专题11.1 与三角形有关的线段(解析版)
专项11-1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算(解析版)
2020—2021八年级上学期专项冲刺卷（人教版）专项11.1 三角形的边、高、中线与角平分线等相关计算姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知三角形中，某两条边的长分别为5和9，则另一条边的长可能是（）A．4 B．5 C．3 D．14【答案】B【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：9+5=14，9-5=4，所以第三边在4到14之间，只有B中的5满足．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和．2．三边都不相等的三角形有两边长分别为3和5，第三长是奇数，则其周长为（）A．15 B．13 C．11 D．15或13或11【答案】A【分析】本题可先求出第三边的取值范围，找出其中三边都不相等，且为奇数的数，即为第三边的长，再将三者相加即可得出周长的值．【详解】解：设第三边长为x．根据三角形的三边关系，则有5−3＜x＜5＋3，即2＜x＜8，因为三边都不相等，第三边长是奇数，所以x ＝7，所以周长＝3＋5＋7＝15．故选：A ．【点睛】考查了三角形的三边关系，根据三角形三边长关系，得到第三边长的范围，是解题的关键． 3．如图，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高线，角平分线，中线，比较线段AC ，AD ，AE ，AF 的长短，其中最短的是（ ）A ．AFB ．AEC ．ACD ．AD【答案】D【分析】 根据垂线段最短即可得．【详解】解：由三角形的高线的定义得：AD BC ⊥，由垂线段最短得：线段AD 最短，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的高线、角平分线、中线、以及垂线段最短，掌握理解垂线段最短是解题关键． 4．如图AB AC ⊥，AD BC ⊥，其中4AC =，3AB =，5BC =，125AD =，165CD =，则B 到AD 距离为（ ）A ．3B ．5C ．165D ．95【答案】D【分析】根据三角形高的定义可知，AD 长度就是点A 到线段BC 的距离，根据此解答即可．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴BD 垂直于AD ，∴B 到AD 的距离等于BD 的长度=BC -CD =95，∴点B 到线段AD 的距离是95，故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形的高的概念，结合图形找出△ABC 边BC 上的高是解题的关键．5．若线段AM 和线段AN 分别是ABC 边BC 上的中线和高，则下列判断正确的是（ ） A ．AM AN > B ．AM AN ≥ C ．AM AN < D ．AM AN ≤【答案】B【分析】根据三角形的高的概念得到AN ⊥BC ，根据垂线段最短判断．【详解】解：∵线段AN 是△ABC 边BC 上的高，∴AN ⊥BC ，由垂线段最短可知，AM ≥AN ，故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，,AD AE 分别是边BC 上的中线和高，2,3ABD AE S ∆==，则BC =（ ）A ．2B ．32C ．4D ．6【答案】D【分析】 先根据面积公式求出BD ，再根据中线的定义即可求解．【详解】解：∵AE 是ABC ∆边BC 上的高，2,3ABD AE S ∆==，∴BD =2×3÷2=3，∵AD 为ABC ∆边BC 上的中线，∴BC =2BD =6．故选：D【点睛】本题考查三角形的中线和高， 三角形的面积，熟练掌握中线的定义和三角形的面积公式是解题的关键．7．三角形的重心是（ ）A ．三角形三边的高所在直线的交点B ．三角形的三条中线的交点C ．三角形的三条内角平分线的交点D ．三角形三边中垂线的交点【答案】B【分析】根据重心是三角形三边中线的交点，三角形三条高的交点是垂心，三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，等知识点作出判断．【详解】解：三角形三条高的交点是垂心，A 选项不符合题意；三角形三条边中线的交点是三角形的重心，B 选项符合题意；三角形三条内角平分线的交点是三角形的内心，C选项不符合题意；三角形三边中垂线的交点三角形的外心，D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的重心、内心与外心等知识，是基础题，熟记概念是解题的关键．8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能【答案】C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图3).故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键. 9．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形DCEF的面积是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】利用F 点为△ABC 的重心得到AF =2DF ，BF =2EF ，根据三角形面积公式得到S △BDF =2，S △AEF =2，再利用E 点为AC 的中点得到S △BCE =S △ABE =6，然后利用四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF 进行计算．【详解】解：∵△ABC 的中线AD 、BE 相交于点F ，∴F 点为△ABC 的重心，∴AF =2DF ，BF =2EF ，∴S △BDF =12S △ABF =12×4=2，S △AEF =12S △ABF =12×4=2， ∵BE 为中线，∴S △BCE =S △ABE =4+2=6，∴四边形DCEF 的面积=S △BCE -S △BDF =6-2=4．