6算法分析与设计 第六讲 分治法总结
算法分析与设计总结
第一章算法概述1.算法：解决问题的一种方法或过程；由若干条指令组成的有穷指令。
2.算法的性质：1)输入：有零个或多个输入2)输出：有至少一个输出3)确定性：每条指令是清晰的、无歧义的4)有限性：每条指令的执行次数和时间都是有限的3.算法与程序的区别➢程序是算法用某种程序设计语言的具体实现➢程序可以不满足算法的有限性4.算法复杂性分析1)算法的复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性，需要空间资源的量称为空间复杂性2)三种时间复杂性：最坏情况、最好情况、平均情况3)可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性第二章递归与分支策略1.递归概念：直接或间接调用自身的算法2.递归函数：用函数自身给出定义的函数3.递归要素：边界条件、递归方程4.递归的应用✧汉诺塔问题void Hanuo(int n,int a,int b,int c){if(n==1) return;Hanuo(n-1,a,c,b);move(a,b)Hanuo(n-1,c,b,a);}✧全排列问题void Perm(Type list[],int k,int m){ //产生list[k,m]的所有排列if(k == m){for(int i = 0;I <= m;i++) cout<<list[i];cout<<endl;}else{for(int i = j; i<=m;i++){Swap(list[k],list[i]);Perm(list,k+1;m);Swap(list[k],list[i])}}}5.分治法的基本思想：将一个规模较大的问题分成若干个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。
6.分治法的使用条件：✓问题的规模缩小到一定程度可以容易地解决✓问题可以分解为若干个规模较小的相同问题✓利用原问题分解出的子问题的解可以合并为原问题的解✓各个子问题是相互独立的7.分治法的时间复杂度8.分治法的应用二分搜索1)时间复杂度 O(logn)2)参考算法快速排序1)快排的运行时间与划分是否对称有关2)时间复杂度O(nlogn)合并排序1)基本思想：将待排元素分成大小大致相同的两个子集合，分别对两个子集合进行排序，最总将排序好的子集合合并成所要求的排序好的集合。
分治法的个人总结
分治法是一种算法设计策略，它将问题划分为较小的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
个人总结如下：
分解问题：分治法首先将原始问题分解为规模较小的子问题。
这可以通过递归地将问题划分为更小的部分来实现。
分解问题的关键是确保每个子问题都是原始问题的规模的一个子集。
解决子问题：每个子问题都可以通过相同的算法来解决。
递归地应用相同的算法，直到达到基本情况，也就是子问题可以直接解决的规模。
合并解决方案：一旦解决了子问题，就将它们的解合并起来，形成原始问题的解。
这通常涉及对子问题的解进行组合，以获得原始问题的最终解。
适用性：分治法适用于那些可以自然地分解为子问题的问题。
它在解决许多常见问题时非常有效，如排序、搜索、计算最大值和最小值、归并等。
时间复杂度：分治法通常在每个子问题上执行相同的操作，并且子问题的数量通常是对数级别的。
因此，分治算法的时间复杂度通常可以表示为递归深度的多项式。
常见的时间复杂度包括O(nlogn)和O(n^2)。
并行化：由于分治法的子问题通常是相互独立的，因此它很适合并行化处理。
可以同时处理多个子问题，然后将它们的解合并起来。
这使得分治法在并行计算中具有较好的可扩展性。
总的来说，分治法是一种强大的算法设计策略，它通过将问题分解为子问题并递归地解决它们，然后将子问题的解合并起来，从而解决了许多复杂的问题。
它在算法设计和并行计算中都具有广泛的应用。
分治算法知识点总结
分治算法知识点总结一、基本概念分治算法是一种递归的算法，其基本思想就是将原问题分解成多个相互独立的子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
分治算法的核心思想可以用一句话概括：分而治之，分即是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，治即是解决这些子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法通常包括三个步骤：（1）分解：将原问题分解成若干个规模较小的子问题；（2）解决：递归地解决这些子问题；（3）合并：将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法的典型特征包括递归和合并。
