专题26 奇偶分析_答案
奇偶性高考试题及答案
奇偶性高考试题及答案高考是一项非常重要的考试，对于每一位学生来说都至关重要。
在备考过程中，了解一些常见的高考试题及答案对于学生来说是非常有帮助的。
其中一个重要的考点就是奇偶性。
本文将介绍奇偶性在高考试题中的应用以及相应的解答方法。
一、奇偶性的概念及应用1.1 奇偶性的定义在数学中，我们可以通过一个数的奇偶性来判断它是奇数还是偶数。
一个整数可以被2整除的话，那么它就是偶数；如果不能被2整除，那么它就是奇数。
利用这个概念，我们可以在高考中应用奇偶性来解答一些数学题目。
1.2 奇偶性在高考试题中的应用奇偶性在高考试题中的应用非常广泛，尤其是在代数、方程、函数等数学题型中。
下面我们将分几个方面来介绍奇偶性的应用。
1.2.1 判断表达式的奇偶性在解答一些复杂的代数表达式时，我们可以通过判断表达式中各个因式的奇偶性来确定整个表达式的奇偶性。
一般来说，如果一个表达式中存在奇数个奇数因子，那么整个表达式就是奇数；如果存在偶数个奇数因子，那么整个表达式就是偶数。
例如，我们考虑下面这个代数表达式：\[f(x) = (2x + 1)(3x^2 - 2x)\]其中第一个因式为 $2x + 1$，显然是一个奇数因式；第二个因式为$3x^2 - 2x$，我们可以看出其中包含了参数 $x$ 的幂次。
根据幂次的奇偶性规律，$x$ 的奇偶性和 $x$ 的幂次的奇偶性是一致的。
由此可知，$3x^2 - 2x$当 $x$ 是奇数时，为奇数；当 $x$ 是偶数时，为偶数。
因此，整个表达式 $f(x)$ 的奇偶性由两个因式的奇偶性决定。
当$x$ 是奇数时，$f(x)$ 为奇数；当 $x$ 是偶数时，$f(x)$ 为偶数。
1.2.2 解题方法利用奇偶性解答题目时，我们需要注意一些解题方法。
首先，我们需要熟练掌握常见的数的奇偶性。
我们知道，所有的偶数一定可以被2整除，而奇数则不可以。
在解答题目时，我们可以先判断一些数字的奇偶性，从而推导出一些结论。
五年级奥数题及答案：奇数偶数与奇偶性分析问题
五年级奥数题及答案：奇数偶数与奇偶性分析问题五年级奥数题及答案：奇数偶数与奇偶性分析问题编者小语：数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。
这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。
查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：奇数偶数与奇偶性分析问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!奇数偶数与奇偶性分析【奇数和偶数】例1 用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。
问乘积中是偶数多还是奇数多?讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。
在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。
而偶数积共有7个。
所以，乘积中是偶数的多。
例2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23;乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。
讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。
甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是47，最小是3。
从3到47不同的奇数共有23个。
所以，能得到23个不同的和。
本题中，我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加，会得到12×12=144(个)不同的和。
因为其中有很多是相同的。
【奇偶性分析】例1 某班同学参加学校的数学竞赛。
试题共50道。
评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。
请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。
讲析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。
每答错一道题，就要相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数。
150减偶数，差仍然是一个偶数。
同理，每不答一道题，就相差2分，不管有多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数加偶数之和为偶数。
小学数学五年级《奇偶分析法》练习题(含答案)
《奇偶分析法》练习题（含答案）内容概述奇数和偶数的概念：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数（双数），不能被2整除的数叫做奇数（单数）.奇数和偶数的表示方法：因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）；因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k+1来表示奇数（这里k是整数）. 特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数.最小的奇数是１，最小的偶数是０．奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数奇数±奇数=偶数偶数±奇数=奇数同性质（指奇偶性）两数加减得偶，不同性质得奇.性质2：偶数×奇数=偶数（推广开来我们还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）偶数×偶数Ľ偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）奇数×奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）对于乘法，见偶就得偶.性质3 ：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数.你还记得吗【复习1】从3开始，依据后一数是前一数加上3，写出2000个数排成一行：3，6，9，12，15，18，21,……在这行数中第1991个数是奇数还是偶数?分析：由于奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数. 3是奇数，所以，每个数加上3后，奇偶性与原来相反，也就是说，在3，6，9，12，……中，每一个数与前一个数的奇偶性不同. 这行数的第一个数是奇数，并且是奇偶相间，由此可知，这行数的奇偶性与其序数的奇偶性相同．所以第1991个数是奇数. 由此可以得到以下一条性质：加上(或减去)一个偶数，奇偶性不变，而加上(或减去)一个奇数，奇偶性改变．【复习2】7只杯子口均向上，每次操作翻动四只杯子，使其杯口朝向改变，能否经过有限次操作，使7只杯子口均向下?分析：我们可以从两个角度来考虑所有杯子被翻动次数的总和：一是每次操作计4次，，z 次操作共计4z次，为一偶数；二是看杯子状态，每只杯子由“口向上”变为“口向下”，需奇数次翻动，7只杯子翻动次数总和必为奇数．这样，奇≠偶，因此结论是不能．【复习3】某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分.请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数.分析：对于一名参赛同学来说，如果他全部答对，他的成绩将是3×50=150，是偶数；有一道题未答，则他将丢2分，也是偶数；答错一道题，则他将丢4分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是150减一个偶数，还将是偶数.所以，全班同学得分总和一定是偶数.【复习4】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8，问：填入的81个数中，奇数多还是偶数多?多多少？分析：每两个相邻的方格，所填的数一奇一偶，将第一行的每个方格与它下面的相邻方格配对，可见第一、二行中奇数与偶数正好一样多.同理，前八行中奇数与偶数一样多.第九行的前八个方格也可两两配对，每对相邻的方格中的数一奇一偶，所以这八格中的奇数偶数也一样多.最后，第九行，第九列有一个方格填18(=9+9)，所以81个数中，偶数恰好比奇数多1个.例题精讲【例1】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的箩筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只箩筐中，徒弟的产品放在2只箩筐中，每只箩筐都标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根据上面的条件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗?分析：注意到6个标数只有一个为奇数，它肯定是徒弟制造的．原因很简单：师傅的产量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只箩筐中产品数的和，在题目条件下只能为四个偶数的和．徒弟的另一筐侧品就得通过以下计算来确定：利用求解“和倍问题”的方法，求出徒弟加工零件总数为：(78+94+86+87+82+80)÷(2+1)=169，那另一筐放有产品169-87=82(只)．所以，标明“82只”和“87只”这两筐中的产品是徒弟制造的．【前铺】某电影院共有2003个座位．有一天，这家电影院上、下午各演一场电影，看电影的是A、B两所中学的各2003名师生．同一学校的学生有的看上午场，有的看下午场，但每人恰看一场，有人断言：“这天看电影时，肯定有的座位上、下午坐的是两所不同学校的师生．”你认为这种断言正确吗?为什么?分析：此题读来费神，但仔细一想，道理却很简单．如果每个座位上、下午坐的都是同一所学校的，那么这所学校的人数就等于上午本校看电影人数的2倍，肯定为偶数，这就与人数为奇数2003矛盾．所以题中断言是正确的．【例2】把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
2024年新高一数学初升高衔接《函数的奇偶性》含答案解析
