自然数方幂的平方差分拆公式
平方差公式口诀
平方差公式口诀
平方差公式口诀：两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
1
平方差指一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）。
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍即完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
2
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
用字母表示为（a+b）（a-b）=a2-b2。
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。
公式特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差，即右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数；右边为这两个数的平方差即右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。
3
（1）公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
（2）右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
（3）公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
4
Sin2A-sin2B=cos2B-cos2A=sin(A+B)sin(A-B)
cos2A-sin2B=cos2B-sin2A=cos(A+B)cos(A-B)。
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
知识点059 平方差公式(解答)
1、化简：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]考点：平方差公式；完全平方公式。
分析：把（a+b）看成一个整体，利用平方差公式展开，然后再利用完全平方公式计算后化简即可．解答：解：（a+b﹣c）（a+b+c）﹣[（a﹣b）2+4ab]，=（a+b）2﹣c2﹣（a﹣b）2﹣4ab，=（a+b）2﹣（a﹣b）2﹣4ab﹣c2，=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2﹣c2，=﹣c2．点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答此题关键，要把（a+b）看成一个整体，计算时要注意运算符号的处理．2、（1）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．根据上面的规律，得（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+229+230的值．考点：平方差公式。
专题：阅读型；规律型。
分析：仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数加1，根据此规律就可求出本题．解答：解：（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=x n﹣1；（2）1+2+22+23+24+…+229+230=（2﹣1）（1+2+22+23+24++229+230）=231﹣1．点评：本题主要锻炼学生从已知的题中找规律．所以学生平时要注意培养自己的总结概括能力．3、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=考点：平方差公式。
分析：利用平方差公式对各项分解因式，前一项与后一项出现倒数，然后再根据有理数的乘法计算即可．解答：解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣），=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）•…•（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），=××××××…××××，=×，=．点评：本题考查了平方差公式的逆运用，利用公式分解成两数的积，并且出现倒数相乘是解题的关键，求解方法灵活巧妙．4、计算：（1）﹣3m（2m+n﹣1）；（2）（3x﹣2）（x+4）；（3）（x+y﹣2）（x+y+2）．考点：平方差公式；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式。
平方差的公式。
平方差的公式
平方差是一种用来衡量数据波动程度的测量方法，也称为方差。
它可以用来识别数据之间的差异和波动。
平方差的公式如下：
σ²=Σ(xi-μ)²/n
其中，σ² 是方差
xi 是所有数据的样本值
μ 是样本的平均值
n 是样本的数量
平方差是用来统计数据分布情况的测量方法，其值提供了以下信息：
1、原始数据之间的差异和波动大小。
2、数据越集中，方差值越小；比如，在相同数量的样本中，
两个组中的样本值均分布在比较宽散的范围内，那么它们的方差值比较大。
3、方差的值有助于我们分析数据的变化规律，可以帮助我们
了解数据的分布特点，即距离数据量中心点的距离越远，所谓的数据越分散。
4、通过方差值可以比较不同样本（或数据集）之间的差异。
5、方差值也可以应用于统计学检验，为统计分析提供理论支持。
总之，平方差是一种测量波动度和分布样本的数据统计方法，它有助于我们分析数据变化规律，当然也可以为统计分析提供理论依据。
平方差公式课件
02
平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
平方差公式是数学中的一个基本公式，它表示两个数的平方差等于这两个数和与差的积。
具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
平方差公式的几何意义
• 平方差公式可以理解为两个平行线间距离的公式。如果两条平 行线被第三条直线所截，那么截得的两条线段的平方差等于两 条线段和与差的积。
平方差公式的代数表达
• 平方差公式也可以从代数角度理解，即利用多项式乘多项式 法则进行展开。具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-ab+abb^2=a^2-b^2$
03
平方差公式的证明
利用多项式展开证明
总结词
通过代数运算，将两个多项式相乘，展开后得到两组完全平方项，最终化简得 到平方差公式。
详细描述
首先将两个多项式分别展开，然后根据分配律和结合律，将两个多项式相乘得 到一组新的完全平方项。通过观察和化简，可以发现这组完全平方项可以再次 组合成两个完全平方项的差，即平方差公式。
利用几何方法证明
总结词
通过几何图形，将两个正方形或矩形相减，得到一个新的正 方形或矩形，最终计算其面积得到平方差公式。
示例：计算$203\times197$的值。
习题三：挑战题
总结词：挑战难题
详细描述：本题主要考察学生对平方差公式的综合运用能力，要求学生 能够解决一些复杂的计算问题。
示例：计算$10000\times9999$的值。
THANKS
感谢观看
详细描述
首先画两个正方形或矩形，使它们的边长分别为a和b。然后 将其中一个正方形或矩形剪去，得到一个新的正方形或矩形 。通过计算这个新正方形的面积，可以得到平方差公式。
