《211合情推理》导学案2.doc
高二数学 教案 2.1.1合情推理导学案人教版_选修2-2 2.1.1合情推理(三)
（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
◆反馈练习
1．如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则. 类比以上性质,体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 , 此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ,若 , 则 ( )
第03课时类比推理的理解，知道合情推理的方法和步骤，提升思维水平。
学习过程
一、学前准备
1.三角形的面积为 ， 为
三角形的边长， 为三角形内切圆的半径，利用类
比推理，得到四面体的体积为______________
____________________________________________
2．已知数列 满足 ， （ ），则 的值为， 的值为．
3．（课本P98A4）任取一个正整数，反复进行下述两种运算：
（1）若是奇数，就是该数乘以3再加上1；
（2）若是偶数，就将该数除以2。
你能据此作出什么猜想？
课后作业
1．（课本P98A1）根据下列图案中的圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形有多少个圆圈
2．费马猜想：
法国数学家费马观察到
都是质数，于是他大胆提出了猜想。
请提出你的猜想：
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P75～P77，找出疑惑之处）
1．归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理的推理过程大致是什么？
◆应用示例
例1．（课本P75例4）看图2.1-2所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
211 合理推理2导学案2.doc
《2.1.1合理推理（2）》导学案2【学习目标】1.结合己学过的数学实例，了解类比推理的含义；2,能利用类比进行简单的推理，体会并认识类比推理在数学发现中的作用【学习难点】利用归纳法进行间接的类比推理【问题导学】预读教材第71—77页有关内容回答下列问题：1 .试将平面上的圆与空间的球进行类比，填写教材表格平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合提75：圆的定义：球的定义：圆球弦一-截面圆直径一大圆周长一-表面积面积一-体积2.什么是类比推理？其基本步骤是什么？3.类比推理的特点以及类比的原则是什么？4.类比推理的结论一定正确吗？5.什么叫做合情推理，用框图的形式将合情推理的过程写出来。
并叙述合情推理在数学中的作用。
【实践演练】用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1 为三S = —（a + b + c）r角形内切圆的半径）【基础练习】1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是类比推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若a-3 = b-3，则a = b"类推出“若。
O = b O，则a = b”B.“若（。
+ 幻c =衣 + be”类推出“ （a・b）c = ac-bc ”C.“若（a + b）c = ac + 3c” 类推a + b a b（醇0）”---- =—I—C C CD.“（0b）n =0%"” 类推出"（0 + b）n =0"+矿3.三角形的面积为 1 为三角形的边长，r为三角形内切圆的半S - —{a + b + c）-r,a,b,c径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A、1B、1V =—abc V^-Sh3 3c、1 （coco分别为四面体的四个面的面积，r为四V^-（S^S. + S. + Sjr。
高中数学教案选修2-2《2.1.1 合情推理(2)》最新修正版
教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤．3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理．教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、复习引入：1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？2. 合情推理的主要形式有．3. 归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式．4. 归纳推理的特点: ．5，a，b 均为实数），请推测a＝b＝．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：四、数学运用例1（G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．解在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（＋）乘（×）加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆截面圆 弦 大圆 直径周长 表面积 圆面积球体积五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想． 2．若数列{a n }为等差数列，且()m n a x a y m n m n N +＝，＝≠，，∈，则m n mx nya m n＋－＝－．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且m b x ＝，n b y ＝ ()m n m n +N ≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．。
《合情推理》 导学案
《合情推理》导学案一、学习目标1、了解合情推理的含义和基本类型。
2、掌握归纳推理和类比推理的方法和步骤。
3、能够运用合情推理解决简单的数学问题和实际问题。
4、培养观察、分析、归纳和类比的能力，提高创新思维和逻辑推理能力。
二、学习重难点1、重点（1）归纳推理和类比推理的概念和特点。
（2）归纳推理和类比推理的方法和应用。
2、难点（1）如何从具体的实例中抽象出合情推理的方法和步骤。
（2）如何准确地运用合情推理解决复杂的问题。
三、知识链接1、推理的定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。
2、推理的分类：推理分为演绎推理和合情推理。
四、学习过程（一）合情推理的概念合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
合情推理主要包括归纳推理和类比推理。
（二）归纳推理1、概念由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
例如，观察下列等式：1 ＋ 3 ＝ 4 ＝ 2²1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 9 ＝ 3²1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 16 ＝ 4²1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9 ＝ 25 ＝ 5²……可以归纳出：从 1 开始的连续 n 个奇数的和等于 n²。
2、归纳推理的步骤（1）观察：通过观察个别事物或现象，发现其特征或规律。
（2）概括：对观察到的特征或规律进行概括和总结。
（3）猜测：根据概括的结果，提出一个一般性的猜测或结论。
