湖南衡阳市中考数学试题及解析
衡阳中考数学试题及答案
衡阳中考数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 2答案：C2. 如果一个角的度数是30°，那么它的余角是多少度？A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：B3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B4. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A5. 以下哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. x^3 + x^2 + x = 0D. x^2 - 4x + 4 = 0答案：B6. 一个三角形的两边长分别是3和4，第三边的长度可能是多少？A. 1B. 2C. 5D. 7答案：C7. 以下哪个是正比例函数？A. y = 2x^2B. y = 3xC. y = 4/xD. y = 5答案：B8. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. -5B. 5C. -5 或 5D. 0答案：C9. 一个数的立方根是2，这个数是多少？A. 8B. 4C. 6D. 2答案：A10. 如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）11. 一个数的相反数是-8，这个数是________。
答案：812. 如果一个数的平方是36，那么这个数是________。
答案：±613. 一个直角三角形的斜边长是10，其中一个锐角的正弦值是0.6，那么这个锐角的余弦值是________。
答案：0.814. 一个数列的前三项是1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和，那么这个数列的第10项是________。
答案：14415. 一个函数的图象是一条直线，且通过点(1,2)和(2,4)，那么这个函数的解析式是________。
衡阳中考试题数学及答案
衡阳中考试题数学及答案一、选择题1. 已知x + 3 = 7，则x的值是多少？A. 3B. 4C. 6D. 7答案：C2. 若a = 2，b = -3，则a - b的值为多少？A. -1B. 1C. 5D. -5答案：D3. 如果m + n = 10，且m - n = 4，则m和n的值分别为多少？A. m = 7, n = 3B. m = 3, n = 7C. m = 8, n = 2D. m = 6, n = 4答案：A4. 已知直角三角形的两直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度是多少？A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A二、填空题1. 已知一个边长为5cm的正方形的面积是__________平方厘米。
答案：252. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，它的体积是__________立方厘米。
答案：603. 设x = 3，y = 4，则x² + y² = ________。
答案：254. 一个数加上5等于12，这个数是__________。
答案：7三、解答题1. 某商店以原价200元出售一件衣服，现在正在打折活动，折扣为20%，请问该衣服现在的售价是多少？解答：折扣为20%表示该衣服现在的价格是原价的80%。
所以，200元 * 80% = 160元。
该衣服现在的售价是160元。
2. 某图书馆有中文书籍3000本，英文书籍2000本，若要将这些书籍按照比例存放在两个书架上，并且两个书架上的书籍总数要一样多，那么每个书架应该分别放置多少中文书籍和英文书籍？解答：两个书架上的书籍总数为3000 + 2000 = 5000本。
根据比例，中文书籍占总数的3/5，即3000/5000 * 3/5 = 1800本。
同理，英文书籍占总数的2/5，即2000/5000 * 2/5 = 800本。
所以，每个书架应该分别放置1800本中文书籍和800本英文书籍。
湖南省衡阳市中考数学试题及解析
2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 3 分，共 36分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕计算〔﹣〕1〕 +|﹣2|的结果是〔A ．﹣3B． 1C．﹣ 1D． 32．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕以下计算正确的选项是〔〕A ． a+a=2a33333527 B． b?b =2b C． a ÷a=a D．〔 a 〕 =a3．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕如下图的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，那么这个几何体的俯视图是〔〕A ．B．C．D．4．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕假设分式的值为0，那么x的值为〔〕A ． 2 或﹣ 1B． 0C． 2D．﹣ 15．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕函数y=中自变量x 的取值范围为〔〕A ． x≥0B． x≥﹣1C． x＞﹣ 1D． x≥16．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕不等式组的解集在数轴上表示为〔〕A ．B．C．D．7．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕等腰三角形的两边长分别为5 和 6，那么这个等腰三角形的周长为〔〕A ． 11B． 16C． 17D． 16 或 178．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕假设关于2有一个根为﹣1，那么另一个根为〔〕x 的方程 x +3x+a=0A ．﹣2B． 2C． 4D．﹣ 3第 1 页〔共 22 页〕A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的四边形是正方形10．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕在今年“全国助残日〞捐款活动中，某班级第一小组7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是〔单位：元〕50、20、50、30、25、 50、 55，这组数据的众数和中位数分别是〔〕A ． 50 元， 30 元B． 50 元， 40 元C． 50 元， 50 元D． 55 元， 50 元11．〔3 分〕〔 2021?衡阳〕绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多10 米．设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为〔〕A ． x〔x﹣ 10〕=900 B． x〔 x+10 〕 =900C． 10〔 x+10 〕 =900D． 2[x+〔 x+10 〕]=90012．〔 3 分〕〔 2021?衡阳〕如图，为了测得电视塔的高度AB ，在 D 处用高为 1 米的测角仪CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 米到达 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为60°，那么这个电视塔的高度AB 〔单位：米〕为〔〕A ． 50B． 51C． 50+1D． 101二、填空题：本大题共8 个小题，每题 3 分，共 24 分。
2022年湖南省衡阳市中考数学试题及答案解析
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−2的绝对值是( )A. −2B. 2C. 12D. −122.石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是( )A.B.C.D.3.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A. 可回收物B. 其他垃圾C. 有害垃圾D. 厨余垃圾4.为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为a×109的形式，则a的值是( )A. 0.339B. 3.39C. 33.9D. 3395.下列运算正确的是( )A. a2+a3=a5B. a3⋅a4=a12C. (a3)4=a7D. a3÷a2=aA. “任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是137.如果二次根式√a−1有意义，那么实数a的取值范围是( )A. a>1B. a≥1C. a<1D. a≤18.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数(单位：人)分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 38，39B. 35，38C. 42，39D. 42，359.不等式组{x+2≥12x<x+3的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.10.下列命题为假命题的是( )A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形11.在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236)( )A. 0.73mB. 1.24mC. 1.37mD. 1.42m12.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB//CD，AC平分∠DAB.设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.因式分解：x2+2x+1=______ ．14.计算：√2×√8=______．15.计算：2aa+2+4a+2=______．16.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN 交CB于点D，连接AD.若AC=8，BC=15，则△ACD的周长为______．17.如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了______cm.(结果保留π)18.回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE=10m，∠BDG=30°，∠BFG=60°.已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为______m.(结果精确到0.1m.参考数据：√3≈1.732)三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.先化简，再求值．(a+b)(a−b)+b(2a+b)，其中a=1，b=−2．20.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．21.为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)参与此次抽样调查的学生人数是______人，补全统计图①(要求在条形图上方注明人数)；(2)图②中扇形C的圆心角度数为______度；(3)若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；(4)计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．22.冰墩墩(Bing Dwen Dwen)、雪容融(Sℎuey Rℎon Rℎon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，反比例函数y=m的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于A(3,1)，xB(−1,n)两点．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．24.如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．25.如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM//y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB 于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S(平方单位)，点P运动时间为t(秒)．(1)当点M与点B重合时，求t的值；(2)当t为何值时，△APQ与△BMF全等；(3)求S与t的函数关系式；(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：|−2|=2，故选：B．根据绝对值的定义，可直接得出−2的绝对值．本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．2.【答案】A【解析】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．根据主视图的定义和画法进行判断即可．本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3.【答案】C【解析】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4.【答案】B【解析】解：339000万=3390000000=3.39×109，∴a=3.39，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】D【解析】解：A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式=a7，故该选项不符合题意；C选项，原式=a12，故该选项不符合题意；D选项，原式=a，故该选项符合题意；故选：D．根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握(a m)n=a mn 是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A．根据三角形内角和定理判断A选项；根据普查与抽样调查判断B选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D选项．本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由题意得：a−1≥0，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围．本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．8.【答案】C【解析】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．9.【答案】A【解析】解：{x+2≥1①2x<x+3②，解①得x≥−1，解②得x<3．则表示为：故选：A．首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；故选：C．根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．11.【答案】B【解析】解：设下部的高度为x m，则上部高度是(2−x)m，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，∴2−xx =x2，解得x=√5−1或x=−√5−1(舍去)，经检验，x=√5−1是原方程的解，∴x=√5−1≈1.24，故选：B．设下部高为x m，根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程解决问题．