高中数学必修系列：10.3《组合·第二课时》教案(旧人教版)

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高中高三数学教案：组合

高中高三数学教案：组合一、教学目标1.理解组合的概念，掌握组合数的计算公式。

2.能够运用组合知识解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点与难点重点：组合的概念及组合数的计算公式。

难点：实际问题的解决。

三、教学过程1.导入师：同学们，我们之前学习了排列，今天我们来学习排列的兄弟——组合。

大家先来看一个例子：从a，b，c，d四个元素中任选两个元素，可以组成哪些不同的组合？生：ab，ac，ad，bc，bd，cd。

师：很好，这就是组合。

下面我们来详细学习一下组合的概念。

2.教学新课（1）组合的概念师：组合是指从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

（2）组合数的计算公式师：那么，如何计算组合数呢？这里有一个公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘，即1×2×3×…×n。

（3）实例讲解师：下面我们来讲解几个实例，加深大家对组合的理解。

实例1：从5名男生和4名女生中，任选3名男生和2名女生组成一个班级，一共有多少种组合方式？实例2：一个班级有10名学生，其中3名是班委，现要从非班委中选2名学生参加比赛，一共有多少种组合方式？3.练习与讨论师：现在请大家来做几个练习题，巩固一下组合的知识。

练习1：从a，b，c，d，e五个元素中，任选3个元素组成一个组合，一共有多少种组合方式？练习2：一个篮球队有12名队员，其中5名是主力，现要从非主力中选2名队员参加比赛，一共有多少种组合方式？师：同学们，你们在解题过程中遇到了什么问题吗？我们来一起讨论一下。

师：通过今天的学习，我们了解了组合的概念和组合数的计算公式，也解决了一些实际问题。

现在请大家回顾一下，我们今天学习了哪些内容？有哪些收获？生1：我们学习了组合的概念和组合数的计算公式。

生2：我们学会了如何运用组合知识解决实际问题。

人教课标版高中数学选修2-3《组合》第二课时参考课件

C m1 n
Cm n1
C m1 n1
2、
C
n n
Cn n1
Hale Waihona Puke Cn nm
C n1 n m 1
组合（二）
2021/3/16
复习
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合
数。用符号
C
m n
表示
组合数计算公式
(1)C m
Am n
n(n 1)(n 2)(n m 1)
这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出 m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；不含a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出 m个元素组成的，共有Cnm个
由分类计数原理，得
组合数性质2
C m C m C m1
198 ;
200
2 200 199 19900
200
21
C C ( 2 )
3 2;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C ( 3 )
3 3 2 .
8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
8
8
8
8
8
例证明
1、
Cm n1
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？

