结构化学 分子对称性
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结构化学－分子的对称性
第三章分子的对称性3.1 对称操作与对称元素3.2分子点群3.3 分子的对称性和分子的物理性质对称在自然界中普遍存在。
北京天坛北京地坛在化学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对称性。
有时会感觉这个分子对称性比那个分子高（如HF、H2O、NH3、CH4 、PF5 、SF6）。
如何表达、衡量各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些对称。
3.1 对称操作与对称元素•对称操作：是指不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原或与原分子等价的操作。
•对称元素：对称操作所依据的几何元素。
•对称元素与对称操作紧密联系又有区别。
•点操作：对于分子等有限物体，在进行操作时，物体中至少有一点是不动的，这种对称操作叫点操作。
点对称操作和相应的点对称元素旋转反映操作旋映轴S n反演操作对称中心I 反映操作对称面σ旋转操作对称轴（真轴）C n 恒等操作恒等元素E对称操作对称元素符号分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角度能使分子复原或与原分子等价，就称此轴为旋转轴，符号为C n 。
1. 对称轴C n和旋转操作旋转轴的性质C n 旋转轴能生成n 个旋转操作，记为：EC C C C C C n n n n n n n n ˆˆ,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆˆ1321=⋅⋅⋅=−m n m n b a nb n a n C C C C C ˆˆˆˆˆ22==⋅+•基转角：和C n 轴相应的基本旋转操作为Ĉn 1，它为绕轴转360˚/n 的操作，该旋转角度为基转角。
旋转角度按逆时针方向计算。
C n 旋转轴有如下性质：分子中若有多个旋转轴，轴次最高的轴一般叫主轴，其它的叫副轴。
通常将主轴取笛卡尔坐标的z轴。
旋转可以实际进行，旋转轴称为真轴。
分子中若存在一个平面，将分子两半部分互相反映而能使分子与原分子等价，则该平面就是对称面σ（镜面），这种操作就是反映。
=为奇数）（为偶数）n n E nσσˆ(ˆˆ2.对称面σ和反映操作和主轴垂直的镜面以σh 表示；通过主轴的镜面以σv 表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表示。
结构化学分子的对称性ppt课件
一个h阶有限群的乘法表由h行和h列组成，共h2个乘积； 设行坐标为x，列坐标为y，则交叉点yx,先操作x，再操作y；对 称操作的乘法一般是不可交换的，故应注意次序。
在群的乘法表中，每个元素在每一行和每一列中被列入一 次而且只被列入一次，不可能有两行或两列是全同的。每一行 或每一列都是群元素的重新排列，这就是群的重排定理。
作时分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元
素至少通过一个公共点。
19
以H2O为例来说明： H2O分子的对称操作的完全集合为
G Eˆ,Cˆ2 ,σˆV ,σˆV
20
Cˆ 2
σv
C2
σˆ v σ v
σˆ v
σ v
21
(a)满足封闭性：如：Cˆ2σˆv σˆv
(b)有恒等元素：恒等操作 Eˆ
(c)满足缔合性： Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2σˆv σˆv σˆvσˆv Eˆ
Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2 σˆvσˆv Cˆ2Cˆ2 Eˆ
(d)有逆元素： Cˆ21 Cˆ2 ,σˆv1 σˆv ,
22
(2) 群的乘法表
假若有一个有限群的h个元素的完全而不重复的名单，并 且知道所有可能的乘积(有h2个乘积)是什么，那么这个群就完全 而唯一地被定义了——至少在抽象地意义上是如此。上述概念 可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。
