化工原理 热传导
化工原理3.2热传导
x
11
取dx的薄层，作热量衡算：
Qx
=
Q x + dx
+ dx ⋅
A⋅ ρ
⋅cp
∂t ∂θ
对于定态温度场
∂t ∂θ
=0
∴ Qx = Qx+dx = Q = const
傅立叶定律： Q = −λA dt dx
边界条件为：
x = 0时，t = t1 x = b时，t = t2
12
1 ln r4
λ1 r1
λ 2 r2
λ 3 r3
∑ =
2πl(t1 − t4 ) 3 1 ln ri+1
λ i=1 i
ri
（4）平壁：各处的Q和q均相等；
圆筒壁：不同半径r处Q相等，但q却不等
23
24
对于n层圆筒壁：
∑ ∑ ∑ Q＝2πn l
(t1 1
− tn+1) ln ri+1
=
λ i =1 i
ri
t1 − tn+1 ＝t1 − tn+1
n bi λ A i=1 i mi
n
Ri
i =1
Q = 2πr1lq1 = 2πr2lq2 = 2πr3lq3 = L r1q1 = r2q2 = r3q3 = L
25
例4-2-1 球形壁内的一维定态热传导 有一球形容器，内外壁半径分别为r1和r2，内外 壁温度分别为t1和t2，容器壁的导热系数为λ，试推 导此球形壁内的Q的计算式。
r = r2时，t = t2
∫ ∫ 得：
r2
t2
Qdr = − λ 2πrldt
r1
t1
λ不随t而变
化工原理习题及答案
化⼯原理习题及答案第四章传热⼀、名词解释1、导热若物体各部分之间不发⽣相对位移，仅借分⼦、原⼦和⾃由电⼦等微观粒⼦的热运动⽽引起的热量传递称为热传导（导热）。
2、对流传热热对流是指流体各部分之间发⽣相对位移、冷热流体质点相互掺混所引起的热量传递。
热对流仅发⽣在流体之中, ⽽且必然伴随有导热现象。
3、辐射传热任何物体, 只要其绝对温度不为零度(0K), 都会不停地以电磁波的形式向外界辐射能量, 同时⼜不断地吸收来⾃外界物体的辐射能, 当物体向外界辐射的能量与其从外界吸收的辐射能不相等时, 该物体就与外界产⽣热量的传递。
这种传热⽅式称为热辐射。
4、传热速率单位时间通过单位传热⾯积所传递的热量（W/m2）5、等温⾯温度场中将温度相同的点连起来，形成等温⾯。
等温⾯不相交。
⼆、单选择题1、判断下⾯的说法哪⼀种是错误的（）。
BA 在⼀定的温度下，辐射能⼒越⼤的物体，其⿊度越⼤；B 在同⼀温度下，物体吸收率A与⿊度ε在数值上相等，因此A与ε的物理意义相同；C ⿊度越⼤的物体吸收热辐射的能⼒越强；D ⿊度反映了实际物体接近⿊体的程度。
2、在房间中利⽤⽕炉进⾏取暖时，其传热⽅式为_______ 。
CA 传导和对流B 传导和辐射C 对流和辐射3、沸腾传热的壁⾯与沸腾流体温度增⼤，其给热系数_________。
CA 增⼤B 减⼩C 只在某范围变⼤D 沸腾传热系数与过热度⽆关4、在温度T时，已知耐⽕砖辐射能⼒⼤于磨光铜的辐射能⼒，耐⽕砖的⿊度是下列三数值之⼀，其⿊度为_______。
AA 0.85B 0.03C 15、已知当温度为T时，耐⽕砖的辐射能⼒⼤于铝板的辐射能⼒，则铝的⿊度______耐⽕砖的⿊度。
DC 不能确定是否⼤于D ⼩于6、多层间壁传热时，各层的温度降与各相应层的热阻_____。
AA 成正⽐B 成反⽐C 没关系7、在列管换热器中，⽤饱和蒸汽加热空⽓，下⾯两项判断是否正确： A甲、传热管的壁温将接近加热蒸汽温度；⼄、换热器总传热系数K将接近空⽓侧的对流给热系数。
化工原理传热
化工原理传热化工原理传热是化工领域中重要的一个学科，涉及到热传导、对流传热和辐射传热等方面。
它在工业生产中起到了重要的作用，有助于提高化工产品的生产效率和质量，也可以降低工业生产的成本。
本文将从热传导、对流传热和辐射传热三个方面介绍化工原理传热的相关知识。
一、热传导热传导是指在无外力驱动下热量沿着物体内部由高温区向低温区传递的现象。
它是工业生产中最基本的传热方式之一，常见的有平板换热器、卷帘换热器等。
热传导的传热系数受多种因素的影响，如物体的热导率、物体的导热截面积等。
因此在实际工业生产中，需要根据具体的情况选择不同的热传导设备和参数来实现传热。
二、对流传热对流传热是指热量通过物体与气体或液体流体的对流传递，也是化工工业中常用的传热方式之一。
对流传热的传热系数和物体表面的状态有关，如表面上的气流速度、温度和物体和流体之间的热阻等。