人教课标版高中数学选修2-3《组合(第2课时)》教案-新版

1.2.2 组合（第2课时）一、教学目标【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力．【学习目标】（1）掌握组合数的性质（2）解答涉及到组合问题的应用题【学习重点】通过实例，理解组合数的性质并能解决简单的实际问题【学习难点】组合数性质的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 默写组合数公式的具体内容任务2 回忆组合数的推导过程整理组合的应用方法 2．预习自测1.计算：69584737C C C C +++；【知识点：组合数的性质】解：原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；2.求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．【知识点：组合数的性质】解：（2）右边1121112()()n n n n n n nm m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+=左边（二）课堂设计问题探究一 ●活动一组合数的性质推导 1：m n nm n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-又)!(!!m n m n C m n -=，∴mn n m n C C -=说明：①规定：10=n C ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2nm >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化.例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002； ④yn x n C C =y x =⇒或n y x =+． 2．m n C 1+＝m n C +1-m n C ．一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+=∴m n C 1+＝m n C +1-m n C ．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ．点拨：区分排列与组合例2．解方程：（1）3213113-+=x x CC；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ．【知识点：组合数的性质】解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =点拨：上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-，∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解点拨：组合数中含参数，要注意参数范围问题探究二1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复．计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理． 3．考查顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题属于排列问题．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，有时“定位置选元素”．例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件. (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种）解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 点拨：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解. 3．课堂总结【知识梳理】1掌握组合数性质m n n m n C C -=和m n C 1+＝m n C +1-m n C ，为解题提供方便2区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．【重难点突破】写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，这样做直观、明了、清楚，可防重复和遗漏．当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗. 4．随堂检测1．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数的性质】解：C2从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45【知识点：排列组合，古典概型】解：C 如图，基本事件共有25C ＝10个，小于正方形边长的事件有OA 、OB 、OC 、OD 共4个，∴P ＝1－410＝35. 3．222223416C C C C ++++…等于( )A ．215CB ．316C C ．317CD ．417C【知识点：组合数的性质】解：C 原式＝222223416C C C C ++++…＝3224416C C C +++…＝3225516C C C +++…＝…＝321616C C +＝317C .4.从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：方法一：（直接法）满足条件的五位数有两类：第一类：万位数大于1，这样的五位数共有498A ⨯个；第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数共有387A ⨯个．根据分类计数原理，大于13000的五位数共有498A ⨯+38726544A ⨯=个．方法二：（间接法）由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有499A 个，其中不大于13000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有382A 个，所以，满足条件的五位数共有43989226544A A -=个． 5.有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：法一：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙．根据乘法原理，不同的选法共有2111087C C C ＝2 520种．法二：先从10人中选出2人承担任务甲，再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙．根据乘法原理，不同的选法共有22108C A ＝2 520种．【易错剖析】本题易出现如下错解：错解一：分3步完成：第一步，从10人中选出4人，有410C 种方法．第二步，从这4人中选出2人承担任务甲，有24A 种方法．第三步，剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A 种方法．根据乘法原理，不同的选法共有4221042C A A ＝5 040 种．错解二：分3步完成，不同的选法共有4221042C C C ＝1 260 种．错解一的错因是：“排列”“组合” 概念混淆不清．承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应改为24C .错解二的错因是：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应改为22A . （三）课后作业基础型自主突破1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．70 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 先分组再排列，一组2人一组4人有26C ＝15种不同的分法；两组各3人共有3622C A ＝10种不同的分法，所以乘车方法数为(15＋10)×2＝50，故选B ．2．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有( )A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 解法1：根据题意，分两种情形讨论：①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有13132333C C C A ＝36种选派方案． ②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有222332C A A ＝36种选派方案，综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，解法2：从甲、乙以外的三人中选一人从事A 工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有1334C A ＝72种选法． 3．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A ．16B ．13C ．12 D ．38【知识点：排列组合，古典概型】解：C 由这两张卡片排成的两位数共有6个，其中奇数有3个，∴P ＝36＝12.4．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得218n n C C ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．能力型师生共研5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 因为10级台阶走8步，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么只需从8步中选取2步，这两步中每一步上两个台阶即可，共有28C ＝28种选法．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种 D ．12种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 解法1：(1)4种颜色全用时，有44A ＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A 、B 、C 中，有34A 种涂法，然后涂D ，D 可以与A (或B )同色，有2种涂法，∴共有234A ＝48种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72种．解法2：涂A 有4种方法，涂B 有3种方法，涂C 有2种方法，涂D 有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．7．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________(注：用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：48 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有22232A A ＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个． 8．高三某学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其中仅甲、乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，那么该学生不同的报考方法有________种．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：25 报考学校甲的方法有35C ，报考学校乙的方法有35C ，甲、乙都不报的方法有45C ，∴共有352C ＋45C ＝25种．9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：1080 先将6名志愿者分为4组，共有226422C C A 种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有44A 种分法，故所有分配方案有：22464422C C A A ＝1 080种10．已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A ．33B ．34C ．35D ．36【知识点：排列组合，分步计数原理，分类计数原理数学思想：分类讨论】解：A ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有1323C A ＝12个； ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有1323C A ＋33A ＝18个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有13C ＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A ．探究型多维突破11．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种【知识点：分步计数原理】解：D 按第二天到第七天选择持平次数分类得642222033662642663C C A C C C C C C +++＝141种． 12．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )A ．50种B ．60种C ．120种D ．210种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为16C ，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有25A 种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法1265C A ＝120种，故选C ． 13. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．720 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 当甲、乙两人中只有一人参加时，有134254C C A ＝480种方法；当甲、乙两人都参加时，有2242225423()C C A A A -＝120种方法．由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．14. 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_____种不同的种法(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：72 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．自助餐1．将标号为1，2，，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 3．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【知识点：排列组合】解：C4 .5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )A ．45A 种B ．45种C ．54种D ．45C 种【知识点：排列组合】解：D 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．5．将标号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A 、B 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【知识点：排列组合，分步计数原理】解：B 由题意，不同的放法共有1234C C ＝4332⨯⨯＝18种． 6.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为3433A A ＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为332222A A A ＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.7．A ，B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合】解：根据题意，要求从A 地到B 地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则有35C ＝10种不同的走法，故答案为10.8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若213B A =，则这组学生共有________人．【知识点：排列组合】解：15 设有学生n 人，则24213n n A C =，解之得n ＝15.9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：140 第一步安排周六有37C 种方法，第二步安排周日有34C 种方法，所以不同的安排方案共有3374C C ＝140种． 10．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：当最左端排甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4414A C 种.故不同的排法共有55A ＋4414A C ＝120＋96＝216(种).11．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是多少？【知识点：对数运算，基本事件，排列组合，分类计数原理，数学思想：分类讨论】解：记基本事件为(a ，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lga －lgb ＝lg a b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)12．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可) (1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有6467A A 种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有99A 种排法，若甲不在末位，则甲有18A 种排法，乙有18A 种排法，其余有88A 种排法，综上共有(99A ＋18A 18A 88A )种排法．方法二：甲在首位的共有99A 种，乙在末位的共有99A 种，甲在首位且乙在末位的有88A 种，因此共有(1010A －299A ＋88A )种排法．(3)10人的所有排列方法有1010A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有101033A A 种．男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10.。

