谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)
拉格朗日中值定理证明不等式题目
拉格朗日中值定理证明不等式题目拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了实数空间上的函数在某个区间内的导数与函数值之间的关系。
下面将通过证明一个不等式的例子来说明拉格朗日中值定理的应用。
我们来证明当$x>0$时，$1-\cos x<\frac{1}{2}x^2$。
首先，我们定义一个函数$f(x)=1-\cos x-\frac{1}{2}x^2$，我们需要证明当$x>0$时，$f(x)<0$。
由于$f(x)$是连续函数，而且$x>0$时，$f(x)$是可导函数，因此我们可以使用拉格朗日中值定理来证明。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点$c \in (0,x)$，使得$f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
接下来，我们先求出$f'(x)$，然后再求出$c$的取值范围，最后对$f(c)$进行估计。
首先求导得到$f'(x)=\sin x-x$。
要使$f(c)<0$，则有$f'(c)<0$。
我们来求方程$f'(c)=0$的解，即 $\sin c =c$。
这个方程的解并不容易求出来。
不过我们可以使用图像法来估计这个方程的解。
我们可以画出$f'(c)$和$y=x$在坐标系上的图像。
根据图像，我们可以发现这个方程在$x=0$和$x=π$之间有两个解：$c_1$和$c_2$。
首先我们来估计下$c_1$的取值范围。
当$x \in (0,c_1)$时，根据$f'(x)$与函数$y=x$的关系可以得到$f'(x)<x$。
进一步得到\[f'(c_1)<c_1\]\[ \sin c_1 - c_1 <0\]而当$x\in (0,\frac{\pi}{2})$时，有$\sin x>0$，因此$\sin c_1-c_1<0$。
然后我们来估计下$c_2$的取值范围。
拉格朗日中值定理的构造性证明
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一 x∈(a,b)，g'(x)≠0。
那么在(a,b)内至少有一点
ξ，使等式
f(b)g(b)-
f(a) g(a)
=
f'(ξ) g'(ξ)
成立。
证明：作辅助函数
φ(x)=f(x)-
kg(x)，k=
f(b)g(b)-
f(a) g(a)
［33］Lam P.Y.S.,Jahdav P.K.,Eyermann C.J.,Hodge C.N.,Ru Y.,Meek L.T.,Bacheler J.L.,Otto M.J.,Rayner M.M.,Wong Y.N.,Chang C.H.,Weber P.C.,Jackson D.A.,Sharpe T.R.,Erickson- Viitanen S.Science.1994,263, 380- 384.
［39］Ileana Stoica,S.Kashif Sadiq,and Peter V.Coveney.J.Am.Chem. Soc.2008,130,2639- 2648.
其中用到 1
x
>1 及 e 是单调函数的性质。
sinξ
参考文献 ［1］同济大学应用数学系.高等数学［M］.高等数学出版社，2003
531. ［26］Gilson,M.K.,Given,J.A.,Bush,B.L.,McCammon,J.A.Biophys.J.1997,
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拉格朗日中值定理在方程有根证明题中的应用
拉格朗日中值定理在方程有根证明
题中的应用
拉格朗日中值定理，也叫拉格朗日中点定理，是拉格朗日在1797年提出的。
它指出：如果一个多元复函数在区域上连续，并且在该区域内每一点处都有最小值，则该函数在该区域上必定存在一个点使得该函数取得最小值。
在方程有根证明题中，拉格朗日中值定理可以用来证明一元n次方程有n个实根的情形。
因为一元n次方程的多项式函数能够在[a, b]上连续，而且在该区间的每一点上都有最小值，则根据拉格朗日中值定理，一元n次方程在[a, b]上必定至少存在n个实根（即根据拉格朗日中值定理，一元n次方程至少有n个实根）。
拉格朗日中值定理的证明
拉格朗日中值定理的证明
为帮助大家更好的备战教师资格统考，下面将就20XX年下半年高中数学专业笔试卷中的一道难题（拉格朗日中值定理的证明）做出详细的解释，并希望可以给你一些合理的建议，提供较为实用的备考策略。
20XX年下半年高中数学科目三高中数学专业知识考察难度较大，涉及很多大学专业知识，特别是数学分析中的居多。
其中有一道证明题目：叙述并证明拉格朗日中值定理并给出证明。
这道题难倒了很多当时参加考试的考生。
拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，大多数是利用罗尔中值定理构建辅助函数来证明的。
通过本题的解释也充分证实了高中数学教师资格证专业笔试的难度，不单单需要掌握高中专业知识，能熟练应付高考中常规题目，更要能应用大学数学专业知识。
因此数学解题技巧和易错题的总结对于提升数学分数非常重要。
数学的出题方式多种多样，解题方法也不止一种，于是数学思维就变得尤为重要。
在这种情况下，要求考生仔细分析解题技巧，夯实专业知识的同时能做到融会贯通。
这就需要熟记常见的公式，深刻理解数学概念本身的含义，能够做到联系题目总结和发现解题技巧。
此外对于已经掌握的解题技巧要经常总结，善于思考，以提高解
题速度。
数学题目的解决还需要大量的练习。
通过题目的练习既可以了解出题方向，也可以夯实知识，明晰自身知识的短板尽快查漏补缺。
考研数学中值定理 证明题
考研数学中值定理证明题考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。
中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例来介绍中值定理的证明方法。
罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得$f'(\xi)=0$。
那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。
证明：首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个极值点。
如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而可以使用拉格朗日中值定理。
接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。
我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。
因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在$(a,b)$内。
那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即$f(a)=f(b)$是$f(x)$的最大值或最小值。
假设$f(x)$在$[a,b]$上为最大值，则有$f(x) \leq f(a) = f(b),\forall x \in [a,b]$。
