拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用

分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

论文作者签名：年月日摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。

关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。

罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。

关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application目录1 定理的叙述 (1)1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)2.2用行列式构造辅助函数 (2)2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)2.5借助定积分构造辅助函数 (5)2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)3 拉格朗日中值定理的应用 (8)3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)错误!未定义书签。

3.3拉格朗日中值定理在研究函数性态中的应用 (10)3.4拉格朗日中值定理在极限和导数方面的应用 (11)3.5拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的应用 (12)4参考文献 (13)5致谢 (14)拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的及应用1 定理的叙述1.1罗尔(Rolle)中值定理 若函数)(x f 满足：(1)在闭区间[]b a ,上连续； (2)在开区间()b a ,内可导；(3))()(b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()ξ'f1.2拉格朗日(Larange)中值定理 若函数)(x f 满足：(1)在闭区间[]b a ,上连续； (2)在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()ξ'f =()()ab a f b f -- 2 2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数拉格朗日中值定理的条件与罗尔中值定理的条件相比较，不难发现它们相差的是函()x f y =在[]b a ,上两端点的函数值)()(b f a f =.为此，可以构建一个新的函数()x F （()x F 要满足的条件：()x F 与)(x f 有关），即把问题转化为满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理所得到的结论来证明拉格朗日定理.根据Rolle 定理的几何意义，()()ab a f b f --是曲线()x f y =在[]b a ,上两端点图1图2A ()()()()b f bB a f a ,,,连线AB 的斜率，则弦AB 方程为：()()()()a x ab a f b f a f y ---=- 用曲线()x f y =的纵坐标之差作辅助函数： ()()()()()()()a x ab a f b f a f x f y x f x F AB -----=-= （1） 即符合Rolle 定理()()b F x F =的条件. 证明：作辅助函数()()()()()()a x ab a f b f a f x f x F -----=显然()()0==b F a F ,且()x F 满足罗尔中值定理的另两个条件.故至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()()()0''=---=ab a f b f f F ξξ 移项后及得 ()()()ab a f b f f --=ξ' 另外，也可以用原点与曲线()x f y =在[]b a ,上两端点的连线AB 平行的直线OL 代替弦AB ，而直线OL 的方程为()()x ab a f b f y --=. 因此,用曲线()x f y =的纵坐标与直线OL 的总坐标之差，得到另一辅助函数：()()()()()x ab a f b f x f y x f x F OL ---=-= （2） 可以验证()x F 在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件，具体证明同上. 2.2 用行列式构造辅助函数行列式不仅是高等代数中最基本工具，具有很强的操作性. 而且在数学分析中叶也很广泛地应用. 这样就有机的将一个函数用行列式表示出来了，大大简化了数学分析繁杂的证明过程. 证明：构造辅助函数()()()()111b f ba f ax f xx =ϕ 常见函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上是连续的（由连续函数的判定条件），在开区间()b a ,内是可微的，并且()()()()111b f ba f a a f a a =ϕ，同理可得：()()()()111b f ba f ab f b b =ϕ=()()()111b f ba f a a f a =()a ϕ 即函数()x ϕ在区间[]b a ,上满足罗尔定理的第三个条件，于是又由罗尔定理()b a ,∈∃ξ，()0'=ξϕ 而对()x ϕ求导()()()()()()()()x f b a b f a f b f ba f ax f x '''1101---==ϕ ()()()()()()()()01101'''=---==ξξξϕf b a b f a f b f ba f af ()()()()a b f a f b f -=-ξ' 即 ()()()ab a f b f f --=ξ'. 