递归指的是将原问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题；合并指的是将子问题的解合并得到原问题的解。
通常来说，分治算法的递归实现方式很容易编写，但有时可能会面临大量的重复计算，因此需要合并操作来避免这种情况。
二、原理分治算法的原理可以通过一个简单的例子来说明。
我们以计算数组中的最大值为例，具体的步骤如下：（1）分解：将数组分解成两个规模相等的子数组；（2）解决：递归地在这两个子数组中分别找到最大值；（3）合并：比较这两个子数组的最大值，得到原数组的最大值。
从这个例子可以看出，分治算法将原问题分解成两个子问题：分别在左边子数组和右边子数组中找到最大值，然后将这两个子问题的解合并起来得到原数组的最大值。
这种将问题分解成若干个规模较小的子问题，然后合并子问题的解得到原问题的解的方法正是分治算法的核心原理。
分治算法的优势在于它可以将原问题分解成多个规模较小的子问题，然后并行地解决这些子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。
这种并行的设计思路使得分治算法非常适合于并行计算，能够有效地提高计算效率。
三、应用分治算法在计算机科学领域有着广泛的应用，包括排序、搜索、图论、动态规划等多个方面。
下面我们将以排序算法和搜索算法为例，来介绍分治算法在实际应用中的具体情况。
1. 排序算法排序算法是计算机科学领域中一个重要的问题，分治算法在排序算法中有着广泛的应用。
总结分治法
总结分治法引言分治法（Divide and Conquer）是一种很重要的算法设计策略，常用于解决那些可以被划分为更小规模的子问题的问题。
该算法将问题划分为多个独立且相似的子问题，逐个解决子问题，最终将所有子问题的解合并得到原问题的解。
分治法在计算机科学领域有着广泛的应用，尤其在排序、搜索和优化问题中被广泛使用。
分治法的基本思想分治法的基本思想是将一个大问题划分为多个规模较小、相互独立且同原问题结构相似的子问题。
然后，对这些子问题进行求解，并将子问题的解合并，即可得到原问题的解。
分治法通常包括三个步骤：1.分解（Divide）：将原问题划分为多个规模较小、相互独立的子问题。
2.解决（Conquer）：递归地求解子问题，如果子问题规模足够小，则直接求解。
3.合并（Combine）：将子问题的解合并成原问题的解。
分治法适用于满足以下条件的问题：1.原问题可以划分为规模较小的子问题。
2.子问题的结构和原问题一样，只是规模较小。
3.子问题的解容易合并成原问题的解。
分治法的应用排序算法经典的排序算法中，归并排序和快速排序就是基于分治法的思想。
这两种算法都将排序问题划分为多个较小的子问题，并递归地解决这些子问题，最后通过合并或交换操作将子问题的解合并成原问题的解。
以归并排序为例，其基本思想是将一个无序序列划分为两个规模相同（或接近）的子问题，分别对两个子问题排序，最后将两个有序的子序列合并成一个有序序列。
搜索算法分治法在搜索算法中也有着广泛的应用。
例如，在快速查找算法中，通过将问题划分为多个子问题，可以利用分治法快速定位目标元素。
另外，二分查找也是分治法的一种特殊形式，其每次将问题的规模减半，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
优化问题在优化问题中，分治法可以用来寻找最优解。
例如，在最大子数组问题中，可以将问题划分为多个规模较小的子问题，分别求解每个子问题的最大子数组和，然后再将这些最大子数组和合并得到原问题的最大子数组和。
算法设计技巧与分析 第6章 分治法
Realization of MERGE
已分类序列A 数组A A(0) A(1) A(2) …
比较大小 小 值 比较大小 小 值
已分类序列B
A((n1)/2)
A((n1)/2+1)
…
A(n-1)
……
剩余已分类元素
辅助 A(0) 数组B
A((n-1)/2+1)
考虑函数需要的参数 原数组a[ ] 目标数组b[ ] a前段的起始位置l a前段的终止位置m，则后段起始位置为m+1 a后段的终止位置r
Analysis
由上可得 O(1) T (n)= kT(n/m)+f(n) 解上式得到
n=1
n>1
T (n) nlogm k
logm n 1 j 0
k j f (n / m j )
Content
分治法原理 算法实例
求最大/最小值 二分搜索 合并排序 寻找中项和第k小元素 快速排序 矩阵乘法 最近点对问题
恰好是在观察结论1.5中对算法BOTTOMUP
SORT下的结论。
Analysis
若n是任意的正整数，则：
C(n)=
0 C( n / 2 )+C( n / 2 )+bn
若 n=1 若 n≥2
C(n)=Θ(n log n)
算法MERGESORT对一个n个元素的数 组排序所需的时间是Θ(n log n)，空间 是Θ(n)。
