洛伦兹力的一种推导
洛伦兹力
洛伦兹力在这篇文章内，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。
例如，位置矢量通常用表示；而其大小则用来表示。
不同电荷量的带电粒子，由于磁场（磁场方向从银幕内指出来）的影响，感受到洛伦兹力的作用，所呈现的可能运动轨道。
由于磁场的影响，电子射束的移动路径呈圆形。
电子经过的路径会有紫色光发射出来。
这是因为电子与玻璃球内的气体分子碰撞而产生的现象。
在电动力学里，洛伦兹力 (Lorentz force) 是运动于电磁场的带电粒子所感受到的作用力。
洛伦兹力是因荷兰物理学者亨德里克·洛伦兹而命名。
根据洛伦兹力定律，洛伦兹力可以用方程，称为洛伦兹力方程，表达为；其中，是洛伦兹力，是带电粒子的电荷量，是电场，是带电粒子的速度，是磁场。
洛伦兹力定律是一个基本公理，不是从别的理论推导出来的定律，而是由多次重复完成的实验所得到的同样的结果。
感受到电场的作用，正电荷会朝着电场的方向加速；但是感受到磁场的作用，按照右手定则，正电荷会朝着垂直于速度和磁场的方向弯曲（详细地说，假设右手的大拇指与同向，食指与同向，则中指会指向的方向）。
洛伦兹力方程的项目是电场力项目，项目是磁场力项目。
处于磁场内的载电导线感受到的磁场力就是这洛伦兹力的磁场力分量。
洛伦兹力方程的积分形式为。
其中，是积分的体积，是电荷密度，是电流密度，是微小体元素。
洛伦兹力密度是单位体积的洛伦兹力，表达为：。
历史亨德里克·洛伦兹1892年，荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹提出洛伦兹力的概念。
但是，在洛伦兹之前，就已经有发掘出洛伦兹力方程的形式，特别是在詹姆斯·麦克斯韦的1861 年论文《论物理力线》里的公式 (77)：、、；其中，、、分别为电场的三个分量，是磁导率，、、分别为导电体的移动速度的三个分量，、、分别为磁场强度的三个分量，、、分别为磁矢势的三个分量，是电势。
后来，在他的 1864 年论文《电磁场的动力学理论》里，麦克斯韦将这公式列为麦克斯韦方程组的八个原本方程中的方程(D) :；其中，是速度，是磁场强度，是磁导率，是磁矢势，是电势。
洛伦兹洛伦茨公式推导
洛伦兹洛伦茨公式推导
基本推导：安培力是洛伦兹力的宏观表现，故从安培力大小公式，可以反推得洛伦兹力公式。
安培力F=BIL，电流I=Q/t，代入上式F=BL(Q/t)=QvB(从宏观到微观)，从微观到宏观，
F=BIL=BnqsvL=NBqv，即F（安培力）=Nf(f是洛伦兹力)。
运动电荷在磁场中所受的力叫做洛伦兹力。
洛伦兹力是因荷兰物理学者亨德里克·洛伦兹而命名。
根据洛伦兹力定律，洛伦兹力可以用方程，称为洛伦兹力方程。
洛伦兹力的方向可用左手定则来判断。
伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌处于同一水平面，让磁感线从掌心进入，四指指向正电荷运动的方向，拇指指的方向即洛伦兹力力的方向。
公式：F=Bqvsinθ（θ是v和B的夹角）。
探究洛伦兹力的方向
洛伦兹力在物理中的作用
洛伦兹力是电磁学中的基本力之 一，它在电磁场理论、粒子物理 和天体物理等领域中有着广泛的
应用。
在宏观尺度上，洛伦兹力对带电 粒子的运动轨迹和速度产生影响， 从而影响电磁设备和装置的性能。
在微观尺度上，洛伦兹力对原子 和分子的运动状态和能级产生影 响，从而影响化学反应和材料性
质。
02
洛伦兹力方向的实验探究
实验目的
探究洛伦兹力方向与 磁场方向和电流方向 的关系。