第11讲函数的奇偶性模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.知识点1函数的奇偶性1、奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称．2、偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称．偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．3、奇函数、偶函数图象对称性的推广()y f x =在定义域内恒满足()y f x =的图象的对称轴（中心）()()f a x f a x +=-直线x a =()()f x f a x =-直线2a x =()()f a x f b x +=-直线2a b x +=()()0f a x f a x ++-=点(,0)a ()()0f a x f b x ++-=点(,0)2a b+()()f a x f b x c++-=点(,)22a b c+知识点2判断奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.【注意】判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；（2）如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称．3、性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是1D ，2D ，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：()f x ()g x ()()f xg x ±()()f xg x ⋅(())f g x 偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在(())f g x 中，()g x 的值域是()f x 定义域的子集．4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点3函数奇偶性的应用函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据()()f x f x -=-或()()f x f x -=，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用()()f x f x -=-或()()f x f x -=求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，x 就设在哪个区间上；（2）把x -对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得()f x -；（3）利用函数的奇偶性把()f x -改写成()f x -，从而求出()f x ．知识点函数奇偶性与单调性的综合应用1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2、区间[,]a b 和[,]b a --关于原点对称（1）若()f x 为奇函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最小值M -；（2）若()f x 为偶函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最大值M ．3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．【注意】由12()()f x f x >或12()()f x f x <及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．考点一：判断函数的奇偶性例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（）A ．()21f x x =+B ．()31f x x =-C ．()31f x x x=+D ．()422f x x x=+【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（）A．y =B ．1y x =+C ．3y x =D ．2y x =【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数()()1(0)01(0)x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的奇偶性是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A ．()12f x ++B ．()12f x -+C ．()12f x --D ．()12f x +-考点二：利用奇偶性求函数值例2.（23-24高一上·上海·月考）已知函数()y f x =在R 上是奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则(1)f -=（）A ．1-B ．1C ．0D ．1±【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知()f x 是偶函数，当0x >时，()23f x x x =-，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．5-C ．7D ．5【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知3()3bf x ax x=++，(4)5f =，则()4f -=（）A ．3B ．1C ．-1D ．-5【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数()23,0,0x x y f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则(3)f -=（）A ．2-B ．2C ．3D ．3-考点三：利用奇偶性求参数例3.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．14B ．54C ．74D ．2【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若()()()2f x x x x a =+-为奇函数，则a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数()()()2117f x m x m x =++-+是定义在(2,33)n n --上的偶函数，则()()f n m f +=（）A ．34B ．25C ．16D ．9【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数()f x x x a=--为偶函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ．3a ≥C ．33a -≤≤D ．3a ≤-或3a ≥考点四：利用奇偶性求解析式例4.（23-24高一上·北京·期中）设偶函数()f x 的定义域为R ，当()0,x ∈+∞时，()f x是增函数，则(f ，()πf ，()3f -的大小关系是（）A ．(π)(3)(f f f >->B ．()(()π3f f f >>-C ．()()(π3f f f <-<D ．()(()π3f f f <<-【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数()f x 是奇函数且满足()()2f x f x =-，当[]()1212,0,1x x x x ∈≠时，()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()1a f =，83b f ⎛=⎫⎪⎝⎭，52c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a b c<<【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数()f x 的定义域为[]0,4，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()2f x +为偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A ．()()()()23f f f f >B ．()()()()23f g f g <C ．()()()()23g g g g >D ．()()()()23g f g f <考点五：利用奇偶性与单调性比大小例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数()f x ，当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．2x x-+B ．2x x--C ．2x x+D ．2x x-【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()3f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．3x x-+B ．3x x--C ．3x x-D ．3x x+【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数(1),0()(),0x x x f x g x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，那么()g x =（）A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，2()()1f x g x x x +=-+，则(2)f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2考点六：利用奇偶性与单调性解不等式例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()21f =，则不等式()10f x +<的解集为（）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足()0xf x ≥的x 的取值范围是（）A ．[]2,0[2,)∞-⋃+B ．[]22-,C ．[][,2]0,2∞--⋃D ．