12.【答案】D【解析】解：过D点作DE⊥AC于点E．∵AB//CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，∴∠ACD=∠CAD，则CD=AD=y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE=CE=12AC=3，∠AED=90°，∵∠BAC=∠CAD，∠B=∠AED=90°，∴△ABC∽△AED，∴ACAD =ABAE，∴6y =x3，∴y=18x，∵在△ABC中，AB<AC，∴x<6，故选：D．先证明CD=AD=y，过D点作DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明△ABC∽△AED是解本题的关键．13.【答案】(x+1)2【解析】解：x2+2x+1=(x+1)2，故答案为：(x+1)2．本题运用完全平方公式进行因式分解即可．本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．14.【答案】4【解析】解：原式=√2×8=√16=4．故答案为：4原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15.【答案】2【解析】解：2aa+2+4a+2=2a+4a+2=2(a+2)a+2=2，故答案为：2．根据同分母分式的加法计算即可．本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．16.【答案】23【解析】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8+15=23．故答案为：23．根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD=BD，进而可得△ACD的周长．本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．17.【答案】4π【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，即120π×6180=4π，故答案为：4π．根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120°的弧长即可．本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．18.【答案】10.2【解析】解：∵∠BFG=60°，∠BDG=30°，∴∠DBF=60°−30°=30°，∴∠DBF=∠BDF，∴DF=BF=AE=10，Rt△BFG中，sin∠BFG=BGBF，∴BG10=√32，∴BG=5√3=5×1.732≈8.66，∴BC=BG+CG=8.66+1.5≈10.2(m)．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．首先证明BF=DF=10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19.【答案】解：(a+b)(a−b)+b(2a+b)=a2−b2+2ab+b2=a2+2ab，将a=1，b=−2代入上式得：原式=12+2×1×(−2)=1−4=−3．【解析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a=1，b=−2代入计算即可．本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．20.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，{AB=AC ∠B=∠C BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．【解析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD=AE．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21.【答案】12090【解析】解：(1)调查学生总数为36÷30%=120(人)，选择“E.数学园地设计”的有120−30−30−36−6=18(人)，故答案为：120，补全统计图如下：(2)360°×30120=90°，故答案为：90；(3)1200×30120=300(人)，答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；(4)在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为220=110．(1)从两个统计图中可得样本中选择“B.七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率=频数总数即可求出答案，进而补全条形统计图；(2)求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；(3)求出样本中参与“A.测量”所占的百分比，进而估计总体中“A.测量”的百分比，求出相应人数即可；(4)用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．22.【答案】解：(1)设冰墩墩的进价为x 元/个，雪容融的进阶为y 元/个，由题意可得：{15x +5y =1400x +y =136， 解得{x =72y =64， 答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；(2)设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进(40−a)个，利润为w 元，由题意可得：w =28a +20(40−a)=8a +800，∴w 随a 的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，∴a ≤1.5(40−a)，解得a ≤24，∴当a =24时，w 取得最大值，此时w =992，40−a =16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．【解析】(1)根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；(2)根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．23.【答案】解：(1)把A(3,1)代入y =m x 得：1=m 3，∴m =3，∴反比例函数关系式为y =3x ；把B(−1,n)代入y =3x 得：n =3−1=−3，∴B(−1,−3)，将A(3,1)，B(−1,−3)代入y =kx +b 得：{3k +b =1−k +b =−3，解得{k =1b =−2， ∴一次函数的关系式为y =x −2；答：反比例函数关系式为y =3x ，一次函数的关系式为y =x −2；(2)在y =x −2中，令x =0得y =−2，∴C(0,−2)，设M(m,3m )，N(n,n −2)，而O(0,0)，①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，∴{0+0=m +n −2+0=3m +n −2，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M(√3,√3)或(−√3,−√3)；②以CM 、ON 为对角线，同理可得：{0+m =n +0−2+3m=n −2+0，解得{m =√3n =−√3或{m =−√3n =√3， ∴M(√3,√3)或(−√3,−√3)；③以CN 、OM 为对角线，同理可得：{0+n =m +0−2+n −2=0+3m，解得{m =2+√7n =2+√7或{m =2−√7n =2−√7， ∴M(2+√7,√7−2)或(2−√7,−√7−2)，综上所述，M 的坐标是(√3,√3)或(−√3,−√3)或(2+√7,√7−2)或(2−√7,−√7−2)．【解析】(1)把A(3,1)代入y =m x 可得m =3，即得反比例函数关系式为y =3x ，从而B(−1,−3)，将A(3,1)，B(−1,−3)代入y =kx +b 即可得一次函数的关系式为y =x −2；(2)在y =x −2中得C(0,−2)，设M(m,3m )，N(n,n −2)，而O(0,0)，分三种情况：①以CO 、MN 为对角线时，CO 、MN 的中点重合，{0+0=m +n −2+0=3m+n −2，可得M(√3,√3)或(−√3,−√3)；②以CM 、ON 为对角线，同理可得M(√3,√3)或(−√3,−√3)；③以CN 、OM 为对角线，同理可得M(2+√7,√7−2)或(2−√7,−√7−2)．本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．24.【答案】解：(1)直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE=90°，∵AD//OE，∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB，∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DOE=∠EOB，∵OD=OB，OE=OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)，∴∠OBE=∠ODE=90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切；(2)设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，∴r=3，∴AB=2r=6，∴BC=AC+AB=2+6=8，由(1)得：△DOE≌△BOE，∴DE=BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，∴82+BE2=(4+DE)2，∴64+DE2=(4+DE)2，∴DE=6，∴DE的长为6．【解析】(1)连接OD，理由切线的性质可得∠ODE=90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE=∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；(2)设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用(1)的结论可得DE=BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．25.【答案】解：(1)当x=0时，y=−2，∴C(0,2)，当y=0时，x2−x−2=0，(x−2)(x+1)=0，∴x1=2，x2=−1，∴A(−1,0)，B(2,0)，设图象W的解析式为：y=a(x+1)(x−2)，把C(0,2)代入得：−2a=2，∴a=−1，∴y=−(x+1)(x−2)=−x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=−x2+x+2(−1≤x≤2)；(2)由图象得直线y=−x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y=−x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；②当直线y=−x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，−x+b=−x2+x+2，x2−2x+b−2=0，Δ=(−2)2−4×1×(b−2)=0，∴b=3，综上，b的值是2或3；(3)∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN//OB，△CNM∽△BOC，∵PN//y轴，∴P(1,0)；如图3，CN//OB，△CNM∽△BOC，当y =2时，x 2−x −2=2，x 2−x −4=0，∴x 1=1+√172，x 2=1−√172， ∴P(1+√172,0)；如图4，当∠MCN =90°时，△OBC∽△CMN ，∴CN 的解析式为：y =x +2，∴x +2=x 2−x −2，∴x 1=1+√5，x 2=1−√5(舍)，∴P(1+√5,0)，综上，点P 的坐标为(1,0)或(1+√172,0)或(1+√5,0)．【解析】(1)令x =0和翻折的性质可得C(0,2)，令y =0可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出图象W 的解析式；(2)利用数形结合找出当y =−x +b 经过点C 或者y =−x +b 与y =x 2−x −2相切时，直线y=−x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y=−x+b经过点C(0,2)时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y=−x+b与y=x2−x−2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ=0，即可求出b值．综上即可得出结论；(3)先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM=90°或∠MCN=90°，分别画图可得结论．本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据翻折的性质，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)利用数形结合找出直线y=−x+b与新图象恰好有三个不同的交点的情况；(3)分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征，正确画图是关键．26.【答案】解：(1)M与B重合时，如图1，∵PQ⊥AB，∴∠PQA=90°，∴PA=1AB=2，2∴t=2；(2)①当0≤t≤2时，∵AM=2t，∴BM=4−2t，∵△APQ≌△BMF，∴AP=BM，∴t=4−2t，∴t=4；3②当2<t≤4时，∵AM=2t，∴BM=2t−4，∵△APQ≌△BMF，∴AP=BM，∴t=2t−4，∴t=4；综上所述，t的值为4或43；(3)①0≤t≤2时，如图2，在Rt△APQ中，PQ=√32t，∴MQ=32t，∴S=12PQ⋅MQ=12×√32t×32t=3√38t2；②当2<t≤4时，如图3，∵BF=t−2，MF=√3(t−2)，∴S△BFM=12BF⋅MF=√32(t−2)2，∴S=S△PQM−S△BFM=−√38t2+2√3t−2√3；∴S={3√38t2(0≤t≤2)−√38t2+2√3t−2√3(2<t≤4)；(4)连接AE，如图4，∵△PQE为等边三角形，∴PE=√32t，在Rt△APE中，tan∠PAE=PEPA =√32tt=√32，∴∠PAE为定值，∴点E的运动轨迹为直线，∵AP=t，∴AE=√AP2+PE2=(√32=√72t，当t=2时，AE=√7，当t=4时，AE=2√7，∴E点运动路径长为2√7−√7=√7．【解析】(1)由直角三角形的性质可得出答案；(2)分两种情况：①当0≤t≤2时，②当2<t≤4时，由全等三角形的性质得出关于t的方程，解方程可得出答案；(3)分两种情况：①当0≤t≤2时，②当2<t≤4时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；(4)连接AE，由直角三角形的性质得出∠PAE为定值，则点E的运动轨迹为直线，求出AE 的长，则可得出答案．本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论是解题的关键．。
湖南省衡阳市2021年中考数学真题(解析版)
