普物B期中试题解答

一、（10分）
一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电 荷Q 均匀分布在环面上。

细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上， 如图所示。

试求圆环中心O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)。

解： O 点的场强可视为细绳在该点产生的场强 1E
与环面电荷在该点产生
的场强2E 的叠加，即21E E E
+= ；
选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正．在x 处取一电荷元 d q = ?d x = Q d x /(3R )
它在环心处的场强为 ()
2
0144d d x R q
E -π=ε ()
2
0412d x R R x
Q -π=
ε 整个细绳上的电荷在环心处的场强 ()203020116412R
Q
x R dx R Q E R εεπ=-π=⎰ , (5分) 圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强 E 2=0 ， (3分)
i R
Q i E E
2
0116επ=
=∴ ， (2分) 二、（16分）
如图所示，真空中两大块导体平板A 和B 相向平行放置，相距 为d ，平板面积为S ，所带电量分别为1q 与2q 。

如果两极板间距 远小于平板线度，试求：
（1）平板各表面上的电荷面密度； （2）两平板的电势差；
（3）当两平板所带电量q q q =-=21时，外力慢慢地将两平板间
距由d 拉开至2d ，求外力在这过程中所做的功。

厦门大学《大学物理》课程期中试卷解答
2010－2011第一学期
2010．11．
O
R
3R
R /2
A
B q 1
q 2
d
.
B E 1x
R
3R
x x
解：（1）A 板内任取一点M ，电场强度： →=---=
022220
4
030201εσεσεσεσM E （1） B 板内任取一点N ，电场强度：
→=-++=
022220
4
030201εσεσεσεσN E （2） 又 →=
+S q 121σσ （3） ，→=+S
q
243σσ （4） (4*1=4分) 解得： S q q 22141+=
=σσ ， S
q q 22
132-=-=σσ ； (2*1=2分) （2）因为A 、B 两板间电场为匀强电场，场强 S
q q E 02
10403020122222εεσεσεσεσ-=--+=
， d S q q Ed l d E V B
A
AB
0212)(ε-==⋅=∴⎰ ； (5分)
（3） d
S
C 01ε=
， d
S
C 202ε=
，
外力做功等于电场能量的增加： 22221011222e q q q d
W W C C S
ε=∆=-=
， (5分)
三、（16分）
两薄的导体球壳同心地套在一起，内、外球壳半径分别为
1R 和2R ，如图所示。

现把电量q 给予内球壳；外球壳原本
不带电；试求：
（1）两球壳之间的电位移矢量和电场强度矢量； （2）外球壳的电势；
（3）若把外球壳接地后再重新绝缘，外球壳上所带的电荷； （4）然后把内球壳接地，此时内球壳上所带的电荷及外球壳的电势。

解：（1）由有介质时的高斯定理有：q r D S d D S
=⋅=⋅⎰⎰24π
，
所以介质内：024r r
q D
π=
；0
2
004r r q D E r επεε== ； (4分) （2）外球壳电势为： 2
02
0244R q R q V i
i πεπε=
=∑
； (4分)
（3）0442022
02='+
=
R q R q V πεπε , 此时外球壳带电 q q -='2
； (4分) （4）0442
021
011='+
'=
R q R q V πεπε ，内球壳带的电荷为： q R R q 2
1
1
=' ； 外球壳的电势为：
0)(444212
2
02
022
012<--
='+'=R R R q
R q R q V πεπεπε， (2*2=4分)
四、（12分）
如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此 平行，且以单层线圈覆盖住半个球面。

设线圈的总匝数为N ，通过 线圈的电流为I 。

求球心O 处的磁感应强度。

解：作截面O-xy 与线圈正交，如图（b ）所示，沿
圆周单位长度的线圈匝数为
)R 21
/(N n π=，任意一薄片中的电流为
I Rd R N
IdN dI ⋅⋅==θπ2 ， (3分)
设圆电流在球心O 处激发的磁场为
2
32220
)
(2
y x dI y dB +=
μ ， (3分)
所以球心O 处的磁感应强度为：⎰=dB B
θθsin ,cos R y R x ==
由以上各式可得：
R
NI d R NI Rd R
N
y x I y dB B 4sin 2)(20
22
02
32222
μθθπμθπμπ
π
==⋅+==⎰⎰⎰ ， B 的方向根据右手定则给出。