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形面积公式．10．如图，AD 是ABC 的中线，BE 是ABD △的中线，EF BC ⊥于点F ．若12,3ABC SBD ==，则EF 长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】 解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC =12，∴S △ABD =12S △ABC =6，同理，BE 是△ABD 的中线，S △BDE =12S △ABD ，∴S △BDE =14S △ABC ，∵S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =14S △ABC ，又∵△ABC 的面积为12，BD =3，∴EF =2，故选B ．【点睛】此题考查了三角形的面积，要理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解．11．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，如果6AG =，那么线段DG 的长为（ ）A ．3B ．4C ．9D ．12【答案】A【分析】根据三角形重心的定义求解即可.【详解】∵AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，∴AG ：DG=2：1,∵6AG =，∴DG=3.故选A.【点睛】本题考查了三角形重心的性质，熟记重心的性质，并能灵活运用是解题的关键.12．如图，D ，E 分别是ABC 的边AC ，BC 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．DE 是BCD △的中线B ．BD 是ABC 的中线C ．AD CD BE EC ==， D ．BD 是ABC 的角平分线【答案】D【分析】根据三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线判断即可得．【详解】点D，E分别是ABC的边AC，BC的中点，∴==，AD CD BE EC,△的边BC上的中线，BD∴是ABC的边AC上的中线，DE是BCD则选项A、B、C正确，∠，因为BD不一定平分ABC所以选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中线、线段中点的定义、三角形的角平分线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，照相机的底部用三脚架支撑着，请你说说这样做的依据是_____．【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】本题主要考察三角形稳定性的应用.如果已知三角形的三边长度确定,那么这个三角形的形状和大小就完全确定了,且它的形状和大小是固定不变的,这个性质叫做三角形的稳定性.本题即是根据上述知识解答的.【详解】解:根据三角形的特性可知照相机的底部的三脚架支撑利用的是三角形的稳定性由此可知本题的答案.故答案为：三角形的稳定性.【点睛】本题考察三角形稳定性的应用.14．如图，点O 在ABC 内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．【答案】125【分析】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠BOC ．【详解】解：∵点O 到△ABC 三边的距离相等，∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） =180°-12（∠ABC +∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =180°-12⨯（180°-70°）=125°，故答案为：125．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 15．如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，则CBE BCE ∠+∠=______°.【答案】90【分析】先根据平行线性质得出180ABC DCB ∠+∠=︒，再根据角平分线定义进行求解即可.【详解】∵AB CD ∥∴180ABC DCB ∠+∠=︒∵BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠∴,ABE CBE DCE BCE ∠=∠∠=∠ ∴11118090222CBE BCE ABC DCB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 故填：90.【点睛】 本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键. 16．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．【答案】2.5【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：根据三角形面积公式可得，1122ABC SAB CE BC AD =⨯=⨯， ∵AB=3，BC=6，CE=5，∴1135622AD ⨯⨯=⨯⨯， 解得 2.5AD =．【点睛】本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．17．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE的长为_________．【答案】2或6【分析】利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．【详解】解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7D ==AE ∵AD 为ABC 的中线，∴CD=BD=4，当AE 在ABC 内部时∵CE=2，∴DE=CD-CE=2，当AE 在ABC 外部时∵CE=2，∴DE=CD+CE=6，【点睛】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．