二、三重积分中值定理的证明与应用
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《数学分析》自主研究课题：
二、三重积分中值定理的证明和应用
摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言
在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用.
二、积分第一中值定理（一重积分中值定理）
(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ε.
和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得
⎰⎰=D
D
S f d y x f ),(),(ηεσ⎰
⎰=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ε
（明显当1g ≡）
（x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出
二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存
在D ∈）
ηε,(，使得 ⎰⎰=D
D
S
f d y x f ),(),(ηεσ,
这里S D 是区域D 的面积.
证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得
mS D ≤⎰⎰D
d y x f σ),(≤MS D ,
即 m ≤
⎰⎰D
D d y x f S
σ),(1
≤M.
再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈）
ηε,(,使 ⎰⎰=
D
D
d y x f S f ,),(1
),(σηε
即 由此定理得证.
那对于二重积分是否也存在
推广形式的二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上
连续，),(y x g 在D 上可积且不变号，则存在一点D ∈）
ηε,(，使得
⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(
显然定理是存在的，下面我们就来证明一下
证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，所以),(y x f 在D 上存在最大值M 和最小值m ，有 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 又),(y x g 在D 上不变号，当),(y x g ≥0时，有
m ),(y x g ≤),(y x f •),(y x g ≤M ),(y x g ，D y x ∈),(. 由二重积分的比较性质，可得
⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤D
D
D
d y x g M d y x g y x f d y x g m σσσ),(),(),(),(
当⎰⎰=D
d y x g 0),(σ时，由上式知⎰⎰=D
d y x g y x f 0),(),(σ,
这时对任意的D ∈）
ηε,(，都可使 ⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(成立.
当⎰⎰D
d y x g σ),(>0时，由上式得
M
d y x g d y x g y x f m D
D
≤≤
⎰⎰⎰⎰σ
σ
),(),(),(,由闭区域连续函数的介值定理
知，至少存在一点D ∈）
ηε,(，使
⎰⎰⎰⎰=
D
D
d y x g d y x g y x f f σ
σ
ηε),(),(),(),(，
即 ⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(.
同理可证当),(y x g <0时，
⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(也成立.
由此，定理得证.
特别的，当1),(≡y x g 时，即为二重积分中值定理.
三重积分中值定理：若),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，则存在V ∈),,(ζηε,使得 ⎰⎰⎰=V
v V f dV z y x f ),,(),,(ζηε,
这里V v 是积分区域V 的体积.
证明：由于),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，V v 为这个区域的体积.存在最大值M 和最小值m,有 m ≤),,(z y x f ≤M, V y x ∈)z ,,(. 使用积分不等式性质得
m V v ≤⎰⎰⎰V
dV z y x f ),,(≤M V v ,
即 m ≤
⎰⎰⎰dV z y x f V ),,(1
v
≤M.
再由连续函数的介值性，至少存在一点V ∈),,(ζηε使