具体的对流传热设备包括了冷却塔、换热器等。
在实际生产中，需要根据不同流体的特性选择不同的对流传热设备。
三、辐射传热辐射传热是指热量通过介质之间的空气、真空等的辐射传递。
单从传热方式上来看，辐射传热与其他两种传热方式有很大的区别。
常见的辐射传热设备有电热炉、太阳能热水器等。
辐射传热的传热系数受多种因素的影响，如介质温度、表面发射系数等。
在实际生产中，需要根据不同的环境条件选择不同的辐射传热设备。
总体来说，化工原理传热是工业生产过程中必不可少的一个环节。
在实际生产中，需要根据具体的情况选择不同的传热方式，以提高生产效率和质量。
虽然热传导、对流传热和辐射传热在物理学原理方面各有不同，但它们在化工生产中的作用和意义都是相通的，同时也相互补充和共同影响。
因此，在进行化工原理传热的设计和应用时，需要综合考虑各种因素的综合影响，才能达到预期效果。
化工原理课件 热传导ppt
1 (0.15 0.29 0.228) 2.357 S 1.05 0.15 0.81 S
q Q t1 t4 1016 34 416.5W / m2 S SR 2.357
（2）求耐火砖和保温砖之间的界面温度t2
由 q1＝q＝Q/S＝l1(t1－t2)/b1
有 (t1－t2)＝qb1/l1＝416.5×0.15/1.05＝59.5 ℃
解：设外层平均直径为dm2，内层平均直径为dm1， 则：dm2＝2dm1，且 l2＝2l1
由导热速率方程知：
Q
t
t
41πdm1lt 5
1Sm1 2Sm2 1πdm1l 212πdm1l
14
两层材料互换位置后：
Q'
t
1πdm1lt
21πdm1l 1 2πdm1l
＝35℃。问：
（1）保温层的厚度最少应有多厚？
（2）假设管材的导热系数l1＝45W/(m.K)。问蒸汽管道壁的
温度降（t1－t2）是多少？
解：（1）
Q 2π2 (t2 t3 )
L
ln r3
r2
即：
150 2 3.14 0.15185
ln r3
0.0475
10
r3＝0.127 m 保温层的最小厚度应为： b2＝12－47.5＝79.5 mm （2）稳定传热，各层的导热量Q/L相同，对管材层，有：
0.37
2 0.37
5677W/m2
且
5677x
0.815t
1650
0.00076 (t
2
16502
化工原理实验传热实验报告
化工原理实验传热实验报告化工原理实验传热实验报告一、引言传热是化工过程中不可或缺的环节，对于提高反应速率和产品质量具有重要意义。
为了研究传热现象，我们进行了一系列的实验。
本实验旨在通过传热实验，探究传热的基本原理和影响因素，为化工过程的优化提供理论依据。
二、实验目的1. 了解传热的基本原理和传热方式；2. 掌握传热实验的基本方法和技巧；3. 分析传热过程中的影响因素。
三、实验原理1. 传热方式传热主要有三种方式：传导、对流和辐射。
传导是通过物质内部的分子传递热量，对流是通过流体的运动传递热量，辐射是通过电磁波传递热量。
2. 传热方程传热过程可以用传热方程来描述，常见的传热方程有热传导方程、牛顿冷却定律和斯特藩－玻尔兹曼定律。
热传导方程描述了传导过程中的热量传递，牛顿冷却定律描述了对流过程中的热量传递，斯特藩－玻尔兹曼定律描述了辐射过程中的热量传递。
3. 传热系数传热系数是描述传热能力的物理量，它与传热介质的性质和传热过程中的条件有关。
传热系数越大，传热能力越强。
四、实验装置和步骤1. 实验装置本实验采用了传热实验装置，包括传热试验台、传热介质、传热表面、传热源和传热计等。
2. 实验步骤（1）将传热试验台接通电源，使传热源加热。
（2）调节传热介质的流量和温度。
（3）通过传热计测量传热过程中的温度变化。
（4）记录实验数据，并进行数据处理和分析。
五、实验结果与分析通过实验测得的数据，我们可以计算传热系数和传热速率，进而分析传热过程中的影响因素。
1. 传热系数传热系数与传热介质的性质、传热表面的形状和条件有关。
通过实验数据的处理，我们可以计算得到传热系数，并与理论值进行比较，从而评估传热实验的准确性和可靠性。
2. 传热速率传热速率是描述传热过程中热量传递的快慢程度的物理量。
通过实验数据的处理，我们可以计算得到传热速率，并分析传热过程中的传热效率和能耗。
六、实验总结通过本次传热实验，我们深入了解了传热的基本原理和传热方式，掌握了传热实验的基本方法和技巧。
