(新)整系数多项式的有理根定理及求解方法

证明：因为q是整系数多项式 f x 的整数根,所以
f x x q g x ,其中 g x 是整系数多项式.
m z , m q ,则有 f m q m g m .
又 m z ,故 g m z ,所以 q m f m . 当 m 0 时,
q ( p, q 互素)是有理数 p
an 1 a a ... n11 0 0 ,则 d 是 f x 的根. d d dn a a a 0, 证明：因为 an n 1 ... n11 0 d d dn
时,若 an
在上式两边同时乘以 d n ,则有 an d n an 1d n 1 ... a1d a0 0 即
.
所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,明智的选择还是从系数开始。整 系数多项式无有理根的判别法： 定理3.1.1[1](Eisenstein判别法)：设 f ( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 是一 个整系数多项式。如果有一个素数 p ，使得
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第一章
整系数多项式的基本内容【1】
本节给出了整系数多项式的基本定理----高斯(Gauss)引理。
n n 1 定义1[1]如果一个多项式 f ( x) an x an 1 x ... a1 x a0 ，其所有系数
a 0 , a1 ,......a n 都是整数，就称此多项式为整系数多项式。
p | b0 , , p | b j 1 , p / | bj
我们来看 h( x) 的系数 d i j ，由乘积定义
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d i j ai b j ai 1b j 1 ai 2 b j 2 ai 1b j 1 ai 2 b j 2
的一个有理根,其中r,s互素,那么必有 s | a n , r | a 0 .特别地，如果
1 ，那么 f x 的有理根都是整根，而且是 a 0 的因子。
f x
的首项系数
an
r r （ x )| f x 的一个有理根,因此在有理数领域上 s f x ，从而 证明：因为 s 是
. 所以
q 不是 f x 的有理根. p
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定理2.5（关于整根的牛顿法）【2】
n n 1 如果d是整系数方程 f x a0 x a1 x ... an 1 x an 0 （ a0 0 ）的整根,
那么 d 能够整除 an , an 1
a0
an a a , an 2 n 1 n , ... , d d d2
由上面的假设， p 整除等式左端的 d i j ， p 整除右端 ai b j .这是不可能的.这就 证明了，
h( x) 一定也是本原多项式.由此我们可以得到下面的定理及推论
定理1.2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 ，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 推论1.2.1 设 f ( x) ， g ( x) 是整系数多项式，且 g ( x) 是本原的.如果 f ( x) =
a1
a a1 ... nn1 ,并且 d d
a a a1 a ... n 0 .反之,如果 a0 1 ... n 0 ,那么 d 是 f x 0 的根. n d d d dn
由以上定理可得下面推论： 推论
n n 1 整系数多项式 f x an x an 1 x ... a1 x a0 ,当 d
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n
an 2
n 1
n 1 an 1 ... 2 a1 a0 2 p q 2 bn 1 ... 2 b1 b0
又因为 a0 是奇数,
2 p q 是偶数.在上式中,等号左边是奇数,等号右边是偶数,矛盾.故假设不成立
q f 0 .因为 f 0 是常数项,故 q 为常数项 a0 的约数,所以
q f 0 .
定理2.4 若整系数多项式 f x an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 的常数项 a0 为奇数,而 2 p q 为偶数,则
q 不是 f x 的有理根. p q 是 f x 的有理根,则 p, q 1 , p
吉林师范大学博达学院 毕业论文（设计）
论文分类号O174.14 密 级：无
整系数多项式的有理根的定理及求解方 法
系别 & 专业： 姓名 & 学号： 年级 & 班别： 教师 & 职称：
数学系-数学与应用数学专业 刘玉丽 0934118 2009级1班 张洪刚
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2012年
摘
9月
1日
要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识 。本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣 的朋友提供一定的参考。本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为 系统的求法。求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式 f x 是否存在有 理根。若存在，则可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理根求出。为了简化求解过 程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法 进行检验，进而求出整系数多项式 f x 的全部有理根。 关键词：整系数多项式； 有理根的求法； 有理根的判定 Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots. Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots
f ( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0
g ( x) bm x m bm 1 x m 1 b0
是两个本原 x n m d n m 1 x n m 1 d 0 是它们的乘积.我们用反证法.
( sx r ) | f ( x) ,因为r,s互素，所以 sx r 是一个本原多项式.根据上述推论1.2.1，
f ( x) ( sx r )(bn 1 x n 1 ... b0 ) ，式中 bn 1 ,..., b0 都是整数.令 g ( x) bn 1 x n 1 ... b0 ，比较两边系数，即得 a n sbn 1 , a 0 rb0. 因此
定义2 如果一个非零的整系数多项式 g ( x) bn x n bn 1 x n 1 b0 的系数
bn , bn 1 , , b0 没有异于 1 的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个
本原多项式。 下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。 定理1.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 证明 设
证明：（反证法）设
f x px q h x ,其中 h x 是整系数多项式,
于是有 an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 px q h x 设 h x bn 1 x n 1 ... b1 x b0 ,令 x 2 ,则有
s | a n , r | a 0 。将 x 1, 1 代入上式得 f (1) ( s r ) g (1) , f (1) ( s r ) g (1)
由定理2.1的证明过程可得如下定理： 定理2.2 若 f x an x n an 1 x n 1 ... a1 x a0 是一个次数 n 大于 0 的整系数多项式,如果
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f 1 f 1 q 是 f x 的一个有理根,其中 p, q 是互素的整数,那么 z, 且 z. pq pq p
定理2.3
若 q 为整系数多项式 f x 的整数根,则 q 为常数项 a0 的约数,且对于
m z m q , q m f m .