等差数列通项公式推导
等差数列的2个通项公式
等差数列通项公式是an＝a1＋（n－1）＊d。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
通项公式推导：a2－a1＝d；a3－a2＝d；a4－a3＝d……an－a（n－1）＝d，将上述式子左右分别相加，得出an－a1＝（n－1）＊d→an＝a1＋（n－1）＊d。
相关扩展：
在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)。
记等差数列的前n项和为S。
若a >0，公差d<0，则当a ≥0且a +1≤0时，S 最大；若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且+1≥0时，S 最小。
若等差数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=-p-q,并且有ap=q,aq=p则ap+q=0。
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。
并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍。
数列的求和与通项公式推导
数列的求和与通项公式推导在数学中，数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
而数列的求和以及推导通项公式是数列研究中的重要内容。
本文将介绍数列的求和以及通项公式推导，并通过实例进行说明。
一、等差等差数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之差是一个常数，这个常数被称为公差。
我们将针对等差数列的求和与通项公式进行讨论。
1. 求和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，我们要求前n项的和Sn。
我们可以观察等差数列的前n项和与首项与末项的关系：Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) + (aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁)根据等差数列的性质，我们可以得到：Sn = (a₁ + aₙ)(n/2)这就是等差数列的求和公式。
2. 通项公式推导：为了推导等差数列的通项公式，我们假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an。
通过观察等差数列的规律，我们可以发现：aₙ = a₁ + (n-1)d二、等比等比数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之比是一个常数，这个常数被称为公比。
我们将针对等比数列的求和与通项公式进行讨论。
1. 求和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为r，我们要求前n项的和Sn。
类似地，我们观察等比数列的前n项和与首项与末项之间的关系：Sn = (a₁ + a₂ + ... + aₙ)Sn * r = (a₁r + a₂r + ... + aₙr)通过两式相减，我们可以得到：Sn * (1 - r) = a₁(1 - rⁿ)化简后得到：Sn = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)这就是等比数列的求和公式。
2. 通项公式推导：为了推导等比数列的通项公式，我们假设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an。
通过观察等比数列的规律，我们可以发现：an = a₁ * r^(n-1)综上所述，我们介绍了等差数列和等比数列的求和以及通项公式推导。
这些公式在数列相关问题的求解中起到重要的作用。
等差数列通项公式推导
16.在等比数列 {an }中,a3a4a5 3,a6a7a8 24, 则 a9a10a11 D
A. 48 B. 72 C. 144
D. 192
17.在等比数列{an } 中,2a4 a6 a5
则公比q等于: C
A. 1或2 B. -1或-2 C. 1或-2 D. -1或2
课堂小结 （1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式及推导方法
3、在等比数列{an}中, a2 2, a5 54 ,求a8.
练习：
4、若等比数列{an}, a4=1, a7=8,则a6与a10的等比中项是 __±__1_6_.
5、若等比数列{an}中, ⑴⑵若若已已知 知aa23=a44a,a55==8,求12,a求2aa6n的; 值.
练习：
6、有三个数成等比数列，若它们的积
3、a1 .an
.p..,aqa22.a.Na1仍n ,且 为1 m等a比3n.a数np列2其q,.则公.. a比m 为anq1
a
p
a
q
4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项 符号相同。
三、判断等比数列的方法
定义法: an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0）
N=N+1 A=A*(1/2)
N5？
结束
例3．在4与 1 之间插入3个数，使这5个数成等 4
比数列，求插入的3个数。
解：依题意，a1=4，a5
1 4
由等比数列通项公式得 1
q4
a5 a1
1 16
所以 q 2
1
因此插入的3个数依次是2，1 1
，
2
或－2，1，－ 2
等差数列前n项和公式推导是什么
的知识点，也是一个十分常见的考点。下面是由店铺编辑为大家整理的“等差数列前n项和公 式推导”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。 等差数列求和公式
推导过程 (1)从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是 n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 (2)从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类 似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。 (3)若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则 a(m)+a(n)=2*a(p)。
等差数列通项公式总结
等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式等差数列是指一个数列中任意两个相邻数之间的差值都是固定的。
为了确定等差数列的特征，我们需要知道该数列的公差和首项。
公差是指相邻两项的差值，首项是指数列的第一项。
通项公式（或者称为通项表达式）是可以通过公式计算出数列中任意一项的公式。
对于等差数列来说，我们可以使用通项公式来计算数列中任意一项的值。
通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d其中，an是第n项的值，a1是首项的值，d是公差，n是项数。
下面，我们将通过推导证明这个通项公式。
假设我们有一个等差数列，其首项为a1，公差为d。
那么，数列的第二项应该是a1+d，第三项是a1+2d，以此类推。
因此，数列的第n项应该是a1+(n-1)d。
我们可以通过实际例子来验证这个通项公式。
比如，考虑一个等差数列：2,4,6,8,10。
首项是2，公差是2、我们可以使用通项公式来计算第5项的值：a5=a1+(5-1)d=2+(5-1)2=2+4×2=2+8=10正如我们所见，第5项的值确实是10。
另外，有时候我们也可以将通项表达式写成更简洁的形式。
如果一个等差数列的首项是a1，差值是d，项数是n，最后一项是an，我们可以将通项公式改写为：an = a1 + (n-1)d= (a1 + an)/2 * n这个改写后的公式是由等差数列的求和公式推导得到的。
现在，让我们通过一个实际的例子来演示如何使用等差数列的通项公式。
假设我们有一个等差数列，首项是3，公差是4，我们想要计算数列中第10项的值。
根据通项公式：a10=a1+(10-1)d=3+(10-1)*4=3+9*4=3+36=39因此，第10项的值是39在实际应用中，等差数列的通项公式非常有用。
它可以帮助我们快速计算出数列中任意一项的值，而不需要逐个计算。
这对于数学问题的解决和实际应用都非常有帮助。
值得注意的是，通项公式只适用于等差数列，对于其他类型的数列，我们需要使用其他的方法来计算其中的项的值。
等差数列前n项和公式推导
这个故事告诉我们求等差数列前 ｎ项和的一种很重要的思想方法，就
是我们要介绍的“倒序相加”法。
二、等差数列前ｎ项和公式１：
对等差数列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ项求和， 得
Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ， Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，
上面两式相加得：
解之得：n1=9, n2=-3（舍）所以等 差数列-10，-6，-2，2，…前9项和 是54.