又因为$f(x)$在$(a,b)$上可导，即$\forall x \in (a,b)$，有$f'(x)$存在，所以$f(x)$在$(a,b)$上单调递减，即$\forall x_1,x_2 \in (a,b)$，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) >f(x_2)$。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。
这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。
拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。
具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。
拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。
拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。
在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。
1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。
在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。
拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。
这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。
拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。
通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。
拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数，即′。
当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。
在，有′，。
由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，能够描述函数在一定条件下的变化率。
它是法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，被广泛运用于物理学、经济学、工程学等领域。
拉格朗日中值定理的数学表述如下：设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一个点c，使得函数在区间[a,b]上的导数等于函数在点c处的瞬时变化率。
也就是说，存在点c使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
接下来证明拉格朗日中值定理。
首先构造一个新的函数g(x) = f(x) - (f(b) -f(a))/(b - a) * (x - a)。
函数g(x)具有两个性质：1. g(x)在闭区间[a,b]上连续；2. g(x)在开区间(a,b)内可导。
而且，g(a) = f(a) - (f(b) - f(a))/(b - a) * (a - a) = f(a)，g(b) = f(b) - (f(b) - f(a))/(b - a) * (b - a) = f(b)。
根据罗尔定理，在开区间(a,b)内必存在一个点c，使得g'(c) = 0。
即，存在点c使得g'(c) = f'(c) - (f(b) - f(a))/(b - a) = 0。
从而得到f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的应用非常广泛。
下面举几个例子：1. 函数的增减性分析：根据拉格朗日中值定理，如果函数在某开区间内导数恒为正（或恒为负），则函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，广泛应用于函数的变化率、方程的求解、极值问题等方面。
它不仅有着深厚的理论背景，也为实际问题的求解提供了有力的工具。
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谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述.1罗尔()Rolle中值定理如果函数()xf满足条件：()1在闭区间[]b a,上连续；()2在开区间()b a,内可导；（3）()()b faf=,则在()b a,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()xfy=在点BA,处的纵坐标相等，那么，在弧 ⋂AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --=ζ'拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理教材证法证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=--显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=a b a f b f f F ζζ.即()()()ab a f b f f --=ζ'. 用作差法引入辅助函数法证明 作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x ϕ 显然，函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ϕϕ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=a b a f b f f ζζϕ，即 ()()()ab a f b f f --=ζ'推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ϕ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：()()a b a f b f K K AB OT --==，OT 的直线方程为：()()x ab a f b f y --=，于是引入的辅助函数为：()()()()x ab a f b f x f x ---=ϕ. （证明略） 推广2 如图4过点()O a ,作直线''B A ∥AB ，直线''B A 的方程为：()()()a x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线函''B A 数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()a x a b a f b f x f x ----=ϕ. （证明略） 推广3 如图5过点作()O b ,直线''B A ∥AB ，直''B A 线的方程为()()()b x ab a f b f y ---=，由()x f 与直线A B ''函数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：()()()()()b x ab a f b f x f x ----=ϕ. 