化工原理传热精品-PPT
主要内容
4、1 概述 4、2 热传导 4、3 对流传热概述 4、4 对流传热系数关联式 4、5 传热过程计算 4、6 辐射传热 4、7 换热器
2
基本要求
了解热传导基本原理,掌握傅立叶定律及平壁、圆筒 壁得热传导计算;
了解对流传热得基本原理、牛顿冷却定律及影响对流 传热得因素;掌握对流传热系数得物理意义和经验关联 式得用法、使用条件及注意事项;
Sm 2rmL
Sm
S2 S1 ln S2 / S1
圆筒壁得 对数平均
半径
rm
r2 r1 ln r2
r1
注:当 r2/r1<2时,可用算术平均值代替对数平均值。 44
2、多层圆筒壁得热传导
假设层与层之 间接触良好,即互 相接触得两表面温 度相同。
图4-12 多层圆筒壁热传导
45
2、 多层圆筒壁得热传导
微分导 热速率
dQ dS t
n
Q与温度 梯度方向
相反
导热系 数
温度梯 度
傅立叶定律表明导热速率与 温度梯度及传热面积成正比,而 热流方向却与温度梯度相反。
Δn ət/ən Q
32
3、 导热系数
dQ dS t
q t
n n
① 在数值上等于单位温度梯度下得热通量,故物质得
越大,导热性能越好。
② 是物质得固有性质,是分子微观运动得宏观表现。
加热剂
适用温度,℃
冷却剂 适用温度,℃
热水 饱和蒸汽 矿物油 联苯混合物 熔盐 烟道气加热剂
40～100 100～180 180～250 255～380(蒸汽) 142～530 ～1000
水 空气 盐水
0～80 >30 0～－15
化工原理第四章(热传导)
玻璃 云母 硬橡皮 锯屑 软木 玻璃棉
85%氧化镁
50 0-100 0-100
0-100 20
0-100 30 30 50 0 20 30
2020/12/8
0.17 0.15 1.28 1.04 0.12-0.21 0.69 0.047 0.050 1.09 0.43 0.15 0.052 0.043 0.041 0.070
（3）气体的导热系数 【特点】与液体和固体相比，气体的导热系数最小 ，对热传导不利，但却有利于保温、绝热。
2020/12/8
【温度的影响】 气体导热系数随温度升高而增大。
【压力的影响】 （1）在相当大的压强范围内，气体的导热系数随压 强的变化很小，可以忽略不计； （2）当气体压力很高（大于2000大气压）或很低（ 低于20毫米汞柱）时，应考虑压强的影响，此时导 热系数随压强增高而增大。
银 钢(1%)
船舶用金属
青铜 不锈钢 石墨
常用固体材料的导热系数
温度, ℃
300 18 100 18 53 100 100 100 18 30
20 0
导热系数W/(m2·℃)
230 94 377 61 48 33 57 412 45 113 189 16 151
石棉板 石棉 混凝土 耐火砖 保温砖 建筑砖 绒毛毯
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3、导热系数的变化规律 【一般规律】导热系数数值的变化范围很大。一般 来说，金属的导热系数最大，非金属固体次之，液 体较小，气体最小。
物质种类
λ
气体 液体
0.006～ 0.07～
0.6
0.7
非导固体 金属
绝热材料
0.2～3.0 15～420 <0.25
化工原理 传热 习题课公式
ln A 1
d1
二、对流给热 1.对流传热基本方程式---------牛顿冷却定律 t t t T TW tW t
Q At
1 A
R
T、t 平均温度
2.与对流传热有关的准数
l Nu
努塞尔数
lu Re
雷诺数
cp
对平壁或薄圆壁：
1 1 1 R1 R2 K 1 2
4、热量衡算式
热流体：无相变时 ，Q = ms1cp1( T1-T2 ) 有相变时， Q = ms1[r1+cp1( T1-T2 )] 冷流体：无相变时 ，Q = ms2cp2( t2-t1 ) 有相变时， Q = ms2[r2+cp2(t2-t1 )] 根据不同的情况计算传热量，如
2
3
1/ 3
Re 0.4 M
r g 0.725 dt
2
3
1/ 4
三、热辐射
斯蒂芬-波尔茨曼定律（四次方定律）
E0 T
4
斯蒂芬 波尔兹曼常数: 5.67 10 8W / m2 K 4
黑体发射系数：C0 5.67W / m 2 K 4