[][],22,-∞-+∞ 【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,∞+单调递减，则不等式()()121f x f x ->+的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数()31f x x x =++，且()()2342f a f a +-<，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()(),41,-∞-+∞U C ．()(),14,-∞-⋃+∞D ．()1,4-一、单选题1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（）A ．()f x =1xx -B ．()f x 2x C ．()f x 1x -1x -D ．()f x =x +1x2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数()f x 为定义在[1,21]a -+上的偶函数，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．无法确定3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当<2x -时，()82f x x =+；当02x <≤时，()22f x x =-，则()()()301f f f ++-=（）A ．7B ．9C ．-7D ．-94．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，则（）．A ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f -=，则满足()111f x -≤+≤的x 的取值范围是（）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．[]22-,D ．[]0,36．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在[4,4]-上的偶函数()f x 在[0,4]上为减函数，且(1)(2)f x f +>-，则实数x 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(]3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-二、多选题7．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）()f x 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()()2f x f x f x --=C ．()()0f x f x -⋅≤D ．()()1f x f x =--8．（22-23高一下·河南·月考）已知函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨--<⎩为奇函数，则下列说法正确的为（）A ．2a =-B ．2a =C ．((1))1f f -=-D ．()f x 的单调递增区间为,1(),)1(-∞-⋃+∞三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数()32–3f x ax x bx =++，且()106f =，则()10f -=．10．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数()323f x x ax x b =+-+是定义在R 上的奇函数，则a b +=．11．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数()f x 对一切实数x 都满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，()221f x x x =-+，则()f x =．四、解答题12．（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)4f =；当0x <时，2()f x x ax =+.(1)求a 的值；(2)求函数()f x 在R 上的解析式；(3)解方程()6f x =；13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数()24xf x x=-，()2,2x ∈-.(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)用定义法证明：函数()f x 在()2,2-上单调递增；(3)求不等式()()120f t f t +->的解集.第11讲函数的奇偶性模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解奇函数、偶函数的定义，了解奇函数、偶函数图象的特征；2．掌握判断函数奇偶性的方法，会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式；3．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题.知识点1函数的奇偶性1、奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称．2、偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称．偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．3、奇函数、偶函数图象对称性的推广()y f x =在定义域内恒满足()y f x =的图象的对称轴（中心）()()f a x f a x +=-直线x a =()()f x f a x =-直线2a x =()()f a x f b x +=-直线2a b x +=()()0f a x f a x ++-=点(,0)a ()()0f a x f b x ++-=点(,0)2a b+()()f a x f b x c++-=点(,)22a b c+知识点2判断奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.【注意】判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；（2）如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称．3、性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是1D ，2D ，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：()f x ()g x ()()f xg x ±()()f xg x ⋅(())f g x 偶偶偶偶偶偶奇不确定奇偶奇偶不确定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在(())f g x 中，()g x 的值域是()f x 定义域的子集．4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点3函数奇偶性的应用函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据()()f x f x -=-或()()f x f x -=，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用()()f x f x -=-或()()f x f x -=求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，x 就设在哪个区间上；（2）把x -对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得()f x -；（3）利用函数的奇偶性把()f x -改写成()f x -，从而求出()f x ．知识点函数奇偶性与单调性的综合应用1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2、区间[,]a b 和[,]b a --关于原点对称（1）若()f x 为奇函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最小值M -；（2）若()f x 为偶函数，且在[,]a b 上有最大值M ，则()f x 在[,]b a --上最大值M ．3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．【注意】由12()()f x f x >或12()()f x f x <及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．考点一：判断函数的奇偶性例1．（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（）A ．()21f x x =+B ．()31f x x =-C ．()31f x x x=+D ．()422f x x x=+【答案】C【解析】对于A ，因为()21f x x =+的定义域为R ，且()()22()11f x x x f x -=-+=+=，所以()21f x x =+为偶函数；对于B ，因为()31f x x =-的定义域为R ，且()()33()11f x x x f x -=-+=-+≠-，所以()31f x x =-不是奇函数；对于C ，因为()31f x x x=+的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()333111()f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以()31f x x x =+为奇函数；对于D ，因为()422f x x x =+的定义域为R ，且()()4242()2()2f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()422f x x x =+为偶函数；故选：C .【变式1-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）下列函数为偶函数的是（）A．y =B ．1y x =+C ．3y x =D ．