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.8的相反数是（）A.8- B.8 C.18- D.8±【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义即可直接选择．【详解】8的相反数为-8．故选A ．【点睛】本题考查求一个数的相反数．掌握相反数的定义是解答本题的关键．2.2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A.698.9910⨯ B.79.89910⨯ C.4989910⨯ D.80.0989910⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：98990000=9.899×107．故选：B ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A 、不是轴对称图形，故A 不符合题意；B 、不是轴对称图形，故B 不符合题意；C 、不是轴对称图形，故C 不符合题意；D 、是轴对称图形，故D 符合题意．故选D.【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4.下列运算结果为6a 的是（）A.23a a ⋅ B.122a a ÷ C.()23a D.2312a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可．【详解】A 选项，23235a a a a +⋅==，不符合题意；B 选项，12210122=a a a a -=÷，不符合题意；C 选项，()23326=a a a ⨯=，符合题意；D 选项，22233611=1224a a a ⨯⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式的积的乘方，再把所得的幂相乘．5.下列计算正确的是（）A.4=±B.()021-=C.=D.3=【答案】B【解析】【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．【详解】4=，故A 选项错误，不符合题意；0(2)1-=，故B 选项正确，符合题意；不是同类二次根式不能合并，故C 选项错误，不符合题意；D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根．掌握各知识点和运算法则是解答本题的关键．6.为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）A.众数是82B.中位数是84C.方差是84D.平均数是85【答案】C【解析】【分析】根据该组数据结合众数、中位数的定义和平均数、方差的计算公式，求出众数、中位数、平均数和方差即可选择．【详解】根据该组数据可知82出现了2次最多，故众数为82，选项A 正确，不符合题意；根据中位数的定义可知该组数据的中位数为8385842+=，选项B 正确，不符合题意；根据平均数的计算公式可求出858286828392856x +++++==，选项D 正确，不符合题意；根据方差的计算公式可求出2222222(8585)(8285)(8685)(8285)(8385)(9285)126s -+-+-+-+-+-==，选项C 错误，符合题意．故选C ．【点睛】本题考查求众数、中位数、平均数和方差．掌握众数、中位数的定义，平均数、方差的计算公式是解答本题的关键．7.如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合题意，根据视图的性质分析，即可得到答案．【详解】由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下：故选：A【点睛】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图的性质，从而完成求解．8.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin 370.6,cos370.8,tan 370.75︒≈︒≈︒≈）（）．A.7.5米B.8米C.9米D.10米【答案】D【解析】【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．9.下列命题是真命题的是（）．A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和B.正六边形的每一个内角为120︒C.有一个角是60︒的三角形是等边三角形D.对角线相等的四边形是矩形【答案】B【解析】【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒∴选项A 不符合题意；正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒∴每一个内角为7201206︒=︒，即选项B 正确；三个角均为60︒的三角形是等边三角形∴选项C 不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形∴选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．10.不等式组1026x x +<⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上可表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择．【详解】解不等式x +1＜0，得x ＜-1，解不等式-26x ≤，得3x ≥-，所以这个不等式组的解集为-3-x≤<1，在数轴上表示如选项A所示，故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键．11.下列说法正确的是（）A.为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B.某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C.从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是3 4D.某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【答案】D【解析】【分析】根据普查的特点，得出了解我国中学生课外阅读情况应采取抽样调查；由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖；共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为37；根据计算公式列出算式853200200×，即可求出答案．【详解】解：A、根据普查的特点，普查适合人数较少，调查范围较小的情况，而了解我国中学生课外阅读情况，人数较多，范围较广，应采取抽样调查，选项说法错误，不符合题意；B、由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖，选项说法错误，不符合题意；C、共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为37，选项说法错误，不符合题意；D、根据计算公式该项人数等于该项所占百分比乘以总人数，列出算式853200200×，求出结果为1360人，选项说法正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了普查与抽样调查的区别、概率发生的可能性、求随机事件的概率与求某项的人数，关键在于熟悉普查的适用范围是调查对象的个体数很少，没有破坏性，要求结果准确，同时会根据等可能事件的概率公式求解，进行判断．12.如图，矩形纸片,4,8ABCD AB BC ==，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM 的面积S 的取值范围是45S ≤≤．其中所有正确结论的序号是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出PMN PNM ∠=∠，PM PN =，通过等量代换，得到PM =CN ，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理5CN =，12CQ AC ==，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出2MN QN ==；当MN 过点D 时，最小面积1144444CMPS S S ==⨯⨯=菱形，当P 点与A 点重合时，S 最大为15454S =⨯⨯=，得出答案．【详解】解：①如图1，P，∵PM CN∠=∠，∴PMN MNC∠=∠，NC=NP ∵折叠，∴MNC PNM∠=∠，∴PMN PNM=，∴PM PN∴PM=CN，∥，∴MP CN∴四边形CNPM为平行四边形，=，∵CN NP∴平行四边形CNPM为菱形，故①正确，符合题意；②当点P与A重合时，如图2所示设BN x =，则8AN MC x ==-，在Rt ABN △中，222AB BN AN +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴5CN =，2245AC AB BC =+=，∴1252CQ AC ==，又∵四边形CNPM 为菱形，∴AC MN ⊥，且2MN QN =，∴225QN CN CQ =-∴25MN QN ==，故②错误，不符合题意．③当MN 过点D 时，如图3所示：此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S 最小为1144444CMPS S S ==⨯⨯=菱形，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大为15454S =⨯⨯=，∴45S ≤≤，故③正确，符合题意．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）13.要使二次根式3x -有意义，则x 的取值范围是________．【答案】x ≥3【解析】【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．【详解】由题意知，30x -≥，解得，x ≥3，故答案为：x ≥3．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．14.计算：11+a a a-=_____【答案】1【详解】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．解：原式=11a a-+=1．故答案为1．本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．15.因式分解：239a ab -=__________．【答案】()33a a b -【解析】【分析】利用提取公因式法因式分解即可【详解】解：()23933a ab a a b -=-故答案为:()33a a b -【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键16.底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π）【答案】12π【解析】【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积公式求解即可．【详解】圆锥的侧面积=()112341222lR ππ=⨯⋅⨯=故答案为：12π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积．1=2S lR 扇形，其中l 为扇形的弧长，即底面圆的周长，R 为半径，即圆锥的母线长．17.“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．【答案】500【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x 的分式方程进行求解即可．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，6000600031.25x x-=，400x =，经检验，400x =是原方程的解，∴实际每天植树400 1.25500⨯=棵，故答案是：500．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程．18.如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为__________厘米．【答案】()3+【解析】【分析】四边形ABCD 是菱形，由图象可得AC 和BD 的长，从而求出OC 、OB 和ACB ∠．当点P 在A D-段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，此时PQ 连线过O 点且垂直于BC ．根据三角函数和已知线段长度，求出P 、Q 两点的运动路程之和．【详解】由图可知，2AC BD ==（厘米），∵四边形ABCD 为菱形∴11122OC AC OB BD ====（厘米）∴30ACB ∠=︒P 在AD 上时，Q 在BC 上，PQ 距离最短时，PQ 连线过O 点且垂直于BC ．此时，P 、Q 两点运动路程之和2()S OC CQ =+∵3cos 22CQ OC ACB =⋅∠==（厘米）∴3232S ⎫=+=+⎪⎭（厘米）故答案为3)+．【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．）19.计算：()()()()22224x y x y x y x x y ++-++-．【答案】23x 【解析】【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可【详解】解：()()()()22224x y x y x y x x y ++-++-222224x 444x y y x y x xy=+++-+-23x =.【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式，准确合并计算是解题的关键．20.如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．21.“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【答案】（1）64.8；（2）20万元；（3）2 3【解析】【分析】（1）根据统计图中的数据用360°乘以其他垃圾所占百分比，可以计算其他垃圾所对应的扇形圆心角的度数；（2）根据统计图中的数据，可以计算出该市500吨垃圾中约有多少吨可回收物．（3）列表后利用概率公式求解可得．【详解】解：（1）360(155%20%7%)64.8︒⨯---=︒故答案为64.8（2）50020%0.220⨯⨯=（万元）答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元（3）用列表法如图：男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男1男2男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1共12种机会均等的结果，其中恰好为一男一女结果数为8，所以，恰好选到一男一女的概率是82123=答：抽取的学生中恰好一男一女的概率为23【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，同时考查了概率公式．22.如图，点E 为正方形ABCD 外一点，90AEB =︒∠，将Rt ABE △绕A 点逆时针方向旋转90︒得到,ADF DF 的延长线交BE 于H 点．（1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由；（2）已知7,13BH BC ==，求DH 的长．【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB ＝∠AFD ＝90°，AE ＝AF ，∠DAF ＝∠EAB ，由正方形的判定可证四边形BE 'FE 是正方形；（2）连接BD ，利用勾股定理可求22132BD CD CB =+=，再利用勾股定理可求DH 的长．【详解】解：（1）四边形AFHE 是正方形，理由如下：根据旋转：90AEB AFD AE AF DAF EAB ∠∠︒∠∠＝＝，＝，＝，∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB=90°∴∠FAE ＝∠DAB=90°∴90AEB AFH FAE ∠∠∠=︒＝＝∴四边形AFHE 是矩形，又∵AE AF=∴矩形AFHE 是正方形．（2）连接BD∵13BC CD ==，在Rt BCD 中，22132BD CD CB =+=∵四边形AFHE 是正方形∴90EHD ∠=︒在Rt DHB △中，DH =，又7BH =，∴17DH =．故答案是17．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．23.