高中数学 10.3《组合·第二课时》教案旧人教版必修

高中数学 10.3《组合·第二课时》教案旧人教版必修●教学目标（一）教学知识点组合数的公式、组合数的性质.（二）能力训练要求1.进一步熟悉组合数的公式.2.理解并掌握组合数的两个性质.3.能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题.（三）德育渗透目标通过组合数性质的推导过程，要求学生会用联系的观点看问题，用转化的思想解决问题.●教学重点组合数的性质.●教学难点转化思想的应用.●教学方法启发式本节重点研究组合数公式，要求大家在对同一问题从不同角度、用不同方法解决时，给出不同的解释，从而获得组合数的性质.对于组合数的两个性质，不必要求学生记忆，而是启发学生理解与其相关的实际模型，并能从不同角度作出解释.●教具准备投影片.第一张：问题一及解答（记作10.3.2 A）第二张：性质一证明（记作10.3.2 B）第三张：性质二证明（记作10.3.2 C）第四张：本节例题（记作10.3.2 D）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数.（给出投影片10.3.2［师］为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？［生］从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素.就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10-7）个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10-7）个元素的组合数是相等的，即有C7 10=C71010-.［师］回答得很好，如果上述情况加以推广，我们就可以得到组合数的性质1.证明：由组合数性质有C m n =)!(!!m n m n -, C m n n -=)]!([)!(!m n n m n n ---=)!(!!m n m n -, ∴C m n =C m n n -.［师］针对性质1，我们说明两点：（1）为简化计算，当m ＞2n 时，通常将计算C m n 改为计算C m n n -; (2)为了使性质1在m =n 时也能成立，我们规定：C 0n =1.［师］从此例题的结果我们能否发现什么？［生］第（1）问的结果等于第（2）、（3）问的和，即C 38=C 37+C 27.［师］你能对这一结果作出解释吗？［生］从口袋内的8个球中所取出的3个球，可分为两类：一类含1个黑球；另一类不含有黑球.由分类计数原理可知上述等式成立.［师］下面，我们将此类情形推广，便可得到组合数的性质2.证明：由组合数公式有C m n +C 1-m n=)!(!!m n n n -+)]!1([)!1(!---m n m n =)!1(!!)1(!+-++-m n m m n m n n =]!)1[(!)!1(m n m n -++ = C m n 1+.C m n 1+=C m n +C 1-m n .［师］对于这一性质的应用，我们将在下一小节看到.Ⅲ.课堂练习课本P 99练习 1、2、3、4、5、6.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的两个性质的基础上，能够运用组合数公式及两个性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用.Ⅴ.课后作业（一）课本P 100习题10.3 2、6、7、8.（二）1.预习课本P 98～P 99例3、例5.2.预习提纲（1）试归纳组合问题的应用类型.（2）逆向思考方法在哪些题目中有应用.。