2y x =【答案】D【解析】对于A，y =[)0,∞+，它不关于原点对称，故A 不符合题意；对于B ，对于()1y f x x ==+而言，()()1201f f =≠=-，故B 不符合题意；对于C ，对于()3y f x x ==而言，()()1111f f =≠-=-，故C 不符合题意；对于D ，对于()2y f x x ==而言，其定义域为全体实数，关于原点对称，且()()()22f x x x f x -=-==，故D 符合题意.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数()()1(0)001(0)x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的奇偶性是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【答案】A【解析】若0x <，则0x ->，则()()()11f x x x f x -=-+=--=-；若0x >，则0x -<，则()()()11f x x x f x -=--=-+=-.又()00f =，满足()()f x f x -=-.所以()()f x f x -=-，又函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，因此，函数()y f x =为奇函数.故选：A.【变式1-3】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A ．()12f x ++B ．()12f x -+C ．()12f x --D ．()12f x +-【答案】A【解析】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.考点二：利用奇偶性求函数值例2.（23-24高一上·上海·月考）已知函数()y f x =在R 上是奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则(1)f -=（）A ．1-B ．1C ．0D ．1±【答案】B【解析】()21121f =-=-，又()f x 在R 上是奇函数，故()()111f f -=-=.故选：B【变式2-1】（23-24高一上·四川雅安·月考）已知()f x 是偶函数，当0x >时，()23f x x x =-，则13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．7-B ．5-C ．7D ．5【答案】B【解析】()f x 是偶函数，当0x >时，()23f x x x=-，则1112316513333f f ⎛⎫⎛⎫-==⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B【变式2-2】（22-23高一上·浙江台州·期中）已知3()3bf x ax x=++，(4)5f =，则()4f -=（）A ．3B ．1C ．-1D ．-5【答案】B【解析】设()()33bg x f x ax x=-=+，定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()()()33b bg x a x ax g x x x-=-+=--=--，故()g x 为奇函数，又()()443532g f =-=-=，则()42g -=-，所以()()443231f g -=-+=-+=.故选：B【变式2-3】（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数()23,0,0x x y f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则(3)f -=（）A ．2-B ．2C ．3D ．3-【答案】D【解析】记()()23,0,0x x g x f x x ->⎧=⎨<⎩，因为()g x 为奇函数，所以()()33g g -=-，又()()33g f -=-，()32333g =⨯-=，所以()()()3333f g g -=-=-=-.故选：D考点三：利用奇偶性求参数例3.（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．14B ．54C ．74D ．2【答案】D【解析】因为函数2()1=++f x x ax 是定义在(,22)b b --上的偶函数，所以220b b -+-=且()()2211f x x ax x ax f x -=-+=++=，则02a b =⎧⎨=⎩，所以2()1f x x =+，则2(1)1122b f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D ．【变式3-1】（23-24高一上·山西长治·期末）若()()()2f x x x x a =+-为奇函数，则a 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】由函数()()()2f x x x x a =+-为奇函数，可得()()220f f -+=，可得()820a -=，解得2a =，经检验，当2a =时，()()()222(4)f x x x x x x =+-=-，满足()()f x f x -=-，符合题意，所以2a =.故选：D.【变式3-2】（23-24高一下·贵州贵阳·月考）若函数()()()2117f x m x m x =++-+是定义在(2,33)n n --上的偶函数，则()()f n m f +=（）A ．34B ．25C ．16D ．9【答案】A【解析】因为()()()2117f x m x m x =++-+是定义在(2,33)n n --上的偶函数，所以2330n n -+-=，得到3n =，显然1m ≠-，由()y f x =图象关于y 轴对称，得到10m -=，解得1m =，所以()227f x x =+，满足要求，得到()()(3)(1)25934f f f f n m +=+=+=.故选：A.【变式3-3】（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数()f x x x a=--为偶函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ．3a ≥C ．33a -≤≤D ．3a ≤-或3a ≥【答案】A【解析】 函数()f x =y =[3,3]-，且为偶函数，||y x x a ∴=--在[3,3]-(或其子集)上为偶函数，0x a ∴-≥恒成立，,(33) a x x ∴≤-≤≤恒成立， 3.a ∴≤-故选:A.考点四：利用奇偶性求解析式例4.（23-24高一上·北京·期中）设偶函数()f x 的定义域为R ，当()0,x ∈+∞时，()f x是增函数，则(f ，()πf ，()3f -的大小关系是（）A ．(π)(3)(f f f >->B ．()(()π3f f f >>-C ．()()(π3f f f <-<D ．()(()π3f f f <<-【答案】A【解析】由()f x 是R 上的偶函数，得((3)(3)f f f f =-=，又()f x 在()0,∞+上单调递增，则(3)(π)f f f <<，所以(π)(3)(f f f >->.故选：A【变式4-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）已知函数()f x 是奇函数且满足()()2f x f x =-，当[]()1212,0,1x x x x ∈≠时，()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()1a f =，83b f ⎛=⎫ ⎪⎝⎭，52c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a b c<<【答案】B【解析】[]()1212,0,1x x x x ∈≠，()()12120f x f x x x ->-，故()f x 在[]0,1上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在[]1,1-上单调递增，因为()()2f x f x =-，所以8822333f f f b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5512222c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为21132-<-<，所以()21132f f f ⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b<c<a .故选：B 【变式4-2】（22-23高一上·北京海淀·月考）设函数()f x 的定义域为[]0,4，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()2f x +为偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()2f x +为偶函数，所以函数()2f x +的图像关于y 轴对称，故函数()f x 的图像关于直线2x =对称，且()()13f f =，又()f x 在[]0,2上单调递减，故()f x 在[]2,4上单调递增，5723422<<<< ，()57322f f f ⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C【变式4-3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A ．()()()()23f f f f >B ．()()()()23f g f g <C ．()()()()23g g g g >D ．()()()()23g f g f <【答案】D【解析】因为()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，对于A 中，由()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，所以A 不正确；对于B 中，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，可得()00g =，又因为()g x 在[)0,∞+上单调递减，可得()()023g g >>，因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()()()()23f g f g >，所以B 不正确；对于C 中，由()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()23g g g g <，所以C不正确；对于D 中，由()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()23g f g f <，所以D 正确.