如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为cm x ，单层部分的长度为cm y ．经测量，得到下表中数据．双层部分长度()cm x 281420单层部分长度()cm y 148136124112（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为cm L ，求L 的取值范围．【答案】（1）2152y x =-+；（2）22cm ；（3）76152L ≤≤【解析】【分析】（1）根据观察y 与x 是一次函数的关系，利用待定系数法求解析式；（2）背带的长度为单层部分与双层部分长度的和，可求出背带的长度与双层部分长度的函数关系式152L x =-+，令130L =，即可求出此时对应的双层部分长度的值；（3）根据0y ≥和0x ≥，求出x 的取值范围，再根据152L x =-+求出L 的取值范围．【详解】解：（1）根据观察y 与x 是一次函数的关系，所以设(0)y kx b k =+≠依题意，得21488136k b k b +=⎧⎨+=⎩解得，2152k b =-⎧⎨=⎩；∴y 与x 的函数关系式：2152y x =-+（2）设背带长度是cmL 则(2152)152L x x x =+-+=-+当130L =时，152130x -+=解得，22x =；（3）∵0y ≥，∴21520x -+≥解得，76x ≤又0x ≥∴076x ≤≤∴76152152x ≤-+≤即76152L ≤≤．【点睛】本题主要考查一次函数的相关知识．利用待定系数法求解一次函数的解析式．24.如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为 BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2,30DE BDE =∠=︒，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明B ODB ∠=∠，通过等量代换再证明90CDA ODA ∠+∠=︒即可证明（2）先证明OBE △是等边三角形，再证明60DOC ∠=︒，解直角三角形即可计算出结果【详解】解：（1）连接OD ，∵OD OB =，∴B ODB ∠=∠，又∵B CDA ∠=∠，∴ODB CDA∠=∠又∵90ODB ODA ∠+∠=︒，∴90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒，所以，CD 是O 的切线．（2）连接BE 、OE∵E 是BD 的中点，∴2,BE DE OE BD==⊥260BOE BDE ∠=∠=︒，∴OBE △是等边三角形从而2,60OB BE BOE ==∠=︒∵,OB OD OE BD =⊥，∴60BOE DOE ∠=∠=︒，所以60DOC ∠=︒在,60,2Rt ODC DOC OD OB ∠=︒== ，∴CD ==【点睛】本题考查切线的证明、圆周角定理、等边三角形的证明及性质、锐角三角函数，熟练应用圆的性质及定理是解题的关键25.如图，OAB 的顶点坐标分别为()()()0,0,3,4,6,0O A B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒）．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．【答案】（1）3,22M t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）四边形MNBP 面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6.（3）存在，443y x =-；（4）103或24.5【解析】【分析】（1）做适当的辅助线，过M 点作MG x ⊥轴于G 点．过A 点作AD x ⊥轴于D 点，利用三角形相似的判定定理证明两个三角形相似，根据对应边成比例，从而可得答案；（2）根据坐标先求解,,,OM OA OP OB 长度，再证明,MOP AOB ∽再利用相似三角形的性质证明//,MP AB 证明四边形MNBP 为平行四边形，再列面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可；（3）先判断存在，通过观察图形知，当直线l 过MNBP 的对角线交点时，总能平分其面积；再利用平行四边形的性质求解对角线的中点坐标，从而可得答案；（4）当0t <＜2时，证明AOP PBN ∽，利用三角形相似，对应边成比例，求解时间,t 再利用等面积法求解点N 到直线OA 的距离即可．当0t =时，利用等面积法直接求解即可，当2t =不合题意，舍去．【详解】解：（1）过M 点作MG x ⊥轴于G 点．过A 点作AD x ⊥轴于D 点．则90,//,MGO MG AD ∠=︒90,//,QOB MN OB ∠=︒ 18090,OQM QOB ∴∠=︒-∠=︒四边形QOGM 为矩形，则2,MG OQ t == ()()()0,0,3,4,6,0O A B ，,AD OB ⊥()3,0D ∴，3,4,OD AD ==//,MQ AD MOG AOD ∴ ∽，∴OG MG OD AD =，即234OG t =∴32OG t =∴3,22M t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）∵()32,,3,4,2OQ t QM t OG A ===22225,345,2OM OQ QM t OA ∴=+==+= ()3,60,OP t B =，6,OB ∴=5132,526t OM t OP t OA OB∴====,MOP AOB ∠=∠ ,MOP AOB ∴ ∽,MPO ABO ∴∠=∠//,MP AB ∴//,MN OB ∴四边形MNBP 为平行四边形∵2(63)26(1)6MNBP S BP OQ t t t =⋅=-⨯=--+ ，0 ＜t ＜2,（当0t =或2t =时，四边形不存在）而6a =-，∴当1t =时，S 取最大值6∴四边形MNBP 面积不存在最小值，存在最大值，最大值为6.（3）存在．理由如下：连接,BM 交PN 于,H由（2）得：四边形PBNM 为平行四边形，∴过H 的任意直线都平分MNBP 的面积，,MH BH =()3,2,6,0,2M t t B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以由中点坐标公式可得：33,4H t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即l 过点H ，33,4x t y t⎧=+⎪∴⎨⎪=⎩33,4x y ∴=+∴4:43l y x =-（4）如图，当0t <＜2时，()()3,4,6,0,5,A B AO = ()()2236405,AB ∴=-+-=5,AB AO ∴==,AOB ABO ∴∠=∠∵,OAP BPN ∠=∠∴AOP PBN∽∴AO OP PB BN =，即5363BNt t =-，//,MN OB ,,AMN AOB ANM ABO ∴∠=∠∠=∠,AMN ANM ∴∠=∠,AM AN ∴=5,2OM BN t ∴==53,6352t t t ∴=-∴1211,018t t ==，经检验；11118t =是原方程的根，20t =是增根，舍去，此时：2563,6MN PB t ==-=112,9OQ t ==如图，过N 作NK AO ⊥于,K 112,2ABC OBN AON S OB AD S S =⨯⨯==+ 11116512,292NK ∴⨯⨯+⨯⨯=10.3NK ∴=当0t =时，0,OAP BPN ∠=∠=︒此时N 到OA 的距离是B 到OA 的距离，设这个距离为,h 由等面积法可得：11,22OA h OB AD = 564,h ∴=⨯24.5h ∴=当2t =时，不合题意，舍去．综上：N 到OA 的距离为：103或24.5【点睛】本题考查了平面图形中动点的综合性问题，涉及动点的轨迹，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的定义与性质，矩形的判定与性质，图形与坐标，列二次函数的关系式，二次函数的性质，解题的关键是：灵活应用基础知识；注意知识的系统化．26.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或1031,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x=求出“雁点”坐标即可；（2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EMH 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴2440ac ∆=-=∵4c a=∵1a >∴04c <<②将4c a =代入，得2440E E ax x a++=解得2k x a =-，∴22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x a α=++，令0y =有2450ax x a ++=解得41,N M x x a a =-=-∴4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH =2a ，MH =242()a a a ---=∴2EH MH a ==∴EMH 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H 设C （m ，m ），P （x ，y ）∵△CPB 为等腰三角形，∴PC =PB ，∠CPB =90°，∴∠KPB +∠HPC =90°，∵∠HPC +∠HCP =90°，∴∠KPB =∠HCP ，∵∠H =∠PKB =90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+=∴315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB ∴KP =JB ，KC =JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ，即3x m yy m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122+1021022x x -==，∴2103(,)22P +或2103(,)22P -如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC =TP ，RP =TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y-=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122102-10,=22x x +=∴此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或2+103()22，或2103()22-，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．。
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案解析
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2-的绝对值是( )A ．2-B ．2C ．12D ．12- 2．（3分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A ．可回收物B ．其他垃圾C ．有害垃圾D ．厨余垃圾4．（3分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是( )A ．0.339B ．3.39C ．33.9D ．3395．（3分）下列运算正确的是( )A ．235a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．347()a a =D ．32a a a ÷=6．（3分）下列说法正确的是( )A ．“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B ．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C ．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D ．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是137．（3a 的取值范围是( )A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a8．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是( )A ．38，39B ．35，38C ．42，39D ．42，359．（3分）不等式组2123x x x +⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．10．（3分）下列命题为假命题的是( )A ．对角线相等的平行四边形是矩形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据： 1.414，≈)1.7322.236)(A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m12．（3分）如图，在四边形ABCD中，90∠．设AB CD，AC平分DABBAC=，//∠=︒，6=，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()AB x=，AD yA．B．C．D．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：221++=．x x14．（3=．15．（3分）计算：2422aa a+=++．16．（3分）如图，在ABC∆中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若8AC=，15BC=，则ACD∆的周长为．17．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留)π18．（3分）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10AE m=，30BDG∠=︒，60BFG∠=︒．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为m．（结果精确到0.1m 1.732)≈三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）先化简，再求值．+-++，其中1a b a b b a b()()(2)b=-．a=，220．（6分）如图，在ABC=．=．求证：AD AE ∆中，AB AC=，D、E是BC边上的点，且BD CE21．（8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．22．（8分）冰墩墩(Bing Dwen)Dwen、雪容融(Shuey Rhon)Rhon分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？23．（8分）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于(3,1)A，(1,)B n-两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．24．（8分）如图，AB为O的直径，过圆上一点D作O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作//OE AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与O相切吗？并说明理由；（2）若2CD=，求DE的长．CA=，425．（10分）如图，已知抛物线22=--交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下y x x方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b=-+与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作//PM y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使CMN∆相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；∆与OBC若不存在，请说明理由．