加深对电磁场理论的 理解。
验证左手定则的正确 性。
实验原理
洛伦兹力是磁场对带电粒子的 作用力，其方向与磁场方向和 带电粒子运动方向有关。
左手定则：伸开左手，让磁感 线垂直穿过掌心，四指指向电 流方向，大拇指所指方向即为 洛伦兹力方向。
探究洛伦兹力的方向
• 洛伦兹力概述 • 洛伦兹力方向的实验探究 • 洛伦兹力方向的数学推导 • 洛伦兹力方向的实例应用 • 结论与展望
01
洛伦兹力概述Βιβλιοθήκη 洛伦兹力的定义洛伦兹力是指带电粒子在磁场中受到的力，其大小与带电粒子的电荷量、速度和 磁感应强度有关。
洛伦兹力方向的确定遵循左手定则，即伸开左手，让拇指与其余四指垂直，并处 于同一平面内，然后将磁感应线穿过掌心，四指指向正电荷运动的方向，那么大 拇指所指方向就是洛伦兹力的方向。
通过实验观察不同情况下洛伦 兹力的方向，验证左手定则。
实验步骤
将导线放置在蹄形磁铁的磁 场中，并固定好支架，确保
导线可以自由转动。
准备实验器材：蹄形磁铁、 导线、电流表、支架等。
01
通电后，观察导线的运动情 况，记录导线的运动轨迹和
02
03
方向。
改变磁场方向或电流方向， 重复上述实验步骤，并记录
第三章 第5节 洛伦兹力
洛伦兹力
电场力
仅在运动电荷的速度方
产生
带电粒子只要处在电场
向与B不平行时，运动
条件
中，一定受到电场力
电荷才受到洛伦兹力
F＝qvBsinθ，方向与B
大小
F＝qE，F的方向与E
垂直，与v垂直，用左
方向
同向或反向
手定则判断
返回
洛伦兹力
电场力
特点 洛伦兹力永不做功
电场力可做正功、负功或 不做功
相同 点
反映了电场和磁场都具有力的性质
需要注意的是，负电荷以速度 v 也可匀速通过这个选择器。但
是，若粒子从右－11 所示的正交电场和磁场
中，有一粒子沿垂直于电场和磁场的方
向飞入其中，并沿直线运动(不考虑重力
作用)，则此粒子
()
A.一定带正电
B.一定带负电
C.可能带正电或负电，也可能不带电
D.一定不带电
图 3－5－11
返回
解析：带电粒子在电场中受电场力，在磁场中受洛伦兹力， 而带电粒子做直线运动，根据电场力方向及洛伦兹力方向判 定，可知两力必反向且与运动速度垂直，故无法判断是何种 带电粒子，即正电、负电、不带电粒子都满足题设条件，故 正确答案为 C。
答案： C
返回
返回
[例 1] 在图 3－5－12 所示的各图中，匀强磁场的磁感应强度 均为 B，带电粒子的速率均为 v，带电荷量均为 q。试求出图中带 电粒子所受洛伦兹力的大小，并指出洛伦兹力的方向。
答案： 6.4×10－17 N
返回
1.结构 如图 3－5－4 所示为电视显像管的原理示意图(俯视图)。没有磁 场时，电子束打在荧光屏正中的 O 点，为使电子束偏转，由安装在管
(完整word版)安培力与洛伦兹力
安培力与洛伦兹力一、安培力定义：通电导线在磁场中所受的力。
大小：1、磁场与电流垂直时，F=BIL2、磁场与电流平行时，F=03、磁场与电流成b角时，F=BILsin b理解:1、公式适用于匀强磁场,若为非匀强，则需要用到积分。
2、公式中的夹角为磁场与导线的夹角.3、磁场有垂直电流方向的分量才对电流产生力的作用，平行电流方向对电流不产生力的作用。
因此，如果知道一段导线的受力，我们只可以确定磁场垂直电流方向的分量，换句话说,我们只可以确定场强的最小值。
4、对于一段导线有效长度的确定.直导线：本身长度*sin b(磁场与导线的夹角)弯曲导线：在导线所在平面垂直于磁场方向的前提下，有效长度为两端点的连线.5、对于闭合线圈，其有效长度一定为0.因此，对于完全处于匀强磁场中的闭合线圈，其所受的磁场力合力一定为零。