事实上，可过y 轴上任已知点()m O ,作//B A ∥AB 得直线为()()m x ab a f b f y +--=，从而利用()x f 与直线的''B A 函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数()x ϕ都可以用来证明拉格朗日中值定理. 因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数()x f 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数()x f ，即可得与之对称的辅助函数如下： ⑴ ()()()()()()x f a x a b a f b f a f x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=ϕ ⑵ ()()()()x f x a b a f b f x ---=ϕ⑶ ()()()()()x f a x a b a f b f x ----=ϕ ⑷ ()()()()()x f b x ab a f b f x ----=ϕ 等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明 显然，函数()x ϕ满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；()3()()()()ab a bf b af b a --==ϕϕ.由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ζζϕf ab a f b f ，从而有()()()ab a f b f f --=ζ'，显然可用其它辅助函数作类似的证明. 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy 逆时针旋转适当的角度α，得新直角坐标系XOY ，若OX 平行于弦AB ，则在新的坐标系下()x f 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.证明 作转轴变换ααsin cos Y X x -=，ααcos sin Y X y +=，为求出α，解出Y X ,得()()x X x f x y x X =+=+=ααααsin cos sin cos ① ()()x Y x f x y x Y =+-=+-=ααααcos sin cos sin ② 由()()b Y a Y =得 ()()ααααcos sin cos sin b f b a f a +-=+-，从而()()ab a f b f --=αtan ，取α满足上式即可.由()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，知()x Y 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b Y a Y =，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()0cos sin '=+-=αζαζf Y ，即()()()ab a f b f f --==αζtan ' 用迭加法引入辅助函数法让()x f 迭加一个含待顶系数的一次函数m kx y +=，例如令()()()m kx x f x +-=ϕ或()()m kx x f x ++-=ϕ，通过使()()b a ϕϕ=，确定出m k ,，即可得到所需的辅助函数.例如由 ()()()m kx x f x +-=ϕ，令()()b a ϕϕ=得()()()()m kb b f m ka a f +-=+-，从而()()ab a f b f k --=，而m 可取任意实数，这样我们就得到了辅助函数()()()m x ab a f b f x ---=ϕ，由m 的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.用行列式引入辅助函数法证明 构造一个含()x f 且满足罗尔中值定理的函数()x ϕ，关键是满足()()b a ϕϕ=.我们从行列式的性质想到行列式()()()111x f x af a bf b 的值在,x a x b ==时恰恰均为0，因此可设易证()()()()111xf x x af a bf b ϕ=，展开得 ()()()()()()()x f b x bf a af x af b f a x bf x ϕ=++---.因为()x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，所以()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0a b ϕϕ==，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()0'=ζϕ. 因为()()()()()0''=---=ζζϕf b a b f a f即： ()()()ab a f b f f --=ζ' 数形相结合法引理 在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()(),A a f a ，()(),B b f b ，()(),C c f c ，则ABC ∆面积为()()()1112ABC af a S b f b a cf c ∆=， 这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明. 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图， 设()(),c f c 是直线AB 与()y f x =从A 点开始的第一个交点，则构造()()()()211141af a x c f c x f x ϕ=， 易验证()x ϕ满足罗尔中值定理的条件：在闭区间[],a c 上连续，在开区间(),a c 内可导，而且()()b a ϕϕ=，则至少存在一点()b a ,∈ζ，使()/0ϕζ=，即：()()()()()()01111111'=ζζζf c f c a f a f c f c a f a 但是()()()1101af a cf c f ζζ≠，这是因为，如果 ()()()1101a f a c f c f ζζ=， 则()()()()f f c f c f a c c aζζ--=--，这样使得()(),f ζζ成为直线AB 与()y f x =从A 点的第一个交点，与已知矛盾）.故()()()0111=ζζf c f ca f a，即()()()()()ac a f c f a b a f b f f --=--=ζ'. 若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造()()()()111af a x bf b xf x ϕ=来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造()()()()()()()111g a f a x g b f b g x f x ϕ=来证明柯西中值定理.