输出: （x, y），A中的最大元素和最小元素。 过程
minmax (low，high)
if A[low]<A[high]
then return (A[low], A[high]) else return (A[high], A[low]) end if
算法设计与分析讲义分治法
分别对左右两个子数组递归进行快速排序。
合并已排序的子数组
将两个已排序的子数组合并成一个有序数组。
快速排序的时间复杂度
1 2
最好情况
O(nlogn)，即当数据已经有序时的时间复杂度 。
平均情况
O(nlogn)，根据概率计算得到的平均时间复杂 度。
3
最坏情况
O(n^2)，即当数据已经逆序时的时间复杂度。
合并的结果应该是原问题的 解
完善细节
01
对合并的结果进行检验和调整
02
对算法进行优化，提高运行效 率
03
处理特殊情况或异常情况
03
分治法的优化策略
动态规划优化
总结词
通过将问题拆分为子问题，并存储子问题 的解，以避免重复计算，提高算法效率。
VS
详细描述
动态规划是一种常见的优化技术，其基本 思想是将问题拆分为一系列子问题，并将 子问题的解存储起来，以便在需要时可以 重复使用。通过这种方式，可以避免重复 计算相同的子问题，从而提高算法效率。 此外，动态规划通常用于优化递归问题， 如背包问题、最长公共子序列等。
但是，如果每个子问题的规模很大， 则空间复杂度也可能很大。
THANKS
谢谢您的观看
02
分治法的基本步骤
分解问题
将原问题划分成若干个子问题 每个子问题都包含原问题的一部分 子问题的规模尽可能小，以便更容易解决
解决子问题
对每个子问题进行递归求解 子问题的解可以构成原问题的解的一部分 对每个子问题进行归纳，得出原问题的解
合并子问题的解
将子问题的解合并成一个整 体
合并的过程中需要处理数据 结构或数据类型的一致性
算法设计与分析讲义分治 法
算法设计与分析典型算法概述——分治法与贪心法
算法设计与分析典型算法概述▌分治法与贪心法▌拾光工作室分治法分治算法也叫分治策略，把输入分为若干个部分，递归的解每一个问题，最后将这些子问题合并成为一个全局解。
如果子问题较大，可以再次使用分治策略。
由此可以得到分治策略解决的问题特点：1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;3.分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；4.分解出的各个子问题是相互独立的。
分治法的应用——二叉查找设a[i]（1<=i<=n）是一个数组，其中的元素以非降序排列.考虑判断一个元素x是否在数组中的问题。
确定一个j，使得a[j]=x。
如果x在数组中返回j，否则，返回0。
分析该问题符合分治法策略解决问题的特点，可以用分治法解决：如果n=1，直接判断a[n]是否与x相等。
如果n>1,可以把问题分解如下新的问题：选择一个下标q(范围[i,l]中)，比较x与a[q]，则有三种情况：1.x=a[q].得到解。
2.x>a[q].问题范围转换为(l-q,a[q+1], (x)3.x<a[q].问题范围转换为(q-i,a[i], (x)转换的子问题可以继续分解。
二叉查找的递归算法int BinSrch(Type a[],int i,int n,Type x)//a[i..n]是非递减排列且 1<=i<=n;{if(n==i) { if(x==a[i]) return i;else return 0; }else{int mid=(i+n)/2;if(x==a[mid]) return mid;else if(x<a[mid]) return BinSrh(a,i,mid-1,x);else if(x>a[mid]) return BinSrh(a,mid+1,n,x);}}分治法的应用——查找最大值与最小值在n个元素中找出最大值和最小值首先看下简单的查找算法：void MaxMin(Type a[],int n,Type &max,Type &min){max=min =a[0];for(int i=1;i<n;i++){ if(a[i]>max) max=a[i];if(a[i]<min) min=a[i];}}算法的时间复杂度体现在比较的次数上，当a[n]中的元素是多项式，矢量及非常大的数时或字符串，元素的比较代价就比其他操作代价高的很。
分治法实验总结
分治法实验总结
分治法是一种常用的算法设计策略，它将问题分解成若干个子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并成原问题的解。
在本次实验中，我们通过实现归并排序和快速排序两个算法，深入理解了分治法的思想和实现方式。
我们实现了归并排序算法。
归并排序的基本思想是将待排序的序列分成若干个子序列，每个子序列都是有序的，然后再将子序列合并成一个有序的序列。