故选：D.考点五：利用奇偶性与单调性比大小例5.（23-24高一下·云南·月考）已知偶函数()f x ，当0x >时，()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．2x x -+B ．2x x--C ．2x x+D ．2x x-【答案】D【解析】当0x <，则0x ->，()()()22f x x x x x -=-+-=-，又()f x 为偶函数，所以，当0x <时，()()2f x f x x x =-=-．故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()3f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．3x x -+B ．3x x--C ．3x x-D ．3x x+【答案】D【解析】()f x 为奇函数，当0x ≥时，()3f x x x =+，则当0x <时，0x ->，()()()()33f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=+⎣⎦.故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数(1),0()(),0x x x f x g x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，那么()g x =（）A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【答案】A【解析】当0x <时，0x ->，所以()(1)(1)f x x x x x -=---=+，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()(1)f x x x -=+，即()(1)f x x x =-+，所以当0x <时，()(1)g x x x =-+.故选：A.【变式5-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，2()()1f x g x x x +=-+，则(2)f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】根据题意，由2()()1f x g x x x +=-+①得2()()1f x g x x x -+-=++，因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，所以2()()1f x g x x x -+=++②，由①②得2()2f x x =-，所以()f x x =-，则(2)2f =-.故选：A.考点六：利用奇偶性与单调性解不等式例6.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且()21f =，则不等式()10f x +<的解集为（）A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()2,-+∞D ．(),2-∞-【答案】D【解析】由()10f x +<，可得()1f x <-，因为()f x 是奇函数，且()21f =，所以()()2f x f <-，因为()f x 在R 上单调递增，所以<2x -，故不等式()10f x +<的解集为(),2∞--．故选：D【变式6-1】（22-23高一上·北京·月考）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足()0xf x ≥的x 的取值范围是（）A ．[]2,0[2,)∞-⋃+B ．[]22-,C ．[][,2]0,2∞--⋃D ．[][],22,-∞-+∞ 【答案】B【解析】()f x 为R 上的奇函数，且在(,0)-∞单调递减，(2)0f =，(2)0f ∴-=，(0)0f =，且在()0,∞+上单调递减，所以()02f x x ≥⇒≤-或02x ≤≤，()020f x x ≤⇒-≤≤或2x ≥，()0xf x ∴≥可得0202x x x >⎧⎨≤-≤≤⎩或，或0202x x x ≤⎧⎨-≤≤≥⎩或，即02x <≤或20x -≤≤，即22x -≤≤，故选：B.【变式6-2】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,∞+单调递减，则不等式()()121f x f x ->+的解集为（）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】A【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()121f x f x ->+，又因为()f x 是在区间[)0,∞+单调递减，所以121x x -<+，即()()22121x x -<+，于是有2360x x +>，解得<2x -或0x >，故不等式()()121f x f x ->+的解集为()(),20,-∞-⋃+∞.故选：A.【变式6-3】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数()31f x x x =++，且()()2342f a f a +-<，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()(),41,-∞-+∞U C ．()(),14,-∞-⋃+∞D ．()1,4-【答案】A【解析】函数()31f x x x =++的定义域为R ，令函数3()=+g x x x ，则()()1f xg x =+显然33()()()()()g x x x x x g x -=-+-=-+=-，函数3,y x y x ==在R 上都单调递增，因此3()=+g x x x 在R 上单调递增，不等式()()2342f a f a +-<化为2(34)12()1g a a g -+++<，即2(34)(3)4()g g a a g a <--=-+，于是234a a <-+，即2340a a +-<，解得41a -<<，所以实数a 的取值范围是()4,1-.故选：A一、单选题1．（22-23高一上·天津北辰·月考）下列函数中，为偶函数的是（）A ．()f x =1x x -B ．()f x 2x C ．()f x 1x -1x -D ．()f x =x +1x【答案】B【解析】选项A 中，函数定义域是{|1}x x ≠，函数没有奇偶性；选项B 中，函数定义域是(,)-∞+∞，22()()()f x x x f x -=-==，是偶函数；选项C 中，函数定义域是{1}，函数没有奇偶性；选项D 中，函数定义域是{|0}x x ≠，1()()f x x f x x-=--=-，函数是奇函数．故选：B ．2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）函数()f x 为定义在[1,21]a -+上的偶函数，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．无法确定【答案】C【解析】因为()f x 为定义在[1,21]a -+上的偶函数，所以1210a -++=，解得0a =.故选：C.3．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当<2x -时，()82f x x =+；当02x <≤时，()22f x x =-，则()()()301f f f ++-=（）A ．7B ．9C ．-7D ．-9【答案】B【解析】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，()()833832f f =--=-=-+，()()()211121f f -=-=--=，所以()()()3019f f f ++-=．故选：B ．4．（23-24高一上·广东中山·月考）若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，则（）．A ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由偶函数知：()2(2)f f =-，又()f x 在(],0-∞上单调递增且3212<--<-，所以3(2)()(1)2f f f -<-<-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.故选：D 5．（23-24高一上·贵州毕节·月考）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f -=，则满足()111f x -≤+≤的x 的取值范围是（）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．[]22-,D ．[]0,3【答案】A【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞上单调递减，且()21f -=，可得()()221f f =--=-，则不等式()111f x -≤+≤，等价于212x -≤+≤，解得31x -≤≤，所以实数x 的取值范围为[]3,1-.故选：A.6．（23-24高一上·北京·期中）已知定义在[4,4]-上的偶函数()f x 在[0,4]上为减函数，且(1)(2)f x f +>-，则实数x 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(]3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-【答案】C【解析】因为()f x 为定义在[4,4]-上的偶函数，且(1)(2)f x f +>-，可得()1(2)f x f +>，且()f x 在[0,4]上为减函数，则012x ≤+<，解得31x -<<，所以实数x 的取值范围是()3,1-.故选：C.二、多选题7．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）()f x 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()()2f x f x f x --=C ．()()0f x f x -⋅≤D ．