区间套定理证法证明 将区间[],I a b =二等分，设分点为1ζ，作直线1x ζ=，它与曲线()y f x = 相交于1M ，过1M 作直线11L M ∥弦b a M M . 此时，有如下两种可能:⑴ 若直线11M L 与曲线()y f x =仅有一个交点1M ，则曲线必在直线11M L 的一侧.否则，直线11M L 不平行于直线a b M M . 由于曲线()y f x =在点1M 处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线11M L 就是曲线()y f x =在点1M 处的切线，从而()()()ab a f b f f --=1ζ.由作法知，1ζ在区间(),a b 内部，取ζζ=1于是有 ()()()ab a f b f f --=ζ⑵ 若直线11M L 与曲线()y f x =还有除1M 外的其他交点，设()111,N x y 为另外一个交点，这时选取以11,x ξ为端点的区间，记作[]111,I a b =，有1,112b a l I b a -⊇-<,()()()()1111f b f a f b f a b a b a--=--，把1I 作为新的“选用区间”，将1I 二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点ζ，要么又得到一个新“选用区间”2I .如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生:(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点k ζ，作直线k x ζ=它与曲线()y f x =交于k M ，过点k M 作直线k k L M ∥弦b MM , 它与曲线()y f x =只有一个交点k M ，此时取ζζ=k 即为所求.(b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列{n I }，满足:① 12I I I ⊇⊇⊇ []n n n b a I ,=② ()02n n n b ab a n --<→→∞ ③()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a--=-- 由①②知，{n I }构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点() 3,2,1=∈n I n ζ，此点ζ即为所求. 事实上ζ==∞→∞→n n n n b a lim lim ，()f ξ存在()()()ζf a b a f b f n n n n n =--∞→lim ，由③lim n →∞()()()()n n n n f b f a f b f a b a b a --=--，所以()()()ab a f b f f --=ζ，从“选用区间”的取法可知，ζ确在(),a b 的内部. 旋转变换法证明 引入坐标旋转变换A : cos sin x X Y αα=- ⑴ ααcos sin Y X y += ⑵因为 22cos sin cos sin 10sin cos αααααα-∆==+=≠所以A 有逆变换/A :()()cos sin cos sin X x y x f x X x αααα=+=+= ⑶()()sin cos sin cos Y x y x f x Y x αααα=-+=-+= ⑷ 由于()x f 满足条件: ()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导，因此⑷式中函数()Y x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导.为使()Y x 满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角α，使()()Y a Y b =, 即()()sin cos sin cos a f a b f b αααα-+=-+，也即()()tan f b f a b a α-=-. 这样，函数()Y x 就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点()b a <<ζζ，使()()0cos sin =+=αζαζf Y 即()αζtan =f . 由于所选取旋转角α满足()()a b a f b f --=αtan ，所以()()()ab a f b f f --=ζ.结论本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充. 通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第二版）[M].北京：高等教育出版社.1991：153-161[2] 吉林大学数学系. 数学分析(上册)[M].北京：人民教育出版社.1979：194-196[3] 同济大学应用数学系. 高等数学（第一册）[M].北京：高等教育出版社（第五版）.2004：143-153[4] 周性伟,刘立民. 数学分析[M].天津：南开大学出版社.1986：113-124[5] 林源渠,方企勤. 数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社.2003：58-67[6] 孙清华等. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉：华中科技大学出版社.2003：98-106[7] 洪毅. 数学分析（上册）[M].广州：华南理工大学出版社.2001：111-113[8] 党宇飞. 促使思维教学进入数学课堂的几点作法[J].上海：数学通报.2001,1：15-18[9] 王爱云. 高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J].西安：数学通报.2002,2：84-88[10] 谢惠民等. 数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社.2003：126-135[11] 刘玉莲,杨奎元等. 数学分析讲义学习指导书（上册）[M].北京：高等教出版社.1994：98-112[12] 北京大学数学力学系. 高等代数. 北京：人民教育出版社. 1978:124-135[13] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社.1993：102-110[14] 郑琉信.数学方法论[M].南京：广西教育出版社.1996：112-123[15] 陈传璋等. 数学分析（上册）[M].北京：人民教育出版社.1983:87-92[16] 李成章,黄玉民. 数学分析（上）[M].北京：科学出版社.1995：77-86附 录柯西中值定理若 ⑴ 函数()f x 与()g x 都在闭区间[]b a ,上连续；⑵ ()x f '与()x g '在开区间()b a ,内可导；⑶ ()x f ' 与()x g '在()b a ,内不同时为零；⑷ ()()g a g b ≠，则在()b a ,内至少存在一点ζ，使得()()()()a b a f b f g f --=ζζ''. 区间套定理若[]{},n n a b 是一个区间套，则存在唯一一点ζ，使得[],n n a b ζ∈，1,2,n = 或 n n a b ζ≤≤，1,2,n =。