平方差知识要点
【知识要点】◆要点(1) 平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2. 其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
【例1】计算下列各题：（1）()()y x y x 5454-+；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a 51313151；（3）()()2222--+-n m n m【例2】利用平方差公式计算下列各题：（1）1.509.49⨯；（2）2201320142012-⨯【例3】计算：()()()1)1(1110042+∙∙+++a a a a .【例4】已知正方形的边长是a cm ，若将一边增加3cm ，另一边减小3cm ，那么改变后的面积与原正方形的面积哪个大 ?A 【夯实基础】一、填空题1、，则2、．3、（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）4、如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）5、比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）二、选择题6、下列各式能用平方差公式计算的是：（）A． B．C． D．7、下列式子中，不成立的是：（）A．B．C．D．8、，括号内应填入下式中的（）．A． B． C． D．9、对于任意整数n，能整除代数式的整数是（）．A ．4B ．3C ．5D ．210、在 的计算中，第一步正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．三、计算题11、用平方差公式计算： (1) ()()()()n m n m n m n m 232-3-3-232++ （2）()()()()2222----a a b a b a ∙+（3）9288⨯ （4）76247125⨯12、计算：（1） ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-542516542x x x ；（3）； （4） ；。
平方差平方和立方差立方和公式
平方差平方和立方差立方和公式
平方差平方和立方差立方和是描述数据分布情况的统计量，也可称为分阶混合中心距。
它们是一组表示数据分布的定量特征，可以更直观地看出一组数据的离散程度和分散程度。
平方差平方和是描述一组数据离散程度的统计量，是用于衡量数据平均值与样本值之间差异的量度。
简言之，它表达了“x-x(平均值)”的均方差，公式为：
S=∑(x-x)^2 /母体n-1
即，平方差平方和= (x1-x )^2 + (x2-x )^2 +(xn-x )^2/ n-1
立方差立方和是立方差的一种应用，是衡量一组数据的样本分散程度的统计量，反映出数据的平均值与样本值之间的离散幅度。
可以用来度量一组数据的每个值与平均数之间的离散程度，即立方差的平方和，公式为：
S=∑(x-x)^3 /母体n-1
即，立方差立方和= (x1-x )^3 + (x2-x )^3 +(xn-x )^3 / n-1
平方差平方和与立方差立方和的比较，可以反映一组数据的分散状态，综合该值，可以构建回归模型，对数据进行建模，对下一步的预测、分析预先做出准备，是比较关键的一步，也是一些测量分析中最重要的步骤。
总结而言，平方差平方和与立方差立方和作为衡量一组数据离散程度、分布状况的量化统计量，其考察结果十分重要，由此能洞察数据分布的隐晦规律，为研究建立分析模型，提供可靠依据。
平方差公式和完全平方公式
第三讲 平方差公式和完全平方公式【名言警句】细节决定成败！【知识点归纳讲解】（一）平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 特征：①左边：二项式乘以二项式，两数（a 与b ）的和与它们差的乘积. ②右边：这两数的平方差. 平方差公式的常见变形：①位置变化：如()()()()22a b b a b a b a b a +-=+-=-②符号变化：如()()()()()2222a b a b b a b a b a b a ---=---+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()()()()2222a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+ ③系数变化：如()()()()()22ma mb a b m a b a b m a b +-=+-=-（二）完全平方公式()()22222222a b a ab b a b a ab b+=++-=-+ 完全平方公式常见变形：① 符号变化：如()()22222a b a b a ab b --=+=++ ()()22222a b a b a ab b -+=-=-+②移项变化：()()22222222a b a ab b a b a ab b +=++-=-+⇒()()22222222a b a b ab a b a b ab+=+-+=-+⇒()()224a b a b ab +--=【经典例题讲解】（一）平方差公式例1：计算：()()()()2244a b b a b a b a ---+-例2：计算：①（2x+y ）(2x-y) ②(y x 3121+)(y x 3121-)③(-x+3y)(-x-3y) ④(2a+b)(2a-b)(4)22b a +.【同步演练】应用平方差公式计算（1）()()a a 2121+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x （3）()()y x y x 3232+---例3：某初级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形少6米，比原来的长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？（二）完全平方公式例1：已知2291822a b ab a b +==+，，求的值例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972【同步演练】利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032例3：计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x【同步演练】)3)(3(+---b a b a例4：若22)2(4+=++x k x x ，则k =若k x x ++22是完全平方式，则k =例:5：完全平方公式的推广()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()222222222a b c d a b c d ab bc cd ad +++=+++++++附加题：若实数222,,9,a b c a b c ++=满足()()()222a b b c c a -+-+-则代数式的最大值是多少？【课堂检测】 （一）平方差公式 一、填空题1、=--+-)2)(2(y y _______.2、=-+)2)(2(y x y x ______.3、=-+)3121)(3121(b a b a ______. 4、=---))((22x a x a _______. 5、=++-))()((22b a b a b a _______. 