高中数学组合教案4篇

高中数学组合教案高中数学组合教案4篇作为一名专为他人授业解惑的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。

那么你有了解过教案吗？下面是小编为大家整理的高中数学组合教案，欢迎阅读与收藏。

高中数学组合教案1教学目标（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；（2）使学生掌握组合数的计算公式；（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；教学重点难点重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；难点是解组合的应用题．教学过程设计（－）导入新课（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．［字幕］一条铁路线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？（学生活动）讨论并回答．答案提示：（1）排列；（2）组合．［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究组合问题．设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．（二）新课讲授［提出问题创设情境］（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．［字幕］1．排列的定义是什么？2．举例说明一个组合是什么？3．一个组合与一个排列有何区别？（学生活动）阅读回答．（教师活动）对照课文，逐一评析．设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．【归纳概括建立新知】（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．［字幕］模型：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合．组合数：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，称之，用符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．（学生活动）倾听、思索、记录．（教师活动）提出思考问题．［投影］与的关系如何？（师生活动）共同探讨．求从个不同元素中取出个元素的排列数，可分为以下两步：第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数为；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为．根据分步计数原理，得到［字幕］公式1：公式2：（学生活动）验算，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票．设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．（三）小结（师生活动）共同小结．本节主要内容有1．组合概念．2．组合数计算的两个公式．（四）布置作业1．课本作业：习题10 3第1（1）、（4），3题．2．思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？3．研究性题：在的边上除顶点外有 5个点，在边上有 4个点，由这些点（包括）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？（五）课后点评在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．作业参考答案2．解；设有男同学人，则有女同学人，依题意有，由此解得或或2．即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人．3．能组成（注意不能用点为顶点）个四边形，个三角形．探究活动同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？解设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．解法一可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种．解法二可从利用排列数和组合数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有（种）．逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为 1．故符合题设要求的取法共有（种）．高中数学组合教案2教学目标1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．教学重点和难点重点：复数减法法则．难点：对复数减法几何意义理解和应用．教学过程设计（一）引入新课上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）（二）复数减法复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+ i）-（+ i）=（-）+（-）i，1．复数减法法则（1）规定：复数减法是加法逆运算；（2）法则：（+ i）-（+ i）=（-）+（-）i（，，，∈R）．把（+ i）-（+ i）看成（+ i）+（-1）（+ i）如何推导这个法则．（+ i）-（+ i）=（+ i）+（-1）（+ i）=（+ i）+（- - i）=（-）+（-）i．推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．推导：设（+ i）-（+ i）= + i（，∈R）．即复数+ i为复数+ i减去复数+ i的差．由规定，得（+ i）+（+ i）= + i，依据加法法则，得（+）+（+）i= + i，依据复数相等定义，得故（+ i）-（+ i）=（-）+（-）i．这样推导每一步都有合理依据．我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+ i）±（+ i）=（±）+（±）i．（三）复数减法几何意义我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？设z= + i（，∈R），z 1 = + i（，∈R），对应向量分别为，如图由于复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z 1 =z 2，z 2 +z 1 =z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ 2就与复数z-z 1的差（-）+（-）i对应，如图．在这个平行四边形中与z-z 1差对应的向量是只有向量2吗？还有．因为OZ 2 Z 1 Z，所以向量，也与z-z 1差对应．向量是以Z 1为起点，Z为终点的向量．能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．（四）应用举例在直角坐标系中标Z 1（-2，5），连接OZ 1，向量1与多数z 1对应，标点Z 2（3，2），Z 2关于x轴对称点Z 2（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．例2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．解：设复平面内的任意两点Z 1，Z 2分别表示复数z 1，z 2，那么Z 1 Z 2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z 2 -z 1的模．如果用d表示点Z 1，Z 2之间的距离，那么d=|z 2 -z 1 |．例3在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．（1）|z-1-i|=|z+2+i|；方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的`是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．（3）|z+2|-|z-2|=1．这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．由z 1 -z 2几何意义，将z 1 -z 2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．例4设动点Z与复数z= + i对应，定点P与复数p= + i对应．求（1）复平面内圆的方程；解：设定点P为圆心，r为半径，如图由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R +）的点Z的集合是什么图形？解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R +）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．（五）小结我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．探究活动复数等式的几何意义复数等式在复平面上表示以为圆心，以1为半径的圆。