第二节 对称操作群与对称元素的组合
(1) 群的定义： 设元素A，B，C，属于集合G，在G中定义
有称之为“乘法”的某种组合运算。如果满足以 下四个条件，则称集合G构成群：
(a) 封闭性：设A和B为集合G中的任意两个元素， 且AB＝C，则C也必是集合G中的一个元素；
(b) 恒等元素：在集合G中必有一个恒等元素E，满 足RE＝ER＝R，R是集合G中任意一个元素。
在群的乘法表中，每个元素在每一行和每一列中被列入一 次而且只被列入一次，不可能有两行或两列是全同的。每一行 或每一列都是群元素的重新排列，这就是群的重排定理。
作时分子中至少有一点不动；(2) 分子的全部对称元
素至少通过一个公共点。
19
以H2O为例来说明： H2O分子的对称操作的完全集合为
G Eˆ,Cˆ2 ,σˆV ,σˆV
20
Cˆ 2
σv
C2
σˆ v σ v
σˆ v
σ v
21
(a)满足封闭性：如：Cˆ2σˆv σˆv
(b)有恒等元素：恒等操作 Eˆ
(c)满足缔合性： Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2σˆv σˆv σˆvσˆv Eˆ
Cˆ2σˆvσˆv Cˆ2 σˆvσˆv Cˆ2Cˆ2 Eˆ
(d)有逆元素： Cˆ21 Cˆ2 ,σˆv1 σˆv ,
22
(2) 群的乘法表
假若有一个有限群的h个元素的完全而不重复的名单，并 且知道所有可能的乘积(有h2个乘积)是什么，那么这个群就完全 而唯一地被定义了——至少在抽象地意义上是如此。上述概念 可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。
第二节 对称操作群与对称元素的组合
(1) 群的定义： 设元素A，B，C，属于集合G，在G中定义
有称之为“乘法”的某种组合运算。如果满足以 下四个条件，则称集合G构成群：
(a) 封闭性：设A和B为集合G中的任意两个元素， 且AB＝C，则C也必是集合G中的一个元素；
(b) 恒等元素：在集合G中必有一个恒等元素E，满 足RE＝ER＝R，R是集合G中任意一个元素。
结构化学-分子的对称性
通常，旋光性的对称性判据是有效的，但有两 种情况例外。 一种是分子中各基团之间的差别很小，导致
分子的旋光性很小以致于实际上观测不出来；
弱旋光性分子
另一种是由于分子中各基团的自由内旋转
存在，将造成基团的自由旋转存在， 从而消除了分子的旋光性
六螺烯分子
(H3CCHCONH)2
左手与右手互为 镜象. 你能用一种实 际操作把左手变成右 手吗？
对于手做不到的,
对于许多分子也做不 到. 这种分子我们称 具有旋光性。
一个分子能否与其镜像叠合，这是一个分子对称性问题。
我们说：当分子具有n重象转轴Sn时，则它可以与自己的镜
像叠合。
ˆ ˆ 对称操作 S n 是由两个操作即旋转C n和反映 σ 所组合的。 ˆ ˆ ˆ S n 操作中的反映将分子转变成它的镜像，而 S n操作如果
ˆ 是分子的对称操作，则 C n 转动将使分子与其镜像叠合： ˆ ˆ Cn σ 分子 镜像（分子） 转动了的镜像（分子）
由此可见，凡是具有Sn轴的分子，它能够与 其镜像完全叠合，这种分子没有旋光性。
ˆ ˆ 因为 S1 σ及 S 2 i ，所以，判断一个分子是否有旋 ˆ ˆ
光性的问题，可以归结为考察分子中是否有对称中心、 对称面和Sn轴的问题。凡是具有对称面、对称中心或 Sn轴的分子，没有旋光性；否则，有旋光性。 总结：当分子所属点群为Cn，Dn，T，O， I点群时，分子有旋光性，否则无旋光性。
极矩，同时也可以由分子有无偶极矩以及偶极矩的大
小了解分子结构的信息。 分子 C2H2 H2O2 C2H4 N2H4 μ(10-30C· m) 0 6.9 0 点群 D∞h 分子构型
C2 D2h C2v
6.1
分子
结构化学基础-4分子的对称性
S3 = h + C 3
S 4：
ˆ1 ˆ 1 ˆ 1 S 4 hC4
ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ1 S 4 h C4 C2 ˆ4 ˆ 4 ˆ 4 ˆ S 4 h C4 E
ˆ3 ˆ 3 ˆ 3 ˆ ˆ 3 S 4 h C4 h C4
S S 5：ˆ
S 4 的操作中既没有h，也没有C4，是真正的映轴
ˆ1 C4
4 3
iˆ