方向：左手定则（判断磁场方向——右手、判断受力方向——左手）同时垂直与电流方向和磁场方向。
注意：不管电流方向与磁场方向是否垂直，安培力方向总垂直与电流方向与磁场方向决定的平面。
二、洛伦兹力定义：运动电荷在磁场中所受的力.大小：1、v//B或v=0时，F=0。
2、v垂直于B时，F=qvb。
3、v与B的夹角为ɑ时，F=Bqvsin ɑ。
4、B、ɑ、v均为粒子运动过程中的瞬时量。
方向：1、使用左手定则进行判定（判断磁场用右手，判断受力用左手）。
2、四指指向一定是正电荷的运动方向，是负电荷的反方向.(四指指向电流方向）。
3、洛伦兹力的方向和电荷运动方向与磁场方向都垂直（不做功）。
理解:1、洛伦兹力与速度成正比，并且与速度的方向有关，同样的速度，垂直磁场入射的时候，洛伦兹力最大。
2、洛伦兹力始终和速度方向垂直,根据W=FSsinɑ，ɑ=90知，W=0.也就是说洛仑兹力始终不做功.3、做功为0，根据功能关系,能量不改变，洛伦兹力不改变速度的大小。
由牛顿第一定律，力可以改变物体运动状态,洛伦兹力改变速度大小。
三、安培力与洛伦兹力的内在关系由安培力F=BIL推导洛伦兹力F=qvB设：导体的横截面积为S，单位体积的电荷数为n，自由电荷的电荷量为q，电荷定向移动的速度大小为v。
洛仑兹力
据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动 在球面上做水平的匀速圆周运动, 解： 据题意，小球 在球面上做水平的匀速圆周运动 该圆周的圆心为O' 受到向下的重力mg、 该圆周的圆心为 。P受到向下的重力 、球面对它 受到向下的重力 方向的支持力N和磁场的洛仑兹力 f＝qvB 沿OP方向的支持力 和磁场的洛仑兹力 方向的支持力 和磁场的洛仑兹力f ＝ 式中v为小球运动的速率， 的方向指向O′, 式中 为小球运动的速率，洛仑兹力 f 的方向指向 为小球运动的速率 根据牛顿第二定律： 根据牛顿第二定律：
2m B≥ q g R cosθ
可见，为了使小球能够在该圆周上运动， 可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度 大小的最小值为
Bmin 2m = q g R cosθ
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为n R sinθ
v= 2a = 2m
N cosθ mg = 0
v2 f N sinθ = m R sinθ 由前面三式得： 由前面三式得： qBR sinθ gR sin2 θ v2 v+ =0 m cosθ
N P mg f R θ O O'
由于v是实数，必须满足： 由于 是实数，必须满足： 是实数 qBR sinθ 2 4 gR sin2 θ =( ) ≥0 m cosθ 由此得： 由此得：
若小球带负电， 解： 若小球带负电，带电小球受到的洛仑兹力向 试管底，不能从试管口处飞出， 错 试管底，不能从试管口处飞出，A错。 洛仑兹力与运动方向垂直，不做功， 错 洛仑兹力与运动方向垂直，不做功，C错。 小球带正电，受到洛仑兹向试管口作匀加速运动 小球带正电，受到洛仑兹向试管口作匀加速运动, 同时随试管向右匀速运动，合运动的轨迹是一条 同时随试管向右匀速运动， 抛物线， 正确 正确。 抛物线，B正确。 小球受到洛仑兹向试管口作匀加速 运动时，又受到洛仑兹力， 运动时，又受到洛仑兹力，方向向 且逐渐增大， 左，且逐渐增大，所以维持试管匀 速运动的拉力F应逐渐增大 正确. 应逐渐增大,D正确 速运动的拉力 应逐渐增大 正确