Pr
gtl 3 2 Gr 2
格拉斯霍夫数
普朗特数
3.流体在圆形直管中作强制对流
（1）强制湍流时：
对气体或低粘度的液体：
Nu 0.023Re Pr
0.8
b=
b
或
du 0.8 cp b 0.023 ( ) ( ) d
=0.4被加热 =0.3被冷却
对粘度高或温差较大的液体：
du 0.8 c p 0.33 0.14 0.027 ( ) ( ) ( ) d w
《化工原理传热》课件
导热问题的数学描述
导热问题的数学描述通常使 用偏微分方程，如热传导方 程。
解这些方程可以得到导热过 程中的温度分布、热流量等 参数。
通过建立数学模型，可以描 述导热过程中温度随时间和 空间的变化规律。
在实际应用中，还需要考虑 其他因素如边界条件、初始 条件等。
03
对流换热
对流换热基本概念
01
02
04
辐射换热
辐射换热基本概念
定义
01
物体通过电磁波传递能量的过程称为辐射换热。
辐射换热与物质属性
02
物体的辐射换热能力与其发射率、吸收率、反射率和透射率有
关。
辐射换热与温度
03
物体的辐射换热能力随温度升高而增强。
辐射换热计算方法
斯蒂芬-玻尔兹曼定律
描述了物体在绝对黑体条件下辐射换热的规律。
发射率修正
02
它主要通过物质分子、原子或分子的振动和相互碰 撞进行热量传递。
03
热传导是三种基本传热方式之一，另外两种是热对 流和热辐射。
傅里叶定律
傅里叶定律是热传导的基本定 律，它描述了热传导速率与温
度梯度之间的线性关系。
公式为：q = -k * grad(T)， 其中q为热流密度，k为导热 系数，grad(T)为温度梯度。
传热方式
01
02
总结词：传热主要有三 种方式：热传导、热对 流和热辐射。
详细描述
03
04
05
1. 热传导是指热量在物 质内部通过分子、原子 等微观粒子的运动传递 热量。不同物质导热能 力不同，金属是良好的 导热体。
2. 热对流是指由于物质 宏观运动引起的热量传 递过程，如气体、液体 等流动过程中热量的传 递。对流换热在化工、 能源、动力等领域有广 泛应用。
化工原理 传热 完整ppt课件
精选
18
3、热导率
QAddxtAQdt
dx
(1) 为单位温度梯度下的热通量大小(物理意义)
物质的越大，导热性能越好
(2) 是分子微观运动的宏观表现
= f(结构,组成,密度,温度,压力）
(3) 各种物质的导热系数
金属固体 > 非金属固体 > 液体 > 气体
传热
精选
1
第一节 概述
一、传热过程在化工生产中的应用
加热或冷却 换热/能量回用 保温
强化传热过程 削弱传热过程
精选
2
能量回收：节能减排、资源回用！ 同时，是化工厂提高经济效益的一个重要措施！
余热资源被认为是继煤、石油、天然气和水力之后的又一常规能源。
例如：钢铁行业烟气余热回收对比
余热没有回收
热交换器进行余热回收
流 体
间壁
流体与壁面之间的热量传递以对流方式为主，并伴有
流体分子热运动引起的热传导，通常把这一传热过程
称为对流传热。
精选
12
精选
13
6、传热速率方程式
传热过程的推动力是两流体的温度差，因沿传热 管长度不同位置的温度差不同，通常在传热计算 时使用平均温度差，以 t m 表示。经验指出，在稳 态传热过程中，传热速率Q与传热面积A和两流体 的温度差 t m 成正比。即得传热速率方程式为：
QKAtm1/tKmA总总 传热 热阻 推动力
式中 K ── 总传热系数，W/(m2·℃)或W/(m2·K)； Q ── 传热速率，W或J/s；
A ── 总传热面积，m2；
tm ── 两流体的平均精选温差，℃或K。
14
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A
qQ A
t b
t r
R——导热热阻，K/W ；
r——单位面积的导热热阻 。
传导距离b越大，传热面积和导热系数越小，传导热阻越大
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[例4-1] 某平壁厚度为0.37m，内表面温度t1为1650℃，外表
面 温 度 t2 为 300 ℃ ， 平 壁 材 料 的 热 传 导 系 数 λ=0.815(1+0.00093t), λ的单位为W/m.℃，t 的单位为℃。求单 位面积的传热量及平壁内温度分布。