18．如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG＝2，那么S△ABC＝_____．【答案】6【分析】根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，∴2GD＝AG，∵S△ABG＝2，∴S△ABD＝3，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4 cm，BC=5 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长．(2)求△ABE的面积．【答案】（1）125cm ；（2）3cm 2 【分析】 （1）利用“面积法”来求线段AD 的长度；（2）△AEC 与△ABE 是等底同高的两个三角形，它们的面积相等【详解】解：∵∠BAC=90°，AD 是边BC 上的高，∴12AB•AC=12BC•AD ， ∴341255AB AC AD BC ⋅⨯===（cm ），即AD 的长度为125cm ； （2）如图，∵△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm ，AC=4cm ， ∴S △ABC =12AB•AC=12×3×4=6（cm 2）． 又∵AE 是边BC 的中线，∴BE=EC ，∴12BE•AD=12EC•AD ，即S △ABE =S △AEC ， ∴S △ABE=12S △ABC =3（cm 2）． ∴△ABE 的面积是3cm 2．【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ．20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．（1）作出AB 边上的高CD ．（2）5AC =，12BC =，13AB =，求高CD 的长．【答案】（1）见解析 （2）1360=CD 【分析】（1）过C 点作CD ⊥AB 即可；（2）根据三角形的面积求解即可．【详解】解：（1）如图：（2）∵在ABC 中，5AC =，12BC =，13AB =，∠ACB =90°，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ， ∴125601313AC BC CD AB ⋅⨯=== 【点睛】本题考查了做三角形高线和利用三角形的面积求高，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．21．如图，在89⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，ABC 的顶点在网格的格点上（小正方形的顶点即为格点），借助网格完成以下任务．（1）在图中画出ABC 的高AD ，中线BE ；（2）先将ABC 向左平移1格，再向上平移2格：①在图中画出平移后的A B C '''，并分别标注出点A ，B ，C 的对应点A '，B '，C '；②图中与BAC ∠相等的角是________．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′【分析】（1）根据三角形的高和中线的概念作图即可；（2）①将三个顶点分别向左平移1格，再向上平移2格得到其对应点，继而首尾顺次连接即可；②根据平移的性质可得答案．【详解】解：（1）如图所示，线段A D 、BE 即为所求；（2）①如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；②由平移的性质知AC ∥A ′C ′，∠BAC =∠B ′A ′C ′，∴∠BAC =∠AC ′A ′，故答案为：∠B ′A ′C ′，∠AC ′A ′．【点睛】本题主要考查作图—平移变换和三角形的高和中线的概念，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．22．如图，12180,3B ∠+∠=︒∠=∠．（1）求证：//EF AB ；（2）求证：AED ACB ∠=∠；（3）若点D E F 、、分别是AB AC CD 、、边上的中点，16ABC S =，求ADFE S 四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）由∠1+∠2=180°和∠1+∠4=180°得到∠2=∠4，根据平行线的判定得AB ∥EF ；（2）根据AB ∥EF 得到∠ADE =∠3，再由∠3=∠B ，得到∠ADE =∠B ，从而判定DE ∥BC ，即可得到结论；（3）根据中点的定义，三角形面积公式，逐步求出S △ADE 和S △DEF 的面积，从而可得结果．【详解】解：（1）∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∴∠2=∠4，∴EF ∥AB ；（2）∵AB ∥EF ，∴∠ADE =∠3，∵∠3=∠B ，∴∠ADE =∠B ，∴DE ∥BC ，∴∠AED =∠ACB ；（3）∵D 为AB 的中点，∴S △ADC =12S △ABC =8， ∵E 为AC 的中点，∴S △ADE =S △CDE =12S △ADC =4， ∵F 为DC 的中点，∴S △DEF =S △CEF =12S △DEC =2， ∴S 四边形ADFE =S △ADE +S △DEF =4+2=6．【点睛】本题考查了行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．也考查了三角形面积公式．23．如图，AD 、BE 分别是△ABC 的高，AF 是角平分线．（1）若∠ABC=35°，∠C=75°，求∠DAF 的度数；（2）若AC=4，BC=6．求AD 与BE 的比．【答案】（1）20︒；（2）2：3【分析】（1）根据题意易得180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1352BAF BAC ∠=∠=︒，然后根据角的和差关系可求解；（2）根据等积法可得1122ABC S BC AD AC BE ∆=⨯=⨯，然后根据题意可进行求解． 