4 3 3 4 2 1
iˆ
2 1
ˆ1 C4
对称元素的独立性
• 分子中的某一对称元素，不依赖于分子内 的其它元素或元素的结合而独立存在。
不同轴次的I所包含的操作
I 1：
ˆ ˆ ˆ1 ˆ I11 i 1C1 i 1
ˆ ˆ1 ˆ I 2 i 1C 2 h
ˆ ˆ ˆ ˆ I12 i 2C12 E ˆ2 ˆ ˆ 2 ˆ I 2 i 2C 2 E
I 6 C3 h
由此可知：对于反轴In有 Cn + i In ＝ 2n个操作 n为奇数
Cn/2 + h n个操作 n为偶数但不是4的倍数
In n个操作 n为4的倍数(同时有Cn/2与
之重叠)
旋转反映操作和映轴
旋转反映操作：绕轴转360/n，接着按垂直于轴的镜面 进行反映
ˆ ˆ ˆ S C n h h C n 旋转轴Cn和垂直于Cn镜面h的组合
绕轴转360n接着按垂直于轴的镜面进行反映的组合不同轴次的s所包含的操作n个操作n为偶数但不是4的倍数2n个操作n为奇数n个操作n为4的倍数2nn为奇数n为4的倍数对称操作对称元素旋转第一类对称操作实操作旋转轴第一类对称元反演第二类对称操作虚操作对称中心第二类对称元反映镜面旋转反演在一定的坐标系下对物体进行对称操作使得其对应的坐标发生改变对这种坐标的变化关系可以使用矩阵来描述
结构化学分子的对称性
ˆ ˆ2 ˆ3 ˆn ˆ 2n ˆ 2n C 2n , C 2n , C 2n , , C 2n , , C 2n 1 , C 2n E
而
ˆ n n 2π 2π C ˆ C 2n 2 2n 2
ˆ C 2 z
x, y, z
2
x, y, z
1
ˆ i
ˆ σ xy
x, y, z
3
并延长到反方向等距离处而使分子复原,这一点就是对
称中心 i ,这种操作就是反演.
(4) 象转轴和旋转反映操作 反轴和旋转反演操作 旋转反映或旋转反演都是复合操作，相应的对 称元素分别称为象转轴Sn和反轴In . 旋转反映(或旋 转反演)的两步操作顺序可以反过来.
对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都
而唯一地被定义了——至少在抽象地意义上是如此。上述概念 可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。 一个h阶有限群的乘法表由h行和h列组成，共h2 个乘积； 设行坐标为x，列坐标为y，则交叉点yx,先操作x，再操作y；对 称操作的乘法一般是不可交换的，故应注意次序。 在群的乘法表中，每个元素在每一行和每一列中被列入一 次而且只被列入一次，不可能有两行或两列是全同的。每一行 或每一列都是群元素的重新排列，这就是群的重排定理。
四阶群只有两种，其乘法表如下
G4 E A B C E E A B C A A B C E B B C E A C C E A B G4 E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E
H2O分子的所有对称操作形成的C2v点群的乘法表如下：
G4
E E
ˆ C2 ˆ C2
ˆ 2 C 1C 1 , Cn ˆ n ˆ n
结构化学第四章分子对称性
X射线晶体学需要制备晶体样品，通过X射线照射晶 体并记录衍射数据，再通过计算机软件分析衍射数 据，最终得到分子的晶体结构。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
X射线晶体学对于理解分子结构和性质具有重要意义 ，尤其在化学、生物学和材料科学等领域中广泛应 用。
分子光谱方法
分子光谱方法是研究分子对称 性的另一种实验方法。通过分 析光谱数据，可以确定分子的 振动、转动和电子等运动状态 ，从而推断出分子的对称性。
04
分子的点群
点群的分类
80%
按照对称元素类型分类
分子点群可按照对称元素类型进 行分类，如旋转轴、对称面、对 称中心等。
100%
按照对称元素组合分类
分子点群可按照对称元素的组合 进行分类，如Cn、Dn、Sn等。
80%
按照分子形状分类
分子点群可按照分子的形状进行 分类，如线性、平面、立体等。
点群的判断方法
分子没有对称元素，如 NH3。
分子有一个对称元素， 如H2O。
分子有两个对称元素， 如CO2。
分子有多个对称元素， 如立方烷。
02
分子的对称性
对称面和对称轴
对称面
将分子分成左右两部分的面。