（4）验证：通过更多的实例或证明来验证猜测的正确性。
（三）类比推理1、概念由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。
例如，平面几何中的三角形与立体几何中的三棱锥有很多相似之处。
(新课标)高中数学《2.1.1合情推理》导学案 新人教a版选修2-2
§2.1.1 合情推理（1）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.28~ P30，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36， 1+8+27+64=100， ……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.动手试试练1..练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展 1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22x f x =+B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出的一般性结论是_____________ . 课后作业1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.§2.1.1 合情推理（2）学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.1.已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .二、新课导学 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到的推理. 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.动手试试练 1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练 2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？三、总结提升 学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.知识拓展试一试下列题目： 1. 南京∶江苏A. 石家庄∶河北B. 渤海∶中国C. 泰州∶江苏D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败A. 勤奋∶成功B. 懒惰∶失败C. 艰苦∶简陋D. 简单∶复杂 3.面条∶食物A.苹果∶水果B.手指∶身体C.菜肴∶萝卜D.食品∶巧克力学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列说法中正确的是（ ）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ） 3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N，则2007()f x = （ ）. A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S。
高中数学《合情推理》导学案
2.1.1合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类事物的□02全部对象都具有这些特征的推理，或由□03个别事实概括出□04一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由□05部分到□06整体、由□07个别到□08一般的推理．(3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些□09相同性质；第二步，从已知的□10相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些□11类似特征和其中一类对象的某些□12已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由□13特殊到□14特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的□15相似性或□16一致性；第二步，用一类事物的□17性质去推测另一类事物的□18性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过□19观察、□20分析、□21比较、□22联想，再进行□23归纳、□24类比，然后提出□25猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用. ()(3)归纳推理是由个别到一般的推理．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)，则可归纳猜想{a n}的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．(3)等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是__________．答案(1)a n＝2n＋1(n∈N*)(2)65(3)b2n＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N*)探究1 数列中的归纳推理例1已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解] 当n ＝1时，a 1＝1， 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12，当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13，当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列{a n }的通项公式是a n ＝1n .[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ [解] 因为a n ＋1＝a n 1＋a n ，即1a n ＋1＝1a n ＋1，所以1a n ＋1－1a n＝1，又a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为1的等差数列．所以1a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n . 拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n 项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为________．答案2n n ＋1解析 因为a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝4a 2，所以a 2＝13，所以S 2＝13×4＝43，同理，可得S3＝64，S4＝85，归纳可得，S n＝2nn＋1.探究2 几何中的归纳推理例2定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a)，(b)所对应的运算结果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D[解析]从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D分别表示什么图形，即可研究(a)，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段，B是一个正方形，C是一条水平线段，D是一个圆．所以(a)中的图形应为B*D，(b)中的图形应为A*C.故选B.[答案] B拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．