26．（12分）如图，在菱形ABCD中，4AB=，60∠=︒，点P从点A出发，沿线段ADBAD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ AB⊥于点Q，作PM AD⊥交直线AB于点M，交直线BC于点F，设PQM∆与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒)．（1）当点M与点B重合时，求t的值；（2）当t为何值时，APQ∆与BMF∆全等；（3）求S与t的函数关系式；t时，求点E运动路径的长．（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当242022年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2-的绝对值是()A．2-B．2C．12D．12-【分析】根据绝对值的定义，可直接得出2-的绝对值．【解答】解：|2|2-=，故选：B．2．（3分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是()A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【解答】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．3．（3分）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A ．可回收物B ．其他垃圾C ．有害垃圾D ．厨余垃圾【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A ．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B ．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．4．（3分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是( )A ．0.339B ．3.39C ．33.9D ．339【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【解答】解：339000万93390000000 3.3910==⨯，3.39a ∴=，故选：B ．5．（3分）下列运算正确的是( )A ．235a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．347()a a =D ．32a a a ÷=【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的乘法判断B 选项；根据幂的乘方判断C 选项；根据同底数幂的除法判断D 选项．【解答】解：A 选项，2a 与3a 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B 选项，原式7a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式a =，故该选项符合题意；故选：D ．6．（3分）下列说法正确的是( )A ．“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B ．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C ．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D ．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是13【分析】根据三角形内角和定理判断A 选项；根据普查与抽样调查判断B 选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C 选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D 选项．【解答】解：A 选项，三角形内角和为180︒，故该选项符合题意；B 选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C 选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D 选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A ．7．（3a 的取值范围是( )A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围．【解答】解：由题意得：10a -，1a ∴，故选：B ．8．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是( )A ．38，39B ．35，38C ．42，39D ．42，35【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．9．（3分）不等式组2123xx x+⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是()A．B．C．D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解答】解：2123xx x+⎧⎨<+⎩①②，解①得1x-，解②得3x<．则表示为：故选：A．10．（3分）下列命题为假命题的是() A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；故选：C．11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据： 1.414，1.7322.236)(≈)A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为xm，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为x m，则上部高度是(2)x m-，雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴22x xx-=，解得1x=-或1x=（舍去），经检验，1x是原方程的解，1 1.24x∴=≈，故选：B．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，//AB CD ，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )A ．B ．C ．D ．【分析】先证明CD AD y ==，过D 点作DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【解答】解：过D 点作DE AC ⊥于点E ．//AB CD ，ACD BAC ∴∠=∠， AC 平分DAB ∠，BAC CAD ∴∠=∠，ACD CAD ∴∠=∠，则CD AD y ==，即ACD ∆为等腰三角形，则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ∴===，90AED ∠=︒， BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒，ABC AED ∴∆∆∽， ∴AC AB AD AE=， ∴63x y =， 18y x∴=， 在ABC ∆中，AB AC <，6x ∴<，故选：D ．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．14．（3= 4 ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式4==．故答案为：415．（3分）计算：2422a a a +=++ 2 ． 【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++ 242a a +=+ 2(2)2a a +=+ 2=，故答案为：2．16．（3分）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若8AC =，15BC =，则ACD ∆的周长为23．【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD BD=，进而可得ACD∆的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，AD BD∴=，ACD∴∆的周长为：81523AC CD AD AC CD BD AC BC++=++=+=+=．故答案为：23．17．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了4πcm．（结果保留)π【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120︒的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120︒所对应的弧长，即12064 180ππ⨯=，故答案为：4π．18．（3分）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10AE m=，30BDG∠=︒，60BFG∠=︒．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为10.2 m ．（结果精确到0.1m 1.732)≈【分析】首先证明10BF DF ==，在Rt BFG ∆中，根据三角函数定义求出BG 即可解决问题．【解答】解：60BFG ∠=︒，30BDG ∠=︒，603030DBF ∴∠=︒-︒=︒，DBF BDF ∴∠=∠，10DF BF AE ∴===，Rt BFG ∆中，sin BG BFG BF ∠=，∴10BG =，5 1.7328.66BG ∴==⨯≈，8.66 1.510.2()BC BG CG m ∴=+=+≈．答：大雁雕塑BC 的高度约为10.2m ．故答案为：10.2．三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）先化简，再求值．()()(2)a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把1a =，2b =-代入计算即可．【解答】解：()()(2)a b a b b a b +-++2222a b ab b =-++22a ab =+，将1a =，2b =-代入上式得：原式2121(2)=+⨯⨯-14=-3=-．20．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =．求证：AD AE =．【分析】由“SAS ”可证ABD ACE ∆≅∆，可得AD AE =．【解答】证明：AB AC =，B C ∴∠=∠， 在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=．21．（8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是120人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“B．七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率=频数总数即可求出答案，进而补全条形统计图；（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（3）求出样本中参与“A．测量”所占的百分比，进而估计总体中“A．测量”的百分比，求出相应人数即可；（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）调查学生总数为3630%120÷=（人)，选择“E．数学园地设计”的有120303036618----=（人)，故答案为：120，补全统计图如下：（2）3036090120︒⨯=︒，故答案为：90；（3）301200300120⨯=（人)，答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为21 2010=．22．（8分）冰墩墩(Bing Dwen)Dwen、雪容融(Shuey Rhon)Rhon分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x 元/个，雪容融的进价为y 元/个，由题意可得：1551400136x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得7264x y =⎧⎨=⎩， 答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；（2）设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进(40)a -个，利润为w 元，由题意可得：2820(40)8800w a a a =+-=+，w ∴随a 的增大而增大，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，1.5(40)a a ∴-，解得24a ，∴当24a =时，w 取得最大值，此时992w =，4016a -=，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．23．（8分）如图，反比例函数m y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于(3,1)A ，(1,)B n -两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【分析】（1）把(3,1)A 代入m y x=可得3m =，即得反比例函数关系式为3y x =，从而(1,3)B --，将(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+即可得一次函数的关系式为2y x =-；（2）在2y x =-中得(0,2)C -，设3(,)M m m，(,2)N n n -，而(0,0)O ，由CM 、ON 中点重合列方程组可得M 或(M ．【解答】解：（1）把(3,1)A 代入m y x=得： 13m =， 3m ∴=，∴反比例函数关系式为3y x=； 把(1,)B n -代入3y x=得： 331n ==--， (1,3)B ∴--，将(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+得：313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得12k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数的关系式为2y x =-； 答：反比例函数关系式为3y x=，一次函数的关系式为2y x =-；（2）在2y x =-中，令0x =得2y =-，(0,2)C ∴-， 设3(,)M m m，(,2)N n n -，而(0,0)O ， 四边形OCNM 是平行四边形，CM ∴、ON 的中点重合，003220m n n m +=+⎧⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ⎧=⎪⎨⎪⎩M ∴或(；24．（8分）如图，AB 为O 的直径，过圆上一点D 作O 的切线CD 交BA 的延长线于点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．（1）直线BE 与O 相切吗？并说明理由；（2）若2CA =，4CD =，求DE 的长．