()()1f x f x =--【答案】AC【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，且()00f =，因此()()0f x f x -+=，A 正确；()()()2f x f x f x --=-，B 错误；又()()()20f x f x f x -⋅=-≤⎡⎤⎣⎦，C 正确；而当0x =时，()00f =，此时式子()()f x f x -无意义，D 错误.故选：AC8．（22-23高一下·河南·月考）已知函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨--<⎩为奇函数，则下列说法正确的为（）A ．2a =-B ．2a =C ．((1))1f f -=-D ．()f x 的单调递增区间为,1(),)1(-∞-⋃+∞【答案】BC【解析】因为函数()f x 为奇函数，(1)(1)f f ∴-=-，即1(12)a -+=--，解得2a =，故B 正确，A 错误；因为(1)121f -=-+=，所以((1))(1)1f f f -==-，故C 正确；作出()f x 的图象，如图，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，D 选项形式错误，不能用并集的符号.故选：BC.三、填空题9．（23-24高一上·北京·期中）已知函数()32–3f x ax x bx =++，且()106f =，则()10f -=．【答案】188【解析】令()3g x ax bx =+，()2–3h x x =，R x ∈，则()()()33g x ax bx ax bx g x -=--=-+=-，()()2–3h x x h x -==，所以()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，又()()()f x g x h x =+，且()()()1010106f g h =+=，()21010397h =-=，所以()1091g =-，()()101097h h -==，又()()101091g g -=-=，所以()()()1010109197188f g h -=-+-=+=.故答案为：18810．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数()323f x x ax x b =+-+是定义在R 上的奇函数，则a b +=．【答案】0【解析】由题意得()()()()()3232330f x f x x a x x b xax x b -+=-+---+++-+=，即2220ax b +=恒成立，则0a b ==，则0a b +=，故答案为：0.11．（23-24高一上·陕西西安·月考）已知函数()f x 对一切实数x 都满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，()221f x x x =-+，则()f x =．【答案】2221,00,021,0x x x x x x x ⎧--->⎪=⎨⎪-+<⎩【解析】函数()f x 对一切实数x 都满足()()0f x f x +-=，所以()00f =，设0x >，则0x -<，2()21f x x x -=++，又因为()()0f x f x +-=，即()()f x f x =--，所以2()21f x x x =---所以2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧--->⎪==⎨⎪-+<⎩.四、解答题12．（23-24高一上·重庆璧山·月考）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)4f =；当0x <时，2()f x x ax =+.(1)求a 的值；(2)求函数()f x 在R 上的解析式；(3)解方程()6f x =；【答案】(1)5；(2)225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩；(3)解集为{}6,2,3-【解析】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()1114f f a =--=--=，解得5a =；（2）当0x <时，2()5=+f x x x ，()f x 是定义在R 上的奇函数，则当0x >时，0x -<，则()()22()()55f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦，0x =时也满足，所以225,0()5,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩.（3）方程()6f x =，即2056x x x ≥⎧⎨-+=⎩或2056x x x <⎧⎨+=⎩，解得2x =或3x =或6x =-，所以方程()6f x =的解集为{}6,2,3-.13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数()24xf x x =-，()2,2x ∈-.(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)用定义法证明：函数()f x 在()2,2-上单调递增；(3)求不等式()()120f t f t +->的解集.【答案】(1)()f x 为奇函数；(2)证明见解析；(3)112t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由()()22044x xf x f x x x --+=+=--，且定义域()2,2x ∈-关于原点对称，故()f x 为奇函数.（2）任取12,(2,2)x x ∈-，且12x x <，()()()()()()()()()()()()()()221221121212121212122222222212121212444444444444x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--+-=-===--------，因为12,(2,2)x x ∈-，且12x x <，故120x x -<，()124,4x x ∈-，1240x x +>，2140x ->，2240x ->，所以()()()()121222124044x x x x x x -+<--，()()120f x f x -<，故函数()f x 在(2,2)-上单调递增；（3）由（1）（2）2()4xf x x =-为奇函数，且在(2,2)-上单调递增，()(12)0f t f t +->变形为()()(12)21f t f t f t >--=-，则要满足22122221t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪>-⎩，解得：112t -<<，故不等式的解集为112t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭。
函数的奇偶性习题及答案
函数的奇偶性习题及答案函数的奇偶性习题及答案函数是数学中非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
在学习函数的过程中，我们经常会遇到一些关于函数奇偶性的习题。
函数的奇偶性是指函数的图像是否具有对称性。
在本文中，我们将探讨一些与函数奇偶性相关的习题，并给出详细的解答。
1. 判断函数的奇偶性题目：给定函数 f(x) = x^3 + x，判断该函数的奇偶性。
解答：要判断函数的奇偶性，我们需要观察函数的定义域和函数表达式中的幂次。
对于给定的函数 f(x) = x^3 + x，我们可以发现它的定义域是全体实数。
接下来，我们将分别考虑 f(-x) 和 f(x) 的取值。
当 x 为正数时，f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x，而 f(x) = x^3 + x。
我们可以发现，f(-x) 和 f(x) 的取值是相反的，即 f(-x) = -f(x)。
这意味着函数 f(x) 是一个奇函数。
2. 函数的奇偶性与图像的对称性题目：给定函数 g(x) = x^2 + 1，判断该函数的奇偶性，并画出其图像。
解答：对于给定的函数 g(x) = x^2 + 1，我们可以观察到它的定义域是全体实数。
接下来，我们将分别考虑 g(-x) 和 g(x) 的取值。
当 x 为正数时，g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1，而 g(x) = x^2 + 1。
我们可以发现，f(-x) 和 f(x) 的取值是相同的，即 g(-x) = g(x)。
这意味着函数 g(x) 是一个偶函数。
根据函数的奇偶性，我们可以推断出函数的图像是否具有对称性。
对于偶函数，其图像关于 y 轴对称；对于奇函数，其图像关于原点对称。
3. 函数奇偶性的性质题目：给定函数 h(x) = x^4 - x^2，判断该函数的奇偶性，并说明奇偶性的性质。
解答：对于给定的函数 h(x) = x^4 - x^2，我们可以观察到它的定义域是全体实数。
函数的奇偶性题型解析(含答案)
函数奇偶性的判定问题1. 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x （5）xx x f 2)21()(2+= 2.判断下列函数的奇偶性2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩3.判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－3x 2＋1x ＞0x 3＋3x 2－1x ＜0的奇偶性．4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的函数是( )答案：BA. B.C. D.1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）AA ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数5.已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47．若y ＝（m +1）x 2＋8mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．0【例15】若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间。