答案512(n－2)(n＋1)解析 由图可知，f (4)＝5，当n >4时，可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1.由f (n )－f (n －1)＝n －1，得f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…，f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)．又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2， 化简、整理，得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)． 探究3 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．[解析] 等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[答案] T 8T 4 T 12T 8拓展提升类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．【跟踪训练3】 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有通项满足b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn(n ∈N*)的数列也是等差数列．类比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则通项满足d n ＝________(n ∈N *)的数列也是等比数列．答案nc 1c 2c 3…c n解析 由等差数列、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性，等差数列与等比数列类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝nc 1c 2c 3…c n .探究4 几何中的类比推理例4 平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a ，b ，斜边上的高为h ，则1a 2＋1b 2＝1h 2”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两垂直，其长分别为a ，b ，c ，平面BCD 上的高为h ，则________”．[解析] 如图所示，设A 在底面的射影为O ，连接BO 并延长交CD 于E .连接AE ，由AB ⊥AC ，AB ⊥AD 得AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AE .设AE ＝h 1，在Rt △ABE 中，由已知可得1a 2＋1h 21＝1h 2.又易证CD ⊥平面ABE ，∴CD ⊥AE .在Rt △ACD 中有1h 21＝1b 2＋1c 2，∴1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2.[答案] 1a 2＋1b 2＋1c 2＝1h 2 拓展提升解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形 点 直线 边长 面积 三角形 线线角 空间图形 直线平面面积体积四面体面面角【跟踪训练4】 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB ，AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB 2＋AC 2＝BC 2.若三棱锥A －BCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为________．答案 S 2△BCD ＝S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB解析 在直角三角形中，根据勾股定理，两个直角边的平方和是斜边的平方，类比到三个侧面两两垂直的三棱锥中，有三个两两垂直的侧面面积的平方和等于第四个面的面积的平方．合情推理主要包括归纳推理与类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．但是，归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.1．如下图所示的是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大答案 A解析 由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2答案 C解析观察可知，每多一条金鱼，需要多出6根火柴，而第一条金鱼用了6＋2＝8根火柴棒，所以金鱼火柴棒根数的通项公式为6n＋2.故选C.3．请仔细观察，运用合情推理，写在下面横线上的数最可能的是1,1,2,3,5，________，13.答案8解析从第三项起，每一项是它前两项的和，根据这个规律，应填写的数字是8.4．在平面内与圆心距离相等的两弦的长相等，类似地，在空间内与________．答案球心距离相等的两截面的面积相等解析由圆可类比球，圆的弦可类比球的截面圆．5．已知数列{a n}满足a n＋1＝12－a n(n∈N*)，a1＝0，试通过计算a2，a3，a4，a5的值，猜测{a n}的通项公式．解由a n＋1＝12－a n和a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45.观察以上5项，猜测{a n}的通项公式为a n＝n－1n.A级：基础巩固练一、选择题1．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 2．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13， f (1)＝2，则f (2019)等于( ) A ．13 B ．2 C.132 D.213 答案 C解析 ∵f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2， ∴f (3)＝13f (1)＝132，f (5)＝13f (3)＝2， f (7)＝13f (5)＝132，f (9)＝13f (7)＝2，…，∴f (2019)＝132.选C.3．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形答案 C解析 类比空间中的平行六面体，平面中有平行四边形． 4．下面使用类比推理，得出正确结论的是( )A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”D．“(ab)n＝a n b n”类比出“(a＋b)n＝a n＋b n”答案 C解析A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成立．5．在平面直角坐标系内，方程xa＋yb＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.xa＋yb＋zc＝1 B.xab＋ybc＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析因为在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴、y轴上的截距分别为a，b”，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa ＋yb＋zc＝1.6．在数学解题中，常会碰到形如“x＋y1－xy”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足a si nπ5＋b cosπ5a cosπ5－b si nπ5＝t an8π15，则ba＝()A．4 B.15 C．