【详解】解：（1）∵35ABC ∠=︒，75C ∠=︒，∴180357570BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AF 平分BAC ∠，∴1352BAF BAC ∠=∠=︒， ∴353570BFB ABC BAF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵AD 是ABC ∆的高，∴90ADF ︒∠=，∴907020DAF ∠=︒-︒=︒；（2）∵AD BE 、分别是ABC ∆的高， ∴1122ABC S BC AD AC BE ∆=⨯=⨯， ∵4,6AC BC ==，∴116422AD BE ⨯⨯=⨯⨯， 即:2:3AD BE =．【点睛】本题主要考查三角形的高线、中线及角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线及角平分线的定义是解题的关键．24．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ，BE 分别为△ABC 的角平分线，连结DE ． （1）求证：点E 到DA ，DC 的距离相等；（2）求∠DEB 的度数．【答案】（1）见解析；（2）30°．【详解】（1）过E 作EH ⊥AB 于H ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AD 于G ，∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°，∵∠CAH=180°﹣120°=60°，∴AE平分∠HAD，∴EH=EG，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH=EF，∴EF=EG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠DEB+∠DBE，∴12CDA=∠DEB+12∠ABC，∴∠DEB=12（∠CDA﹣∠ABC）=12∠BAD=30°．【点睛】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．。
初中数学三角形有关的线段讲解及习题
(2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．
【例10】有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°.
所以∠DAC＝∠EBC.
10．三角形中线应用拓展
三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用：
(1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC.
9．三角形高的应用
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向．
【例7－1】以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6；
(3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
初二数学上册(人教版)第十一章三角形11.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段一、学习任务1. 理解三角形及其有关的概念．2. 掌握三角形三边关系，并能够熟练运用这个三角形的三边关系判定已知的三条线段能否构成三角形．3. 知道三角形具有稳定性，并且能够运用到实际问题中去．二、知识清单三角形的相关概念 三角形的三边关系 三角形的稳定性三、知识讲解1.三角形的相关概念三角形由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle ）．按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude ）．三角形的中线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线（median ）．三角形的角平分线三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（angular bisector ）．三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心．三角形的内心三角形三条内角平分线的交点叫做三角形内心．三角形的垂心三角形三边上的三条高所在直线交于一点叫做三角形垂心．三角形的外心三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形外心．三角形的旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点叫做三角形的旁心．一个三角形的三个内角的度数之比为 ，这个三角形是（ ）2:3:7中阴影部分的面积是_______．1∠DAE线，则 的度数为______．描述：例题：3.三角形的稳定性三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）（1） ，，；（2） ，，；（3） ，，（）；（4） ，，（）．解：（1） 不能；（2） 不能；（3） 能；（4） 不能．（1） 与 的和小于 ，所以不能组成三角形；（2） 与 的和等于 ，所以不能组成三角形；（3） ， 均小于 ，而 ，因为 ，所以 ，所以 ，它们可以组成三角形；（4） 最大，而 ，因此不能组成三角形．3610358+3a 2+4a 2+7a 2a ≠03a 5a 8a a >03610358+3a 2+4a 2+7a 2(+3)+(+4)=2+7=(+7)+a 2a 2a 2a 2a 2a ≠0>0a 2(+3)+(+4)>+7a 2a 2a 28a 3a +5a =8a 一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是 ，这样的三角形共有多少？分析：已知中的数较少，只知道周长为 ，应该抓住不等边三角形的边长都是整数这一个条件，依据三角形三边关系先确定出最大边的取值范围，则问题迎刃而解．解：设 ，则 ，即 ，所以 ．