《多元线性回归模型》PPT课件
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多元线性回归与相关(共30张PPT)
❖ 根据矩阵行列式性质，矩阵行列式的值等于
其特征根的连乘积。因此，当行列式| X'X|≈0
时，至少有一个特征根为零，反过来，可以
证明矩阵至少有一个特征根近似为零时，X的
列向量必存在多重共线性，同样也可证明 X ' X
有多少个特征根近似为零矩阵X就有多少个多
重共线性。根据条件数 K i
, m
i
其中 m为最
❖ 首先给出引入变量的显著性水平和剔除变量的显著性水平，然后 筛选变量。
回归变量的选择与逐步回归
回归变量的选择与逐步回归
❖ 逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其 偏回归平方和（即贡献），然后选一个偏回归平方和最小的变量，在预 先给定的水平下进行显著性检验，如果显著则该变量不必从回归方程中 剔除，这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除（因为其它的几个变 量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除）。相反，如果不显 著，则该变量要剔除，然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其 它变量进行检验。将对影响不显著的变量全部剔除，保留的都是显著的 。接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和，并选其 中偏回归平方和最大的一个变量，同样在给定水平下作显著性检验，如 果显著则将该变量引入回归方程，这一过程一直继续下去，直到在回归 方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止，这时逐步回归 过程结束。
多重共线性检验
❖ 检查和解决自变量之间的多重共线性，多多 元线性回归分析来说是很必要和重要的一个 步骤，常用的共线性诊断方法包括：
❖ 直观的判断方法 ❖ 方差扩大因子法(VIF) ❖ 特征根判定法
直观的判断方法
❖ 在自变量 的相关系数矩阵中，有某些自变量 的相关系数值比较大。
第9章多元线性回归-PPT精品文档
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 多元线性回归模型 拟合优度和显著性检验 多重共线性及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回 归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
统 计 学
(第三版)
2019
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第三版)
统计名言
上好的模型选择可遵循一个称为奥 克姆剃刀(Occam’s Razor)的基本原 理：最好的科学模型往往最简单， 且能解释所观察到的事实。
——William Navidi
9-2 2019年8月
第 9 章 多元线性回归
b1，b假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均变动值
9 - 10
2019年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
9 - 11 2019年8月
9.1 多元线性回归模型 9.1.2 参数的最小二乘估计
统计学
STATISTICS (第三版)
参数的最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ 。即 达到最小来求得 b 0 1 2 k
2 2 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ ) (y y ˆ Q( b ) e i i i 最小 0 1 2 k i 1 i 1 n n
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
多元线性回归模型、回归方程与估计的回 归方程 回归方程的拟合优度与显著性检验 多重共线性问题及其处理 利用回归方程进行预测 虚拟自变量的回归 用Excel和SPSS进行回归分析
统 计 学
(第三版)
2019
作者 贾俊平
统计学
STATISTICS (第三版)
统计名言
上好的模型选择可遵循一个称为奥 克姆剃刀(Occam’s Razor)的基本原 理：最好的科学模型往往最简单， 且能解释所观察到的事实。
——William Navidi
9-2 2019年8月
第 9 章 多元线性回归
b1，b假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均变动值
9 - 10
2019年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
估计的多元线性回归的方程
(estimated multiple linear regression equation)
9 - 11 2019年8月
9.1 多元线性回归模型 9.1.2 参数的最小二乘估计
统计学
STATISTICS (第三版)
参数的最小二乘估计
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ 。即 达到最小来求得 b 0 1 2 k
2 2 ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,, b ˆ ) (y y ˆ Q( b ) e i i i 最小 0 1 2 k i 1 i 1 n n
经典多元线性回归模型PPT课件
Y 0 1X1 2 X2 ... k Xk u
此即为多元线性总体回归模型。
称
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 2 X 2 ... k X k