【分析】（1）连接OD ，理由切线的性质可得90ODE ∠=︒，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE 平分DOB ∠，从而可得DOE EOB ∠=∠，进而可证DOE BOE ∆≅∆，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设O 的半径为r ，先在Rt ODC ∆中，利用勾股定理求出r 的长，再利用（1）的结论可得DE BE =，最后在Rt BCE ∆中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）直线BE 与O 相切，理由：连接OD ，CD 与O 相切于点D ，90ODE ∴∠=︒，//AD OE ，ADO DOE ∴∠=∠，DAO EOB ∠=∠，OD OA =，ADO DAO ∴∠=∠，DOE EOB ∴∠=∠，OD OB =，OE OE =，()DOE BOE SAS ∴∆≅∆，90OBE ODE ∴∠=∠=︒， OB 是O 的半径，∴直线BE 与O 相切；（2）设O 的半径为r ，在Rt ODC ∆中，222OD DC OC +=，2224(2)r r ∴+=+，3r ∴=，26AB r ∴==，268BC AC AB ∴=+=+=，由（1）得：DOE BOE ∆≅∆，DE BE ∴=，在Rt BCE ∆中，222BC BE CE +=，2228(4)BE DE ∴+=+，2264(4)DE DE ∴+=+，6DE ∴=，DE ∴的长为6．25．（10分）如图，已知抛物线22y x x =--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作//PM y 轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN ∆与OBC ∆相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令0x =和翻折的性质可得(0,2)C ，令0y =可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出图象W 的解析式；（2）利用数形结合找出当y x b =-+经过点C 或者y x b =-+与22y x x =--相切时，直线y x b =-+与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y x b =-+经过点(0,2)C 时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b 值；②当y x b =-+与22y x x =--相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式△0=，即可求出b 值．综上即可得出结论；（3）先确定BOC ∆是等腰直角三角形，分三种情况：90CNM ∠=︒或90MCN ∠=︒，分别画图可得结论．【解答】解：（1）当0x =时，2y =-，(0,2)C ∴，当0y =时，220x x --=，(2)(1)0x x -+=，12x ∴=，21x =-，(1,0)A ∴-，(2,0)B ，设图象W 的解析式为：(1)(2)y a x x =+-，把(0,2)C 代入得：22a -=，1a ∴=-，2(1)(2)2y x x x x ∴=-+-=-++，∴图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式为：22(12)y x x x =-++-<<；（2）由图象得直线y x b =-+与图象W 有三个交点时，存在两种情况：①当直线y x b =-+过点C 时，与图象W 有三个交点，此时2b =；②当直线y x b =-+与图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数图象相切时，如图1，22x b x x -+=-++，2220x x b -+-=，△2(2)41(2)0b =--⨯⨯-=，3b ∴=，综上，b 的值是2或3；（3）2OB OC ==，90BOC ∠=︒，BOC ∴∆是等腰直角三角形，如图2，//CN OB ，CNM BOC ∆∆∽，//PN y 轴，(1,0)P ∴；如图3，//CN OB ，CNM BOC ∆∆∽，当2y =时，222x x --=，240x x --=，1x ∴2x =，P ∴，0)； 如图4，当90MCN ∠=︒时，OBC CMN ∆∆∽，CN ∴的解析式为：2y x =+，222x x x ∴+=--，11x ∴=+21x =（舍)，(1P ∴+，0)，综上，点P 的坐标为(1,0)或，0)或(1+0)． 26．（12分）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM ∆与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒)．（1）当点M 与点B 重合时，求t 的值；（2）当t 为何值时，APQ ∆与BMF ∆全等；（3）求S 与t 的函数关系式；（4）以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t 时，求点E 运动路径的长．【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；（2）分两种情况：①当02t 时，②当24t <时，由全等三角形的性质得出关于t 的方程，解方程可得出答案；（3）分两种情况：①当02t 时，②当24t <时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；（4）连接AE ，由直角三角形的性质得出PAE ∠为定值，则点E 的运动轨迹为直线，求出AE 的长，则可得出答案．【解答】解：（1）M 与B 重合时，如图1，PQ AB ⊥，90PQA ∴∠=︒，122PA AB ∴==， 2t ∴=；（2）①当02t 时，2AM t =，42BM t ∴=-，APQ BMF ∆≅∆，AP BM ∴=，42t t ∴=-，43t ∴=； ②当24t <时，2AM t =，24BM t ∴=-，APQ BMF ∆≅∆，AP BM ∴=，24t t ∴=-，4t ∴=；综上所述，t 的值为4或43； （3）①02t 时，如图2，在Rt APQ ∆中，PQ ， 32MQ t ∴=，2113222S PQ MQ t ∴=⋅=⨯=； ②当24t <时，如图3，2BF t =-，2)MF t =-，212)2BFM S BF MF t ∆∴=⋅-，2PQM BFM S S S ∆∆∴=-=+-22(02)4)t S t ∴=⎨⎪+-<⎪⎩； （4）连接AE ，如图4，PQE ∆为等边三角形，PE ∴， 在Rt APE ∆中，2tan PE PAE PA t ∠===， PAE ∴∠为定值，∴点E 的运动轨迹为直线，AP t =，AE ∴===， 当2t =时，AE =，当4t =时，AE =E ∴点运动路径长为=。
(版)湖南省衡阳市中考数学试题及答案及答案【Word版】
2021 年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数学一、选择题〔本大题共12个小题，每题 3分，总分值 36分。
在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目 要求的。
〕 01．2的倒数是【 B 】 A ．1B ． 1C ．2D．222 A 】02．以下图案中不是轴对称图形的是【A ．B ．C ．D ． 03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。
我国新修订的?环境空气质量标准?中增加了PM 监测指标，“ PM 〞是指大气中危害健康的直径小于或等于微米的颗粒物。
微米即 米。
用科学记数法表示 为【 C 】A ． 105B ． 105C ． 106D ．10604．假设一个多边形的内角和是 900o，那么这个多边形的边数为【 C 】A ．5B ．6C ．7D ．8 05．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。
如图描述了小明在散步过程中 离家的距离S 〔米〕与散步所用的时间 t 〔分〕之间的函数关系。
根据图象，以下信息错误的选项是【 A 】 A ．小明看报用时 8分钟 B ．公共阅报栏距小明家 200米 C ．小明离家最远的距离为 400D ．小明从出发到回家共用时16分钟 06．以下运算结果正确的选项是【 D 】 A ．x 2 x 3 x 5 B ．x 3gx 2 x 6 C ．x 5xx 5 2D ．x 3g3x9x5 x ＞ 007．不等式组1 的解集在数轴上表示为【 A 】 8 ≤0 4xA ．B ．08．以下因式分解中正确的个数为【C ．D ．】①x 32xyxxx 22y ；②x 24x 42③x 2y 2xyxy 。
x2； A ．3个 B ．2个 C ．1个 D．0个09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，那么下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【B 】A ．B ．C ．D ．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12 米， 斜坡AB 的坡度i ，那么坝底AD 的长度为【 D 】A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米11．圆心角为120o ，弧长为12的扇形半径为【C 】A ．6B ．9 D C．18D．3612．以下命题是真命题的是【 】A ．四条边都相等的四边形是矩形B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题〔本大题共 8个小题，每题3分，总分值24分。
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）2-的绝对值是()A．2-B．2C．12D．12-【分析】根据绝对值的定义，可直接得出2-的绝对值．【解答】解：|2|2-=，故选：B．2．（3分）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是()A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【解答】解：从正面看，可得如下图形，故选：A．3．（3分）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是() A．可回收物B．其他垃圾C ．有害垃圾D ．厨余垃圾【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A ．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C ．4．（3分）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是()A ．0.339B ．3.39C ．33.9D ．339【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【解答】解：339000万93390000000 3.3910==⨯，3.39a ∴=，故选：B ．5．（3分）下列运算正确的是()A ．235a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．347()a a =D ．32a a a÷=【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的乘法判断B 选项；根据幂的乘方判断C 选项；根据同底数幂的除法判断D 选项．【解答】解：A 选项，2a 与3a 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B 选项，原式7a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式a =，故该选项符合题意；故选：D ．6．（3分）下列说法正确的是()A ．“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B ．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C ．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D ．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是13【分析】根据三角形内角和定理判断A 选项；根据普查与抽样调查判断B 选项；根据抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C 选项；根据三种信号灯持续的时间一般不相等判断D 选项．【解答】解：A 选项，三角形内角和为180︒，故该选项符合题意；B 选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；C 选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；D 选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；故选：A ．7．（3a 的取值范围是()A ．1a >B ．1a ≥C ．1a <D ．1a ≤【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围．【解答】解：由题意得：01-a ≥，即1a ≥，故选：B ．8．（3分）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是()A ．38，39B ．35，38C ．42，39D ．42，35【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，众数为42，中位数为39，故选：C．9．（3分）不等式组2123xx x+⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是()A．B．C．D．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解答】解：2123xx x+⎧⎨<+⎩①②，解①得1x-，解②得3x<．则表示为：故选：A．10．（3分）下列命题为假命题的是()A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A 是真命题，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 是真命题，不符合题意；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C 是假命题，符合题意；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D 是真命题，不符合题意；故选：C ．11．（3分）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m ．参考数据： 1.414≈，1.732≈ 2.236)(≈)A ．0.73mB ．1.24mC ．1.37mD ．1.42m【分析】设下部高为xm ，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为x m ，则上部高度是(2)x m -，雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴22x x x -=，解得1x =或1x =-（舍去），经检验，1x =-是原方程的解，1 1.24x ∴=-≈，故选：B ．12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，//AB CD ，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为()A ．B ．C ．D ．【分析】先证明CD AD y ==，过D 点作DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【解答】解：过D 点作DE AC ⊥于点E ．//AB CD ，ACD BAC ∴∠=∠，AC 平分DAB ∠，BAC CAD ∴∠=∠，ACD CAD ∴∠=∠，则CD AD y ==，即ACD ∆为等腰三角形，则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ∴===，90AED ∠=︒，BAC CAD ∠=∠ ，90B AED ∠=∠=︒，ABC AED ∴∆∆∽，∴AC AB AD AE=，∴63x y =，18y x ∴=， 在ABC ∆中，AB AC <，6x ∴<，故选：D ．