因为 ，， 都是正整数，所以若 ，则其他两边必然为 ，．由于 ，即 ，故线段 ，， 不能组成三角形．当然 更不可能是 或 ，因而有 ．当 时，，，不符合条件；当 时，，，符合条件．所以符合条件的三角形只有 个．1212a <b <c a +b +c >2c 2c <12c <6a b c c =3a =1b =21+2=3a +b =c a b c c 124⩽c <6c =4a =2b =3c =5a =3b =41下列图形中具有稳定性的是（ ）A. 正方形B. 长方形C. 直角三角形D. 平行四边形解：C．答案： 1. 如图，在 中， 的对边是A ．B ．C ．D ．C △ABF ∠B ()ADAE AF AC2. 如果一个三角形的两边长分别为 和 ，则第三边长可能是 A ．B ．C ．D ．24()2468高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2023-2024学年八年级上学期数学：与三形有关的线段(附答案解析)
2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.1
与三角形有关的线段
一、选择题
1．下列各组数中，不可能是同一个三角形的三边长的是()
A．3，4，5B．5，7，7C．6，8，10D．5，7，12 2．劳动课上，小莉要用三根木棒首尾相接钉一个三角形框架，现有两根木棒长分别为4cm，5cm，则第三根木棒的长可取()
A．1cm B．4cm C．9cm D．10cm
3．已知三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围为()
A．8
x<<
x<<D．28
x>C．08
x<B．2
4．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是()
A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等D．三角形具有稳定性
5．若三角形的两边长分别为4和7，则该三角形的周长可能为()
A．9B．14C．18D．22
6．下列说法中，正确的是()
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人教版八上：和三角形有关的线段(解析版)
三角形的边知识精讲：1. 按边分类2. 三边关系三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边3. 稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到巩固的目的，把一些构件都做成三角形结构．三点剖析：考点：1. 按边分类；2.三边关系；3. 稳定性重难点：1. 在应用三边关系判断能否组成三角形时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．2. 由三角形三边关系可得，如果a, b, c三条线段能够组成三角形，那么.易错点：在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最终能否组成三角形.题型讲解：题模一：按边分类例1.1.1 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.1，3C.3，4，8D.4，5，6例1.1.2 下列说法中错误的是（）A. 三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形B. 三角形可分为等腰三角形和等边三角形C. 等腰三角形包括等边三角形D. 斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形题模二：三边关系例1.2.1 等腰三角形的周长是18cm ，其中一边长为4cm ，其它两边长分别为（ ） A.4cm ，10cm B.7cm ，7cm C.4cm ，10cm 或7cm ，7cm D.无法确定例1.2.2 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（ ）A.5B.6C.7D.10例 1.2.3 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：12AB AE BC AD AC ++>+例1.2.4 小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x 千米远，则x 的值应满足（ ） A.3x = B.7x = C.3x =或7x = D.37x ≤≤题模三：稳定性例1.3.1 要使五边形木架（用五根根条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根本条．ED CBAA.1B.2C.3D.4例1.3.2 下列图形中，不具有稳定性的是（ ） A.B.C.D.练习：随练1.1 已知 D ABC 有两边长为 a 、 b ，其中 a <b ，则其周长 l 一定满足（ ） A. 2b <l <2(a +b ) B. 2a <l <2b C. a <l <a +b D. a <l <2a +b随练1.2 在ABC △中，AB AC =，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长.随练1.3 如图，已知△ABC 中，AB AC =，D 在AC 的延长线上．求证：BD BC AD AB -<-．随练1.4 已知：A ．b 、c 为三角形的三边长 化简：|b+c ﹣a|+|b ﹣c ﹣a|﹣|c ﹣a ﹣b|﹣|a ﹣b+c|随练1.5 如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ）DCBA.A、C两点之间B.E、G两点之间C.B、F两点之间D.G、H两点之间三角形的高、中线、角平分线知识点综合1. 三角形的高、中线、角平分线（1）从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线；（2）在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；（3）每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心.