四、巩固练习
1、求集合M={m/m=7n,n ∈N ＋且m ＜100}的元 素个数，并求这些元素的和。
2、已知一个等差数列的前100项和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和公式.
五、课后作业
S
n
=
na1
n(n 1)d 2
（2）
公式（2）又可化为
n d
S n= 2
2 (a1 d)n 2
当d ≠0时，这是一个常数项为零的关 于n的二项式.
三、讲解例题：
例1、一堆放铅笔的V型架的最下层放一支铅笔，往上 每一层都比它下一层多放一支，最上层放120支，问：这 个V型架上共放多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架上共放120层铅笔且自下而 上各层的铅笔成等差数列，记为{an}其中a1=1,a120=120,根 据等差数列前n项和公式得:
已知等差数列的前n项和为a，前2n 项和为b，求前3n项和。
下课！
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
高中等差数列公式大全
高中等差数列公式大全一、等差数列的定义。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
设等差数列{ a_n}的首项为a_1，则a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)二、等差数列的通项公式。
1. 基本公式。
- a_n=a_1+(n - 1)d- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d·s，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。
2. 变形公式。
- a_n=a_m+(n - m)d（m,n∈ N^*）- 推导：由a_n=a_1+(n - 1)d，a_m=a_1+(m - 1)d，两式相减得a_n-a_m=(n - m)d，移项可得a_n=a_m+(n - m)d。
三、等差数列的前n项和公式。
1. 公式一。
- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1，将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。
2. 公式二。
- S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d- 推导：因为a_n=a_1+(n - 1)d，将其代入S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}中，得到S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。
四、等差数列的性质。
1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。
- 特别地，当m + n = 2k（m,n,k∈ N^*）时，a_m+a_n=2a_k。
2. 在等差数列{ a_n}中，若a_n=m，a_m=n（m≠ n），则a_m + n=0。
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1.等比数列定义：
如果一个数列从第 二 __项起，每一项与它 的前一项的比 _等于同 _ 一个常数，那么这个 数列就叫做 这个常数叫做等 比 数 公比 列的 _____ 公比通常用字母q表示
公差通常用字母d表示
等差数列
由于等差数列是 作差 故a 1 d 没 有要求
判断数列是等差数列的方法
等比数列
由于等比数列的每一 项都有可能作分母， 故a 1 ≠0 且 q ≠0
练习： 在等比数列 an 中,
(1)a4 27, q 3, 求a7 ;
(2)a5 4, a7 6, 求a9 ;
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个 数就会成为一个等比数列：
（ 1） 1， ±3 ， 9 （3）-12， ±6 ，-3 （2）-1， ±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
ac b
等比数列
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式
an1 q an
等差数列
an1 an d
d可以是0
等差中项
q不可以是0,
等比中项 G ab
2A a b
an am q
an a1q
n 1
an a1 (n 1)d an am (n m )d
判断数列是等比数列的方法
an –an-1=d(n≥2)
an q(n 2) a n1
a n 1 或 q(n 1) an
或 an+1-an=d(n≥1)
等差数列通项公式推导:
设公差为 d 的 等差数列{ a n }，则有:
a 2 －a 1 = d a 3 －a 2 = d a 4 －a 3 = d
2、在等比数列bn 中，b4 3
3、在等比数列{an}中, a2 2,
a5 54 ,求a8.
练习：
4、若等比数列{an}, a4=1, a7=8,则a6与a10的等比中项是 ______. ±16 5、若等比数列{an}中,
1 ⑴若已知a2=4,a5= ,求an; 2
⑵若已知a3 a4a5=8,求a2a6的 值.