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：221x x ++=2(1)x +．【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．14．（3=4．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式4===．故答案为：415．（3分）计算：2422a a a +=++2．【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++242a a +=+2(2)2a a +=+2=，故答案为：2．16．（3分）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若8AC =，15BC =，则ACD ∆的周长为23．【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD BD=，进而可得ACD∆的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段AB的垂直平分线，AD BD∴=，ACD∴∆的周长为：81523AC CD AD AC CD BD AC BC++=++=+=+=．故答案为：23．17．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了4πcm．（结果保留)π【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120︒的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120︒所对应的弧长，即12064 180ππ⨯=，故答案为：4π．18．（3分）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10AE m=，30BDG∠=︒，60BFG∠=︒．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度约为10.2m．（结果精确到0.1m．参考数据： 1.732)≈【分析】首先证明10BF DF==，在Rt BFG∆中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．【解答】解：60BFG∠=︒，30BDG∠=︒，603030DBF∴∠=︒-︒=︒，DBF BDF∴∠=∠，10DF BF AE∴===，Rt BFG∆中，sin BGBFGBF∠=，∴3102BG=，5 1.7328.66 BG∴==⨯≈，8.66 1.510.2()BC BG CG m∴=+=+≈．答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．故答案为：10.2．三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）先化简，再求值．()()(2)a b a b b a b+-++，其中1a=，2b=-．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把1a=，2b=-代入计算即可．【解答】解：()()(2)a b a b b a b+-++2222a b ab b=-++22a ab=+，将1a=，2b=-代入上式得：原式2121(2)=+⨯⨯-14=-3=-．20．（6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =．求证：AD AE =．【分析】由“SAS ”可证ABD ACE ∆≅∆，可得AD AE =．【解答】证明：AB AC = ，B C ∴∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=．21．（8分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是120人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“B．七巧板”的有36人，占调查人数的30%，根据频率=频数总数即可求出答案，进而补全条形统计图；（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（3）求出样本中参与“A．测量”所占的百分比，进而估计总体中“A．测量”的百分比，求出相应人数即可；（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．【解答】解：（1）调查学生总数为3630%120÷=（人)，选择“E．数学园地设计”的有120303036618----=（人)，故答案为：120，补全统计图如下：（2）30 36090120︒⨯=︒，故答案为：90；（3）301200300120⨯=（人)，答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，所以恰好选中B，E这两项活动的概率为21 2010=．22．（8分）冰墩墩(Bing Dwen)Dwen、雪容融(Shuey Rhon)Rhon分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进价为y元/个，由题意可得：1551400136x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进价为64元/个；（2）设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进(40)a -个，利润为w 元，由题意可得：2820(40)8800w a a a =+-=+，w ∴随a 的增大而增大，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，1.5(40)a a ∴-，解得24a ，∴当24a =时，w 取得最大值，此时992w =，4016a -=，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．23．（8分）如图，反比例函数m y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于(3,1)A ，(1,)B n -两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【分析】（1）把(3,1)A 代入m y x =可得3m =，即得反比例函数关系式为3y x=，从而(1,3)B --，将(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+即可得一次函数的关系式为2y x =-；（2）在2y x =-中得(0,2)C -，设3(,M m m ，(,2)N n n -，而(0,0)O ，由CM 、ON 中点重合列方程组可得M 或(M ，．【解答】解：（1）把(3,1)A 代入m y x =得：13m =，3m ∴=，∴反比例函数关系式为3y x =；把(1,)B n -代入3y x=得：331n ==--，(1,3)B ∴--，将(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+得：313k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的关系式为2y x =-；答：反比例函数关系式为3y x=，一次函数的关系式为2y x =-；（2）在2y x =-中，令0x =得2y =-，(0,2)C ∴-，设3(,)M m m，(,2)N n n -，而(0,0)O ， 四边形OCNM 是平行四边形，CM ∴、ON 的中点重合，003220m n n m +=+⎧⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，M ∴或(；24．（8分）如图，AB 为O 的直径，过圆上一点D 作O 的切线CD 交BA 的延长线于点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．（1）直线BE 与O 相切吗？并说明理由；（2）若2CD=，求DE的长．CA=，4【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得90∠=︒，然后利用平行线和等腰三角形ODE的性质可得OE平分DOB∆≅∆，最后利∠=∠，进而可证DOE BOE∠，从而可得DOE EOB用全等三角形的性质即可解答；（2）设O∆中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论 的半径为r，先在Rt ODC可得DE BE=，最后在Rt BCE∆中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）直线BE与O相切，理由：连接OD，相切于点D，CD与O∴∠=︒，ODE90，AD OE//∠=∠，∴∠=∠，DAO EOBADO DOE，=OD OA∴∠=∠，ADO DAO∴∠=∠，DOE EOB=，，OE OE=OD OB∴∆≅∆，()DOE BOE SASOBE ODE∴∠=∠=︒，90是O的半径，OB相切；∴直线BE与O（2）设O的半径为r，在Rt ODC ∆中，222OD DC OC +=，2224(2)r r ∴+=+，3r ∴=，26AB r ∴==，268BC AC AB ∴=+=+=，由（1）得：DOE BOE ∆≅∆，DE BE ∴=，在Rt BCE ∆中，222BC BE CE +=，2228(4)BE DE ∴+=+，2264(4)DE DE ∴+=+，6DE ∴=，DE ∴的长为6．25．（10分）如图，已知抛物线22y x x =--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作//PM y 轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN ∆与OBC ∆相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令0x =和翻折的性质可得(0,2)C ，令0y =可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出图象W 的解析式；（2）利用数形结合找出当y x b =-+经过点C 或者y x b =-+与22y x x =--相切时，直线y x b =-+与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y x b =-+经过点(0,2)C 时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b 值；②当y x b =-+与22y x x =--相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式△0=，即可求出b 值．综上即可得出结论；（3）先确定BOC ∆是等腰直角三角形，分三种情况：90CNM ∠=︒或90MCN ∠=︒，分别画图可得结论．【解答】解：（1）当0x =时，2y =-，(0,2)C ∴，当0y =时，220x x --=，(2)(1)0x x -+=，12x ∴=，21x =-，(1,0)A ∴-，(2,0)B ，设图象W 的解析式为：(1)(2)y a x x =+-，把(0,2)C 代入得：22a -=，1a ∴=-，2(1)(2)2y x x x x ∴=-+-=-++，∴图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式为：22(12)y x x x =-++-<<；（2）由图象得直线y x b =-+与图象W 有三个交点时，存在两种情况：①当直线y x b =-+过点C 时，与图象W 有三个交点，此时2b =；②当直线y x b =-+与图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数图象相切时，如图1，22x b x x -+=-++，2220x x b -+-=，△2(2)41(2)0b =--⨯⨯-=，3b ∴=，综上，b 的值是2或3；（3）2OB OC == ，90BOC ∠=︒，BOC ∴∆是等腰直角三角形，如图2，//CN OB ，CNM BOC ∆∆∽，//PN y 轴，(1,0)P ∴；如图3，//CN OB ，CNM BOC ∆∆∽，当2y =时，222x x --=，240x x --=，1x ∴=2x =，P ∴，0)；如图4，当90MCN ∠=︒时，OBC CMN ∆∆∽，CN ∴的解析式为：2y x =+，222x x x ∴+=--，11x ∴=+，21x =-（舍)，(1P ∴+，0)，综上，点P 的坐标为(1,0)或117(2，0)或(1+0)．26．（12分）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM ∆与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒)．（1）当点M 与点B 重合时，求t 的值；（2）当t 为何值时，APQ ∆与BMF ∆全等；（3）求S 与t 的函数关系式；（4）以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t 时，求点E 运动路径的长．【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；（2）分两种情况：①当02t 时，②当24t <时，由全等三角形的性质得出关于t 的方程，解方程可得出答案；（3）分两种情况：①当02t 时，②当24t <时，由直角三角形的性质及三角形的面积公式可得出答案；（4）连接AE ，由直角三角形的性质得出PAE ∠为定值，则点E 的运动轨迹为直线，求出AE 的长，则可得出答案．【解答】解：（1）M 与B 重合时，如图1，PQ AB ⊥ ，90PQA ∴∠=︒，122PA AB ∴==，2t ∴=；（2）①当02t 时，2AM t = ，42BM t ∴=-，APQ BMF ∆≅∆ ，AP BM ∴=，42t t ∴=-，43t ∴=；②当24t <时，2AM t = ，24BM t ∴=-，APQ BMF ∆≅∆ ，AP BM ∴=，24t t ∴=-，4t ∴=；综上所述，t 的值为4或43；（3）①02t 时，如图2，在Rt APQ ∆中，32PQ =，32MQ t ∴=，211322228S PQ MQ t ∴=⋅=⨯⨯=；②当24t <时，如图3，2BF t =-，2)MF t =-，213(2)22BFM S BF MF t ∆∴=⋅=-，238PQM BFM S S S ∆∆∴=-=-+-；2233(02)834)8t S t t ⎧⎪⎪∴=⎨⎪-+-<⎪⎩；（4）连接AE ，如图4，PQE ∆为等边三角形，PE ∴=，在Rt APE ∆中，332tan 2t PE PAE PA t ∠===，PAE ∴∠为定值，∴点E 的运动轨迹为直线，AP t =，72AE ∴===，当2t =时，AE =，当4t =时，AE =E ∴点运动路径长为-=．。