为多元线性总体回归函数。
3
第3页/共53页
计量经济学模型引入随机扰动项的原因：
反映影响被解释变量的未知因素； 代表数据观测误差； 反映影响被解释变量的个体因素；
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有一致性。
28
第28页/共53页
1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与X有关的矩阵。
2、无偏性
E(βˆ ) E(( XX)1 XY) E(( XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
记残差向量为
可以表示为
^
eY X
e1
e
e2
en
此时，多元线性样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
可以表示为：
Y Xβˆ e
11
第11页/共53页
由上述正规方程组
^^
^
(Yi 0 1 X1i ... k X ki) 0
得多元线性样本回归函数：
^
^
^
^
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 ... k X k
^^
^
定义残差： ei Yi (0 1 X1i ... k X ki )
称 Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
为多元线性样本回归模型。 5 第5页/共53页
^
j
~
c N( , c ) 2
此即为多元线性总体回归模型。
称
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 2 X 2 ... k X k
为多元线性总体回归函数。
3
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计量经济学模型引入随机扰动项的原因：
反映影响被解释变量的未知因素； 代表数据观测误差； 反映影响被解释变量的个体因素；
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有一致性。
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1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与X有关的矩阵。
2、无偏性
E(βˆ ) E(( XX)1 XY) E(( XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
记残差向量为
可以表示为
^
eY X
e1
e
e2
en
此时，多元线性样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
可以表示为：
Y Xβˆ e
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由上述正规方程组
^^
^
(Yi 0 1 X1i ... k X ki) 0
得多元线性样本回归函数：
^
^
^
^
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 ... k X k
^^
^
定义残差： ei Yi (0 1 X1i ... k X ki )
称 Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
为多元线性样本回归模型。 5 第5页/共53页
^
j
~
c N( , c ) 2
多因变量的多元线性回归课件
多因变量的多元线性回归课件
contents
目录
• 引言 • 多因变量的多元线性回归模型 • 多因变量的多元线性回归的评估指标 • 多因变量的多元线性回归的实例分析 • 多因变量的多元线性回归的优缺点与改
进方向 • 多因变量的多元线性回归在实际应用中
的注意事项
01
引言
多元线性回归的定义与背景
多元线性回归的定义
模型选择
根据实际问题和数据特点，选择合适的多元线性回归模型，如普通多元线性回 归、岭回归、Lasso回归等。
评估指标选择
选择合适的评估指标对模型进行评估，如均方误差（MSE）、均方根误差（ RMSE）、决定系数（R^2）等。
模型解释与应用场景
模型解释
对选定的多元线性回归模型进行详细解释，包括模型的假设条件、参数意义、适 用范围等方面。
改进方向
验证假设
在应用多元线性回归之前，需要对假设条件 进行验证，确保满足条件。
引入其他模型
如果多元线性回归不适用，可以考虑引入其 他模型，如支持向量机、神经网络等。
降维处理
如果自变量数量过多，可以考虑进行降维处 理，减少计算复杂度。
数据预处理
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值 处理等，以提高回归结果的准确性。
岭回归
当自变量之间存在多重共 线性时，可以使用岭回归 来估计模型的参数。
模型的假设检验
01
02
03
04
线性性检验
检验自变量和因变量之间是否 存在线性关系。
共线性检验
检验自变量之间是否存在多重 共线性。
异方差性检验
正态性检验
检验误差项是否具有相同的方 差。
检验误差项是否服从正态分布。
contents
目录
• 引言 • 多因变量的多元线性回归模型 • 多因变量的多元线性回归的评估指标 • 多因变量的多元线性回归的实例分析 • 多因变量的多元线性回归的优缺点与改
进方向 • 多因变量的多元线性回归在实际应用中
的注意事项
01
引言
多元线性回归的定义与背景
多元线性回归的定义
模型选择
根据实际问题和数据特点，选择合适的多元线性回归模型，如普通多元线性回 归、岭回归、Lasso回归等。
评估指标选择
选择合适的评估指标对模型进行评估，如均方误差（MSE）、均方根误差（ RMSE）、决定系数（R^2）等。
模型解释与应用场景
模型解释
