2019版同步优化探究理数练习：第八章第三节圆的方程含答案解析

课时作业
A组一一基础对点练
1 .方程x
2 + y2 + 2x — 4y— 6= 0表示的图形是( )
A .以(1，— 2)为圆心，，11为半径的圆
B .以(1,2)为圆心，，11为半径的圆
C.以(—1,— 2)为圆心，.11为半径的圆
D .以(—1,2)为圆心，.11为半径的圆
解析：由 x2 + y2 + 2x— 4y— 6= 0 得(x+ 1)2+ (y— 2)2= 11,故圆心为(—1,2)，半径为一 11.
答案：D
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A. x2 + y2= 1
B. (x — 3)2 + y2= 1
C. (x— 1)2 + y2= 1
D. x2+ (y — 3)2= 1
解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2 + y2= 1.
答案：A
3.圆(x+ 2)2 + y2= 5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A . x2 + (y— 2)2= 5 B. (x — 2)2 + y2 = 5
C. x2 + (y+ 2)2= 5 D . (x— 1)2 + y2 = 5
解析：因为所求圆的圆心与圆(x+ 2)2 + y2= 5的圆心(一2, 0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为.5,故所求圆的方程为(x — 2)2 + y2 = 5.
答案：B
4 .设P是圆(x— 3)2+ (y+ 1)2= 4上的动点，Q是直线x= 诈_3升—3上的动点，则|PQ|的最小值为________________ .
解析：如图所示，圆心M(3, — 1)到定直线x= — 3上点的
3— (— 3) = 6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6 — 2 = 4.
答案：4
5 . (2018唐山一中调研)点P(4 , — 2)与圆x2 + y2 = 4上任一点连线的中点的轨迹方程是.
x i + 4 x= 2
2 ，即*
y i — 2 2
=4,得(2x — 4)2 + (2y+ 2)2 = 4,化简得(x — 2)2 + (y+ i)2= i. 答案：(x — 2)2
+ (y+ i)2
= i
6•已知圆C 经过点(0,i),且圆心为C(i,2). (1) 写出圆C 的标准方程；
(2) 过点P(2,— i)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长.
解析：⑴由题意知，圆C 的半径r= "i — 02
+ 2— i 2
= 2, 所以圆C 的标准方程为(x — i)2
+ (y — 2)2
= 2.
(2)由题意知切线斜率存在，故设过点 P(2,— i)的切线方程为y+ i = k(x —2),即卩kx — y — 2k —1 =
所以 k 2 — 6k — 7= 0,解得 k= 7或 k= — i, 故所求切线的方程为7x — y — i5 = 0或x+ y — i = 0.
由圆的性质易得所求切线长为. PC 2
— r 2
=「2—i 2
+ — i — 2 2
— 2 = 2 2.
7. (20i8南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f(x) = x 2 — x —6的图像与两坐标轴交 点的圆记为圆C. (i)求圆C 的方程;
(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线I 的方程.
2 2 2
解析：⑴设圆的方程为x + y + Dx+ Ey+ F = 0,函数f(x) = x — x — 6的图像与两坐标轴交点为(0,
36— 6E+ F = 0
—6), ( — 2,0), (3,0),由 4— 2D + F= 0
9+ 3D + F= 0
D = — 1
解得E= 5
,
F = — 6 所以圆的方程为x 2
+ y 2
— x+ 5y — 6= 0.
1 5
(2)由(1)知圆心坐标为(2，— 5)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x + y= 0;若直线不过原
1
5
解析：设圆上任意一点为(x i , y i )，中点为(x, y),贝U x i = 2x — 4 2 2
片2y+ 2，代入x + y
0,则 I — k —
3|
「2,
点，设直线I的方程为x+y= a,则a =十空=—2,即直线l的方程为x+ y+ 2 = 0•综上可得，直线I的方程为5x+ y= 0或x+ y+ 2= 0.