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2015年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共1２个小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．（3分)（2015•衡阳）计算(﹣1）0+|﹣2|的结果是（)A. ﹣３Ｂ．1C．﹣1 D．32.（３分）（2０１５•衡阳)下列计算正确的是(）A. ａ+a=2a B．b3•b3=2ｂ３C．ａ3÷ａ=a3Ｄ．（ａ5）２=a７３.（3分)(201５•衡阳)如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的,则这个几何体的俯视图是()Ａ. Ｂ．C．Ｄ．４.（3分）（２0１5•衡阳)若分式的值为0,则x的值为(）A. 2或﹣1 B．0C．2Ｄ．﹣15.（3分）（2０１5•衡阳）函数y=中自变量x的取值范围为（)A．ｘ≥０ B. x≥﹣1 C．x＞﹣1 D. x≥16.(3分)(2015•衡阳)不等式组的解集在数轴上表示为()B．C．Ｄ．A.7.(3分)(2０15•衡阳)已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为( )Ａ．1１Ｂ. 16 C. 17 D．1６或178．(3分)（２015•衡阳)若关于x的方程x2+3x＋ａ＝0有一个根为﹣１，则另一个根为（) A．﹣２B．２C．4 D. ﹣3９．(3分）（2015•衡阳）下列命题是真命题的是( )A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形10．（3分）(２015•衡阳)在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组７名同学积极捐出自己的零花钱,奉献自己的爱心,他们捐款的数额分别是(单位:元）50、20、5０、30、25、50、55,这组数据的众数和中位数分别是( )A．50元,30元 B. 50元，40元 C. 5０元,5０元Ｄ. 55元,50元11．（３分)(2０15•衡阳）绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多1０米.设绿地的宽为x米,根据题意，可列方程为( ）Ａ．x（x﹣10）＝900 B．ｘ(x+10）＝９00 C. 1０(ｘ+１0)＝９00 Ｄ. 2[ｘ+(x+10）]=90012．（3分）(2015•衡阳）如图,为了测得电视塔的高度AB,在Ｄ处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进１00米达到F处,又测得电视塔顶端Ａ的仰角为6０°，则这个电视塔的高度AB(单位:米)为（)Ａ. ５0 B. ５1 C．50+１D．１01二、填空题：本大题共8个小题，每小题３分，共24分。
1３．(3分)(20１5•衡阳）在﹣1,０，﹣2这三个数中,最小的数是．14.(3分)（２01５•衡阳）如图，已知直线a∥b，∠1＝1２０°，则∠2的度数是.15.(3分)(2０1５•衡阳）计算：﹣=.16．(３分）(2015•衡阳）方程的解为．1７．(3分）（2０15•衡阳)圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为(结果保留π).18．（３分）(2０1５•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、Ｂ两点的点Ｏ处,再分别取OA、OB的中点Ｍ、Ｎ,量得ＭN＝2０m，则池塘的宽度ＡＢ为m.19．(3分）(2０１5•衡阳)已知a＋ｂ＝3,a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为．２0.（3分）(2０15•衡阳）如图，△A1B1A２,△A2B2Ａ3,△Ａ３B3A4,…，△AｎＢn Aｎ+1都是等腰直角三角形,其中点A１、A2、…、Aｎ在x轴上，点B1、B2、…、B n在直线y＝x上,已知OA2＝1,则OA２015的长为.三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21．（６分)(2015•衡阳)先化简，再求值:a（a﹣2b)+(a+ｂ）２，其中a＝﹣1，ｂ=．22．（６分)（２０15•衡阳)为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格,根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（１）在扇形统计图中，“合格”的百分比为；（2)本次体质抽测中,抽测结果为“不合格”等级的学生有人;（３）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有人.2３.（6分)(2015•衡阳)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为Ａ(３，２)、B(３,5）、Ｃ(1,２）.（1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于ｘ轴对称的△A１B1C1;（2)把△ＡBC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB２C2，点Ｃ2在AB上．①旋转角为多少度?②写出点B２的坐标．２4．（6分)(2015•衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动,现准备从4名(其中两男两女）节目主持候选人中,随机选取两人担任节目主持人,请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率.25．(8分)（２015•衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示(当4≤x≤1０时,ｙ与ｘ成反比例).（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段ｙ与x之间的函数关系式．(2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？26．（8分)(２0１5•衡阳）如图，AB是⊙Ｏ的直径,点C、D为半圆Ｏ的三等分点,过点C作CＥ⊥AD，交AD的延长线于点Ｅ．(1）求证:CE是⊙O的切线;（2)判断四边形ＡOCD是否为菱形?并说明理由.２7.（10分）（2015•衡阳)如图，顶点M在ｙ轴上的抛物线与直线y=ｘ+1相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为２,连结AM、BM．（1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ABM的形状，并说明理由;(３)把抛物线与直线ｙ=x的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．２8.（10分)(２0１5•衡阳)如图,四边形OＡBC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点(与点O、Ａ不重合）,连接CＰ,过点P作PM⊥ＣP交ＡB于点D,且PM=CP，过点M 作MN∥OA，交BＯ于点Ｎ，连接ND、ＢM，设OP=ｔ．(１)求点Ｍ的坐标(用含ｔ的代数式表示）.(2）试判断线段ＭN的长度是否随点Ｐ的位置的变化而改变?并说明理由．（3)当t为何值时，四边形BNDM的面积最小.ﻬ2015年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
１．(３分)(2015•衡阳)计算(﹣1)0＋|﹣2｜的结果是(）A．﹣３ B. 1C．﹣1 D. 3考点：实数的运算;零指数幂.专题：计算题.分析:原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果.解答:解:原式＝１+2=３．故选D．点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．２．（３分)(2015•衡阳)下列计算正确的是()A. a＋a=2aB. ｂ3•b3=2b3C．a3÷a＝a3 D. (a5）2=ａ7考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析:根据合并同类项法则;同底数幂相乘,底数不变指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解:A、a＋a=2a，故本选项正确;B、ｂ3•b3=b3＋3=b6，故本选项错误；C、a3÷ａ=ａ3﹣1=a2,故本选项错误；D、(ａ5)２=ａ5×2=a10，故本选项错误．故选Ａ.点评:本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．3.(3分)（2015•衡阳)如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的,则这个几何体的俯视图是( ）Ａ. B．Ｃ. D.考点：简单组合体的三视图.专题: 常规题型．分析:根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案.解答:解：从上面看外边是一个矩形,里面是一个圆，故选：C．点评:本题考查了简单组合体的三视图,俯视图是从上面看得到的图形.4．(3分）(2015•衡阳）若分式的值为０，则ｘ的值为()A. 2或﹣１B．0C．2Ｄ. ﹣１考点：分式的值为零的条件.分析:分式的值为０的条件是:(1)分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备,缺一不可．据此可以解答本题．解答:解:由题意可得：x﹣２=0且x+1≠0，解得ｘ=2.故选:C．点评:此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意:“分母不为零”这个条件不能少．5．(３分）（2０１５•衡阳)函数y=中自变量x的取值范围为（）A．x≥0 B. x≥﹣１ C. ｘ＞﹣1 D. x≥１考点：函数自变量的取值范围.分析:根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.解答：解：根据题意得:x＋1≥0，解得:x≥﹣1．故选:Ｂ．点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：(1）当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(２）当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;（3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负．6．（３分)(２015•衡阳）不等式组的解集在数轴上表示为（)A．B. C.D.考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.分析:根据不等式的基本性质来解不等式组,两个不等式的解集的交集,就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示．解答:解:不等式组的解集为:﹣2≤x<１,其数轴表示为：故选A点评：不等式组的解集:不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解,然后再找它们的相交的公共部分(最好先在数轴上画出它们的解)，找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住:同小取小,同大取大；比大的小，比小的大,取中间;比大的大,比小的小，无解．7.（3分)(2015•衡阳)已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )A. 11 Ｂ．16 C．17 D．16或17考点: 等腰三角形的性质；三角形三边关系.专题：分类讨论．分析：分6是腰长和底边两种情况,利用三角形的三边关系判断,然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．解答:解:①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5,能组成三角形，周长=６+6+5=1７；②6是底边时,三角形的三边分别为6、５、５,能组成三角形，周长=6+５+５=1６．综上所述，三角形的周长为1６或17．故选D．点评:本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．8.（3分）(２0１５•衡阳）若关于x的方程x2+３x+ａ=0有一个根为﹣１,则另一个根为( )A. ﹣2 B．2Ｃ. 4D．﹣３考点: 根与系数的关系．分析:根据一元二次方程根与系数的关系,利用两根和,两根积，即可求出a的值和另一根．解答:解:设一元二次方程的另一根为x1,则根据一元二次方程根与系数的关系,得﹣１+x1=﹣３，解得:x1=﹣2.故选Ａ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣,ｘ1•x2＝．9.（3分)（２0１5•衡阳）下列命题是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｂ. 对角线相等的四边形是矩形Ｃ. 对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形考点: 命题与定理.专题：计算题.分析：根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法,对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定;根据菱形的判定方法,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,则可对C进行判定；根据正方形的判定方法,对角线互相垂直的矩形是正方形,则可对对D进行判定.解答:解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以Ａ选项为真命题;Ｂ、对角线相等的平行四边形是矩形，所以Ｂ选项为假命题;Ｃ、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形,所以D选项为假命题.故选A.点评：本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.10.(３分）(2015•衡阳)在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：元)5０、２0、50、30、25、50、55，这组数据的众数和中位数分别是（）A. 5０元,30元Ｂ. 50元，40元C．５0元,50元D．55元，5０元考点：众数;中位数.分析:根据中位数的定义将一组数据从小到大(或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数;根据众数的定义找出出现次数最多的数即可.解答：解:50出现了3次,出现的次数最多,则众数是5０;把这组数据从小到大排列为:20,25，3０，5０，50,50,５5,最中间的数是５0，则中位数是50．故选C．点评：此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数,中位数是将一组数据从小到大（或从大到小)重新排列后,最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．11．(3分）(2015•衡阳)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为9００平方米的矩形绿地,并且长比宽多１0米．设绿地的宽为ｘ米，根据题意,可列方程为(）A. x（x﹣10）=9０0 B. x（ｘ+10)=９０0 C. １0（x+10)=9００D．2[x+（x＋1０）］=９0０考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题: 几何图形问题.分析：首先用x表示出矩形的长,然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．解答：解:设绿地的宽为x,则长为1０＋x；根据长方形的面积公式可得：x（x+1０)＝９０0．故选B.点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长×宽是解决本题的关键，此题难度不大．1２．（3分）(2015•衡阳)如图,为了测得电视塔的高度AB,在Ｄ处用高为1米的测角仪ＣD,测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进１００米达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度ＡB(单位:米）为(）Ａ．50B．5１ C. 5０+1 Ｄ. １0１考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：设AG=x，分别在Rt△AＥG和Rt△ACＧ中，表示出CG和GＥ的长度，然后根据ＤＦ=100ｍ,求出x的值,继而可求出电视塔的高度ＡH．解答：解：设ＡG=x，在Ｒｔ△AEＧ中,∵ｔan∠AEＧ＝,∴EG＝=x,在Rt△ACＧ中，∵tan∠AＣG＝，∴CＧ==x，∴x﹣ｘ=100，解得:x=5０．则AH＝50＋1(米）．故选C.点评：本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法.二、填空题:本大题共8个小题，每小题3分,共２4分。