对选定的多元线性回归模型进行详细解释，包括模型的假设条件、参数意义、适 用范围等方面。
改进方向
验证假设
在应用多元线性回归之前，需要对假设条件 进行验证，确保满足条件。
引入其他模型
如果多元线性回归不适用，可以考虑引入其 他模型，如支持向量机、神经网络等。
降维处理
如果自变量数量过多，可以考虑进行降维处 理，减少计算复杂度。
数据预处理
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值 处理等，以提高回归结果的准确性。
岭回归
当自变量之间存在多重共 线性时，可以使用岭回归 来估计模型的参数。
模型的假设检验
01
02
03
04
线性性检验
检验自变量和因变量之间是否 存在线性关系。
共线性检验
检验自变量之间是否存在多重 共线性。
异方差性检验
正态性检验
检验误差项是否具有相同的方 差。
检验误差项是否服从正态分布。
《多元线性回归》PPT课件
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
第五章 多元线性回归PPT课件
ˆ b0 b1 x1 b2 x2 ... bk xk y
如果xi增加一个单位，即xi变为xi+1，而 其他自变量均保持不变，相应有
ˆ b b x b x y
1 0 1 1 2
2
... bi ( xi 1) ... bk xk
则y的变化幅度为
ˆ [b b x b x ... b ( x 1) ... b x ] ˆ y y [b b x b x ... b ( x 1) ... b x ] b
R
2
二、调整的确定系数
R
2
偏高
＜(1:10)
自变量个数 样本规模
三、多元相关系数R
因变量观测值和预测值之间的相关程度
四、方差分析
回归平方和
y的总变 差平方 和
第五节
回归方程的检验和回归系数的推断统计
检验
统计推断
参见郭志刚主编，《社会统计分析方法—SPSS软件应用》第二章， 中国人民大学出版社1999
第一节 相关和回归
一、相关统计量 用一个数值表示两个变量间的相关程度 （无单位度量）（-1~+1）
解读
X与y的相关系数为0.6，x与z的相关系数为 0.3
答案： 只能说明x与y相关程度高于x与z的相关程 度，但不能说前者是后者的两倍
x y x y x y 1 2 y y y y 1 y y 1 2 x x y x 1 x y
y
y
练习：根据下表数据计算lambda
志愿 男
快乐家庭 理想工作 增广见闻 总数 10 40 10 60
性别 女
30 10 0 40
总数
《多元线性回归分析》PPT课件
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
第三章-多元线性回归模型ppt课件
32
§3.5 最小二乘估计量的特征
上一章中谈到，经典一元线性回归模
型的OLS估计量满足线性、无偏及方差最
小性，即高斯——马尔可夫定理，对于经
典多元线性回归模型的普通最小二乘估计
量，这一性质仍然存在，换言之，对于满
足经典假设的多元线性回归模型，采用
OLS方法所得估计量 也满足线性、无偏
及方差最小性。 ppt精选版
ˆ 3
yi x3i
x
2 2i
x
2 2i
yi x2i
x2i x3i
x32i ( x2i x3i ) 2
ppt精选版
30
解方程时的系数行列式：
x22i
x2ix3i
x2ix3i
x32i
解 ˆ2 时的分子行列式：
yix2i
x2ix3i
yix3i
x32i
ppt精选版
31
第三章 第五节
ppt精选版
Y 01P2D P 3P I 2 U
ppt精选版
5
二、多元总体线性回归模型 总体模型： 1、分量式：
Y i 0 1 X 1 i 2 X 2 i k X k u ii
2、总量式
Y 01X 1 ppt精选版2X 2 kX k 6U
称 之 为 变 量 Y 关 于 变 量 X1, X2, …, Xk的k元总体线性回 归模型，Y称为被解释变量 ，X1, X2, …, Xk称为解释变 量，k 称为解释变量个数， U 称为随机扰动项，或随机 项，或扰动项。
一、多元总体线性回归模型的矩阵表示
YX βU Y1
Y
Y
2
Yn
1 X 21 X k1
X
1
X 22
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其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与固定的X有关的行向量
2、无偏性
E(βˆ ) E((XX)1 XY) E((XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
这里利用了假设: E(X’Ｕ)=0
3、有效性（最小方差性）
其中利用了 和
βˆ (XX)1 XY
(XX) 1 X(Xβ μ) β (XX) 1 Xμ
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得 到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2,, k 。
正规方程组的矩阵形式
n
X1i
X ki
X1i
X
2 1i
X ki X 1i
X ki
X1i X
X
2 ki
ki
ˆ0 ˆ1
ˆ k
1 X 11
ˆ1
ˆk
基本假定
假设1 随机误差项具有零均值
u1
E
u2
0
ui
假设2 随机误差项具有同方差 假设3 随机误差项不序列相关性
E (μμ )
E
1
1
n
n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
由于 (Yi Yˆ)(Yˆi Y ) ei (Yˆi Y )
ˆ0 ei ˆ1 ei X1i ˆk ei X ki Y ei
=0
所以有：
TSS (Yi Yˆi )2
XY XXβˆ
βˆ (XX)1 XY
随机误差项u的方差2的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
第三节 参数估计量的性质