2.已知函数是偶函数，那么是( )答案：A A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数已知函数121)(+-=x a x f )(R x ∈,若)(x f 为奇函数，则=a ___；9.若f （x ）=1222+-+⋅x x a a 为奇函数，求实数a 的值.2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） AA ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝01.设函数的定义域为，且是奇函数，则实数a 的值是( )答案：CA. B.1 C.D.36.已知函数是偶函数，且，则的值为( )答案：DA.-1B.1C.-5D.54．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）AA ．－26B ．－18C ．－10D ．102.已知函数)(x f y =为R 上的奇函数，若1)2()3(=-f f ，则=---)3()2(f f ____；5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）BA ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数8．函数2122)(x x x f ---=奇偶性为_____奇函数___（填奇函数或偶函数）)(x f 是定义在R 上的奇函数,则)0(f =___；若有3)2(=-f ，则=)2(f ___；若7)5(=f ；则=-)5(f ___；已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f 。
七年级数学专题训练26奇偶分析(附答案)
七年级数学专题训练26奇偶分析阅读与思考整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数X偶数.由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析.运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：1.奇数w偶数.2.奇数土奇数=偶数，奇数土偶数=奇数，偶数土偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.4.若“是整数，则“与同，-"，/（〃为自然数）有相同的奇偶性.5.设“，。
是整数，则4 +力，4—力，,+ “，,一可都有相同的奇偶数.6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.例题与求解【例1】数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…的排列规律是：前两个数是1.从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2 004个数中共有一个偶数.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律.【例2】如果〃，b, C都是正整数，且“，。
是奇数，则3a +（〃-1人是（）.A.只当c为奇数时，其值为奇数B.只当c为偶数时，其值为奇数C.只当c为3的倍数时，其值为奇数D.无论。
为任意正整数时，其值均为奇数（五城市联赛试题）解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择.【例3】能否找到自然数〃和。
,使。
2 = 2002+从（“华罗庚金杯”邀请赛试题）解题思路：假设存在自然数a和。
，使等式成立，则（a +份（a —5） = 2002,从a+b,〃一》的奇偶性展开推理.【例4】在6张纸片的正面分别写上整数1, 2, 3, 4, 5, 6,打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反而也随意写上「6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的.（北京市竞赛试题）解题思路：从反而入手，即设这6个数两两都不相等，利用何-4与£=1, 2, 3, 4, 5, 6 的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.【例5】表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变成B, B变成C…最后字母Z变成A, ）.问: 能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由.S 0 B R K B D ST Z E P H E X GH 0 C N R T B SA D V X C F Y A表甲表乙（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.【例6】设X］，X?,…X” 为 +1 或- 1,并且七也均以 + X2x3x4x5 + X3X4X5A-6+■•■+X n-^n-lX n_x X n +项.2%-内向+ X«-l X n A l X2 +%内巧43 =。
四年级奥数 奇偶分析法综合讲解及补充练习(含答案)doc
四年级奥数奇偶分析法综合讲解及补充练习（含答案）doc 第六节奇偶分析法内容讲解整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以处，?我们还应掌握以下性质：①设a，b为整数，则a与an的奇偶性相同：a+b，a-b的奇偶性相同．②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反．若m为整数，b为偶数，?则m±b的奇偶性与m相同．③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同．例题剖析例1 下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12?个整数中至少有几个偶数？□＋□＝□，□－□＝□，□×□＝□，□÷□＝□．分析：由于本题所涉及的奇数与偶数的和（差）或积（商），故可应用奇偶数的基本性质求解．解：根据条件和奇偶数的基本性质知，加法和减法中至少有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有两个偶数，故这12个整数中至少有6个偶数．评注：在解此题时，要注意将和与差，积与商并在一起共同研究．例2 在1，2，3，…，2021，2021的每一个数前，任意添上一个正号或负号，?试判断它们的代数和是奇数还是偶数？分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，但可从1+2=3，2-1=1；3+4=7，4-3=1…．?可见两个整数之与这两个整数之差的奇偶性质是相同的，于是我们可以从这条性质入手．解：因为两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在给出的数字前面添上正号或负号不改变其奇偶性．而1+2+…＋2021+2021=2021(1?2021)=1004×2021为偶数．2 所以已知数字作为变换后的代数和仍为偶数．评注：此题通过对一些具体的数字的研究推出一般性结论，是由于已知数为有限整数．例3 已知x，y是质数，z是奇质数，且x（x+y）=z+8，求y（x+z）的值．分析：此题的关键是从x（x+y）=z+8求出x，y，z的值．解：由已知条件和质数，奇偶数性质知：（z+8）为奇数，所以x和（x+y）?为奇数，于是y为偶数，又y为质数，故y=2．则x，z应满足x（x+2）=z+8，即z=x2+2x-8=（x-2）（x+4）．由于z是奇质数，所以必有x-2=1，x+4=z，即x=3，z=7．故y（x+z）=2（3+7）=20．评注：奇偶分析法在解不定方程方面的应用也推广，大家仔细体会．例4 能否把1，1，2，2，…，30，30这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个30之间夹着三十个数？试说明理由．分析：我们知道30对数共60个，我们可将之分成奇，偶两类数加以讨论，?以便求解．解：假设能按要求排成一行，于是60个数被安排在60个位置上，为了方便起见，给他们所在的位置依次编上号，具体研究一个个对象较为困难，不妨把所有数分成奇数、偶数两大类进行．（1）先考察偶数，设一个偶数m，两个m之间有m个数，这说明若有一个m在奇数位置，则另一个m必在偶数位置，反之亦然．于是15对偶数分别占据了15个奇数位，15?个偶数位；（2）再研究一个奇数n，两个奇数n之间夹着n个数．只要一个n占据奇数位，则另一个n也占据着奇数位，即成对占据奇数位．设有k对奇数占据奇数位，因60个位置中有30个奇数位．?于是这些奇数位应被15个偶数和2k个奇数占据，则30=15+2k，即2k=15，这显然是不可能成立的，?所以不能按要求排成一行．评注：此题巧妙地利用了奇偶数的基本性质解决问题，可见数的奇偶性的作用．例5 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数，?然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．分析：从正面入手比较困难，我们不妨从反面去思考，即设这6个数两两都不相等，利用│ai-bi│与ai-bi（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．解：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3，a4，a5，a6，反面写的数对应为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则这6张卡片为│a1-b1│，│a2-b2│，│a3-b3│，│a4-b4│，│a5-b5│，│a6-b6│．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值，于是│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-?b4│+│a5-b5│+│a6-b6│=0+1+2+3+4+5=15是个奇数另一方面，│ai-bi│与ai-bi（i=1，2，…，6）的奇偶性相同，所以│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-b4│+│a5-b5│+│a6-b6│与（a1-b1）+（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）+（a5-b5）+（a6-b6）=（a1+a2+…+a6）-（b1+b2+…+b6） =（1+2+…+6）-（1+2+…+6）=0的奇偶性相同，是个偶数．