对称轴
将分子旋转一定角度后与原分子重合的轴。
对称中心
• 对称中心：通过分子中心点，将分子分成互为镜像的两部分。
具有高对称性的分子往往表现出较弱的磁性，因为它们具有较低的轨道和自旋分 裂能。相反，对称性较低的分子可能表现出较强的磁性，因为它们的轨道和自旋 分裂能较高。
对称性与化学反应活性
总结词
分子对称性对化学反应活性也有重要影响，可以通过对称性 分析来预测和解释分子的化学反应行为。
详细描述
具有高对称性的分子往往具有较低的反应活性，因为它们的 电子云分布较为均匀，难以发生化学反应。相反，对称性较 低的分子可能具有较高的反应活性，因为它们的电子云分布 较为不均匀，容易发生化学反应。
结构化学 04第四章 分子的对称性
所有分子都有无限多个C1旋转轴，因为绕通过分子 的任一直线旋转360o都使分子复原，是个恒等操作，常 用E表示。 E称为主操作，和乘法中的1相似。严格地说， 一个分子若只有E能使它复原，这个分子不能称为对称 分子，或只能看作对称分子的一个特例。在分子的对称 操作群中， E是一个不可缺少的元素。
Cn的轴次并不受限制，n可为任意正整数。分子中 常见的旋转轴有C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C∞等。
试 找 出 分 子 中 的 镜 面
4.1.4 旋转反演操作和反轴
反轴In的基本操作为绕轴转360o/n，接着按轴上的中心点进 行反演，In1 = iCn1。这个操作是Cn1和i相继进行的联合操作。I1
对称元素等于i；I2等于h；I3包括下列6个对称操作
I31 = iC31 , I32 = C32 , I33 = i ,
轴和 h组成；
◆当n为偶数而又不为4的整数倍时，Sn 可看作由Cn/2与i组成； ◆当n为4的整数倍时，Sn是个独立的对 称元素，而且Sn与Cn/2轴同时存在。
环辛四烯衍生物中的S4
(1) 重叠型二茂铁具有 S5， 所以, C5和与之垂直 的σ也都独立存在；
(2) 甲烷具有S4，所以, 只有C2与S4共轴，但C4和与 之垂直的σ并不独立存在.
左手与右手互为镜象. 你能用 一种实际操作把左手变成右手吗？
对于手做不到的, 对于许多分 子也做不到. 这种分子就是手性分 子.
结论：不能用实际操作将分子与其镜象完全迭合的分子
是手性分子，分子没有虚轴Sn ,也就没有σ、没有i、没有S4
（任何分子, 包括手性分子, 都能用―镜子‖产生镜象, 但手性分子本身并无镜面）.
I6 = C3 + h
结构化学第四章分子对称性精讲
共同对称元素：
6C5，10C3，15C2，等
对称操作：
E
12C5
i
12S10
12C52
20C3 15C2
12S103
20S6 15σ h=120
C60
四面体群Td
八面体群Oh
十二面体群 Id
11、线形分子
共同对称元素： C ，v 对于HCN，无对称中心，对称点群为 Cv 若有对称中心，如CO2，对称点群为Dh
ˆ n 1 , C ˆ (1) , C ˆ (1) , ,C n 2 2
ˆ (1) ,C 2
群阶：2n
D2 群
主轴C2垂直于荧光屏
6、Dnh点群 Cn+ nC2(Cn) + h Dnh
对称元素： Cn+ nC2(Cn) + h Dnh
n=偶数：Cn, nC2(Cn), h, In, nv, i n=奇数：Cn, nC2(Cn), h, I2n, nv
药物分子的不对称合成
对称性破缺在生命科学中产生了极为深远的影响，因为构成生命 的重要物质如蛋白质和核酸等都是由手性分子缩合而成，生物体中 进行的化学反应也受到这些分子构型的影响. 药物分子若有手性中心 ，则对映异构体对人体可能会有完全不同的作用，许多药物的有效 成份只有左旋异构体有活性, 右旋异构体无效甚至有毒副作用。例如 ，早期用于减轻妇女妊娠反应的药物酞胺哌啶酮因未能将R构型对映 体分离出去而导致许多胎儿畸形. 类似的情况还有很多，仅举几例, 它们的有效对映体和另一对映体的构型与作用如下：
手性有机化合物的合成方法主要有4种: （1）旋光拆分,（2）用 光学活性化合物作为合成起始物,（3）使用手性辅助剂,（4）使用手 性催化剂. 一个好的手性催化剂分子可产生10万个手性产物. 21世纪的第一个诺贝尔化学奖授予威廉· S· 诺尔斯、野依良治、 K· 巴里· 夏普莱斯, 就是表彰他们在手性催化反应方面的贡献.
