩证唯物主义思想.
2.证明函数的周期性一般是用定义法，此处应该记住下面的结论：
⑴若()()f x a f x +=-，则()f x 以2a 为周期；
⑵若()()
1f x a f a +=-，则()f x 以2a 为周期； ⑶若()()()
11f a f x a f a ++=-，则()f x 以4a 为周期； ⑷若()y f x =，关于x a =与x b =对称，则()f x 以2b a -为周期；
⑸若()()f x a f x b +=+，则()f x 以b a -为周期.
六、判断函数的单调性
例6、已知函数()f x 对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，试判断()f x 在R 上的单调性.
解：令0x y ==，则()()()000f f f =+，得()00f =；
再令x y =-，得()()0f x f x +-=.
所以()f x 是奇函数.
设12,x x R ∈且12x x <，则()()()21210f x f x f x x +-=->.
故()f x 在R 上单调递增.
评注：判断函数的单调性时，常用定义法去判断.。