振动力学基础

第 4 章 振动力学基础
§4.1 简谐振动动力学 §4.2 简谐振动运动学 §4.3 微振动的简谐近似 §4.4 阻尼振动.受迫振动 共振
§4.5 平行简谐振动的合成 振动频谱
振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。
问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
解:
1 2
m1v12
+
1 2
m2v22
+
1 2
kx2
=
c
x1 x2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
m1v1
dv1 dt
+
m2v2
dv2 dt
+ kx
dx dt
=0
m1v1
dv1 dt
+m1v1
dv2 dt
+k(
x2
−x1
−l)
d(
x2
−x1 dt
−l)
=0
dv1 dt
解 分析小球的切向运动
θ
− mg sin θ = ma τ
aτ
=
Rβ
=
R
d 2θ dt 2
O mg
θ很小 sin θ ≈ θ
d 2θ g
dt 2
+
θ=0 R
d 2θ ∴ −mgθ = mR dt 2
令ω2 = g R
d 2θ dt 2
+
ω2θ
=
0
谐振动
§4-3 阻尼振动
阻力
振动机械能
振幅
产生阻尼的原因： 摩擦、空气阻力、辐射……
x(cm)
解 振动方程为：
x = A cos(ωt + ϕ )
由图可知：
A = 31.4cm
31.4
15.7 0
− 15.7
− 31.4
1
t(s)
t = 0: x0 = −15.7 = −A/ 2, v0 < 0
∵x0 = Acosϕ = −A/ 2, v0 = −Aωsinϕ < 0, ∴ϕ = 2π / 3
= am cos(ω t + ϕ ± π )
其中：am=ω2A称为加速度振幅
振动系统的能量 (包括振动动能、势能)
振子动能：
Ek
=
1 2
mv2
=
1 2
mω2 A2
sin2(ω t
+ϕ
)
振子势能：
Ep
=
1 kx2 2
=
1 kA2 cos2 (ω t + ϕ 2
)
∵ mω2 = k
∴总能量： E = Ek + Ep
J ( R2
+
m)v2
=
C
1 2
kx2
+
1 2
J (
R2
+
m)v2
=
C
dx J
dv
kx dt + ( R2 + m)v dt = 0
dx = v dt
J
dv
kx + ( R2 + m) dt = 0
J
d2x
kx + ( + m) = 0
R2
dt 2
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
例.光滑水平桌面上放两个 质量分别为M1和M2的圆球, 它们之间被一根轻弹簧连 接,系数为K,求该系统的振 动频率?
解: ω2 = k m
ϖ=
k1k2
(k1 + k2 ) m
k1 = k2 = 2k0
ϖ=
k0 m
=ϖ0
ϖ=
4k0 m
= 2ϖ 0
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。
解： 取平衡位置为坐标原点
平衡时： mg − F = 0 浮力： F = ρ Vg
k2
o
x
x
d2x f =m
dt 2
−k2 x2
=
−
k1k2 k1 + k2
x
=
m
d2x dt 2
d2 dt
x
2
+
(
k1
k1k2 + k2
)
m
x
=
0
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
ω=
k1k2
(k1 + k2 )m
k1
k2
o
x
x
例.一弹性劲度系数为的弹簧振动子，如果一分为二 后串联，则振动频率是多少？如果并联呢？
（2）
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
(3) 1 kx2 + 1 mv 2 = C
2
2
（4） x = A cos(ω t + ϕ1 )
例. 证明图示系统的振动为简谐振动。
证： 设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2
x = x1 + x2 f = −k1x1 = −k2 x2
x2
=
k1 k1 + k2
x
k1
S
x
x
k = SY x
k1
k2
o
x
x
� 在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。
∑
� F
=
−kx�
由牛顿第二定律得：
∑F
=
m
d2x dt 2
=
−k
x
得：
d2x dt 2
=
−
k m
x
d2x = − k x dt2 m d2 x = −ω2 x dt 2
动力学方程
令： ω 2 = k m
x = Acos(ω t + ϕ )
)
(
x1
−
x2
−l
)
=
0
§4.1.2 简谐振动运动学
1. 周期 频率和角频率
周期T：完成一次全振动所经历的时间。 频率n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T
ω ：角频率 （或称圆频率）
ωT = 2π , ω = 2π = 2πν T
ω= k m
T = 1 = 2π = 2π m
νω
k
2. 相位
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、V、 E、 B） 电磁振动 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§4.1 简谐振动动力学
简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其运动形式为简谐振动。
x = Acos(ω t + ϕ )
x
o
t
1. 弹簧振子模型
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统
令： ω 2 = mgrc 得： J
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
由：sin θ
=θ
θ3 −
θ5 +
−⋯
3! 5!
sinθ ≈ θ
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
d2θ dt 2
+ ω2θ
=
0
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
相应的角频率：
ω = mgrc J
或从机械能守恒：
v0=–Aωsinϕ>0,sinϕ<0,取ϕ=3π/2
∴ x=9.8×10-2cos( 10 t + 3π /2 ) m
O
x1 = 9.8×10-2cos( 10t+π ) m
x
对同一谐振动, 取不同的计时起点,
X
ϕ 不同，但ω和A 不变 .
例：已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。
E
=
1 2
J
( dθ dt
)2
+
mgrc
(1 −
cosθ
)
o
两边对时间t求一阶导数：
J
dθ dt
d2θ ⋅ dt2
+
mgrc
dθ dt
⋅ sin θ
=
0
d2θ + mgrc θ = 0 dt2 J
θ rc c
x
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
例. 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动， 试分析小球的运动是否简谐振动。
Tt
•超前、落后以 <π 的相位角来判断
例. 如图：m=2×10-2kg, 平衡时弹簧的形变
为∆l=9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止
释放。
m
1)开始振动时为计时零点，写出振动方程；
2）取x0=0，v0 >0为计时零点，写出振动方程。
O
x
解 ⑴ 取平衡位置为坐标原点。向下为正。 X
弹簧的弹性系数为：k = mg / ∆ l对物体任意位移x时受力分析
−dv2 dt
k +
mv1
(
x2
−x1
−l)
(v2
−v1)
=0
dv1 dt
−
dv2 dt
+
k mv1
(
x2
−
x1
−l)
⎛ ⎜ ⎝
m1 m2
v1
+ v1
⎞ ⎟ ⎠