2 D. 3 答案 D解析将已知式变形，则有a si n π5＋b cosπ5a cos π5－b si nπ5＝a t anπ5＋ba－b t anπ5＝t anπ5＋ba1－ba t anπ5＝t an8π15，类比正切的和角公式，即t an(α＋β)＝t an α＋t an β1－t an αt an β，可知只有当b a ＝t an π3＝3时，上式成立．二、填空题7．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.答案 a ＋b <210(a >0，b >0且a ≠b ，a ＋b ＝20)解析 观察题目所给的不等式，归纳可得出两根号下的两数之和为20.8．等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系：________.答案 b 4＋b 8>b 5＋b 7解析 在等差数列{a n }中，a n >0，公差d>0，∴{a n }是各项均为正数的递增数列，∵4＋6＝3＋7，且a 4·a 6>a 3·a 7，∴在等比数列{b n }中，b n >0，q >1，则{b n }为各项均为正数的递增数列． 又∵4＋8＝5＋7，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.9．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫si n π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫si n 2n π2n ＋1－2＝________. 答案 43n (n ＋1)解析 每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和，因此答案为43n (n ＋1)． 三、解答题 10．已知数列{a n }的第一项a 1＝1，且a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)归纳猜想这个数列的通项公式．解 (1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n(n ∈N *)，得a 2＝13， a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17，a 5＝a 41＋2a 4＝19. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19，可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N *)． B 级：能力提升练11．过△ABC 边AB 上任一点O 分别作OA 1∥AC ，OB 1∥BC ，与BC ，AC 分别交于点A 1，B 1，则OA 1AC ＋OB 1BC 为定值1.试写出类比到空间的结论．解 如图1所示，这个命题的正确性很容易由相似三角形的性质推出，也不难用“面积法”证得定值为1，类比到空间，则有：如图2所示，过四面体VABC 的面ABC 上任一点O ，分别作OA 1∥VA ，OB 1∥VB ，OC 1∥VC ，其中A 1，B 1，C 1分别是所作直线与侧面的交点，则OA 1VA ＋OB 1VB ＋OC 1VC 为定值1.12．我们知道12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，…n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n(n－1)2.类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．解记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k(k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，…n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.将左右两边分别相加，得S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.。
211合情推理教案(人教B版选修2-2)
课题：2.1.1 合情推理
题进行检验。
S n 具有P(S 「S 2, ,S n 是A 类事物的对象)
例1用推理的形式从函数
值，
并验证其真假。
可见，归纳推理得出的结论不可靠还需要进一步作出判断。
因为归纳推理的基 础是对个别或部分对象的实验和观察，而缺乏对全体对象的考察，因而所得的结论 具有豁然性，只能称之为归纳猜想，其正确与错误是需要严格论证的。
例2用归纳推理的思想填空
这个数列的通项公式。
例 4、：设 f(n) n 2
n 41, n N ，计算 f(1), f(2), f (3) f(10)的值，同时作出归
纳推理，
并用n 40的值说明猜想的结论是否正确。
例5:在平面上有n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点， 问：这些直线把平面分成多少部分？ 有效训练：1、通过计算152
,25 2
,352
,452
，你能很快算出1995?吗?
x
2 、设 f (x)
------ ，试求 f[f(x)], f{ f[f(x)]}, f{ f{ f[f(x)]}}的解析式，并 V 1 x 2
数)， (1) 设 x (2) 已知 请推测a ___________ ,b ________ 1 3
x
6艮(a,b 均为实 i b
例3、已知数列｛a n ｝的第一项a 1 1,且a n 1
a n 1 a n
(n 1,2,3 )，试用归纳法归纳出
、对所提出的一般性命
所以，A 类事物具有P.
3、例题分析：
f(x) (x 1)(x 2) (x 1000) 8中归纳出 f(n)(n N *)的。
高中数学《2.1.1合情推理》教案2 新人教A版选修1-2
12.1.1 合情推理（二）教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.二、讲授新课： 1. 教学概念：① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习：(i )圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？(ii )平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ (iii )由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表） 小结：平面→空间，圆→球，线→面.③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题：.思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比.3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 3题. 2. 探究：教材P 35 例5 3.作业：P 44 5、6题.。
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一、预习课本回答
1.推理是
指，由
2.合情推理包括和
归纳推理：市某类事物的有这些特
征的推理，或者由纳.简言之，归
3.由数列1」0,100」猜想该数列的第n项可能是()•
A. 10"
B.
〃
C. 10,,H Dll”
《2. 1. 1合情推理》导学案
2. 1・1(1)归纳推理
学习目标
1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解归纳推理的含义;
2、能利用归纳推理的思想，解决一些数学问题；
3、体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.
新课导学
和组成.
9
具有某些特征，推出该类事物的都具
概括出的推理，称为归纳推理，简称归
到、由至的推理.