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Cn，Cnh， Cnv， Cni， Sn， Dn， Dnh， Dnd, T, Th, Td, O, Oh, I, Ih
Point groups
Point groups are a way of classifying molecules in terms of their internal symmetry. Molecules can have many symmetry operations that result into indistinguishable configurations. Different collections of symmetry operations are organized into groups. These 11 groups were developed by Schoenflies.
C1:
only identity. Example: CHBrClF
Cs:
only a reflection plane. Example: CH2BrCl
Ci:
only a center of symmetry. Example: staggered 1,2-dibromo-1,2-
dichloroethane.
by reflection
绕轴旋转后按对 称中心反演
rotation followed by inversion
rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis
and then reflects across a
plane perpendicular to the
符号标记 Label
Eˆ ˆi Cˆ n ˆ Sˆ n
Iˆ n
对称元素 Symmetry element
恒等操作 identity
对称中心 center of symmetry or inversion center
n-重旋转轴 n-fold proper axis of
rotation 镜面
plane of symmetry
h, :v,
d,
Cn,(horizon)tal containsCn(vertic)al containsCn and ...
σ垂直于主轴
σ通过主轴
σ通过主轴，平分两副轴（C2轴）的夹角
旋转反映操作和映轴
旋转反演操作和反轴
对称元素的组合-1
1、两个旋转轴的组合
交角为2pi/2n的两个C2轴，在其交点上必定出 现一个垂直于这两个C2轴的Cn轴；
axis
rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis
and then projects through5 the center an equal distance
a)具有对称中心的
b)没有对称中心的
1 0 0 i0 1 0
0 0 1
inE, n iseven i, n isodd
In addition of being used to simplify calculations, two properties directly depend on symmetry: optical activity and dipole moments.
We consider equilibrium configurations, with the atoms in their mean positions.
n-重映轴 n-folபைடு நூலகம் improper axis
of rotation
n-重反轴 n-fold improper axis
of rotation
对称操作
Symmetry operation
不变 nothing
What does it do Nothing
按对称中心反演 projects through the center an
而垂直于Cn轴通过交点的平面内必有n个C2轴
对称元素的组合-2
2、两个镜面的组合
交角为2pi/2n的两个镜面相交，则其交线必为n
次轴Cn ； Cn轴和通过它的镜面组合，一定存在n个镜面，
相邻镜面的夹角为2pi/2n
对称元素的组合-3 3、偶次旋转轴和与它垂直的镜面的组合
一个偶次旋转轴和与它垂直的镜面的组合，必定在其 交点上出现对称中心---〉一个偶次旋转轴和对称中心
a)氨分子（NH3）的三重轴 b)水分子（H2O）的二重轴
x x '
C
k n
y
y
'
z z '
co2sk(/n) sin2k(/n) 0
Cnk sin2k(/n) co2sk(/n) 0
0
0
1
反映操作和镜面
1 0 0
xy0 1 0
0 0 1
nE, n iseven , n isodd
组合，必有垂直于轴的镜面；，，，
群的定义
1、封闭性： A ,B G ,A B C , C G
2、主操作：
A E E A A
3、逆操作： A G , A 1 G ,A 1 A A 1 A E
4、结合律：
A(B)C (A)B C
群的实例
群的乘法表 规则：先行后列，（列行）
分子点群的分类
Cn:
only a Cn center of symmetry.