(4+2=6分)
五、（15分）
如图所示，一扇形载流线圈OAB （其中AB 为半径为R 的四分之 一圆弧）位于OXY 平面，线圈中通有稳恒电流I ，该线圈处于磁
感应强度为))(2
321(0T j i B B
+
=的匀强磁场中。

试求： （1）AB 弧所受到磁场的作用力；
（2）线圈OAB 受到的合力矩。

解：（1）AB 弧上一线元：j dy i dx l d
-= ， (2分)
受磁力 k dy dx IB j i B j dy i dx I B l Id F d )3(2
1
)2321()(00+=+
⨯-=⨯= ， (2分) AB 弧所受到磁场的作用力为：
)(231)3(21
)(00
00N k IRB k dy dx IB B l Id F R R B A AB +=+=⨯=⎰⎰⎰⋂； (4分)
（2）线圈磁矩 k I R S I m
24
1π-== ； (3分)
线圈OAB 所受到的合力矩为： ))(3(8
102m N j i IB R B m M ⋅-=⨯=
π ， (4分) 。

六、（15分）
如图所示，有一折成θ角的金属框架COD ，一导线MN
（MN 垂直于OD ）以恒定速度v 在金属架上滑动，设速度v
垂直于MN 向右，已知磁场B
的方向为垂直纸面向外。

假设
0=t 时，0=x 。

分别求在以下两种情况下金属架内的感应电
动势i ε随时间的变化规律。

（1）空间中磁场B 分布均匀，且磁场B
不随时间变化，说明i ε的方向；
（2）空间中磁场分布不均匀，且磁场随时间变化，磁感应强度大小为：t kx t B ωcos )(=，
式中：ω 、k 均为常数。

解：（1）∵2)
(21 x Btg S B S d B ΦS m θ=⋅=⋅=⎰⎰ ； (3分)
∴ 2m
i d ΦBtg xv v tBtg dt
εθθ=-
=-=- ；方向由N M → ；
O x
另解：θθεtBtg v vBxtg l d B v N M
i 2)(==⋅⨯=⎰
； 方向由N M → ；
(3+1=4分)
（2）又∵ ； cos 31
)cos ( 30)
(t tg kx x d tg x t x k S d B Φx S m ωθθω='''=⋅=⎰⎰⎰ (4分)
∴ )sin 3
1
(cos 23t t t tg t kv dt d Φm i ωωωθε--=-
=。

(4分)
七、（16分）
一个半径为a 的很小的金属圆环，放在半径为b （且a b >>）的大载流圆环中心，且两圆环同心，初始时，两环面在同一平面内。

若小圆环绕一直径以匀角速度ω转动，设小圆环电阻为R ，自感可以忽略，并设大圆环通有恒定电流I ，试求： （1）这两圆环之间任一时刻的互感系数M ； （2）小圆环中任一时刻的感应电流i I ；
（3）保持小圆环做匀角速转动，需作用多大的外力矩 （4）计算大圆环中任一时刻的感应电动势。

解：（1）∵t a b I
t BS S d B ΦS m ωπμωcos 2cos 20)
(==⋅=⎰⎰ ；
∴ t b
a I ΦM m ωπμcos 22
0== ； （2）又∵t b
a I dt d Φm i ωωπμεsin 22
0=-= ； ∴ t bR
a I R
I i
i ωωπμεsin 22
0=
=
；
（3） ；外 )sin 2(
sin 22
0R
t b
a I t mB M M m ω
ωπμω⋅===
（4） 。

互
)2cos()2()(220t R
I b a dt dM I dt dI M dt d Φi i m i ωωπμεε-=+-=-==
(4*4=16分)。