高中数学组合优质教案

高中数学组合优质教案
教学目标：
1.了解组合的概念和基本性质；
2.掌握组合公式的应用；
3.能够灵活运用组合解决实际问题。

教学重点：
1.组合的概念和基本性质；
2.组合公式的应用。

教学难点：
1.复杂问题的组合运用。

教学准备：
1.课件及教材；
2.黑板、粉笔；
3.练习题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍组合的概念和基本性质，引导学生思考组合在日常生活中的应用。

二、讲解与讨论（15分钟）
1.讲解组合公式及其应用；
2.解答学生提出的问题，并就相关概念进行讨论；
3.举例说明组合在实际问题中的运用。

三、练习与巩固（20分钟）
1.布置练习题，让学生独立完成；
2.学生相互交流，互相讨论思路和解题方法；
3.老师巡回指导，及时纠正学生答题中的错误。

四、拓展与应用（10分钟）
1.通过实例分析，拓展学生对组合的理解；
2.引导学生思考组合在数学领域以外的应用。

五、总结与反馈（5分钟）
1.总结本节课的重点知识点；
2.学生回答老师提出的问题，检验学习效果；
3.布置课后作业，巩固所学知识。

六、课堂延伸（自由发挥）
根据学生实际情况，灵活安排教学内容，引导学生积极思考、探究，拓展数学知识的应用范围。

教学反思：
通过本堂数学课的教学，学生对组合的概念以及公式应用有了更深入的理解，通过练习题巩固了知识点，启发了学生的思维。

同时也积极引导学生思考组合在实际问题中的应用，提高了学生的综合运用能力。

高中高三数学上册《组合》教案

高中高三数学上册《组合》教案教案目标：1.让学生理解组合的概念及性质；2.使学生掌握组合数的计算公式及组合数的性质；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1.组合的概念及性质；2.组合数的计算公式及性质。

教学难点：1.组合数公式的推导；2.组合数性质的运用。

教学准备：1.教材：高中高三数学上册；2.教学工具：PPT、黑板、粉笔。

教学过程：一、导入1.引导学生回顾排列的概念，让学生举例说明排列的特点；2.提问：排列与组合有什么区别？二、新课讲解1.讲解组合的概念（1）定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；（2）表示：用符号C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数；（3）性质：组合中的元素是无序的。