这与（*）矛盾，故│a1-b1│，│a2-b2│，…，│a6-b6│这6个数中至少有两个是相同的．评注：一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理，?引入字母是数学化的常用方式方法，另外赋值法也是数学化的常用方式方法．巩固练习 1．填空题（1）已知a，b，c分别是2021，2021，2021中的一个数，则（a-1）×（b-2）×（c-?3）?是________数（奇、偶数）；（2）三个相邻偶数之积是一个六位数，这个六位数的首位数字是8，末位数字是2，则这三个偶数是________；（3）将1到100这100个自然数任意排成一行，?其中所有相邻两数的和中，?至少有________个偶数，至多有_______个偶数． 2．选择题（1）若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ ?）（A）185 （B）183 （C）181 （D）179（2）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有（）个数字是奇数．（A）7 （B）8 （C）9 （D）10（3）设x和y为两个自然数，它们的和与差相乘的积是偶数，则（x+y）与（x-y）（）（A）同为偶数（B）同为奇数（C）x+y是偶数，x-y是奇数（D）x+y是奇数，x-y是偶数3．一串数排成一行，它们的规律是：头两个数都是1，从第三个数开始，?每一个数都是前两个数之和，问这串数的前2021个数中有多少个偶数？4．设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动n-1个拉线开关，试问：?能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．5．试说明：只用2×2及3×3的两种瓷砖不能恰好铺盖23×23的正方形地面．答案:1．（1）偶；（2）94，96，98；（3）0，98． 2．（1）C；（2）D；（3）A3．由条件和要求，可以先写出这一串数的奇偶数，然后寻找规律：1，1，2，3，5，?8，13，21，34，55，89，…即规律为奇奇偶奇奇偶…．?即两个奇数一个偶数且三个数一循环，而偶数恰在3，6，9，12…这些序号上，即只有序号为3的倍数的数是偶数．? 因2021=3×669+1，故这串数的前2021个数中有669个偶数． 4．从简单情况研究，当n=1时，显然不行；当n=2时，1号灯不动，2号关上；2?号灯不动，1号关上，可行．当n=3时，每盏灯拉动奇数次时才能关上，3个奇数的和仍为奇数，?而n-1=2，即按规定总拉动开关的次数是偶数，故不能把灯全关闭，由此猜测，当n为偶数时可以；当n为奇数是不行．5．将23×23的正方形地面中第1，4，7，10，13，16，19，22列中的小方格全涂成黑色，剩下的小方格涂成白色，于是白色的小方格总数为15×23是一个奇数，又因每块2×2砖总能盖住二黑格和二白格或四白格．每块3×3砖总能盖住三黑格和六白格，?故无论多少2×2及3×3砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住15×23个白格，所以只用2×2及3×3砖不能盖住23×23的地面．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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专题26 奇偶分析
例1 668 提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是 ：从第一个数开始，每组连续的3个数
中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004÷3＝668.所以前2004个数中共有668个偶数. 例2 D
例3 假设存在自然数a 和b ，使22
2002a b =+ .则（a ＋b ）(a －b )＝2002＝2×1001，若
a ，
b 同为奇数或同为偶数，则（a ＋b ）×（a －b ）必定是“偶数×偶数”；若a ，b 为一奇一偶，则(a ＋b )(a －b )必定是“奇数×奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数×奇数”相
矛盾，故找不到自然数a 和b ，使22
2002a b =+ .
例 4 提示：设6张卡片正面写的数是
123456
a ,,,,,a a a a a ，反面写的数对应为
123456
,,,,,b b b b b b ，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为
112266
,,...,a b a b a b --- .
设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，…，5这6个值，于是
112266
,,...,a b a b a b ---＝0＋1＋2＋…＋5＝15是个奇数.
又
i i
a b - 与
i i
a b - （i ＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以
112266
+...a b a b a b --++-
与()()()()()1
12266161260
.........a
b a b a b a a b b b -+-++-=++-+++=
的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾. 例5 提示：不能，理由如下：
将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A 用1，B 用2，…，Z 用26代替），这样表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁： 19 15 2 18 11 2 4 19 20 26 6 16 8 5 24 7 8 15 3 14 18 20 2 19
1 4 2
2 24
3 6 25 1
表丙 表丁
这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换： 1→2， 2→3，…，25→26， 26→1.
显然，每次操作不改变这16个数字和的奇偶性，但表丙、表丁16个数字的和分别为213，174，它们的奇偶性不同，故表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙． 例6 由于乘积
12342345123
,,...,n x x x x x x x x x x x x 都是＋1或－1，且总和为0．所以一定有偶
数项，即n 一定是偶数2m .
将上面的n 个数相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m 个，所以它们的乘积为
()1m
- ，
另一方面，在乘积中，
12,,...,x n
x x 作为因数都出现四次，所以乘积为＋1，于是
()
11
m
-=，m 为偶数，故n 是4的倍数．
【能力训练】
1．偶
2. 1999 提示：由2a ＋b ＝2 001知2
a ，
b 必为一奇一偶．又 ∵a 是质数且a 为偶数．∴a
＝2，b ＝ 997，故a ＋b ＝ 1 999.
3. 19或25
4. 19提示：在2221210,,...中，十位数字是奇数的只有2
4 ＝16，26 ＝36，两位数的平方
可以表示为
()
2
10a
b + =1002a ＋20ab ＋2b ，它的十位数的奇偶性与2
b 十位数字的
奇偶性相同，因此，b 只能取4与6，即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇
数． 5．D 提示：设
12345
,,,,a a a a a 是1，2，3，4，5中一个满足要求的数列，首先，对于
1234,,,,
a a a a 不能连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果i
a (1
≤i ≤3)是偶数，
1
i a +是奇数，则
1
i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个
以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以，
a
a
a
a
a
只能是偶奇奇偶
奇，故有如下5种情形满足条件：①2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2， 5；⑤4，5，3，2，1.
6．B 7．C 8．D 9.
提
示
：
()()()()()1
219991219991219991219990
...a ......a
a a a a -+-+-=+++-+++=
10．考虑黑板上保留奇数的个数.
经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则和或差仍为奇数，奇数的个数保持不变． 如果是两个奇数，则和或差为偶数．奇数的个数减少2 个；如果是两个偶数，则和或差为
偶数．奇数的个数保持不变.
由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变．
由于一开始黑板上共有1974
9872=奇数，即有奇数个奇数．经过若干次操作后，黑板上
一定仍保留着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为0．
11．找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数a ，b ，c 满足等式，则左边四个
式子中至少有一个是偶数，不妨a ＋b ＋c 为偶数，则a －b ＋c ＝(a ＋b ＋c )－2b ，a ＋b －c ＝ (a ＋b ＋c ) － 2c ，(b ＋c －a )－(a ＋b ＋c )－2a 都为偶数，从而左边能被16整除，而3 388不
能被16整除，得出矛盾．
12. －盏灯的开关被拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不
改变原来的状态，因1999 ＝7×285＋4，又A ，B ，C ，D 四盏灯的开关各被拉动了286次，而E ，F ，G 三盏灯的开关各被拉动了285次，所以，小刚拉动了1 999次开关后，A ，B ，C ，D 四灯不改变状态，E ，F ，G 三灯将改变原来的状态，故A ，C ，F 最后是开着的，。