（4）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；2. 面积问题（1）解决面积相关的综合问题时，一般会用到等高三角形的面积比等于底之比，或者是同底三角形的面积比等于高之比.（2）计算不规则的图形面积时，注意先把不规则的图形经过面积的加减组合，转化成容易计算的规则的图形面积，再进行计算.三点剖析考点：1. 三角形的高、中线、角平分线；2. 面积问题；重难点：1. 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；直角三角形两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点也在三角形的直角顶点处；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部.2. 三角形三条中线的交点一定在三角形内部.3. 每个三角形都有三条角平分线且交于一点，这个点叫三角形的内心，它也一定在三角形内部．易错点：1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．2. 三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.题型讲解：题模一：三角形的高、中线、角平分线例2.1.1 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A. B.C. D.例2.1.2 已知AD 是△ABC 的中线，则下列结论不正确．．．的是（ ） A.BAD CAD ∠=∠ B.BD DC =C.2BC BD =D.ABD ADC S S ∆∆=例2.1.3 如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC 经过一次平移后得到'''A B C V ，图中标出了点B 的对应点'B ．（1）补全'''A B C V 根据下列条件，利用网格点和三角板画图： （2）画出AB 边上的中线CD ； （3）画出BC 边上的高线AE ； （4）'''A B C V 的面积为________题模二：面积问题例2.2.1 如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O ，A ，B 在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C ，使△ABC 的面积为3，则这样的点C 共有____A.2个B.3个C.4个D.5个例2.2.2 如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A.10B.7C.5D.4例2.2.3 （1）阅读下面材料并完成问题： 已知：直线AD 与△ABC 的边BC 交于点D ，①如图1，当时，则S △ABD ________S △ADC ．（填“=”或“＜”或“＞”）②如图2，当12BD DC =时，则S △ABD =_____S △ADC ． ③如图3，若AD ∥BC ，则有S △ABC ____S △DBC ．（填“=”或“＜”或“＞”） （2）请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1:2的两部分．（保留画图痕迹）题型练习：随练2.1 如图，作出钝角△ABC 的AB 边上的高．随练2.2 如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点是方格纸中的两个格点，在4×5的方格纸中，找出格点C ，使△ABC 的面积为1个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是 ．随练2.3 如图，对面积为1的ABC ∆逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至1A 、1B 、1C ，使得12A B AB =，12B C BC =，12C A CA =，顺次连接1A 、1B 、1C ，得到111A B C ∆，记其面积为1S ；第二次操作，分别延11A B ，11B C ，11C A 至2A ，2B ，2C ，使得21112A B A B =，21112B C B C =，21112C A C A =，顺次连接2A ，2B ，2C 得到222A B C ∆，记其面积为2S ……，按此规律继续下去，可得到555A B C ∆，则其面积为5S =_________． 第n 次操作得到n n n A B C ∆，则n n n A B C ∆的面积n S = ．BD DC =A CB随练2.4 阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BD 是ABC ∆的高．P 是BC 边上一点，PM ，PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M ，N ．求证：BD PM PN =+．他发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即111222AC BD AB PM AC PN ⋅=⋅+⋅．由AB AC =，可得BD PM PN =+．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD ，PM ，PN 之间的数量关系是：请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程； ∵ABC APC S S ∆∆=-___________， ∴1122AC BD AC ⋅=⋅_____12AB -⋅______， ∵AB AC =，∴BD PN PM =-．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC ∆中，AB AC BC ==，BD 是ABC ∆的高．P 是ABC ∆所在平面上一点，PM ，PN ，PQ 分别与直线AB ，AC ，BC 垂直，垂足分别为点M ，N ，Q ．