解：设耐火砖两侧温度为t1和t2 ，普通砖两侧温度为t3和t4 ，则
2019/12/20
Q t1 t4 1000 50 A b1 b2 b3 0.5 0.38 0.25
1 2 3 1.4 0.10 0.92
950
950 214.5W / m2
0.3571 3.8 0.2717 4.4288
2019/12/20
三、通过平壁的稳定热传导
1、单层平壁的稳定热传导
Q Adt dx
边界条件为：
x=0时，t=t1 x=b时，t=t2
Qdx Adt
2019/12/20
Q
b
dx A
t2 dt
0
t1
Q A t1 t2
b
Q t1 t2 b
t R
2rml
t1
b
t2
Am
t1
t2 b
t1 t2 b
Am
其中：b r2 r1 圆筒壁的厚度, m;
rm
r2 r1 圆筒壁的对数平均半径
ln r2
Am
r1
2rml
2 r2 r1
ln 2lr2
A2 A1 ln A2
ln r2 r1
t1 t4 ln r3 ln r4 r2 r3
2l1 2l 2l3
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[例4-3]有一玻璃管，内外直径分别为5mm和6mm，用来输 送流体，若管内壁温度为75℃，外壁温度为30℃，玻璃 的平均热传导系数λ 为1.09W/m. ℃。求单位管长的热 传导速率？若外包扎一层厚为2mm的绝热材料，绝热材 料外表面温度为25℃，热传导系数为0.09W/m. ℃，这 时单位管长的热传导速率又为多少？
16502 )] 2
A
0.37
5677.2W / m2
同理，由傅立叶定律
Q
0
(1
at
)
A
dt dx
上式的积分限将b换成x，t2换成t，可得温度分布
1
t 1072 (7.41106 1.49 107 x)2
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2、多层平壁的稳定热传导
Q
1
A
t1
t2 b1
又
1000 t2 t3 50 214.5W / m2 0.5 0.25
1.4
0.92
解得 t2 923.4℃ 940℃ t3 108.3℃ 138℃
均未超过温度限。
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四、圆筒壁的稳定热传导 t
1、单层圆筒壁的热传导
t1
t2
r2
Q
t1 r
dr
r1
r2 t1
b1
t1 t4 b2
b3
1 A 2 A 3 A
推广到n层平壁有：
Q t1 tn1 t1 tn1
n
Ri
i1
n
bi
i1 i A
多层平壁导热是一种串联的导热过程，串联导热过程
的推动力为各分过程温度差之和，即总温度差，总热阻为
各分过程热阻之和，也就是串联电阻叠加原则。
1 ln r4
1 ln 0.09
3 r3
0.15 0.07
解得：
t3 132 C
2019/12/20
温度场中各点的温度不随时间而改变
t f (x, y, z)
温度场中各点的温度随时间而改变
等温面：温度场中温度相同的点组成的面
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2、温度梯度
温度梯度 ：等温面法线方向上的温度变化率，用gradt表示 。
gradt
lim
n0
t n
t
n
温度梯度是向量，正方向指向温度增加的方向。
第四章 传热
第二节 热传导
一、基本概念和傅立叶定律 二、导热系数 三、平壁的稳定热传导 四、圆筒壁的稳定热传导
2019/12/20
一、基本概念和傅立叶定律
1、温度场和等温面
温度场 描述任一物体或系统内各点温度分布与时间的关系
温度场的数学表达式为 t f (x, y, z, )
稳定温度场 不稳定温度场
2 l
2 l
——圆筒壁的导热热阻
这个式子也可以写成与平壁传导速率方程类似的形式
Q 2lr2 r1 t1 t2 r2 r1 ln r2 r1
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rm
r2 r1
ln r2 r1
b r2 r1
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纯液体的导热系数比溶液的导热系数大。