洛仑兹力---重点
洛仑兹力[P1]洛仑兹力：运动电荷受到的磁场的作用力，叫做洛仑兹力．（1）洛仑兹力大小： f = q v B sin θ f = B q V （当B ⊥V 时）， 当电荷静止或运动电荷的速度方向跟磁感强度的方向平行时，电荷都不受洛仑兹力。
（2）洛仑兹力的方向——由左手定则判断。
注意：①洛仑兹力一定垂直于B 和V 所决定的平面.②四指的指向是正电荷的运动方向或负电荷运动的反方向；（3）特性：洛仑兹力对电荷不做功，它只改变运动电荷的速度方向，不改变速度的大小。
（4）洛伦兹力和安培力的关系：洛伦兹力是安培力的微观表现。
[P2]洛伦兹力计算公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力（安培力）为F 安=BIL ；其中I=nesv ；设导线中共有N 个自由电子N=nsL ；每个电子受的磁场力为F ，则F 安=NF 。
由以上四式得F=qvB 。
条件是v 与B 垂直。
当v 与B 成θ角时，F=qvB sin θ。
[P3]带电粒子在磁场中的圆周运动：若带电粒子速度方向与磁场方向平行(相同或相反)，带电粒子以不变的速度做匀速直线运动．当带电粒子速度方向与磁场垂直时，带电粒子在垂直于磁感应线的平面内做匀速圆周运动．带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛仑兹力充当向心力：rmv qvB 2=， 由此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：Bqm T ,Bq mv r π2== m )qBR (mv E k 22122==动能[P4]2007年上海卷）在磁感应强度B 的匀强磁场中，垂直于磁场放入一段通电导线。
若任意时刻该导线中有N 个以速度v 做定向移动的电荷，每个电荷的电量为q 。
则每个电荷所受的洛伦兹力f ＝ q v B __，该段导线所受的安培力为F ＝ N q v B ___。
[P5]2007高考理综北京卷）图1是电子射线管示意图.接通电源后，电子射线由阴极沿x 轴方向射出,在荧光屏上会看到一条亮线.要使荧光屏上的亮线向下（z 轴负方向）偏转，在下列措施中可采用的是____B______。
5.5 探究洛伦兹力
总是:F⊥V F⊥B 即 F⊥SVB
2、洛伦兹力只改变速度的方向, 不改变速度的大小.
3、洛伦兹力对电荷总是不做功.
五、带电粒子垂直进入磁场的运动
1、带电粒子垂直射入匀强磁场时，由于f始终与v垂 直，故不改变v的大小，只改变v的方向，使运动电
T 2m
qB
T与v无关
v qB
六、运动电荷在有界磁场做匀速圆周 运动的圆心、半径及运动时间的确定
1、圆心的确定
.当已知入射方向和
出射方向时,可以过入
射点和出射点分别作
入射方向和出射方向
r
的垂线,两条垂线的交
点就是带电粒子运动
圆弧轨道的圆心
V0
Vt r
(2)知磁场中 一点速度方向 和另一点位置， 则该点所受洛 伦兹力作用线 与这两点连线 的中垂线的交 点即为圆心， 如图所示．
4.电场力要对运动电荷做功（电荷在等势面上运动除外），而电荷在磁场中运 动时，磁场力一定不会对电荷做功.
显 像 管 工 作 示 意 图
磁 流 体 发 电 机
磁 流 体 发 电 机
磁 流 体 发 电 机
粒 子 选 择 器
速 度 选 择 器
极光
1.定义： 磁场对运动电荷的作用力，叫做洛伦兹力. 2.方向： 由左手定则判断 （1）洛伦兹力F一定和B、v决定的平面垂直. （2）洛伦兹力只改变速度的方向而不改变其大小. （3）洛伦兹力永远不做功.