B组一一能力提升练
2 2 2
1.已知圆x + y — 4ax+ 2by+ b = 0(a>0, b>0)关于直线x—y— 1= 0对称，则ab的最大值是( )
1 1
B・8
J , 2
C. D. ~~r
4 4
解析：由圆 x2 + y2— 4ax+ 2by+ b2= 0(a>0, b>0)关于直线 x—y— 1 = 0 对称，可得圆心(2a,— b)
__ 1
在直线x — y— 1 = 0上，故有2a + b— 1 = 0,即卩2a + b= 1 >2 2ab,解得ab<8，故ab的最大值为*,故选B.
答案：B
2
2. (2018绵阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2—鲁=1的渐近线截得的弦长为，3,则圆C的方程为( )
A . x2 + (y— 1)2= 1 B. x2+ (y— ,3)2 = 3
C. x2 + (y+ 1)2= 1
D. x2+ (y+ 3)2 = 3
解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为(3,倾斜角为60°结合图形(图略)可知，
所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x2+ (y— 1)2= 1,选A.
答案：A
3.
已知圆C与直线y= x及x—y— 4= 0都相切，圆心在直线y= — x上，则圆C的方程为( ) A . (x+ 1)2 + (y— 1)2= 2 B . (x+ 1)2+ (y+ 1)2 = 2
C. (x— 1)2+ (y— 1)2 = 2
D. (x— 1)2+ (y+ 1)2 = 2
解析：由题意知x — y= 0和x—y— 4= 0之间的距离为|42=22，所以r = . 2.又因为y= — x与x —y= 0, x—y— 4= 0均垂直，所以由y= — x和x— y= 0联立得交点坐标为(0,0),由y= — x和x —y — 4 = 0联立得交点坐标为(2, — 2),所以圆心坐标为(1,— 1)，圆C的标准方程为(x— 1)2+ (y
+ 1)2 = 2.
答案：D
4.已知△ ABC的三个顶点坐标分别为 A( — 2,3), B( — 2,— 1), C(6,— 1),以原点为圆心的圆与
此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()
2 2
A.x + y = 1
B.x2 + y2= 4
C.x2 + y2= 3
D. x2 + y2= 1 或 x2 + y2 =
37
解析：如图，易知AC所在直线的方程为x+ 2y — 4 = 0.
点 0 到直线 x+ 2y— 4= 0 的距离 d =|—5= 455>I , OA== ^T3, OB = ^(-2丫+(- 1, = , OC = p62+(- 1 , = ^/37, •••以原点为圆心的圆若与三角形 ABC有唯一的公共点，贝U公
.■-2 2+ 32共点为(0,—
1)或(6,— 1),
•圆的半径为1或37,
则该圆的方程为x2 + y2= 1或x2 + y2= 37•故选D.
答案：D
5.圆心在直线x— 2y= 0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2为，则圆C 的标
准方程为_____________________ .
解析：依题意，设圆心的坐标为(2b, b)(其中b>0),则圆C的半径为2b,圆心到x轴的距离为b, 所以2 4b2— b2= 2 3, b>0，解得b= 1,故所求圆C的标准方程为(x— 2)2 + (y — 1)2= 4.
答案：(x—2)2 + (y— 1)2 = 4
6.已知圆C过点P(1,1)，且与圆M : (x+ 2)2 + (y+ 2)2= r2(r>0)关于直线x+y+ 2= 0对称.
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ MQ的最小值.
解析：⑴设圆心C(a, b),
由已知得M(— 2,— 2),
b+ 2 a+ 2 宁 + 2 = 0,
1,
a =
0,
解得'
・b =
0,
则圆C的方程为x2 + y2= r2,将点P的坐标代入得r2 = 2,故圆C的方程为x2 + y2= 2.
(2)设 Q(x, y),贝U x2+ y2 = 2,
PQ MQ = (x— 1, y— 1) (x+ 2, y+ 2)
2 2
=x + y + x+ y— 4= x+ y— 2. 令 x=^cos 0, y=y/2s in 0, 所以 F^Q MIQ = x+y— 2= 2(sin 0+ cos 0 — 2 =2sin 0+ 4 —2,又 Sin 0+ 4 min =— 1 , 所以P^Q MQ的最小值为-4.。