在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计具有： 线性性、无偏性、有效性。
1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
E(μμ) 2I
第四节 可决系数
• 总离差平方和的分解 • 多元样本可决系数 • 修正样本可决系数
总离差平方和的分解
TSS (Yi Y )2 ((Yi Yˆi ) (Yˆi Y )) 2 (Yi Yˆi )2 2(Yi Yˆi )(Yˆi Y ) (Yˆi Y )2
值E(Y)的变化; 或者说j给出了Xj的单位变化对Y
均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影 响。
总体回归模型矩阵表达式
总体回归模型矩阵表达式为
Y=Xβ+U
其中
1
X
1
1
X 11 X 12
X 1n
X 21 X 22
X 2n
X k1
X
k
2
X
kn
n(k 1)
0
1
β
2
k (k1)1
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i )X 2i
Yi Yi Yi
X 1i X 2i
(ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
i ~ N (0, 2 )
3.2 最小Hale Waihona Puke 乘法• 参数的最小二乘估计
•
随机误差项的方差
2的估计量
u
参数的普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 (Yi , X ji ), i 1,2,, n, j 0,1,2,k 如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki ui i=1,2…,n 其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数。习 惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该 虚变量的样本观测值始终取1。这样模型中 解释变量的数目为（k+1）
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
i=1,2…n
ˆ
0
ˆ1
ˆ
2
ˆ k
Q
Q
Q Q
0 0 0
0
n
n
其中 Q ei2 (Yi Yˆi ) 2
i 1
i 1
n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i1
正规方程
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
0
2
基本假定
假设4 n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩 =k+1，即X满秩。解释变量与随机项不相关
E(X’U)=0
ui E(ui )
E
X1iui
X
1i E(ui
)
0
X Kiui X Ki E(ui )
假设5 解释变量之间不存在完全线性关系
假设6，随机项满足正态分布
第三章 多元线性回归模型
• 模型的建立及其假定条件 • 最小二乘法 • 最小二乘估计量的特性多元线性回归模型的
预测 • 可决系数 • 显著性检验与置信区间 • 预测 • 案例分析
模型的建立及其假定条件
• 基本概念 • 多元线性回归模型的基本假定
基本概念
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。一般形式：
也被称为总体回归函数。
E(Yi | X1i , X 2i , X ki ) 0 1 X1i 2 X 2i k X ki
被称为多元总体线性回归方程,简称总体回归方程。方程表示各变 量X值固定时Y的平均响应。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量
保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均
X k1
1 X 12
X k2
1 Y1 X 1n Y2 X kn Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有
βˆ (XX)1XY
将OLS过程用矩阵表示如下：
即求解方程组：
βˆ (Y
Xβˆ )(Y
Xβˆ )
0
得到： 于是：
βˆ (YY βˆ XY YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 βˆ (YY 2YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 XY XXβˆ 0
u1
U
u2
u
n
样本回归函数
样本回归函数用来估计总体回归函数
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki
称
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
其中的 ei为残差。 样本回归函数的矩阵表达为
Yˆ Xβˆ 其中：
ˆ0
βˆ
2、无偏性
E(βˆ ) E((XX)1 XY) E((XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
这里利用了假设: E(X’Ｕ)=0
3、有效性（最小方差性）
其中利用了 和
βˆ (XX)1 XY
(XX) 1 X(Xβ μ) β (XX) 1 Xμ
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得 到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2,, k 。
正规方程组的矩阵形式
n
X1i
X ki
X1i
X
2 1i
X ki X 1i
X ki
X1i X
X
2 ki
ki
ˆ0 ˆ1
ˆ k
1 X 11
ˆ1
ˆk
基本假定