6、=-+-))((y x y x _______. 7、=+-----+))(())((y x y x y x y x _______. 8、+xy (_______）-xy (_______）81122-=y x . 二、选择题9、下列各式中，能直接用平方差公式计算的是（ ） （A ）)22)(2(b a b a +--; （B ）)2)(2(a b b a +-; （C ）)2)(2(b a b a +--; （D ）)2)(2(b a a b ++-.10、下列各式中，运算结果是223625y x -的是（ ） （A ）)56)(56(x y x y --+- ; （B ）)56)(65(x y y x +-; （C ）)56)(56(x y x y ++- ; （D ）)65)(65(y x y x +--. 三、解答题11.计算)2)(2())((n m n m n m n m -+-+-.12.先化简后求值2),2)(2()2)(2(22-=-+--+x x x x x .13.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .（二）完全平方公式 一、填空题1、=-+)2)(2(b a b a _______.2、)5(x +-_______225x -=. 用平方差公式计算并填空3、)218(5.75.8+=⨯__ ___4363=. 4、=⨯95105_______.5、=-+22)2()2(y x y x （_______）2. 二、选择题6、=+----))((y x y x _______.（ ）（A ）22y x +-;（B ）22y x -;（C ）22y x --;（D ）22y x +.7、如果16)(2-=+a m a p ，则（ ）（A ）4),4(=+=m a p ; （B ）4),4(-=-=m a p （C ）4),4(-=+=m a p ; （D ）4,4=+-=m a p . 三、解答题8、解不等式x x x x x 3)6()3)(3(>+-+-.9、解方程)1)(1(2)3)(12(+-=+-x x x x .10、先化简后求值)5)(5(2)4)(3(-+-+-x x x x ，其中10-=x11、一个梯形上底是)(b a +㎝，下底是)(b a -㎝，高为)2(b a +㎝，求梯形的面积，若2,215==b a ，求这个梯形的面积.【课后作业】一、填空题（每题2分，共28分）1．(34=⋅a a ____()⨯____34)+=a ; 2．=-⋅-54)()(x y y x _________; 3．()(23=m _____)(_____23)⨯=m ; 4．=-⋅--535)(])([a a _________; 5．=⨯3)87(_________3387⨯=; 6．(8164=y x ______2); 7．已知长方形的长是m 4，它的面积是nm 20，则它的宽是_________;8．=⋅+-222483)41(6y x x y x xy _________;9．=⋅+n m 2)7(_________;10．=+--)()(b a a a b b _________; 11．=++))((t z y x _________; 12．=+++-))()()((4422b a b a b a b a _________; 13．=++-+-))((c b a c b a _________; 14．=--+22)()(b a b a _________. 二、选择题（每题3分，共12分）15．下列各式中正确的是（ ）（A ）222)(b a b a -=-; （B ）2222)2(b ab a b a ++=+; （C ）222)(b a b a +=+; （D ）2222)(b ab a b a +-=+-.16．计算)102.2()105.3(53⨯⨯⨯的结果并用科学记数法表示，正确的结果是（ ） （A ）770000000;（B ）71077⨯;（C ）8107.7⨯;（D ）7107.7⨯.17．20072006)32()23(⋅-的计算结果是（ ）（A ）23-;（B ）32-;（C ）32;（D ）23.18．下列计算正确的是（ ）（A ）1262432a a a a a =⋅+⋅; （B ）252212)2(3bc a c a ab =⋅;（C ）322322+=⋅⋅+⋅n n a a a a a a ; （D ）432222)21()2(y x y x xy -=-⋅-.三、简答题：（每题6分，共30分）19．计算：4453)()(a a a a -+-20．结果用)(y x -的幂的形式表示62323)(2])[(])[(y x x y y x -+-+-.21．用简便方法计算63720052006)2()81()125.0()8(⨯+-⨯-22．计算453210)2()(b a ab b a +⋅- .23．计算)1()1(22++-++x x x x x . 24．计算))()((22b a b a b a -+-.四、解答题（每题5分，共20分）25．解方程)2(2)2()1(-=++-x x x x x x26．化简并求值31,3),3)(3(==--b a a b b a 其中.27．化简并求值2,)1()12(22-=-++x x x 其中.28.计算2)(c b a --29.综合题（10分，每小题5分）（1）已知一个圆的半径若增加2厘米，则它的面积就增加39平方厘米，求这个圆的直径.（用π的代数式表示这个圆的直径）（2）阅读：若一家商店的销售额10月比9月份增长（减少）10%，则设这家商店9月10月份销售额的增长率为0.1（-0.1）；理解：甲、乙两店9月份的销售额均为a万元，在10月到11月这两个月中，甲，问到商店的销售额的平均每月增长率为x，乙商店的销售额平均每月的增长率为x11月底时，甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元（用a和x的代数式表示结果）.【课后作业】家长意见及建议：家长签字：日期：年月日。
人教版数学八年级上册平方 差公式课件示范
23)=2499
5 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
(a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
再见
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。 2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。 3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。 4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。 5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。 6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。 7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。 8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。 9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
《平方差公式》教学课件
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.