图3，若点P 在ABC ∆的内部，则BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：_________________；②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：________________________．课后作业：拓展1 等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为 ．拓展2 有3cm ，6cm ，8cm ，9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4拓展3 如图，ABC △中，已知AB AC x ==，6BC =，则腰长x 的取值范围是（ ）A.03x <<B.3x >C.36x <<D.6x >拓展4 已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M ＝（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）（a －b －c ），那么（ ） A.M ＞0 B.M ＝0 C.M ＜0 D.不能确定拓展 5 如图1，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且△B=30°，△C=100°，如图2．则下列说法正确的是____A.点M 在AB 上B.点M 在BC 的中点处C.点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D.点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远拓展6 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能是（ ）CB AA.2.5B.3C.4D.5拓展7 如图，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC成立吗？说明你的理由．拓展8 在△ABC中，若AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数，则AC＝________．拓展9 如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A.A、C两点之间B.E、G两点之间C.B、F两点之间D.G、H两点之间拓展10 能将三角形面积平分的是三角形的（）A.角平分线B.高C.中线D.外角平分线拓展11 如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积____．拓展12 如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色。
人教版八年级数学上册与三角形有关的线段复习及习题11.1解析答案教案
11.1小节复习及习题11.1练习指导备课人：备课日期：年月日较大的三角形，然后把三个小三角形合成的三角形，即按从小到大依次找出，做到不重复不遗漏。
2.长为10,7,5,3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？【提示】先选两根较短的木条作为三角形的两边并计算它们的和，再根据“三角形任意两边的和大于第三边”考虑选第三根木条。
本题只有5+3＞7一种符合，故只有一种选法。
3.对于下面每个三角形，过顶点A画出中线、角平分线和高。
【提示】图(1)为等腰三角形，所画中线、角平分线和高重合；图(2)是直角三角形，高就是直角边AB；图(3)是钝角三角形，所画的高在CB的延长线上。
4.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。
填空：(1)BE= =21；(2)∠BAD= =21；(3)∠AFB= =90°；(4)S△ABC= .【提示】(1)(2)(3)小题根据三角形的中线、角平分线、高的定义解答，(4)小题根据三角形的面积公式解答。
AB CE D F5.选择题。
下列图形中有稳定性的是（ ）A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形【解析】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
故选C. 综合运用6.一个等腰三角形的一边长为6cm ，周长为20cm ，求其它两边的长.【提示】分两种情况解答：①6cm 的边为底边；②6cm 的边为腰.7.(1)已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长.(2)已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，求它的周长.【提示】分两种情况解答：①第一条边为底，第二条边为腰；②第一条边为腰，第二条边为底。
注意判断是否能围成三角形。
8.如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，△ABC 的高AD 与CE 的比是多少？【提示】：利用三角形的面积公式9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC ，DE 交AB 于点E ，DF//AB ，DF 交AC 于点F.图中∠1与∠2有什么关系?为什么?【提示】利用“两直线平行，内错角相等”，得出∠1=∠DAC ，∠2=∠DAE ，再利用角平分线的性质得出∠1=∠2。
与三角形有关的线段(课件)八年级数学上册(人教版)
1
AD×BC＝ BP×AC.
2
2
24
代入数值，可解得BP＝ .
5
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出
面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
（11.1.1-11.1.3）
情景引入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
11.1.1 三角形的边
三角形的概念
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三
角形?