2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，现就利用闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理. 证明：设函数()y f x =图形的两个端点分别为A 和B (如图2).如果线段AB 和曲线()y f x =所围成的闭区域不是凸集（凸集即在区域内任意两点连线均在此区域内）则截取线段AB 的一部分平行线段与一部分曲线围成的凸集（目的是保证以后所构造的区间构成闭区间套），例如图2中取线段AB 与下半部分曲线所围成的凸集.设AB 或其平行线段（最长平行线段），与所取凸集的两个交点的横坐标分别为0a 、0b ，则[][]b a b a ,,00⊂（图2中a a =0）将线段AB 或者与AB 平行的该凸集的边界线段向着区域的方向平行移动.可得到一系列与线段AB 平行的直线段，其斜率均为()()ab a f b f k --=设这些直线段与区域边界曲线的坐标分别为()()();...,;...,;,2211n n b a b a b a 这些坐标构成的区间上又满足[][][][]...,......,,,1100⊃⊃⊃⊃⊃n n b a b a b a b a 且 ()()()()()ξ'limf ab a f b f a b a f b f n n n n n =--=--+∞→ 即可得 ()()()()a b f a f b f -=-ξ' 定理得证 2.4 借助待定系数法构造辅助函数借助待定系数法也可以构造一个新的辅助函数()x F （()x F 要与()x f 有关），使它满足罗尔定理的条件三（即在两端点的函数值相等的条件）.设λ为待定系数，令 ()()x x f x F λ+=要使 ()()b F a F = 则需要 ()()()()b F b b f a a f a F =+=+=λλ 即 ()()ab a f b f ---=λ所以，可做辅助函数为 ()()()()x ab a f b f x f x F ---= 得到与（2）式一样的辅助函数 证明：作辅助函数 ()()()()x ab a f b f x f x F ---=经检验， ()()()()ab ab f b a f b F a F --==， 且()x F 满足罗尔定理的另外两个条件.故至少存在一点()b a ,∈ξ，使 ()()()()0''=---=ab a f b f f F ξξ 即得 ()()()ab a f b f f --=ξ'. 2.5 借助定积分构造辅助函数在不等式的证明中，常常从要证明的结论出发，采用逆推的方法寻求证明的思路. 照此，可以从拉格朗日的结论()()()ab a f b f f --=ξ'出发. 这里作一个约定：()x f '在[]b a ,上存在，则()()()a f x f dx x f xa-=⎰'， ()b a x ,∈ 成立对()x f '在[]b a ,上的可积性不作讨论.设要构造的辅助函数的导数为 ()()()()ab a f b f f F ---=ξξ''其中()()b a x a ,,⊆∈ξ 则辅助函数为()()()()()()()x axa ab a f b f f d a b a f b f f x F ξξξξ---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎰'()()()()()a x ab a f b f a f x f -----=得到与（1）式相同的辅助函数，证法相同，略. 2.6 借助不定积分构造辅助函数为了寻求证明拉格朗日中值定理的辅助函数，从要证的结()()()ab a f b f f --=ξ'出发也可考虑借助不定积分求其原函数()()()()()()()c a b a f b f f d a b a f b f f F +---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎰ξξξξξ' （c 为任意常数） 经验证，当 ()()ab ab f b a fc ---=，即可使 ()()0==b F a F因此，可作辅助函数为()()()()()()a b ab f b a f x a b a f b f x f x F ------= 证明：作辅助函数 ()()()()()()ab ab f b a f x a b a f b f x f x F ------= 经检验 ()()0==b F a F ，且 ()x F 满足罗尔定理的另外两个条件，故至少存在一点()b a ,∈ξ使()()()()0''=---=ab a f b f f F ξξ 即得到 ()()()ab a f b f f --=ξ'.2.7 借助坐标轴旋转变换构建辅助函数以上几种辅助函数的构造，都是从罗尔定理两端点的函数值相等这一条件出发考虑.下面从曲线()x f y =在[]b a ,上两端点A 、B 的连线弦AB 与x 轴的关系考虑问题.分析拉格朗日中值定理与罗尔定理的几何特征.设曲线()x f y =在[]b a ,上两端点()()()()b f b B a f a A ,,,.连线弦为AB ,在罗尔中，由于两端点的函数值相等，弦AB 的斜率01=k 即弦AB 与x 轴平行。