在实现过程中，我们采用了递归的方式，将序列不断地分成两半，直到每个子序列只有一个元素，然后再将这些子序列两两合并，直到最终得到一个有序的序列。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，是一种稳定的排序算法。
接着，我们实现了快速排序算法。
快速排序的基本思想是选择一个基准元素，将序列分成两个部分，一部分比基准元素小，一部分比基准元素大，然后递归地对这两个部分进行排序。
在实现过程中，我们选择了序列的第一个元素作为基准元素，然后使用两个指针分别从序列的两端开始扫描，将比基准元素小的元素放在左边，将比基准元素大的元素放在右边，最后将基准元素放在中间，然后递归地对左右两个部分进行排序。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，但是在最坏情况下，时间复杂度会退化为O(n^2)。
通过实现归并排序和快速排序两个算法，我们深入理解了分治法的
思想和实现方式。
分治法是一种非常重要的算法设计策略，可以用来解决很多复杂的问题，比如最近点对问题、矩阵乘法问题等。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的分治算法，以提高算法的效率和准确性。
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分治法总结
1
主要内容
分治法基本思想 分治法基本步骤 算法分析 分治法注意点
分治法基本思想
最为常用的算法技术 分治法的基本思想是将一个规模较大的问 题分解为若干个规模较小的子问题，子问 题相互独立且与原问题同类 求解时，首先求出这些子问题的解，然后 把子问题的解组合起来就可得到原问题的 解
3
分治法基本步骤
分解（Divide）：将原问题分解为子问题 解决（ConquБайду номын сангаасr）：求解子问题 合并（Combine）：将子问题的解组合得 到原问题的解
4
算法分析
当算法包含对其自身的递归调用时，其时 间复杂度通常可用递归式来表示 分治与递归往往联系在一起 对于递归式
代换法（substitution method） 递归树方法（recursion-tree method） 主方法（master method）
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求第i小元素
期望线性时间求解方法
使用Random Partition对数组进行划分 检查主元元素是否第i小，如果是，则返回 否则，确定第i小落在划分后的低区还是高区 如果落在低区，则在低区的子数组中递归选择 如果落在高区，则在高区的子数组中递归选择
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求第i小元素
最坏情况线性时间求解方法
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最近点对问题
预处理
将点对按X坐标排序 将点对按Y坐标排序
分解
按照X坐标将点集二分 同时获得分解后的已按Y坐标排好序的点集
递归求解 合并
找出带状区域中的点 检查带状区域中的点（已排序），计算每点与其后面7 个点的距离，更新最近点对距离
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5
分治法注意点
适用于分治法求解的问题
子问题规模较小时易解决 原问题与分解后的子问题同类 原问题的解可以由子问题的解合并得到 子问题相互独立，不包含公共子问题
平衡
使子问题规模尽量接近 是不是规模相等或者规模相差无几才算平衡？
6
分治法求解实例
插入排序、合并排序 递归（阶乘函数、Fibonacci数列、整数划 分问题、汉诺塔问题） 快速排序 最大元、最小元 最近点对 求第i小元素
1.将输入数组的n个元素分为n/5+1组； 2.寻找这n/5+1组中每一组的中位数； 3.对第二步中找出的n/5+1组中位数，递归调用 SELECT以找到其中位数x； 4.PARTITION，按中位数x对输入数组进行划分，x 为第k小元素； 5.如果i=k，则返回x；否则，如果i<k，则在低区递 归调用SELECT寻找第i小元素；否则，如果i>k，则 在高区寻找第(i-k)个最小元素。
7
几个排序算法
插入排序 合并排序 快速排序 快速排序的随机化版本
8
递归
阶乘函数 Fibonacci数列 汉诺塔问题
9
最大元、最小元问题
当n=2时，一次比较就可以找出两个数据 元素的最大元和最小元 当n>2时，可以把n个数据元素分为大致相 等的两半
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求第i小元素
分治法
期望线性时间求解方法 最坏情况线性时间求解方法