（3）、气体的导热系数
气体的导热系数很小，不利于导热，但有利于保温。 气体的导热系数随温度升高而加大 。 在相当大的压强范围内，气体的导热系数随压强变化极小 注意：在传热过程中，物质内不同位置的温度可能不相同， 因而导热系数也不同，在工程计算中常取导热系数的算术平 均值。
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二、导热系数
1、导热系数的定义
dQ
dA t n
在数值上等于单位温度梯度下的热通量 ，
是物质的物理性质之一 。
一般，金属的导热系数最大，非金属的固体次之，液
体的较小，气体的最小。
λ ：银423 , 铜377，铝234， 钢45，红砖20，水0.62,
苯0.16, 水蒸气0.025, 空气0.024
ln 3 ln 5 2.5 3
1.09 0.09
2019/12/20
[例4-4] 在一φ 60×3.5mm的钢管外包有两层绝热材料，里 层为40mm的氧化镁粉，平均导热系数λ =0.07W/(m·K)， 外 层 为 20mm 的 石 棉 层 ， 其 平 均 导 热 系 数 λ =0.15 W/(m·K)，现用热电偶测得管内壁温度为500℃ ，最外 层表面温度为80 ℃，管壁导热系数λ =45 W/(m·K)，试 求（1）每米管长的热损失（2）保温层界面温度。
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2、（1）固体的导热系数
纯金属的导热系数一般随温度的升高而降低， 金属的导热系数大都随纯度的增加而增大。 非金属的建筑材料或绝热材料的导热系数随密度增加而增 大，也随温度升高而增大。
0 1 kt
（2）、液体的导热系数 在非金属液体中，水的导热系数最大。除水和甘油外， 绝大多数液体的导热系数随温度的升高而略有减小，
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[例4-2] 某燃烧炉的炉壁由500mm厚的耐火砖、380mm厚的 绝热砖及250mm厚的普通砖砌成。其λ值依次为1.4 W/m.℃，
0.10 W/m.℃及0.92 W/m.℃ 。传热面积为1m2，现操作时耐火
砖内壁温度为1000℃，普通砖外壁温度为50 ℃，要求绝热 温度不超过940℃，普通砖温度不超过138℃，求单位面积的 热传导速率及层与层之间温度？
解：由傅立叶定律：
Q A dt
dx
0
(1
at
)
A
dt dx
积分
Q
b 0
dx
0
A
t2 t1
(1
at)dt
Qb
0
A[(t2
t1 )
a
(t22
2
t12
)]
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Q
0.815
[(300 1650)
0.00093
(3002
对于一维稳定的温度场，温度梯度可表示为 ：gradt dt dx 3、傅立叶定律 导热速率与温度梯度及传热面积成正比
dQ dA t n
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பைடு நூலகம்
dQ dA t ——付立叶定律
n
λ——比例系数，
称为导热系数。W/m·k
负号表示热流方向与 温度梯度方向相反。
t / n
t1 b1
t1 R1
1 A
2
A
t
2
b2
t3
t2 b2
t2 R2
2 A
3
A
t3
t4 b3
t3 b3
t3 R3
3 A
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t1 QR1 , t2 QR2, t3 QR3
Q t1 t2 t3 R1 R2 R3
r1 t2
r
dr
圆筒壁的热传导
仿照平壁热传导公式，通过该圆筒壁的导热速率可以表示
为： Q A dt 2rl dt
dr
dr
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分离变量积分：
Q 2lt1 t2 t1 t2 t1 t2
ln r2
ln r2
R
r1
r1
ln r2 R r1
解（1）每米管长的热损失。
r1 0.0265m r2 0.03m r3 0.07m r4 0.09m