Example of C2: hydrogen peroxide (not coplanar)
Cnv: only n-fold axis and n vertical (or dihedral) mirror planes.
inversion
equal distance
绕轴旋转 rotation
rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis
通过镜面反映 reflection
reflects across a plane
绕轴旋转后反映 rotation followed
第四章 分子的对称性
第七章 晶体结构的对称性
Symmetry is important in quantum mechanics for determining molecular structure and for interpreting spectroscopic information.
Point groups
Point groups are a way of classifying molecules in terms of their internal symmetry. Molecules can have many symmetry operations that result into indistinguishable configurations. Different collections of symmetry operations are organized into groups. These 11 groups were developed by Schoenflies.
C1:
only identity. Example: CHBrClF
Cs:
only a reflection plane. Example: CH2BrCl
Ci:
only a center of symmetry. Example: staggered 1,2-dibromo-1,2-
dichloroethane.
by reflection
绕轴旋转后按对 称中心反演
rotation followed by inversion
rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis
and then reflects across a
plane perpendicular to the
符号标记 Label
Eˆ ˆi Cˆ n ˆ Sˆ n
Iˆ n
对称元素 Symmetry element
恒等操作 identity
对称中心 center of symmetry or inversion center
n-重旋转轴 n-fold proper axis of
rotation 镜面
plane of symmetry
h, :v,
d,
Cn,(horizon)tal containsCn(vertic)al containsCn and ...
σ垂直于主轴
σ通过主轴
σ通过主轴，平分两副轴（C2轴）的夹角
旋转反映操作和映轴
旋转反演操作和反轴
对称元素的组合-1
1、两个旋转轴的组合
交角为2pi/2n的两个C2轴，在其交点上必定出 现一个垂直于这两个C2轴的Cn轴；
axis
rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis
and then projects through5 the center an equal distance
a)具有对称中心的
b)没有对称中心的
1 0 0 i0 1 0
0 0 1
inE, n iseven i, n isodd
In addition of being used to simplify calculations, two properties directly depend on symmetry: optical activity and dipole moments.
We consider equilibrium configurations, with the atoms in their mean positions.
n-重映轴 n-folபைடு நூலகம் improper axis
of rotation
n-重反轴 n-fold improper axis
of rotation
对称操作
Symmetry operation
不变 nothing
What does it do Nothing
按对称中心反演 projects through the center an
而垂直于Cn轴通过交点的平面内必有n个C2轴
对称元素的组合-2
2、两个镜面的组合
交角为2pi/2n的两个镜面相交，则其交线必为n
次轴Cn ； Cn轴和通过它的镜面组合，一定存在n个镜面，
相邻镜面的夹角为2pi/2n
对称元素的组合-3 3、偶次旋转轴和与它垂直的镜面的组合
一个偶次旋转轴和与它垂直的镜面的组合，必定在其 交点上出现对称中心---〉一个偶次旋转轴和对称中心
a)氨分子（NH3）的三重轴 b)水分子（H2O）的二重轴
x x '
C
k n
y
y
'
z z '
co2sk(/n) sin2k(/n) 0
Cnk sin2k(/n) co2sk(/n) 0
0
0
1
反映操作和镜面
1 0 0
xy0 1 0
0 0 1
nE, n iseven , n isodd
组合，必有垂直于轴的镜面；，，，
群的定义
1、封闭性： A ,B G ,A B C , C G
2、主操作：
A E E A A
3、逆操作： A G , A 1 G ,A 1 A A 1 A E
4、结合律：
A(B)C (A)B C
群的实例
群的乘法表 规则：先行后列，（列行）
分子点群的分类
Cn:
only a Cn center of symmetry.
Example of C2: hydrogen peroxide (not coplanar)
Cnv: only n-fold axis and n vertical (or dihedral) mirror planes.
inversion
equal distance
绕轴旋转 rotation
rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis
通过镜面反映 reflection
reflects across a plane
绕轴旋转后反映 rotation followed
第四章 分子的对称性
第七章 晶体结构的对称性
Symmetry is important in quantum mechanics for determining molecular structure and for interpreting spectroscopic information.