二、洛伦兹力的方向
1.左手定则： 伸开左手，使大拇指和
其余四指垂直并与手掌在
f
同一平面内，让磁感线穿
入手心，四指指向正电荷
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取消式（1）中下标，E和F很多分量都是0。考虑到 c =
1 µ0ε0
F
=
qE
−
γ
µ0 4π
qq0 v0v r2
定义磁场
B
=
γ
µ0 4π
q0 v0 r2
= γ q0 4πε0r 2
v0 c2
= γE′y
v0 c2
=
Ey
v0 c2
=
E
v0 c2
S系中q受到的力变化为
F
=
qE
−
q
v
γ
µ0 4π
q0 v0 r2
q相对S系速度v，沿x向运动； q0相对S‘系速度v0，也沿x向运动； 设q、q0正电荷，且某时刻沿y（y'）方向一条线上，q受到电力沿y 向；q受到磁力是吸引力，方向与电力相反。
在s'系中，q只受到电力作 用
Fy′
=
qE′y
=
qq 0 4πε0 r 2
q相对s'的速度为
y y'
F ′
S q v
q0 v 0
qq0
4πε 0r 2
v0v c2
Fy
=
γqE′y
−γ
qq 0 4πε0r 2
v0v c2
= qE y
−γ
µ0 4π
qq0 v0v r2
(1)
考虑到
E′y
=
q0
4πε0r 2
E E
x y
= =
E′x = γE′y
0
Ez = γE′z = 0
E只有y分量 = E E= y j Ej
F也只有y分量=F F= y j Fj
= qE − q v B
如果再定义一下B的方向，B
=
v0 c2
× E
即 z正方向
F = qE + q v× B ————洛伦兹力公式
S系中q受到的力第一部分是电场力；第二部分是磁力。
补充：洛伦兹力的一种推导
一、用到的一些相对论变换式
1.相对论力的变换 2.S/系下静电场的变换
Fx
=
Fx′
+
β c
F′ •
v ′
1
+
β c
v′x
Fy
=
Fy′ γ1+ β
c
v′x
Fz
=
Fz′ γ1+ β
c
v′x
E E
x y
= =
E′x γE′y
Ez = γE′z
二、S'系中q只受到电力的作用
s'系相对s系以v0沿着x运动
S' γ = 1
β = v0
1-
v0
2
c
c
x(x')
v′x
=
v− v0
1
−
v0 c2
v
v′y = 0
v′z = 0
三、S系中q受到的力
在s系中，用相对论力的变换有：
= Fx = Fz
F= x′ 1++βcβcFv′′x• v′
0
= Fz′ 0
γ
1 +
β
c
v′x
( ) 注意： F ′ = 0, Fy′ , 0
4πε 0r 2
γ
1+
v0
v− v0 c2 − v0v
qq0
= 4πε 0r 2
γ
1+
vv0
−
v
2 0
c2 − v0v
qq0
4πε 0r 2
γ
c2
−
v0v+ vv0 − c2 − v0v
v02
qq0
= 4πε 0r 2
γ
c2
−qq0
4πε 0r 2
γ
1−
v02 c2
1−
v0v c2
qq0
= = 4πε 0r 2
γ
1/γ 2
1−
v0v c2
γ
qq0
4πε 0r 2
1 −
v0v c2
F=y
γ
qq0
4πε 0r 2
1 −
vc02v=
γ qq0 − γ qq0 v0v
4πε 0r 2
4πε 0r 2 c2
=
γ qE′y
−γ
v′= (v′x ， 0， 0)
qq 0
qq 0
qq 0
Fy
=
Fy′ γ1+ β
c
v′x
=
4πε0r 2
γ1
+
β c
v′x
=
4πε0r 2
γ1
+
β
v− v0
c
1−
v0 c2
v
=
4πε0r 2
γ1
+
βc
v c2
− −
v0 v0
v
qq0
qq0
Fy
= 4πε 0r 2
γ
1+
βc
v− v0 c2 − v0v