9．数列1，37，314，321，……中，398是这个
数列的（ C
（A）第13项
）
（B）第14项
（C）第15项 （D）不在此数列中 10.若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列
命题中是真命题的是（ D ） （A）若q>1, 则an+1>an （B）若0<q<1, 则an+1<an （C）若q=1, 则Sn+1=Sn （D）若－1<q<0, 则
3、a1 .an a2 .an1 a3 .an 2 ...
4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项 符号相同。
三、判断等比数列的方法
an1 定义法: q(是与n无关的数或式子 , 且q 0） an 2 中项法: an1 an1 an ( 0) 2 三个数a,b,c成等比数列
A=A*(1/2)
输出：a1=1
输出：a2=a1*(1/2)
输出：a3=a2*(1/2)
输出：a4=a3*(1/2)
输出：a5=a4*(1/2)
5？
结束
1 例3．在4与 之间插入3个数，使这5个数成等 4 比数列，求插入的3个数。
1 解：依题意，a1=4，a5 4
a5 1 由等比数列通项公式得 q a1 16 1
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等 比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
an1 an1 an ( 0)
G ab
即G ab
2
2
二、等比数列的性质
1 2、an .an1 ...a2 .a1仍为等比数列其公比为 q
1、若m, n, p, q N , 且m n p q, 则a m a n a p a q
练习：
6、有三个数成等比数列，若它们的积
等于64，和等于14，求此三个数？
7：有四个数，若其中前三个数成等比数
列，它们的和等于19，后三个数成等差数 列，它们的和等于12，求此四个数？
8. 已知等比数列an , 若a1 a2 a3 7,
a1 a2 a3 8, 求an.
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0） an=amqn-m
(n 1,1 m n、n、m N *)
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0 ，an ≠0
探究：P50
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
an 2 ＿＿＿＿＿＿
n 1
1 上式还可以写成 an 2 n 2
一、温故知新：
1、等差数列定义： an an1 d
(常数)
(n 2)
2、等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d an am (n m)d
an pn q( p, q为常数)
3、等差数列的性质：
若m n p q, 则am an a p aq
a n= a 1 q n－ 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)
________________
常数列都是等差数列
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？ (1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
等比数列的通项公式：
等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} ，则有:
q a2 ___ a1 a3 q ___ a2 ×) q an ___ a n 1 …
n－1个
n－1个
……
+ ) a n －a
n －1
=d (n≥2）
a n － a 1 = ( n－ 1 ) d
等差数列 { a n } 的首项为 a 1， 公差为 d 的通项公式为 a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N + ________________
B. 72 C. 144 D. 192 17.在等比数列 {an } 中,2a4 a6 a5
A. 48
则公比q等于:
A. 1或2 B. -1或-2
C
C. 1或-2 D. -1或2
课堂小结 （1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式及推导方法 （3）等比数列的有关性质 （4）学习的思想方法： 类比方法
等差中项： 2an1 an an2
二、导入新课
来看几个数列：
1，2，4，8，16，…, 5，25，125，625，... 1 1 1 ... 1, , , 2 4 8 以上数列具有什么样的共同特点？ 你能类比等差数列的定义得出等比数列 的定义吗？
等差数列定义 如果一个数列从第 二项起，每一项与它 的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数 列的公差
11．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比
数列，则这个数列的公比为（ C ） （A）
n
3
（B）
1
n
3
（C）n1 3 （D） n 2 3 12．若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续 三项，则x的值为（ A
（A）－4 （ C） 1 或 4
）
（B）－1 （D）－1或－4
13．三个正数a,b,c成等比数列，且 a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3,
an q n 1 (n≥2） a1 首项为 a 1，公比为 q 的等比数 列的通项公式：
a n= a 1 q n－1 (a 1 ≠0 且
q ≠0
n ∈ N +)
等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1，公比为 q 的 的通项公式：
则这三个正数为 50，10，2或2，10，50.
14．在正项数列{an}中，(an+3)2=an+1an+5, 且 a3=2, a11=8, 则a7= 4 .
15.首项为3,末项为3072,公比为2的等 比数列的项数有( A )
A. 11项 B. 12项 C. 13项 D. 10项
a3a4a5 3, a6a7a8 24, 16.在等比数列 {an }中, 则 a9a10a11 D
可见，表示这个等比数列
an 8 7
·
1 x 的各点都在函数 y 2 2
的图象上，如右图所示。
6
5 4
·
3
2
1 an 的图象是其对应的 结论： 等比数列 ·
·
2
函数的图象上一些孤立 的点0
1
3
4
n
例．已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5，求a20. 1 10 解：由a15=a5q10，得 q 4 1 5 所以 q 2 5 5 因此 a20 a15q 2 5 5 或 a20 a15q 2
n m
5.性质 (若m+n=p+q)
a m a n a p a q a m a n a p aq
例2：根据下面的框图，写出所打印数列的 前5项，并建立数列的递推公式。 这个数列是等比数列吗？
开始 A=1 N=1 输出A N=N+1 N
a1=1 ，n=1 n=1+1=2 ，a2=a1*(1/2) n=2+1=3 ，a3=a2*(1/2) n=3+1=4 ，a4=a3*(1/2) n=4+1=5 ，a5=a4*(1/2) n=5+1=6 结束