4.因为三角形的内角和是180 x(3-2),四边形的内角和是180 x(4-2),五边形的
内角和是180°x(5-2)……所以〃边形的内角和是
二、典型例题
题型一：与代数式有关的归纳推理
例］观察1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9= (1+2+3), 1-4+9-16= -(1+2+3+4)…猜想第〃个等式是:
a2 -b2 =(a_/?)(a + b),
练习1、观察a3-b3 =(a-b)(a2-^-ab + b2)进而猜想a n -b n o' -b A =(a-b)(cF + +b‘)
题型二.数列中的归归纳推理
例2.数列％｝屮，“1,3十-占，则呗二()
13
A. 2
B.——
C. --
D. 1
3 2
例3、设f(n) = n2 +71 + 41,71 e N+计算/(l),/(2),/(3,).../(10)的值，同时作出归纳推理，
并用"40验证猜想是否正确.
亠 a “
练习1：在数列｛〜｝中,已知勺=2,匕+|=亍冷⑺丘"），试归纳推理出色=
练习2、（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：*
23
4 5 6
7 8 9 1（）
11 12 13 14 15
按照以上排列的规律，第〃行5 n 3）从左向右的第3个数为
题型三.三角函数中的归纳推理
例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论
3
sin230°+sin290° + sin2150° =-,
2
sin260° +sin2120° 4-sin2180° =-
2
3
sin245° + sin2105° + sin2165°=-,
2
sin215° +sin275° + sin2135° =-
2
三、课堂小测
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.
A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C.归纳推理得岀的结论具有或然性，不一定止确D归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2.数列2, 5, 9, 14, 20, X, 35,…中的兀等于（）
4. 25 B. 26 C. 27 D. 28
3.下列等式：13 + 23 =32，13 + 23+33 =62，13+23+33+43 =102,…，根据上述规律，第五个等式为
4.察下列等式：
1=1
2+3+4二9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10二49
照此规律，第〃个等式为：
3 5 7
5._____________________________________________________________________________ 经
计算得/⑵=-,/（4） > 2,/（8） >|,/（⑹> 3,/（32） >㊁猜测当心2时，有_______________ ■
五、课后作业
1、一同学在电脑中打出如下图若干个圆（O表示空心圆，•表示实心圆）
o»oo»ooo»oooo»ooooo»o……
问：到2006个圆中有个实心圆.
2、•数列｛〜｝满足S“=2n-j,先计算数列的前4项，再归纳猜想％
2. 1. 1（2）类比推理
学习目标
1、能利用类比推理的思想，解决一些数学问题；
2、体会并认识类比推理在数学发展屮的作用.
新课导学
1.鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命, 火
星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴白转的行星，有大气层，也有季节变更, 温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.
2.新知:类比推理就是根据两类不同事物之间具有推测其中一类事物
具有与另一类事物的性质的推理. 简言之，类比推理是由
推理.
3.推理：因为“平面内不共线的3个点确定一个圆”，可以推断“空I'可不共面的4个点确定一个球”；所用的推理方法是：
探典型例题
类比推理的一般步骤：
1找出两类事物之间的相似性或一致性
2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
例1找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.
圆的概念和性质球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与眩（非直径）中点的连线垂
直于弦
与圆心距离相等的两弦相等，与圆
心距离不等的两弦不等，距圆心较近的
弦较长.
圆的方程(x—xo)2 + (y—为)2=厂
2
探动手试试
把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立:
1如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交.
2如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行.
三、课堂练习
1.下列说法中正确的是（）.
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理
2为“平面内不共线的3个点确定一个圆”，可以推断“空间不共面的4个点确定一个球”; 所用的推理方法是：
3.差数列｛陽｝中,若Go ，则有q +«2 + +a”+$ + +吗9-”（川＜19/w N*）成立,
类比上述性质，在等比数列｛仇｝中，若代=1,则存在怎样的等式？
4下而四个在平面内成立的结论：
%1平行于同一直线的两直线平行
%1一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交
%1垂直于同一直线的两直线平行
%1一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交
在空间中也成立的为（）.
A.①②
B.③④
C.②④
D.①③
四、课后练习
1、在平面儿何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的扌”.拓展到空间，类比平面儿何的上述结论，则正四面体的内切球半径
(1)求即吆色；⑵ 由⑴猜想数列血｝的通项公式；⑶ 求S” 2.
在各项为正的数列｛a fl ｝中，数列的前料项和S”满足S” = |。