假设1 随机误差项具有零均值
u1
E
u2
0
ui
假设2 随机误差项具有同方差 假设3 随机误差项不序列相关性
E (μμ )
E
1
1
n
n
var(1 ) cov(1, n ) 2 0
2I
cov(
n
,
1
)
var(n )
由于 (Yi Yˆ)(Yˆi Y ) ei (Yˆi Y )
ˆ0 ei ˆ1 ei X1i ˆk ei X ki Y ei
=0
所以有：
TSS (Yi Yˆi )2
XY XXβˆ
βˆ (XX)1 XY
随机误差项u的方差2的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
第三节 参数估计量的性质
在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计具有： 线性性、无偏性、有效性。
1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
E(μμ) 2I
第四节 可决系数
• 总离差平方和的分解 • 多元样本可决系数 • 修正样本可决系数
总离差平方和的分解
TSS (Yi Y )2 ((Yi Yˆi ) (Yˆi Y )) 2 (Yi Yˆi )2 2(Yi Yˆi )(Yˆi Y ) (Yˆi Y )2
值E(Y)的变化; 或者说j给出了Xj的单位变化对Y
均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影 响。
总体回归模型矩阵表达式
总体回归模型矩阵表达式为
Y=Xβ+U
其中
1
X
1
1
X 11 X 12
X 1n
X 21 X 22
X 2n
X k1
X
k
2
X
kn
n(k 1)
0
1
β
2
k (k1)1
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i )X 2i
Yi Yi Yi
X 1i X 2i
(ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
i ~ N (0, 2 )
3.2 最小Hale Waihona Puke 乘法• 参数的最小二乘估计
•
随机误差项的方差
2的估计量
u
参数的普通最小二乘估计
对于随机抽取的n组观测值 (Yi , X ji ), i 1,2,, n, j 0,1,2,k 如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki ui i=1,2…,n 其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数。习 惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该 虚变量的样本观测值始终取1。这样模型中 解释变量的数目为（k+1）
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki ui
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
i=1,2…n
ˆ
0
ˆ1
ˆ
2
ˆ k
Q
Q
Q Q
0 0 0
0
n
n
其中 Q ei2 (Yi Yˆi ) 2
i 1
i 1
n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i1
正规方程
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
0
2
基本假定
假设4 n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩 =k+1，即X满秩。解释变量与随机项不相关
E(X’U)=0
ui E(ui )
E
X1iui
X
1i E(ui
)
0
X Kiui X Ki E(ui )
假设5 解释变量之间不存在完全线性关系
假设6，随机项满足正态分布
第三章 多元线性回归模型
• 模型的建立及其假定条件 • 最小二乘法 • 最小二乘估计量的特性多元线性回归模型的
预测 • 可决系数 • 显著性检验与置信区间 • 预测 • 案例分析
模型的建立及其假定条件
• 基本概念 • 多元线性回归模型的基本假定
基本概念
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。一般形式：
也被称为总体回归函数。
E(Yi | X1i , X 2i , X ki ) 0 1 X1i 2 X 2i k X ki
被称为多元总体线性回归方程,简称总体回归方程。方程表示各变 量X值固定时Y的平均响应。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量
保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均
X k1
1 X 12
X k2
1 Y1 X 1n Y2 X kn Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有
βˆ (XX)1XY
将OLS过程用矩阵表示如下：
即求解方程组：
βˆ (Y
Xβˆ )(Y
Xβˆ )
0
得到： 于是：
βˆ (YY βˆ XY YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 βˆ (YY 2YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 XY XXβˆ 0
u1
U
u2
u
n
样本回归函数
样本回归函数用来估计总体回归函数
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki
称
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
其中的 ei为残差。 样本回归函数的矩阵表达为
Yˆ Xβˆ 其中：
ˆ0
βˆ