2.讲解组合数的计算公式（1）排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!；（2）组合数公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]；（3）推导过程：通过排列数公式推导组合数公式。

3.讲解组合数的性质（1）性质1：C(n,m)=C(n,n-m)；（2）性质2：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

4.举例讲解（1）例1：从5个男生和4个女生中，任选3人参加比赛，求不同的选法有多少种？（2）例2：某班级有10名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？三、课堂练习1.练习1：从6个男生和5个女生中，任选4人参加比赛，求不同的选法有多少种？2.练习2：某班级有8名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？四、课堂小结2.强调组合与排列的区别。

五、课后作业1.作业1：从7个男生和6个女生中，任选5人参加比赛，求不同的选法有多少种？2.作业2：某班级有9名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？教学反思：本节课通过讲解组合的概念、组合数的计算公式及性质，让学生掌握了组合的基本知识。

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Ⅴ6、7、8.
（二）1.预习课本P98～P99例3、例5.
2.预习提纲
（1）试归纳组合问题的应用类型.
（2）逆向思考方法在哪些题目中有应用.
●板书设计
10.3.2组合（二）
性质1例1例2
C =C 解答过程
性质2学生练习
C =C +C
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
分析：此题三问只需将球取出即可，并无顺序，故对应的是组合数.
解：（1）从口袋内8球中取3个，取法是C = =56.
（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C = =21.
第二张：性质一证明（记作10.3.2 B）
第三张：性质二证明（记作10.3.2 C）
第四张：本节例题（记作10.3.2 D）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数.（给出投影片10.3.2 A）
C = = =120,
C = =120,
即C = C .
［师］为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？
性质1：C =C .
证明：由组合数性质有
C = ,
C = = ,
∴C =C .
［师］针对性质1，我们说明两点：
（1）为简化计算，当m＞时，通常将计算C 改为计算C ;
(2)为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C =1.
［师］下面，我们来看一道例题.
［例1］一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
组合数的性质.
●教学难点
转化思想的应用.
●教学方法
启发式
本节重点研究组合数公式，要求大家在对同一问题从不同角度、用不同方法解决时，给出不同的解释，从而获得组合数的性质.
对于组合数的两个性质，不必要求学生记忆，而是启发学生理解与其相关的实际模型，并能从不同角度作出解释.
●教具准备
投影片.
第一张：问题一及解答（记作10.3.2 A）
［生］从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素.就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10-7）个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10-7）个元素的组合数是相等的，即有C =C .
［师］回答得很好，如果上述情况加以推广，我们就可以得到组合数的性质1.
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C = =35.
［师］从此例题的结果我们能否发现什么？
［生］第（1）问的结果等于第（2）、（3）问的和，即C =C +C .
［师］你能对这一结果作出解释吗？
［生］从口袋内的8个球中所取出的3个球，可分为两类：一类含1个黑球；另一类不含有黑球.由分类计数原理可知上述等式成立.
10.3.2 组合（二）
●教学目标
（一）教学知识点
组合数的公式、组合数的性质.
（二）能力训练要求
1.进一步熟悉组合数的公式.
2.理解并掌握组合数的两个性质.
3.能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题.
（三）德育渗透目标
通过组合数性质的推导过程，要求学生会用联系的观点看问题，用转化的思想解决问题.
●教学重点
［师］下面，我们将此类情形推广，便可得到组合数的性质2.
性质2：C =C +C .
证明：由组合数公式有
C +C
= +
=
=
= C .
C =C +C .
［师］对于这一性质的应用，我们将在下一小节看到.
［例2］求证：C +3 C +3C +C =C .
证明：C +3C +3C +C =（C + C ）+2(C +C )+( C +C )
=C +2C +C =( C +C )+( C +C )=C +C =C .
评述：此证明要求灵活应用组合数的相关性质.
Ⅲ.课堂练习
课本P99练习1、2、3、4、5、6.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的两个性质的基础上，能够运用组合数公式及两个性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用.