A
定义：由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的图形叫
解：
1
2
1
2
（1）由题意得：△ = AB×CE= ×6×9=27cm2 ．
1
2
（2）∵△ = BC×AD，
∴
1
27=
2
×12×AD
解得AD=4.5cm．
思考 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何
关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的
中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
思考 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
A
B
思考 如何求△ABC的面积？
D
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所
11.1与三角形有关的线段
与三角形有关的线段相关知识链接1.线段的中点：如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，那么点M 叫做线段AB 的中点。
2.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
3.角的平分线：从一个角的顶点引一条射线，如果把这个角分为两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。
知识点1 三角形的有关概念定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形。
有关概念及其表示方法：(1) 如图所示，线段AB,AC,BC 叫做△ABC 的三条边。
(2) 点A,B,C 叫做三角形ABC 的三个顶点。
(3) 顶点式A ，B ，C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”。
数三角形个数的方法：(1) 按图形形成的过程(2) 按大小顺序(3) 可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数(4) 先固定一个顶点，变换另两个顶点来数知识点2 三角形的分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫作等边三角形，即三边都相等的三角形叫做等边三角形。
按边的相等关系分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形 分类示意图如图：按角的大小分类：三角形⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形锐角三角形直角三角形知识点3 三角形的三边关系三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系。
三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形。
已知三角形两边长，求第三边的取值范围。
知识点4 三角形的高、中线、角平分线三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的高的几何表达形式：如图1所示，AD 是△ABC 的BC 边上高，或AD 是△ABC 的高，或AD ⊥BC 于点D ，或∠BDA=∠CDA=90°。
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专题11.1 与三角形有关的线段1.三角形的定义和分类（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（2）三角形的分类：1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）2.三角形三边的关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.3.三角形的高、中线与角平分线（1）三角形的高。
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；1）三角形的高是线段；2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.（2）三角形的中线。
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.1）三角形的中线是线段；2)三角形三条中线全在三角形内部；3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； 4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线。
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD ＝∠DAC ＝21∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . 1）三角形的角平分线是线段；2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； 4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 4.三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
【例题1】如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个。
【点拨】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．【例题2】下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】B【解析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．A.2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B.1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C.4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D.4+5＞6，能构成三角形，不合题意．【点拨】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．【例题3】如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC ＝6cm，则△AED的周长等于cm．【答案】10【解析】∵D是AC的中点，且BD⊥AC，∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，∵ED∥BC，∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm．【点拨】三角形的中线等于底边一半，这个是解题关键。
【例题4】如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠_____=∠_____= 1/2∠_____；（2）因为AM是△ABC的中线，所以 ______ = ______= ______；（3）因为AH是△ABC的高，所以∠_____=∠_____=90°【答案】（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC．【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC（2）∵AM是△ABC的中线∴BM=CM=1/2BC（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC∴∠AHB=∠AHC=90°【点拨】熟练掌握三角形角平分线、中线和高的定义，然后结合他们的特点进行答题。
一、选择题1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10【答案】D【解析】据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解决．∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，【点拨】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm【答案】D．【解析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．3.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C．【解析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，4＜x＜10，4.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可能为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A．【解析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系及非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；注意初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值；∵|a﹣4|+=0，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；则4﹣2＜c＜4+2，2＜c＜6，5符合条件。
5.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D【答案】A．【解析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．△ABC中BC边上的高的是A选项．6. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm ＞4cm．故能够组成三角形．7. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．8．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG【答案】B．【解析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线。
9．下列图形具有稳定性的是（）A B C D【答案】A．【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm【答案】B．【解析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论． A ．∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B ．8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C ．5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D ．6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误。
11．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ） A ．1，1，2 B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，3，5 【答案】C ．【解析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． A ．1+1=2，不满足三边关系，故错误； B ．1+2＜4，不满足三边关系，故错误； C ．2+3＞4，满足三边关系，故正确； D ．2+3=5，不满足三边关系，故错误． 二、填空题12．已知等腰三角形两边长是4cm 和9cm ，则它的周长是 ． 【答案】22cm ．【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析． 当腰长为4cm 时，4+4＜9cm ，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为9cm 时，符合三边关系，其周长为9+9+4=22cm ． 故该三角形的周长为22cm ．13.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．14．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为．【答案】5【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．根据三角形的三边关系，得第三边＞4，而＜6．又第三条边长为整数，则第三边是5．15．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=．【答案】7．【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴6＜c＜8，又∵c为奇数，∴c=7三、解答题16．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【答案】(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【解析】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．17.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【答案】AC的长为5cm．【解析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．。